Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2003 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Akar - akar persamaan $ x^2 - 10x = - \frac{1}{4} \, \, $ adalah $\alpha \, $ dan $\beta \, $ , maka $\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = .... $
$\spadesuit \, $ Operasi akar - akar
$\alpha + \beta = \frac{-b}{a} = \frac{-(-10)}{1} = 10 $
$\alpha . \beta = \frac{c}{a} = \frac{\frac{1}{4}}{1} = \frac{1}{4} $
$\spadesuit \, $ Soal dikuadratkan
$\begin{align} (\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^2 & = (\alpha + \beta) + 2\sqrt{\alpha . \beta} \\ & = (10) + 2\sqrt{\frac{1}{4} } \\ & = (10) + 2.\frac{1}{2} \\ & = 10 + 1 \\ (\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^2 & = 11 \\ \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} & = \sqrt{11} \end{align}$
Jadi, nilai $ \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = \sqrt{11} . \heartsuit $
Nomor 22
Jika $ y = \left| \begin{matrix} x^2-1 & 2 \\ 4x & x+3 \end{matrix} \right| \, \, $ maka nilai minimum $y \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad-bc $
$\begin{align} y & = \left| \begin{matrix} x^2-1 & 2 \\ 4x & x+3 \end{matrix} \right| \\ y & = (x^2-1).(x+3) - 8x \\ y & = x^3 + 3x^2 -9x - 3 \\ y^\prime & = 3x^2 + 6x - 9 \, \, \text{(turunannya)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Nilai maks/min : $ y^\prime = 0 \, \, $ (turunan = 0)
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 3x^2 + 6x - 9 & = 0 \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 + 2x - 3 & = 0 \\ (x-1)(x+3) & = 0 \\ x=1 & \vee x =-3 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $x \, $ ke $\, y = x^3 + 3x^2 -9x - 3 $
$ x = 1 \rightarrow y = 1^3 + 3.1^2 -9.1 - 3 = -8 $
$ x = -3 \rightarrow y = (-3)^3 + 3.(-3)^2 -9.(-3) - 3 = 24 $
Jadi, nilai minimumnya adalah -8 . $ \heartsuit $
Nomor 23
$\sqrt{\frac{3}{9^p}\sqrt{\frac{9^p}{3}}} = 27, \, \, $ nilai $ p = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat eksponen :
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \, a^m.a^n=a^{m+n}, \, (a^m)^n = a^{m.n} $
$a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \, p $
$\begin{align} \sqrt{\frac{3}{9^p}\sqrt{\frac{9^p}{3}}} & = 27 \leftrightarrow \left[ \frac{3}{9^p} . \left( \frac{9^p}{3} \right)^\frac{1}{2} \right]^\frac{1}{2} = 3^3 \\ \left[ \left( \frac{9^p}{3} \right)^{-1} . \left( \frac{9^p}{3} \right)^\frac{1}{2} \right]^\frac{1}{2} & = 3^3 \leftrightarrow \left[ \left( \frac{9^p}{3} \right)^{-1+ \frac{1}{2} } \right]^\frac{1}{2} = 3^3 \\ \left[ \left( \frac{9^p}{3} \right)^{-\frac{1}{2} } \right]^\frac{1}{2} & = 3^3 \leftrightarrow \left( \frac{9^p}{3} \right)^{-\frac{1}{4} } = 3^3 \\ \left( \frac{3^{2p}}{3^1} \right)^{-\frac{1}{4} } & = 3^3 \leftrightarrow \left( 3^{2p-1} \right)^{-\frac{1}{4} } = 3^3 \\ 3^\frac{-(2p-1)}{4} & = 3^3 \leftrightarrow \frac{-(2p-1)}{4} = 3 \\ 1-2p & = 12 \leftrightarrow p = \frac{-11}{2} \leftrightarrow p = -5\frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ p = -5\frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 24
Diketahui $\tan x = 2,4 \, \, $ dengan $x \, \, $ dalam selang $\left[ \pi , \, \frac{3\pi}{2} \right] \, $ , maka $ \cos x = .... $
$\clubsuit \,$ Menyederhanakan nilai tan
$\tan x = 2,4=\frac{24}{10} = \frac{12}{5} = \frac{de}{sa}$
spmb_matdas_10_2003.png
karena $x \, $ ada di kuadran III, maka nilai cos negatif.
sehingga : $\cos x = -\frac{5}{13} $
Jadi, nilai $ \cos x = -\frac{5}{13} . \heartsuit $
Nomor 25
Nilai maksimum $f(x,y) = 3x+4y \, $ di daerah yang diarsir adalah ....
spmb_matdas_2_2003.png
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan garis
garis I : melalui titik (0,1) dan (3,0)
persamaannya : $x+3y=3$
garis II : melalui titik (0,2) dan (1,0)
persamaannya : $2x+y=2$
Eliminasi pers(I) dan pers(II)
$\begin{array}{c|c|cc} x+3y=3 & \times 2 & 2x + 6y = 6 & \\ 2x+y=2 & \times 1 & 2x+y=2 & - \\ \hline & & 5y = 4 \rightarrow y = \frac{4}{5} \end{array}$
pers(I) : $x+3y=3 \rightarrow x+3.\frac{4}{5} = 3 \rightarrow x=\frac{3}{5} $
sehingga titik B $(\frac{3}{5}, \, \frac{4}{5})$
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke $f(x,y) = 3x+4y $
A(0,1) $\rightarrow f = 3.0 + 4.1 = 4 $
B$(\frac{3}{5}, \, \frac{4}{5})$ $\rightarrow f = 3.\frac{3}{5} + 4.\frac{4}{5} = 5 $
A(1,0) $\rightarrow f = 3.1 + 4.0 = 3 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 5. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan garis
garis I : melalui titik (0,1) dan (3,0)
persamaannya : $x+3y=3$
garis II : melalui titik (0,2) dan (1,0)
persamaannya : $2x+y=2$
$\spadesuit \, $ Kedua persamaan langsung dijumlahkan
$\begin{array}{cc} x+3y \leq 3 \\ 2x+y \leq 2 & + \\ \hline 3x + 4y \leq 5 & \end{array}$
artinya nilai maksimum dari $3x + 4y \, $ adalah 5.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 5. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2003 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Simpangan kuartil dari data : 16 15 15 19 20 22 16 17 25 29 32 29 32 adalah ....
$\spadesuit \, $ Data diurutkan :
spmb_matdas_9_2003.png
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai kuartil
$Q_1 = \frac{16+16}{2} = 16 $
$Q_3 = \frac{29+29}{2} = 29 $
$\spadesuit \, $ Menentukan simpangan kuartil
$S_k = \frac{1}{2}(Q_3-Q_1) = \frac{1}{2}(29-16)=\frac{1}{2}.13 = 6,5 $
Jadi, simpangan kuartilnya adalah 6,5 . $\heartsuit $
Nomor 17
Jumlah 6 suku pertama deret aritmetika adalah 24. Sedangkan jumlah 10 suku pertamanya adalah 100. Suku ke-21 adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan dan deret aritmetika :
$U_n = a + (n-1)b \, \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $a \, $ dan $ \, b $
$S_6 = 24 \rightarrow \frac{6}{2}(2a+(6-1)b) = 24 \rightarrow 2a+5b=8 \, \, $ ...pers(i)
$S_{10} = 100 \rightarrow \frac{10}{2}(2a+(10-1)b) = 100 \rightarrow 2a+9b=20 \, \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 2a+9b=20 & \\ 2a+5b=8 & - \\ \hline 4b = 12 \rightarrow b=3 & \end{array} $
pers(i) : $ 2a+5b=8 \rightarrow 2a + 5. 3 = 8 \rightarrow a = -\frac{7}{2} $
sehingga :
$U_{21} = a+ 20b = -\frac{7}{2} + 20 . 3 = -\frac{7}{2} + 60 = 56\frac{1}{2} $
Jadi, nilai suku ke-21 adalah $ 56\frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 18
Jumlah 10 suku pertama deret : $ {}^a \log \frac{1}{x} + {}^a \log \frac{1}{x^2} + {}^a \log \frac{1}{x^3} + .... \, \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Deret aritmetika : $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $U_1 \, $ dan beda
$ {}^a \log \frac{1}{x} + {}^a \log \frac{1}{x^2} + {}^a \log \frac{1}{x^3} + .... \, \, $
$U_1 = {}^a \log \frac{1}{x} $
$b = U_2-U_1 = {}^a \log \frac{1}{x^2} - {}^a \log \frac{1}{x} = {}^a \log \left( \frac{1}{x} : \frac{1}{x^2} \right) = {}^a \log \frac{1}{x} $
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah 10 suku pertama
$\begin{align} S_{10} & = \frac{10}{2}(2. {}^a \log \frac{1}{x} +9. {}^a \log \frac{1}{x} ) \\ & = 5. \left( 11. {}^a \log \frac{1}{x} \right) \\ & = 55. {}^a \log \frac{1}{x} \\ & = 55{}^a \log (x^{-1}) \\ & = 55. (-1). {}^a \log x \\ S_{10} & = -55 {}^a \log x \end{align}$
Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah $ -55 {}^a \log x . \heartsuit $
Nomor 19
Kelas A terdiri atas 35 orang murid, sedangkan kelas B terdiri 40 orang murid. Nilai statistika rataa - rata kelas B adalah 5 lebih baik dari nilai rata - rata kelas A. Apabila nilai rata - rata kelas A dan B adalah 57$\frac{2}{3} \, $ , maka nilai rata - rata kelas A adalah .....
$\clubsuit \,$ Misalkan, rata - rata A adalah $a \, $ dan rata - rata B adalah $\, b$
Rata - rata B 5 lebih baik dari A :
$\overline{x}_B = 5 + \overline{x}_A \rightarrow b = 5 + a \, \, $ ...pers(i)
Rata - rata gabungan A dan B
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_A.\overline{x}_A + n_B.\overline{x}_B}{n_A + n_B} \\ 57\frac{2}{3} & = \frac{35a + 40b}{35+40} \\ 35a+40b & = 75 \times \frac{173}{3} \\ 7a + 8b & = 865 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$7a + 8b = 865 \rightarrow7a + 8.(5 + a) = 865 \rightarrow a = 55 $
Jadi, rata - rata kelas A adalah 55. $ \heartsuit $
Nomor 20
Untuk $x \, $ dan $y \, $ yang memenuhi sistem persamaan :
$\left\{ \begin{array}{c} 3^{x-2y+1} = 9^{x-2y} \\ 4^{x-y+2} = 32^{x-2y+1} \end{array} \right. $
Maka nilai $x.y= .... $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan persamaan
$\begin{align} \text{pers(1) :} \, \, 3^{x-2y+1} & = 9^{x-2y} \\ 3^{x-2y+1} & = (3^2)^{x-2y} \\ 3^{x-2y+1} & = (3)^{2x-4y} \\ x-2y+1 & = 2x-4y \\ -x+ 2y & = -1 \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$ $\begin{align} \text{pers(2) :} \, \, 4^{x-y+2} & = 32^{x-2y+1} \\ (2^2)^{x-y+2} & = (2^5)^{x-2y+1} \\ (2)^{2x-2y+4} & = (2)^{5x-10y+5} \\ 2x-2y+4 & = 5x-10y+5 \\ 3x-8y & = -1 \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} -x+ 2y = -1 & \times 3 & -3x+6y = -3 & \\ 3x- 8y = -1 & \times 1 & 3x- 8y = -1 & + \\ \hline & & -2y = -4 \rightarrow y = 2 & \end{array} $
pers(i) : $ -x+ 2y = -1 \rightarrow -x+ 2.2 = -1 \rightarrow x = 5 $
sehingga : nilai $ x.y = 5.2 = 10 $
Jadi, nilai $ x.y = 10 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25