Pembahasan Integral Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \int \limits_{-2}^0 \left( \cos ( -\pi kx) + \frac{6x^2 - 10x + 7}{k+2} \right) dx = (k-2)(k+7) $ untuk nilai $ k $ bilangan bulat, maka $ k + 5 = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus integral :
$ \int ax^n \, dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
$ \int \cos ax \, dx = \frac{1}{a} \sin ax + c $
*). Sifat integral tentu :
$ \int \limits_a^b ( f(x) + g(x)) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx $
*). untuk $ k $ bilangan bulat, maka $ \sin ( 2\pi k ) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} \int \limits_{-2}^0 \left( \cos ( -\pi kx) + \frac{6x^2 - 10x + 7}{k+2} \right) dx & = (k-2)(k+7) \\ \int \limits_{-2}^0 \cos ( -\pi kx) dx + \int \limits_{-2}^0 \, \frac{6x^2 - 10x + 7}{k+2} dx & = (k-2)(k+7) \\ \int \limits_{-2}^0 \cos ( -\pi kx) dx + \frac{1}{k+2} \int \limits_{-2}^0 \, 6x^2 - 10x + 7 dx & = (k-2)(k+7) \\ \frac{1}{-\pi k} [\sin ( -\pi kx) ]_{-2}^0 + \frac{1}{k+2} [ 2x^3 - 5x^2 + 7x ]_{-2}^0 & = (k-2)(k+7) \\ \frac{1}{-\pi k} [0 - 0 ] + \frac{1}{k+2} [50 ] & = (k-2)(k+7) \\ 0 + \frac{50}{k+2} & = (k-2)(k+7) \\ \frac{50}{k+2} & = (k-2)(k+7) \\ (k+2)(k-2)(k+7) & = 50 \\ \end{align} $
terpenuhi untuk $ k = 3 $
Sehingga nilai $ k + 5 = 3 + 5 = 8 $
Jadi, nilai $ k + 5 = 8. \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Limit Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{ x^2 - 16} = ... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{128} \, $ C). $ \frac{1}{256} \, $ D). $ \frac{1}{512} \, $ E). $ \frac{1}{1024} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan turunan pada limit bentuk tak tentu :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
(pembilang dan penyebut masing-masing diturunkan).
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limit dengan turunan :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{ x^2 - 16} \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{ \frac{3}{2\sqrt{x}} }{2\sqrt{3\sqrt{x}-2}} }{ 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{ 3 }{4\sqrt{x}\sqrt{3\sqrt{x}-2}} }{ 2x} \\ & = \frac{\frac{1}{2\sqrt{4}} - \frac{ 3 }{4\sqrt{4}\sqrt{3\sqrt{4}-2}} }{ 2.4} \\ & = \frac{\frac{1}{2.2} - \frac{ 3 }{4.2\sqrt{3.2-2}} }{ 8 } \\ & = \frac{\frac{1}{4} - \frac{ 3 }{8\sqrt{4}} }{ 8 } \\ & = \frac{\frac{1}{4} - \frac{ 3 }{16} }{ 8 } \times \frac{16}{16} \\ & = \frac{4 - 3 }{ 128 } = \frac{1}{128} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{128} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Limit Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{ x^2 - 16} = ... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{128} \, $ C). $ \frac{1}{256} \, $ D). $ \frac{1}{512} \, $ E). $ \frac{1}{1024} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu, bisa dengan merasionalkan.
*). Limit bentuk tak tentu adalah limit yang hasilnya $ \frac{0}{0} $
*). Perkalian bentuk akar pada merasionalkan :
$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b $
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limit dengan merasionalkan :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{ x^2 - 16} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{ x^2 - 16} \times \frac{\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x - (3\sqrt{x}-2)}{ ((x-4)(x+4))(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x - 3\sqrt{x} + 2}{ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x+4)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-1)}{ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x+4)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x}-1)}{ (\sqrt{x} + 2)(x+4)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})} \\ & = \frac{(\sqrt{4}-1)}{ (\sqrt{4} + 2)(4+4)(\sqrt{4} + \sqrt{3\sqrt{4}-2})} \\ & = \frac{(2-1)}{ (2 + 2)(8)(2 + \sqrt{3.2-2})} \\ & = \frac{1}{ (4)(8)(2 + \sqrt{4})} = \frac{1}{ 32(2 + 2)} \\ & = \frac{1}{ 32(4)} = \frac{1}{128} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{128} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian $ 9 - x^2 \geq |x+3| $ adalah ....
A). $ \{ x \in R : -3 \leq x \leq 3 \} \, $
B). $ \{ x \in R : -3 \leq x \leq 2 \} \, $
C). $ \{ x \in R : x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2 \} \, $
D). $ \{ x \in R : 0 \leq x \leq 2 \} \, $
E). $ R $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow 9 - x^2 & \geq |x+3| \\ 9 - 3^2 & \geq |3+3| \\ 0 & \geq 6 \, \, \text{(SALAH)} \\ \end{align}$
yang ada $ x = 3 $ SALAH, opsi yang benar adalah B dan D
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-3 \Rightarrow 9 - x^2 & \geq |x+3| \\ 9 - (-3)^2 & \geq |-3+3| \\ 9 - 9 & \geq |0| \\ 0 & \geq 0 \, \, \text{(BENAR)} \\ \end{align}$
yang ada $ x = -3 $ BENAR, opsi yang benar adalah B
Sehingga opsi yang benar adalah opsi B (yang tersisa).
Jadi, solusinya adalah $ \{ -3 \leq x \leq 2 \} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian $ 9 - x^2 \geq |x+3| $ adalah ....
A). $ \{ x \in R : -3 \leq x \leq 3 \} \, $
B). $ \{ x \in R : -3 \leq x \leq 2 \} \, $
C). $ \{ x \in R : x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2 \} \, $
D). $ \{ x \in R : 0 \leq x \leq 2 \} \, $
E). $ R $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nol kan salah satu ruas, kemudian kita tentukan akar-akarnya,
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $-$),
3). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ < 0 $ , maka pilih daerah negatif,
Jika $ > 0 $ , maka pilih daerah positif.
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
Dari definisi di atas, penyelesaiannya di gabungkan $ ( \cup ) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ 9 - x^2 \geq |x+3| $
*). Definisi nilai mutlak untuk $ | x + 3| $ :
$ |x+3| = \left\{ \begin{array}{cc} x+3 & , \text{ untuk } x \geq -3 \\ -(x+3) & , \text{ untuk } x < -3 \end{array} \right. $
*). Menyelesaikan pertidaksamaannya :
-). untuk $ x \geq -3 $ , maka $ |x+3| = x+3 $
$\begin{align} 9 - x^2 & \geq |x+3| \\ 9 - x^2 & \geq x + 3 \\ - x^2 - x + 6 & \geq 0 \\ (-x +2)(x +3) & \geq 0 \\ x = 2 \vee x & = -3 \end{align} $
garis bilangan pertama :
 
dari syarat $ x \geq -3 $ dan daerah garis bilangan di atas kita peroleh :
$ HP_1 = \{ -3 \leq x \leq 2 \} $
-). untuk $ x < -3 $ , maka $ |x+3| = -(x+3) $
$\begin{align} 9 - x^2 & \geq |x+3| \\ 9 - x^2 & \geq -(x + 3) \\ - x^2 + x + 12 & \geq 0 \\ (-x +3)(x +4) & \geq 0 \\ x = 3 \vee x & = -4 \end{align} $
garis bilangan kedua :
 
dari syarat $ x < -3 $ dan daerah garis bilangan kedua di atas kita peroleh :
$ HP_2 = \{\, \, \} $ (himpunan kosong)
-). Solusi totalnya adalah gabungan kedua himpunan :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cup HP_2 \\ & = \{ -3 \leq x \leq 2 \} \cup \{\, \, \} \\ & = \{ -3 \leq x \leq 2 \} \end{align} $
Jadi, solusinya $ \{ -3 \leq x \leq 2 \} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)