Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} . {}^3 \log \sqrt{a} = a - 2 $ , maka $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -3 \, $ E). $ -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} \, {}^a \log b $
$ {}^{a } \log b^n = n \, {}^a \log b $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
*). Sifat eksponen :
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 3^a = p > 0 $
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} . {}^3 \log \sqrt{a} & = a - 2 \\ {}^3 \log \sqrt{a} . {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} & = a - 2 \\ {}^3 \log a^\frac{1}{2} . {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} & = a - 2 \\ \frac{1}{2} \, {}^3 \log a . \frac{-4}{2} \, {}^{a} \log (3^a - 8) & = a - 2 \\ \frac{1}{2} . \frac{-4}{2} \, {}^3 \log a . {}^{a} \log (3^a - 8) & = a - 2 \\ (-1) \, {}^3 \log (3^a - 8) & = a - 2 \\ {}^3 \log (3^a - 8) & = -(a - 2) \\ {}^3 \log (3^a - 8) & = 2 - a \\ 3^a - 8 & = 3^{2 - a} \\ 3^a - 8 & = \frac{3^2}{3^a} \\ p - 8 & = \frac{9}{p} \\ p^2 - 8p & = 9 \\ p^2 - 8p - 9 & = 0 \\ (p +1)(p-9) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 9 \end{align} $
Yang memenuhi $ p = 9 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} p & = 9 \\ 3^a & = 3^2 \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) $ :
$\begin{align} {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) & = {}^2 \log \left( \frac{1}{2^3} \right) \\ & = {}^2 \log \left( 2^{-3} \right) \\ & = (-3) \, {}^2 \log 2 \\ & = -3 . 1 = -3 \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan real $ a > 0 $ dan $ a \neq 1 $. Jika $ {}^a \log y $ , $ {}^a \log (y+1) $ , $ {}^a \log (3y+1) $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, maka kuadrat nilai-nilai $ y $ yang mungkin adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika yaitu selisih sama.
Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
Berlaku : $ u_2-u_1=u_3-u_2=u_4-u_3=.... $
*). Bentuk $ {}^a \log b $ syaratnya $ a > 0, b > 0, a \neq 1 $.
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui Jika $ {}^a \log y $ , $ {}^a \log (y+1) $ , $ {}^a \log (3y+1) $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, artinya $ u_1 = {}^a \log y $ , $ u_2 = {}^a \log (y+1) $ , dan $ u_3 = {}^a \log (3y+1) $. Sesuai syarat logaritma, maka $ y > 0 $.
*). Menentukan nilai $ y $ dengan ciri-ciri aritmetika :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ {}^a \log (y+1) - {}^a \log y & = {}^a \log (3y+1) - {}^a \log (y+1) \\ {}^a \log \frac{y+1}{y} & = {}^a \log \frac{3y+1}{y+1} \\ \frac{y+1}{y} & = \frac{3y+1}{y+1} \\ y(3y+1) & = (y+1)^2 \\ 3y^2 + y & = y^2 + 2y + 1 \\ 2y^2 - y - 1 & = 0 \\ (2y +1)(y-1) & = 0 \\ y = -\frac{1}{2} \vee y & = 1 \end{align} $
Karena $ y > 0 $ , maka $ y = 1 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ y^2 $ :
$\begin{align} y^2 & = 1^2 = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ y^2 = 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ , maka nilai minimum dari $ \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $ tercapai saat $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{\pi}{12} \, $ C). $ -\frac{\pi}{9} \, $ D). $ -\frac{\pi}{8} \, $ E). $ -\frac{\pi}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum atau maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
Jika ada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka batas intervalnya juga bisa menjadi kandidat menyebabkan fungsi $ y=f(x) $ maksimum atau minimum ($ x = a $ dan $ x = b $ juga dicek nilainya ke fungsi $ y = f(x) $).
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \csc g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . (-\csc g(x) . \cot g(x)) $
*). Rumus trigonometri dasar :
$ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
$ \cot A = \tan (90^\circ - A) \, $ dan $ \tan A = \cot (90^\circ - A) $
$ \tan (A-B) = -\tan (B-A) $
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
$ \sin 2A = 2\sin A . \cos A $
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $
*). Penyelesaian persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
(i). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $ dan
(i). $ f(x) = -\theta + k.360^\circ $
Nilai $ \pi = 180^\circ $ dan $ k $ bilangan bulat

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ y = \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $
atau $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
pada interval $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ atau ditulis $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Mengubah bentuk fungsinya dan turunannya :
$\begin{align} y & = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) \\ y & = \tan [90^\circ - ( x+ 60^\circ )] - \cot [90^\circ - (120^\circ - x )] \\ y & = \tan (30^\circ - x) - \cot (x - 30^\circ) \\ y & = -\tan (x - 30^\circ ) - \cot (x - 30^\circ) \\ y & = -\frac{\sin (x - 30^\circ )}{\cos (x - 30^\circ )} - \frac{\cos (x - 30^\circ )}{\sin (x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-\sin ^2 (x - 30^\circ ) - \cos ^2 (x - 30^\circ )}{\sin (x - 30^\circ ). \cos (x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-[\sin ^2 (x - 30^\circ ) + \cos ^2 (x - 30^\circ )]}{\frac{1}{2} . \sin 2(x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-2}{\sin (2x - 60^\circ )} = -2\csc (2x - 60^\circ ) \\ y^\prime & = (-2). (2). (-\csc (2x - 60^\circ ) . \cot (2x - 60^\circ )) \\ & = 4. \frac{1}{\sin (2x - 60^\circ )} . \frac{\cos (2x - 60^\circ ) }{\sin (2x - 60^\circ )} \\ & = \frac{4 \cos (2x - 60^\circ ) }{\sin ^2 (2x - 60^\circ )} \end{align} $
*). Syarat $ y^\prime = 0 $
$ \begin{align} y^\prime & = 0 \\ \frac{4 \cos (2x - 60^\circ ) }{\sin ^2 (2x - 60^\circ )} & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ \end{align} $
*). Penyelesaian dari $ \cos (2x - 60^\circ ) = \cos 90^\circ $ :
Artinya $ f(x) = (2x - 60^\circ ) $ dan $ \theta = 90^\circ $
(i). $ f(x) = \theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k . 360^\circ \\ x & = 75^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -115^\circ , 75^\circ , ... \} $
Tidak ada yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
(ii). $ f(x) = -\theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = -\cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = -30^\circ + k . 360^\circ \\ x & = -15^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -195^\circ , -15^\circ , 175^\circ , ... \} $
hanya $ x = -15^\circ $ yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Kita Uji nilai $ x = -15^\circ $ dan batas interval yaitu $ x = -30^\circ $ dan $ x = 0^\circ $ ke fungsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
$\begin{align} x = -30^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -30^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-30^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 30^\circ \right)- \tan \left(150^\circ \right) \\ & = \sqrt{3}- \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \\ x = -15^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -15^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-15^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 45^\circ \right)- \tan \left(135^\circ \right) \\ & = 1- \left( -1 \right) \\ & = 2 \\ x = 0^\circ \rightarrow y & = \cot \left( 0^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (0^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ \right) \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{3}- \left( -\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
FUngsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $ nilainya minimum saat $ x = -15^\circ $.
Jadi, minimum untuk $ x = -15^\circ = -\frac{\pi}{12} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ , maka nilai minimum dari $ \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $ tercapai saat $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{\pi}{12} \, $ C). $ -\frac{\pi}{9} \, $ D). $ -\frac{\pi}{8} \, $ E). $ -\frac{\pi}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum atau maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
Jika ada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka batas intervalnya juga bisa menjadi kandidat menyebabkan fungsi $ y=f(x) $ maksimum atau minimum ($ x = a $ dan $ x = b $ juga dicek nilainya ke fungsi $ y = f(x) $).
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . (-\csc ^2 g(x)) $
$ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec ^2 g(x) $
*). Rumus trigonometri dasar :
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
$ \cos A = \sin (90^\circ - A) \, $ dan $ \sin A = \cos (90^\circ - A) $
$ \cos (-A) = \cos A $
$ \cos ^2 A - \sin ^2 A = \cos 2A $
*). Penyelesaian persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
(i). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $ dan
(i). $ f(x) = -\theta + k.360^\circ $
Nilai $ \pi = 180^\circ $ dan $ k $ bilangan bulat

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ y = \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $
atau $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
pada interval $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ atau ditulis $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} y & = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) \\ y^\prime & = -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right)- (-1).\sec ^2 \left(120^\circ - x \right) \\ y^\prime & = -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right) + sec ^2 \left(120^\circ - x \right) \\ \end{align} $
*). Syarat : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right) + sec ^2 \left(120^\circ - x \right) & = 0 \\ \frac{-1}{\sin ^2 (x+60^\circ) } + \frac{1}{\cos ^2 (120^\circ - x )} & = 0 \\ \frac{1}{\sin ^2 (x+60^\circ) } & = \frac{1}{\cos ^2 (120^\circ - x )} \\ \sin ^2 (x+60^\circ) & = \cos ^2 (120^\circ - x ) \\ \cos ^2[ 90^\circ - (x+60^\circ) ] & = \sin ^2 [90^\circ - (120^\circ - x )] \\ \cos ^2 (30^\circ - x) & = \sin ^2 (x - 30^\circ ) \\ \cos ^2 (x - 30^\circ ) & = \sin ^2 (x - 30^\circ ) \\ \cos ^2 (x - 30^\circ ) - \sin ^2 (x - 30^\circ ) & = 0 \\ \cos 2 (x - 30^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ \end{align} $
*). Penyelesaian dari $ \cos (2x - 60^\circ ) = \cos 90^\circ $ :
Artinya $ f(x) = (2x - 60^\circ ) $ dan $ \theta = 90^\circ $
(i). $ f(x) = \theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k . 360^\circ \\ x & = 75^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -115^\circ , 75^\circ , ... \} $
Tidak ada yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
(ii). $ f(x) = -\theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = -\cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = -30^\circ + k . 360^\circ \\ x & = -15^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -195^\circ , -15^\circ , 175^\circ , ... \} $
hanya $ x = -15^\circ $ yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Kita Uji nilai $ x = -15^\circ $ dan batas interval yaitu $ x = -30^\circ $ dan $ x = 0^\circ $ ke fungsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
$\begin{align} x = -30^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -30^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-30^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 30^\circ \right)- \tan \left(150^\circ \right) \\ & = \sqrt{3}- \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \\ x = -15^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -15^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-15^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 45^\circ \right)- \tan \left(135^\circ \right) \\ & = 1- \left( -1 \right) \\ & = 2 \\ x = 0^\circ \rightarrow y & = \cot \left( 0^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (0^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ \right) \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{3}- \left( -\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
FUngsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $ nilainya minimum saat $ x = -15^\circ $.
Jadi, minimum untuk $ x = -15^\circ = -\frac{\pi}{12} . \, \heartsuit $