Pembahasan Soal Simak UI Matematika IPA KA2 tahun 2014


Nomor 1
Jika salah satu akar dari persamaan kuadrat $x^2-4(k+1)x+k^2-k+7=0$ bernilai tiga kali dari akar yang lain dan semua akar-akar bernilai lebih dari 2, maka himpunan semua bilangan $k$ yang memenuhi adalah ...
$\clubsuit \, $ PK $ x^2-4(k+1)x+k^2-k+7=0 \, \, \, \, \, $ akar - akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-[-4(k+1)]}{1} = 4(k+1) $
artinya $ x_1 + x_2 = 4(k+1) \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Salah satu akarnya bernilai tiga kali akar yang lainnya
$ x_1 = 3x_2 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Substitusi $ x_1 = 3x_2 \, $ ke pers(i)
$ x_1 + x_2 = 4(k+1) \rightarrow 3x_2 + x_2 = 4(k+1) \rightarrow x_2 = k+1 $
$\clubsuit \, $ Substitusi $ x_2 = k+1 \, $ ke PK
$\begin{align} x^2-4(k+1)x+k^2-k+7 & =0 \\ (k+1)^2-4(k+1)(k+1)+k^2-k+7 & =0 \\ 2k^2 + 7k - 4 & = 0 \\ (2k-1)(k+4) & = 0 \\ k = \frac{1}{2} \vee k & = -4 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Semua akar-akarnya lebih dari 2
$\begin{align} x_1 > 2 \text{ dan } x_2 & > 2 \\ \text{Jumlahkan keduanya } & \\ x_1 + x_2 & > 2 + 2 \\ x_1 + x_2 & > 4 \\ 4(k+1) & > 4 \\ k+1 & > 1 \\ k & > 0 \end{align}$
Karena nilai $ k > 0 \, $ , maka yang memenuhi adalah $ k = \frac{1}{2} $
Jadi, nilai $ k \, $ yang memenuhi adalah $ k = \frac{1}{2}. \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui $f(x)=\frac{x^2-4}{g(x)}+3 , \, h(x)=\frac{g(x)+3}{x+1}, $
$ m(x)=\frac{h(x)-2}{x-1}; \, x\neq 1 ; m(1)=2014.$
Jika $f(x)$ dibagi $x^2+x-2$ memiliki sisa $ax+b$ , maka nilai $a+2b=...$
$\spadesuit \, $ Nilai $ m(1) = 2014 \, $ (untuk $ x = 1 $) dan $ m(x)=\frac{h(x)-2}{x-1} \, $ tidak boleh untuk $ x = 1 \, $ , maka haruslah $ h(x) - 2 \, $ memeiliki faktor $ (x-1) \, $, sehingga
$\begin{align} h(x) - 2 & = (x-1) .k(x) \\ h(x) & = (x-1).k(x) + 2 \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
dengan $ k(x) \, $ suatu fungsi tertentu (polinomial)
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 1 \, $ ke pers(i)
$\begin{align} x=1 \rightarrow h(x) & = (x-1).k(x) + 2 \\ h(1) & = (1-1).k(1) + 2 \\ h(1) & = 2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 1 \, $ dan $ h(1) = 2 $
$\begin{align} x=1 \rightarrow h(x) & =\frac{g(x)+3}{x+1} \\ h(1) & =\frac{g(1)+3}{1+1} \\ 2 & =\frac{g(1)+3}{2} \\ g(1) & = 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 1 \, $ dan $ g(1) = 1 $
$\begin{align} x=1 \rightarrow f(x) & =\frac{x^2-4}{g(x)}+3 \\ f(1) & =\frac{1^2-4}{g(1)}+3 \\ f(1) & =\frac{-3}{g(1)}+3 \\ f(1) & = 0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = -2 \, $
$\begin{align} x=-2 \rightarrow f(x) & =\frac{x^2-4}{g(x)}+3 \\ f(-2) & =\frac{(-2)^2-4}{g(-2)}+3 \\ f(-2) & =\frac{4-4}{g(-2)}+3 \\ f(-2) & = 3 \end{align}$
Diperoleh $ f(1) = 0 \, $ dan $ f(-2) = 3 $
$\spadesuit \, $ Fungsi $ f(x) \, $ dibagi $ x^2 + x -2 \, $ sisanya $ ax+b \, $ dan anggap hasilnya $ z(x) $ , dapat ditulis
$ f(x) = (x^2 + x - 2).z(x) + (ax+b) \, $ ....pers(ii)
atau $ f(x) = (x-1)(x+2).z(x) + (ax+b) \, $ ....pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 1 \, $ dan $ x=-2 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} x=1 \rightarrow f(x) & = (x-1)(x+2).z(x) + (ax+b) \\ f(1) & = (1-1)(1+2).z(1) + (a.1+b) \\ 0 & = a + b \, \, \text{...pers(iii)} \\ x=-2 \rightarrow f(x) & = (x-1)(x+2).z(x) + (ax+b) \\ f(-2) & = (-2-1)(-2+2).z(-2) + (a.(-2)+b) \\ 3 & = -2a + b \, \, \text{...pers(iv)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(iii) dan pers(iv)
$\begin{array}{cc} a+b = 0 & \\ -2a+b = 3 & - \\ \hline 3a = -3 & \\ a = -1 & \end{array} $
pers(iii) : $ a+b = 0 \rightarrow -1 + b = 0 \rightarrow b = 1 $
Sehingga nilai $ a + 2b = -1 + 2.1 = -1 + 2 = 1 $
Jadi, nilai $ a + 2b = 1 . \heartsuit $
Nomor 3
Himpunan semua bilangan $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\leq \sqrt{2x+5}$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Karena nilai $ \sqrt{x+1} \, $ tidak akan sama dengan nilai $ \sqrt{x} \, $ (dua bilangan berurutan tidak akan pernah sama nilainya), maka pasti nilai $ \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \neq 0 \, $ , sehingga bisa dirasionalkan bentuk pecahannya dan tidak akan mengurangi akar-akarnya karena penyebutnya yang hilang.
$\clubsuit \, $ Rasionalkan ruas kiri
$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} & \leq \sqrt{2x+5} \\ \frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} . \frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x}} & \leq \sqrt{2x+5} \\ \frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x}}{(x+1)-(x)} & \leq \sqrt{2x+5} \\ \sqrt{x+1}+ \sqrt{x} & \leq \sqrt{2x+5} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Kuadratkan kedua ruas
$\begin{align} (\sqrt{x+1}+ \sqrt{x})^2 & \leq (\sqrt{2x+5})^2 \\ (x+1)+x+2\sqrt{x^2+x} & \leq 2x + 5 \\ \sqrt{x^2+x} & \leq 2 \, \, \, \text{(kuadratkan lagi)} \\ x^2 + x & \leq 4 \\ x^2 + x - 4 & \leq 0 \\ x_{1,2} & = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \end{align}$
simak_ui_1_mat_ipa_ka2_2014.png
HP1 = $ \left\{ \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \right\} $
$\clubsuit \, $ Menentukan syarat-syarat akar
*). $\sqrt{x+1} \, $ syaratnya : $ x + 1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 $
*). $\sqrt{x} \, $ syaratnya : $ x \geq 0 $
*). $\sqrt{2x+5} \, $ syaratnya : $ 2x+5 \geq 0 \rightarrow x \geq \frac{-5}{2} $
Syarat yang memenuhi ketiganya adalah : HP2 = $ \{ x \geq 0 \} $
Sehingga solusinya : HP = HP1 $\cap $ HP2 = $ \left\{ 0 \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \right\} $
Jadi, solusinya HP = $ \left\{ 0 \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \right\} . \heartsuit $
Nomor 4
A dan B berdiri saling berhadapan dengan jarak 100 m. Seekor kucing bediri di samping A dan mulai berlari menuju B dengan kecepatan 2 m/s. Pada saat yang sama, A berjalan menuju B dengan kecepatan 1 m/s dan berhenti ketika kucing tiba di B. Kucing lalu berbalik arah dan berlari menuju A dengan kecepatan yang sama. B tidak bergerak dari posisi awal. Kemudian, kucing dan A kembali menuju B dengan kecepatannya masing-masing. Jika proses ini berlanjut terus-menerus, jarak yang ditempuh oleh kucing adalah ... m.
$\spadesuit \, $ Konsep geometri tak hingga : $ S_\infty = \frac{a}{1-r} $
$\spadesuit \, $ Misal, Misal $ S_A \, $ = jarak A yang ditempuh
dan $ S_k \, $ = jarak kucing yang ditempuh.
Rumus jarak : $ S = V . t \, $ dengan $ V \, $ jarak dan $ t \, $ adalah waktu.
$V_k = 2 \, $ m/s dan $ V_A = 1 \, $ m/s , artinya jarak yang ditempuh oleh A separuh dari jarak yang ditempuh oleh kucing. Berikut ilustrasi pergerakan kucing dan A .
simak_ui_2_mat_ipa_ka2_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan total jarak yang ditempuh kucing
Dari ilustrasi gambar di atas, jarak total yang ditempuh kucing : $\begin{align} S_k & = 100 + 50 + 50 + 25 + 25 + \frac{25}{2} + \frac{25}{2} + .... \\ & = 100 + 2(50 + 25 + \frac{25}{2} + ..... ) \\ & = 100 + 2(S_\infty ) \\ & = 100 + 2(\frac{a}{1-r} ) \\ & = 100 + 2(\frac{50}{1-\frac{1}{2}} ) \\ & = 100 + 2(\frac{50}{\frac{1}{2}} ) \\ & = 100 + 2(100 ) \\ & = 100 + 200 = 300 \end{align}$
Jadi, total jarak yang ditempuh oleh kucing adalah 300 m. $ \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui vektor $\vec{a}=(-1,1,2) , \vec{u}=(-1,c,2)$ dan $\vec{x}=(-3,0,1)$. $L_1$ adalah luas segitiga siku-siku yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{x}$. $L_2$ adalah luas segitiga siku-siku yang dibentuk oleh $\vec{u}$ dan proyeksi vektor $\vec{u}$ pada $\vec{x}$. Jika $L_1=\frac{1}{8}L_2$, maka nilai $2c^2=...$
$\clubsuit \, $ Menentukan panjang dan perkalian dot
$\vec{a}=(-1,1,2) , \vec{u}=(-1,c,2) \, \, \, \, $ dan $\vec{x}=(-3,0,1)$
$ |\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2 } = \sqrt{6} $
$ |\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + c^2 + 2^2 } = \sqrt{c^2 + 5} $
$ |\vec{x}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 1^2 } = \sqrt{10} $
$ \vec{a} . \vec{x} = (-1).(-3) + 1.0 + 2.1 = 3 + 0 + 2 = 5 $
$ \vec{u} . \vec{x} = (-1).(-3) + c.0 + 2.1 = 3 + 0 + 2 = 5 $
$\clubsuit \, $ Konsep proyeksi skalar vektor (panjangnya)
simak_ui_3a_mat_ipa_ka2_2014.png
Proyeksi skalar $ \vec{a} \, $ pada $ \vec{x} \, $ adalah $ \vec{c} \, $ dengan panjangnya : $|\vec{c}| = \frac{\vec{a}.\vec{x}}{|\vec{x}|} $
$\clubsuit \, $ Proyeksi $ \vec{a} \, $ pada $ \vec{x} \, $ dan luasnya
simak_ui_3b_mat_ipa_ka2_2014.png
$ |\vec{c_1}| = \frac{\vec{a}.\vec{x}}{|\vec{x}|} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2} $
Dengan pythagoras :
$ |\vec{b_1}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 - |\vec{c_1}|^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 - (\frac{\sqrt{10}}{2})^2}= \frac{1}{2}\sqrt{14} $
$L_1 = \frac{1}{2}. |\vec{c_1}| . |\vec{b_1}| = \frac{1}{2}. \frac{\sqrt{10}}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{14} = \frac{\sqrt{35}}{4} $
$\clubsuit \, $ Proyeksi $ \vec{u} \, $ pada $ \vec{x} \, $ dan luasnya
simak_ui_3c_mat_ipa_ka2_2014.png
$ |\vec{c_2}| = \frac{\vec{u}.\vec{x}}{|\vec{x}|} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2} $
Dengan pythagoras :
$ |\vec{b_2}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 - |\vec{c_2}|^2} = \sqrt{(\sqrt{c^2 + 5})^2 - (\frac{\sqrt{10}}{2})^2}= \frac{\sqrt{2}.\sqrt{5+2c^2}}{2} $
$L_2 = \frac{1}{2}. |\vec{c_2}| . |\vec{b_2}| = \frac{1}{2}. \frac{\sqrt{10}}{2} . \frac{\sqrt{2}.\sqrt{5+2c^2}}{2} = \frac{\sqrt{5(5+2c^2)}}{4} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ 2c^2 $
$\begin{align} L_1 & =\frac{1}{8}L_2 \\ \frac{\sqrt{35}}{4} & =\frac{1}{8} . \frac{\sqrt{5(5+2c^2)}}{4} \\ \sqrt{35} & = \frac{\sqrt{5(5+2c^2)}}{8} \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 35 & = \frac{5(5+2c^2)}{64} \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ 7 & = \frac{(5+2c^2)}{64} \\ 5+2c^2 & = 7 . 64 \\ 5+2c^2 & = 448 \\ 2c^2 & = 443 \end{align}$
Jadi, nilai $ 2c^2 = 443 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-12

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar KD2 tahun 2014 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Terdapat sebuah kantong berisi kelereng 4 warna : putih, hijau, biru, dan merah. Ketika 4 kelereng diambil tanpa pengembalian, kejadian berikut memiliki peluang yang sama untuk terjadi :
$\clubsuit \, $ memilih 4 kelereng merah,
$\clubsuit \, $ memilih satu kelereng putih dan 3 kelereng merah ,
$\clubsuit \, $ memilih satu kelereng putih, satu kelereng biru, dan 2 kelereng merah , dan
$\clubsuit \, $ memilih satu kelereng untuk setiap warna.
Banyaknya kelereng minimum yang memenuhi kondisi tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Misal : banyak kelereng merah = $ m \, $ , banyak kelereng putih = $ p \, $
banyak kelereng biru = $ b \, $ , banyak kelereng hijau = $ h \, $ dan total kelereng = $ x $
$\spadesuit \, $ 4 kelereng diambil sekaligus, $ n(S) = C_4^x $
Konsep peluang kejadian A : $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang masing-masing kejadian
1). Kejadian I : memilih 4 kelereng merah , $ n(I) = C_4^m $
$P(I) = \frac{n(I)}{n(S)} = \frac{C_4^m}{C_4^x} = \frac{m.(m-1).(m-2).(m-3)}{4!.C_4^x} $
2). Kejadian II : memilih satu kelereng putih dan 3 kelereng merah , $ n(II) = C_1^p.C_3^m $
$P(II) = \frac{n(II)}{n(S)} = \frac{C_1^p.C_3^m}{C_4^x} = \frac{p.m.(m-1).(m-2)}{3!.C_4^x} $
3). Kejadian III : memilih satu kelereng putih, satu kelereng biru, dan 2 kelereng merah , $ n(III) = C_1^p.C_1^b.C_2^m $
$P(III) = \frac{n(III)}{n(S)} = \frac{C_1^p.C_1^b.C_2^m}{C_4^x} = \frac{p.b.m.(m-1)}{2!.C_4^x} $
4). Kejadian IV : memilih satu kelereng untuk setiap warna , $ n(IV) = C_1^p.C_1^b.C_1^m .C_1^h $
$P(IV) = \frac{n(IV)}{n(S)} = \frac{C_1^p.C_1^b.C_1^m .C_1^h}{C_4^x} = \frac{p.b.m.h}{C_4^x} $
$\spadesuit \, $ Keempat kejadian memiliki peluang yang sama, sehingga diperoleh
$\begin{align} P(I) & = P(II) \\ \frac{m.(m-1).(m-2).(m-3)}{4!.C_4^x} & = \frac{p.m.(m-1).(m-2)}{3!.C_4^x} \\ \frac{m-3}{4} & = p \rightarrow m = 4p+3 \, \, \, \text{.....pers(i)} \\ P(II) & = P(III) \\ \frac{p.m.(m-1).(m-2)}{3!.C_4^x} & = \frac{p.b.m.(m-1)}{2!.C_4^x} \\ \frac{m-2}{3} & = b \rightarrow m = 3b + 2 \, \, \, \text{.....pers(ii)} \\ P(III) & = P(IV) \\ \frac{p.b.m.(m-1)}{2!.C_4^x} & = \frac{p.b.m.h}{C_4^x} \\ \frac{m-1}{2} & = h \rightarrow m = 2h+1 \, \, \, \text{.....pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Konsep dasar bilangan ganjil dan genap
*). Bilangan genap dikali bilangan ganjil atau genap hasilnya pasti genap, bilangan ganjil dikali ganjil hasilnya pasti ganjil.
**). Ganjil ditambah ganjil atau genap ditambah genap hasilnya pasti genap, namun ganjil ditambah genap atau sebaliknya hasilnya pasti ganjil.
$\spadesuit \, $ Analisa bilangan $ m \, $ dan $ b \, $ dari ketiga persamaan
$\begin{align} m & = 4p+3 \, \rightarrow \, \text{(hasilnya ganjil)} \\ m & = 3b + 2 \\ m & = 2h+1 \, \rightarrow \, \text{(hasilnya ganjil)} \end{align}$
Karena $ m \, $ bilangan ganjil, maka bentuk $ m = 3b+2 \, $ harus ganjil juga yang diperoleh ketika $ b \, $ bilangan ganjil. Untuk jumlah kelereng yang minimum, maka banyaknya kelereng $ b \, $ harus sekecil mungkin.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ m, p, h \, $ berdasarkan nilai $ b \, $ yang ganjil
$\begin{align} \text{untuk } \, b=1 \rightarrow m & = 3b+2 = 3.1+2 = 5 \\ m = 4p+3 \rightarrow 5 & = 4p + 3 \rightarrow p =\frac{1}{2} \\ \text{(tidak memenuhi } & \text{ karena banyak kelereng harus bulat)} \\ \text{untuk } \, b=3 \rightarrow m & = 3b+2 = 3.3+2 = 11 \\ m = 4p+3 \rightarrow 11 & = 4p + 3 \rightarrow p =2 \\ m = 2h+1 \rightarrow 11 & = 2h+1 \rightarrow h = 5 \end{align}$
banyaknya kelereng minimum adalah $ m =11, p = 2, b=3, h = 5 $
Sehingga jumlahnya = $ m+p+b+h = 11+2+3+5=21 $
Jadi, banyaknya kelereng minimum adalah 21 kelereng. $ \heartsuit$
Nomor 17
Misalkan $m$ dan $n$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $3x^2-5x+1=0$. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $\frac{1}{m^2}+1$ dan $\frac{1}{n^2}+1$ adalah ...
$\clubsuit \,$ Konsep dasar menyusun PK : $ x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
PK : $ 3x^2-5x+1=0 \, $ dengan akar-akar $ m \, $ dan $ n $
$ m+n = \frac{-b}{a} = \frac{-(-5)}{3} = \frac{5}{3} \, $ dan $ \, m.n = \frac{c}{a} = \frac{1}{3} $
PK dengan akar-akar $ \frac{1}{m^2}+1 \, $ dan $ \, \frac{1}{n^2}+1$
$\clubsuit \,$ Menentukan Hasil Jumlah (HJ) dan Hasil Kali (HK)
$\begin{align} HJ & = \left( \frac{1}{m^2}+1 \right) + \left( \frac{1}{n^2}+1 \right) \\ & = \left( \frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2} \right) + 2 \\ & = \frac{m^2 + n^2}{m^2.n^2} + 2 \\ & = \frac{(m+n)^2 - 2mn}{(m.n)^2} + 2 \\ & = \frac{(\frac{5}{3})^2 - 2.\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^2} + 2 \\ & = 19 + 2 = 21 \\ HK & = \left( \frac{1}{m^2}+1 \right) . \left( \frac{1}{n^2}+1 \right) \\ & = \frac{1}{m^2} . \frac{1}{n^2} + \left( \frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2} \right) + 1 \\ & = \frac{1}{(mn)^2} + \frac{(m+n)^2 - 2mn}{(m.n)^2} + 1 \\ & = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} + \frac{(\frac{5}{3})^2 - 2.\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^2} + 1 \\ & = 9 + 19 + 1 = 29 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menyusun persamaan kuadratnya
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - 21x + 29 & = 0 \end{align}$
Jadi, PK nya adalah $ x^2 - 21x + 29 = 0 . \heartsuit $
Nomor 18
Misalkan $f(x)$ memenuhi sifat $f(x+2)=f(x)$ dan $f(-x)=f(x)$ untuk setiap bilangan real $x$. Jika pada $2\leq x \leq 3, f(x)=x$, maka nilai dari $f(1,5)+f(-0,5)=...$
$\spadesuit \, $ Sistem persamaan yang terbentuk :
$\left\{ \begin{array}{ccc} f(x+2) = f(x) & \text{....pers(i)} & \\ f(-x) = f(x) & \text{....pers(ii)} & \\ f(x) = x , \, \text{untuk } & 2 \leq x \leq 3 & \text{....pers(iii)} \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ f(1,5) \, $ dengan pers(i)
$\begin{align} f(1,5) & = f(-0,5 + 2 ) \, \, \, \, \, \text{ [ dari pers(i) ]} \\ f(1,5) & = f(-0,5) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $ f(-0,5) $
$\begin{align} f(-x) & = f(x) \, \, \, \, \text{....pers(ii)}\\ f(-0,5) & = f(0,5) \\ f(x) & = f(x+2) \, \, \, \, \text{....pers(i)}\\ f(0,5) & = f(0,5 + 2) \\ f(0,5) & = f(2,5) \end{align}$
Karena 2,5 ada pada interval $ 2\leq x \leq 3 \, $ , maka berlaku pers(iii).
$ f(x) = x \rightarrow f(2,5) = 2,5 $
Sehingga nilai $ f(0,5) = f(2,5) = 2,5 $
Disimpulkan : $ f(1,5) = f(-0,5) = f(0,5) = f(2,5) = 2,5 $
sehingga nilai $ f(1,5) + f(-0,5) = 2,5 + 2,5 = 5 $
Jadi, nilai $ f(1,5) + f(-0,5) = 5 . \heartsuit $
Nomor 19
Jika $g(x)=f \left( r(x)+s(x) \right) $, dengan $r(x)$ dan $s(x)$ masing-masing adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka $g^\prime{}^\prime(x) =...$
$\clubsuit \, $ Konsep turunan
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U.V^\prime $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan fungsinya
$\begin{align} g(x) & =f \left( r(x)+s(x) \right) \\ g^\prime (x) & = \underbrace{\left[f^\prime \left( r(x)+s(x) \right)\right]}_{U} . \underbrace{\left[ r^\prime (x)+s^\prime (x) \right]}_{V} \\ U & = f^\prime \left( r(x)+s(x) \right) \rightarrow U^\prime = \left[ f^{\prime \prime} \left( r(x)+s(x) \right) \right] . \left[ r^\prime (x)+s^\prime (x) \right] \\ V & = r^\prime (x)+s^\prime (x) \rightarrow V^\prime = r^{\prime \prime} (x)+s^{\prime \prime} (x) \\ g^\prime (x) & = U.V \, \, \, \text{(turunkan lagi)} \\ g^{\prime \prime} (x) & = U^\prime . V + U.V^\prime \\ g^{\prime \prime} (x) & = \left[ f^{\prime \prime} \left( r(x)+s(x) \right) \right] . \left[ r^\prime (x)+s^\prime (x) \right] . \left[ r^\prime (x)+s^\prime (x) \right] \\ & + f^\prime \left( r(x)+s(x) \right).\left[ r^{\prime \prime} (x)+s^{\prime \prime} (x) \right] \\ g^{\prime \prime} (x) & = \left[ f^{\prime \prime} \left( r(x)+s(x) \right) \right] . \left[ r^\prime (x)+s^\prime (x) \right]^2 \\ & + f^\prime \left( r(x)+s(x) \right).\left[ r^{\prime \prime} (x)+s^{\prime \prime} (x) \right] \end{align}$
Jadi, turunan keduanya adalah
$ g^{\prime \prime} (x) = \left[ f^{\prime \prime} \left( r(x)+s(x) \right) \right] . \left[ r^\prime (x)+s^\prime (x) \right]^2 \\ + f^\prime \left( r(x)+s(x) \right).\left[ r^{\prime \prime} (x)+s^{\prime \prime} (x) \right]. \heartsuit$
Nomor 20
Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal no 20.
Jika $f(x)=ax-b$ dan $f^{-1}(x)=bx+a$ dengan $a$ dan $b$ bilangan real, maka pernyataan berikut yang terpenuhi adalah ...
1). $a>0 \, $
2). $a>b \, $
3). $a+b$ merupakan bilangan prima
4). $a-b$ merupakan bilangan ganjil
$\spadesuit \, $ Persamaan : $ f(x)=ax-b \, $ ...pers(i) , $ \, f^{-1} (x) = bx + a \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Menentukan invers dari $ f(x)=ax-b $
$\begin{align} f(x)=ax-b \rightarrow y & = ax-b \\ ax & = y + b \\ x & = \frac{y+b}{a} \\ f^{-1} (x) & = \frac{x+b}{a} \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ pers(ii) sama dengan pers(iii)
$\begin{align} bx + a & = \frac{x+b}{a} \\ bx + a & = \frac{x}{a} + \frac{b}{a} \\ bx + a & = \frac{1}{a}x + \frac{b}{a} \end{align}$
Koefisien dan konstanta ruas kiri harus sama dengan ruas kanan.
$ b =\frac{1}{a} \rightarrow ab = 1 \, $ ...pers(iv)
$ a = \frac{b}{a} \rightarrow a^2 = b \, $ ...pers(v)
$\spadesuit \, $ Substitusi $ b = a^2 \, $ ke pers(iv)
$\begin{align} ab & = 1 \\ a(a^2) & = 1 \rightarrow a = 1 \end{align}$
sehingga $ b = a^2 = 1^2 = 1 $
diperoleh $ a = 1 \, $ dan $ b = 1 $ , yang artinya $ a > 0 \, $ dan $ a+ b = 1+1 = 2 \, $ adalah bilangan prima.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3). $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar KD2 tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Luas suatu area peternakan adalah 200 $m^2$ . Untuk membuat sebuah kandang ayam , rata-rata diperlukan tempat seluas 10 $m^2$ dan untuk kandang kambing, rata-rata diperlukan 20 $m^2$ . Area peternakan tersebut tidak mampu menampung lebih dari 12 kandang ayam dan kandang kambing. Hasil dari sebuah kandang ayam adalah Rp 110.000,00/hari dan hasil dari sebuah kandang kambing adalah Rp 200.000,00/hari. Jika di suatu hari tidak ada ayam dan kambing mati, maka hasil dari area peternakan tersebut dalam sehari akan maksimum dengan nilai ...
$\spadesuit \, $ Misal, banyak kandang ayam = $ x \, $ dan banyak kandang kambing = $ y $
simak_ui_matdas_kd2_1_2014.png
$\spadesuit \, $ Model matematika dan fungsi tujuan (objektif) dengan nilai maksimum
(i). $ 10x+20y \leq 200 \rightarrow x+2y \leq 20 \, : (0,10) , \, (20,0) $
(ii). $ x+y \leq 12 \, : \, (0,12), \, (12,0) $
(iii). $ x \geq 0, \, y \geq 0 $
Fungsi tujuan : $ f(x,y) = 110.000x+200.000y $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik pojok
Titik potong kedua garis dengan substitusi dan eliminasi adalah $ (4,8) $
pada pert(i), titik (0,10) sebagai titik pojok karena memenuhi pert(ii) dan (iii)
pada pert(ii), titik (12,0) sebagai titik pojok karena memenuhi pert(i) dan (iii)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai maksimum dengan mensubstitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan $ f(x,y) = 110.000x+200.000y $
$\begin{align} (0,10) \rightarrow f(0,10) & =110.000\times 0 + 200.000\times 10 = 2.000.000 \\ (12,0) \rightarrow f(0,10) & =110.000\times 12 + 200.000\times 0 = 1.320.000 \\ (4,8) \rightarrow f(0,10) & =110.000\times 4 + 200.000\times 8 = 2.040.000 \end{align}$
Jadi, penghasilan maksimumnya adalah Rp2.040.000 . $ \heartsuit $
Nomor 12
Didefinisikan sebuah barisan sebagai berikut :
$ s_1=2^{2014}$ dan untuk $n \geq 1 , \, s_{n+1}= \left\{ \begin{array}{cc} {}^{2} \log s_n , & \text{jika} s_n > 0 \\ 0 , & \text{lainnya} \end{array} \right. $
Nilai terkecil $n$ sedemikian sehingga $s_n < 1 $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
Bentuk $ s_{n+1} = {}^{2} \log s_n \, $ sama saja dengan $ s_{n} = {}^{2} \log s_{n-1} \, $
$\clubsuit \, $ Berdasarkan bentuk $ s_{n} = {}^{2} \log s_{n-1} \, $ dan $ s_1=2^{2014}, \, $ dengan teknik nyicil (coba satu-satu ^_^ dengan sabar) mari kita jalankan mulai dari syarat yang diminta yaitu $ s_n < 1 $
$\begin{align} \text{(i)}. s_n < 1 \rightarrow {}^{2} \log s_{n-1} & < 1 \\ s_{n-1} & < 2^1 \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 2 \rightarrow s_{2-1} & < 2^1 \\ s_{1} & < 2^1 \\ 2^{2014} & < 2^1 \, \, \text{(masih salah)} \\ \text{(ii)}. s_{n-1} < 2^1 \rightarrow {}^{2} \log s_{n-2} & < 2 \\ s_{n-2} & < 2^2 \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 3 \rightarrow s_{3-2} & < 2^2 \\ s_{1} & < 2^2 \\ 2^{2014} & < 2^2 \, \, \text{(masih salah)} \\ \text{(iii)}. s_{n-2} < 2^2 \rightarrow {}^{2} \log s_{n-3} & < 4 \\ s_{n-3} & < 2^4 \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 4 \rightarrow s_{4-3} & < 2^4 \\ s_{1} & < 2^4 \\ 2^{2014} & < 2^4 \, \, \text{(masih salah)} \\ \text{(iv)}. s_{n-3} < 2^4 \rightarrow {}^{2} \log s_{n-4} & < 16 \\ s_{n-4} & < 2^{16} \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 5 \rightarrow s_{5-4} & < 2^{16} \\ s_{1} & < 2^{16} \\ 2^{2014} & < 2^{16} \, \, \text{(masih salah)} \\ \text{(v)}. s_{n-4} < 2^{16} \rightarrow {}^{2} \log s_{n-5} & < 65.536 \\ s_{n-5} & < 2^{65.536} \, \, \text{(dari definisi)} \\ \text{untuk } n = 6 \rightarrow s_{6-5} & < 2^{65.536} \\ s_{1} & < 2^{65.536} \\ 2^{2014} & < 2^{65.536} \, \, \text{(benar)} \end{align}$
Jadi, nilai $ n \, $ terkecil yang memenuhi $ s_n < 1 \, $ adalah $ n = 6 . \heartsuit $
Nomor 13
Sebuah amplop berisi 2 lembar uang 5 ribuan , 3 lembar uang sepuluh ribuan , 2 lembar uang dua puluh ribuan, dan 2 lembar uang lima puluh ribuan . Tiga lembar uang diambil secara acak dan tanpa pengembalian . Peluang jumlah uang bernilai lima puluh ribu atau lebih adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan : lima ribuan = A, sepuluh ribuan = B,
dua puluh ribuan = C, dan lima puluh ribuan = D
Diketahui ada 2A, 3B, 2C, dan 2D (total ada 9 lembar uang).
$\spadesuit \, $ Akan dipilih 3 lembar uang dari total 9 lembar uang yang ada. $ n(S) = C_3^9 = 84 $
$\spadesuit \, $ Harapannya : jumlah ketiganya lebih atau sama dengan 50 ribu.
Ada beberapa kemungkinan pengambilan ketiga uangnya :
i). 1 lembar D dan sisanya 2 lembar dari selain D, artinya milih 1 lembar dari 2 lembar D ($C_1^2$) dan 2 lembar dari 7 lembar selain D ($C_2^7$).
Cara I = $C_1^2 \times C_2^7 = 2 \times 21 = 42 \, $ cara
ii). 2 lembar D dan sisanya 1 lembar dari selain D, artinya milih 2 lembar dari 2 lembar D ($C_2^2$) dan 1 lembar dari 7 lembar selain D ($C_1^7$).
Cara II = $C_2^2 \times C_1^7 = 1 \times 7 = 7 \, $ cara
iii). 2 lembar C dan 1 lembar B, artinya milih 2 lembar dari 2 lembar C ($C_2^2$) dan 1 lembar dari 3 lembar B ($C_1^3$).
Cara III = $C_2^2 \times C_1^3 = 1 \times 3 = 3 \, $ cara
Untuk pengambilan selain cara di atas, maka tidak ada yang jumlahnya lebih atau sama dengan 50 ribu lagi.
sehingga total cara harapannya :
$n(H) = $ cara I + cara II + cara III = 42 + 7 + 3 = 52 cara
Peluang harapannya : $ P(H) = \frac{n(H)}{n(S)} = \frac{52}{84} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{52}{84} . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui $P=\left[ \begin{matrix} s+r & 2 \\ 3 & r \end{matrix} \right] $, $Q=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] $ , dan $R=\left[ \begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right] $ . Jika $Q-P=R^{-1}$ , maka nilai dari $s^2r = ... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
$A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $
dengan det(A) = $|A| = ad-bc $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ s \, $ dan $ r $
$\begin{align} Q-P & =R^{-1} \\ \left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} s+r & 2 \\ 3 & r \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right]^{-1} \\ \left[ \begin{matrix} 2-s-r & -3 \\ -2 & 4-r \end{matrix} \right] & = \frac{1}{7.1-3.2} \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -2 & 7 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} 2-s-r & -3 \\ -2 & 4-r \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -2 & 7 \end{matrix} \right] \end{align} $
diperoleh :
$ 4-r = 7 \rightarrow r = -3 $
$ 2-s-r = 1 \rightarrow 2-s-(-3) = 1 \rightarrow s = 4 $
sehingga nilai $ s^2.r = 4^2.(-3) = 16.(-3) = -48 $
Jadi, nilai $ s^2r = -48. \heartsuit $
Nomor 15
Himpunan {3,6,9,10} diperbesar dengan menambahkan 1 elemen yang berbeda dari 4 bilangan yang ada. Median dan rata-rata pada himpunan yang dihasilkan bernilai sama. Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari jumlah semua kemungkinan bilangan yang dapat menjadi elemen tambahan pada himpunan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Misal bilangan yang ditambahkan adalah $ a \, $ dan median barunya adalah $ k \, $ , sehingga himpunan barunya menjadi $ \{3,6,9,10,a\} $
$\begin{align} \text{Rata - rata baru } & = \text{ Median baru} \\ \frac{3+6+9+10+a}{5} & = k \\ \frac{28+a}{5} & = k \\ a & = 5k -28 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Agar memperbesar himpunan awal, maka nilai $ a \, $ harus positif
$ a > 0 \rightarrow 5k -28 > 0 \rightarrow k > \frac{28}{5} \rightarrow k > 5,6 \, $ ....pert(i)
$\spadesuit \, $ Dari himpunan $ \{ 3,6,9,10,a\} \, $ , maka median terbesarnya adalah 9 ($k\leq 9$)
Dari $ k > 5,6 \, $ dan $ k \leq 9 \, $ maka diperoleh $ 5,6 < k \leq 9 \, $ dan bilangan bulat $ k \, $ yang memenuhi adalah $ k = \{ 6,7,8,9\} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan himpunannya berdasarkan nilai $ k \, $ dengan $ a = 5k-28 $
i). $ k = 6 \rightarrow a = 5.6 -28 =30-28 = 2 $
himpunannya : $ \{ 2,3,6,9,10\} $
ii). $ k = 7 \rightarrow a = 5.7 -28 = 35-28 = 7 $
himpunannya : $ \{ 3,6,7,9,10\} $
iii). $ k = 8 \rightarrow a = 5.8 -28 = 40 - 28 = 12 $
himpunannya : $ \{ 3,6,9,10, 12\} \rightarrow \, $ median = 9
tidak memenuhi karena mediannya harus 8
iv). $ k = 9 \rightarrow a = 5.9 -28 = 45 - 28 = 17 $
himpunannya : $ \{ 3,6,9,10,17\} $
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah nilai $ a \, $ dan bilangan prima
Nilai $ a \, $ yang memenuhi $ a = \{2,7,17\} \, $ dengan jumlah = 2 + 7 + 17 = 26
Sehingga bilangan prima yang kurang dari jumlah semua nilai $ a \, $ yaitu kurang dari 26 adalah $ \{ 2,3,5,7,11,13,17,19,23\} \, \, \, \, \, \, \, $ sebanyak 9 bilangan.
Jadi, ada 9 bilangan prima yang memenuhi. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar KD2 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jumlah kuadrat tiga bilangan positif adalah 100. Salah satu bilangan adalah jumlah dari dua bilangan lainnya. Selisih antara dua bilangan terkecil adalah 3. Selisih dari pangkat tiga dua bilangan terkecil adalah ...
$\spadesuit \, $ Misal ketiga bilangan dari besar ke kecil : $a, \, b, \, c $
$\spadesuit \, $ Jumlah kuadrat tiga bilangan
$ a^2 + b^2 + c^2 = 100 \, $ .....pers(i)
$\spadesuit \, $ Salah satu bilangan adalah jumlah dari dua bilangan lainnya
$ a = b+c \, $ .....pers(ii)
$\spadesuit \, $ Selisih dua bilangan terkecil = 3
$ b-c = 3 \, $ .....pers(iii)
$\spadesuit \, $ Kuadratkan pers(ii) dan pers(iii) lalu dijumlahkan
pers(ii): $b+c=a \rightarrow (a+b)^2 =a^2 \rightarrow a^2+b^2+2bc=a^2 \, $ ....(1)
pers(iii): $ b-c = 3 \rightarrow (b-c)^2 = 3^2 \rightarrow b^2+c^2-2bc=9 \, $ ....(2)
Jumlahkan (1) dan (2)
$\begin{array}{cc} a^2+b^2+2bc=a^2 & \\ b^2+c^2-2bc=9 & + \\ \hline 2(b^2+c^2) = a^2 + 9 & \\ b^2 + c^2 = \frac{a^2+9}{2} & ...(iv) \end{array} $
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(iv) ke pers(i)
$\begin{align} a^2 + b^2 + c^2 & = 100 \\ a^2 + \frac{a^2+9}{2} & = 100 \\ 3a^2 & = 191 \\ a^2 & = \frac{191}{3} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ a^2 = \frac{191}{3} \, $ ke pers(i)
$\begin{align} a^2 + b^2 + c^2 & = 100 \\ \frac{191}{3} + b^2 + c^2 & = 100 \\ b^2 + c^2 & = 100 - \frac{191}{3} = \frac{109}{3} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ b^2 + c^2 = \frac{109}{3} \, $ ke pers(2)
$\begin{align} b^2+c^2-2bc & =9 \\ \frac{109}{3}-2bc & =9 \\ bc & = \frac{41}{3} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal yang ditanyakan
$\begin{align} b^3-c^3 & = (b-c)(b+2+c^2 +bc) \\ & = 3.(\frac{109}{3} + \frac{41}{3} ) \\ & = 3.(\frac{150}{3} \\ b^3-c^3 & = 150 \end{align}$
Jadi, nilai $ b^3-c^3 = 150. \heartsuit $
Nomor 7
Misalkan $A=\{ x|2a+1 \leq x \leq 3a-5 \} \, $ dan $B=\{ x|3 \leq x \leq 22 \} \, $. Himpunan nilai-nilai $-a+2$ yang memenuhi kondisi $A \neq \emptyset $ dan $A \subseteq \{ A \cap B \} $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menentukan batas $ a \, $ dari himpunan $ A \, $ agar ketaksamaan terpenuhi
$A=\{ x|2a+1 \leq x \leq 3a-5 \} $
$ 2a+1 \leq 3a-5 \rightarrow 1 + 5 \leq 3a-2a \rightarrow 6 \leq a \, \, \, \, \, \, \, $ atau $ a \geq 6 \, $ ....(HP1)
$\clubsuit \, $ Agar $ A \subseteq \{ A \cap B \}, \, $ maka haruslah terpenuhi $ A \subseteq B \, $ artinya himpunan $ A \, $ semuanya ada di dalam himpunan $ B $.
Agar himpunan $ A \, $ selalu ada didalam himpunan $ B, \, $ maka batas-batas himpunan $ A \, $ ada pada rentang himpunan $ B $ .
$\begin{align} B & =\{ x|3 \leq x \leq 22 \} \\ A & =\{ x|2a+1 \leq x \leq 3a-5 \} \\ 3 & \leq 2a+1 \, \text{ dan } \, 3a -5 \leq 22 \end{align}$
*). $ 2a+1 \geq 3 \rightarrow 2a \geq 2 \rightarrow a \geq 1 \, $ ....(i)
*). $ 3a-5 \leq 22 \rightarrow 3a \leq 27 \rightarrow a \leq 9 \, $ ....(ii)
Dari (i) dan (ii) yang memenuhi syarat keduanya adalah HP2 = $\{ 1 \leq a \leq 9 \} $
Sehingga solusi totalnya :
HP = HP1 $ \cap \, $ HP2 = $ \{ 6 \leq a \leq 9 \} $
$\clubsuit \, $ Menentukan interval $ -a + 2 \, $ dengan memodifikasi solusi totalnya
$\begin{align} \{ 6 \leq & a \leq 9 \} \, \, \text{( kali -1, tanda dibalik)} \\ -6 \geq & -a \geq -9 \, \, \text{(atau)} \\ -9 \leq & -a \leq -6 \, \, \text{(tambahkan 2)} \\ -9+2 \leq -a & +2 \leq -6 + 2 \\ -7 \leq -a & +2 \leq -4 \end{align}$
Jadi, interval $ -a + 2 \, $ adalah $ -7 \leq -a +2 \leq -4 . \heartsuit$
Nomor 8
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x+1} \geq \sqrt{x-5} +1 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Syarat dalam akar : $ \sqrt{x+1} \geq \sqrt{x-5} +1 $
$ x+1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 $
$ x-5 \geq 0 \rightarrow x \geq 5 $
yang memenuhi kedua syarat adalah HP1 = $ \{ x \geq 5 \} $
$\spadesuit \, $ Kuadratkan pertidaksamaan
$\begin{align} (\sqrt{x+1})^2 & \geq (\sqrt{x-5} +1)^2 \\ x+1 & \geq x-5 + 1 + 2\sqrt{x-5} \\ 5 & \geq 2\sqrt{x-5} \, \, \text{(kuadratkan lagi)} \\ 25 & \geq 4(x-5) \, \, \text{(atau)} \\ 4(x-5) & \leq 25 \\ x-5 & \leq \frac{25}{4} \\ x & \leq \frac{25}{4} + 5 \\ x & \leq 11,25 \, \, \text{....(HP2)} \end{align}$
Sehingga solusinya : HP = HP1 $\cap $ HP2 = $ \{ 5 \leq x \leq 11,25 \} $
Jadi, solusi bulatnya ada 7 bilangan yaitu $ \{ 5,6,7,8,9,10,11 \} . \heartsuit$
Nomor 9
Diberikan barisan aritmatika $a_1, a_2, ... , a_{16} $ dengan $a_7+a_9=a_{16}$. Banyaknya barisan geometri tiga suku $\{ a_i, a_j, a_k \} $ dengan $1 \leq i \leq j \leq k \leq 16 $ yang terdiri dari suku-suku barisan aritmatika tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan suku pertama $ a \, $ dan bedanya $ b $
Rumus dasar barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b \, $
untuk kasus soal ini, $ u_n \, $ sama dengan $ a_n \, $
sehingga $ a_n = u_n = a+(n-1)b $
$\clubsuit \, $ Menentukan hubungan $ a \, $ dan $ b $
$\begin{align} a_7+a_9 & =a_{16} \\ [a+(7-1)b]+[a+(9-1)b] & = a+(16-1)b \\ (a+6b) + (a+8b) & = a + 15b \\ 2a+14b & = a + 15b \\ a & = b \end{align}$
sehingga nilai $ a = b $
$\clubsuit \, $ Menentukan barisannya, substitusi $ b = a \, $ dan $ a_n = a+(n-1)b $
$ a_1 = a , \, a_2 = a+b = a+a = 2a, \, a_3 = a+2b = a+2a = 3a $
$ a_4 = a+3b = a+3a = 4a, \, a_5 = a+4b = a+4a = 5a , \, \, \, \, $ dst ...
$ a_{15} = a+14b=a+14a=15a, \, $ dan $ a_{16} = a+15b = a+15a = 16a $
Sehingga barisan aritmetikanya : $ a , \, 2a , \, 3a , \, 4a , \, 5a , \, 6a , \, ... \, , 16a $
$\clubsuit \, $ Barisan geometri yang terdiri dari tiga suku yang diambil dari barisan aritmetika di atas
i). rasionya 2 atau $ \frac{1}{2} $
($a,\, 2a, \, 4a$ ), ($ 4a, \, 2a, \, a $ ), ($2a, \, 4a, \, 8a$), ($8a, \, 4a, \, 2a$), ($4a, \, 8a, \, 16a$), ($16a, \, 8a, \, 4a$) . Ada 6 barisan .
ii). rasionya 3 atau $ \frac{1}{3} $
($a, \, 3a, \, 9a$), dan ($9a, \, 3a, \, a$) . Ada 2 barisan .
iii). rasionya 4 atau $ \frac{1}{4} $
($a, \, 4a, \, 16a$), dan ($16a, \, 4a, \, a$) . Ada 2 barisan .
iv). rasionya $\frac{3}{2} \, $ atau $ \frac{2}{3} $
($4a, \, 6a, \, 9a$), dan ($9a, \, 6a, \, 4a$) . Ada 2 barisan .
Tidak ada lagi barisan geometri dengan rasio lain selain di atas.
Catatan : nilai $ a \, $ pada barisan di atas tidak diganti oleh angka tertentu, karena jika nilai $ a \, $ disubstitusi dengan angka tertentu maka akan ada tak hingga banyaknya barisan yang akan terbentuk.
Jadi, totalnya ada 12 barisan . $ \heartsuit $
Nomor 10
Agar titik $(x,y)=(1,2)$ berada dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier $y \leq 4+x , y \geq -x , y \leq a-2x $ , maka bilangan bulat terkecil $a$ yang memenuhi adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep dasar Program linier :
Suatu titik akan berada dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan yang ada (maksudnya jika titik disubstitusi ke pertidaksamaan, maka pertidaksamaan terpenuhi).
Karena titik $ (x,y) = (1,2) \, $ berada dalam daerah penyelesaian, maka titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan. Mari kita cek :
$\begin{align} (x,y)=(1,2) \rightarrow y & \leq 4+x \\ 2 & \leq 4+1 \\ 2 & \leq 5 \, \, \, \text{(benar)} \end{align}$
$\begin{align} (x,y)=(1,2) \rightarrow y & \geq -x \\ 2 & \geq -1 \, \, \, \text{(benar)} \end{align}$
Titik $ (x,y) = (1,2) \, $ juga harus memenuhi pertidaksamaan $ y \leq a-2x $
$\begin{align} (x,y)=(1,2) \rightarrow y & \leq a-2x \\ 2 & \leq a-2.1 \\ 2 & \leq a-2 \\ 4 & \leq a \, \, \, \text{ atau } \, \, a \geq 4 \end{align}$
sehingga diperoleh nilai $ a \geq 4 \, $ , artinya nilai terkecil $ a \, $ adalah 4.
Jadi, nilai terkecil $ a \, $ adalah $ a = 4. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20