Pembahasan Rata-rata UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai rata-rata ujian matematika dari 43 siswa adalah 56. Jika nilai ujian dua siswa, yaitu Tuti dan Tono, digabungkan dengan kelompok tersebut, maka nilai rata-rata ujian matematika menjadi 55. Apabila Tuti mendapat nilai 25, maka Tono mendapat nilai ....
A). $ 40 \, $ B). $ 42 \, $ C). $ 44 \, $ D). $ 46 \, $ E). $ 48 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata :
Rata-rata $ = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Misalkan total nilai 43 orang sebelumnya adalah $ A_{43} $ .
-). Nilai rata-rata ujian matematika dari 43 siswa adalah 56
$ \frac{A_{43}}{43} = 56 \rightarrow A_{43} = 43 \times 56 = 2408 $
*). Ditambahkan dua orang sehingga menjadi 45 orang dengan rata-rata 55 :
$ \begin{align} \text{Rata-rata } & = 55 \\ \frac{A_{43} + \text{ Tuti } + \text{ Tono }}{45} & = 55 \\ \frac{2408 + 25 + \text{ Tono }}{45} & = 55 \\ 2433 + \text{ Tono } & = 55 \times 45 \\ 2433 + \text{ Tono } & = 2475 \\ \text{ Tono } & = 42 \end{align} $
Jadi, nilai Tono adalah $ 42 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Modus dari data dalam tabel berikut ini adalah ....
A). $ 72,5 \, $ B). $ 72,75 \, $ C). $ 73,5 \, $ D). $ 73,75 \, $ E). $ 74,5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus modus :
Modus $ = T_b + \frac{d_1}{d_1+d_2}c $
Keterangan :
$ T_b = \, $ tepi bawah kelas modus (kelas dengan frekuensi terbanyak)
$ d_1 = \, $ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
$ d_2 = \, $ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
$ c = \, $ panjang kelas

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kelas modus terletak pada interval 71 - 75.
$ T_b = 71 - 0,5 = 70,5 $
$ d_1 = 18 - 12 = 6 $
$ d_2 = 18 - 14 = 4 $
$ c = 75 - 71 + 1 = 5 $
*). Menentukan nilai modus :
$ \begin{align} \text{Modus } & = T_b + \frac{d_1}{d_1+d_2}c \\ & = 70,5 + \frac{6}{6+4}.5 \\ & = 70,5 + \frac{30}{10} \\ & = 70,5 + 3 \\ & = 73,5 \end{align} $
Jadi, nilai modusnya adalah $ 73,5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Matriks UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Untuk suatu $ \alpha $ , nilai $ x $ yang memenuhi $\left( \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \, $ adalah ....
A). $ x = \sin \alpha, \, y = \cos \alpha $
B). $ x = \cos \alpha, \, y = \sin \alpha $
C). $ x = 0 , \, y = 1 $
D). $ x = 1 , \, y = 0 \, $
E). $ x = 1 , \, y = 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers : $ AX=C \rightarrow X = A^{-1}.C $
*). Perkalian matriks = baris $ \times $ kolom
*). identitas trigonometri :
$ \cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} &\left( \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right)^{-1}. \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{\cos \alpha . (-\cos \alpha) - \sin \alpha . \sin \alpha } \left( \begin{matrix} -\cos \alpha & -\sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{ -\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha } \left( \begin{matrix} -\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ -\sin \alpha\cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{ -(\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) } \left( \begin{matrix} -(\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{ -(1) } \left( \begin{matrix} -(1) \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = -1. \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya nilai $ x = 1 $ dan $ y = 0 $
Jadi, bentuk $ M^2 = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika M matriks berordo $ 2 \times 2 $ dan $ M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) $, maka matriks $ M^2 $ adalah ....
A). $\left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & -5 \end{matrix} \right)\, $ B). $\left( \begin{matrix} 9 & 4 \\ 1 & 25 \end{matrix} \right)\, $ C). $\left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right)\, $
D). $\left( \begin{matrix} 25 & -4 \\ -2 & 15 \end{matrix} \right)\, $ E). $\left( \begin{matrix} 27 & -8 \\ -4 & 15 \end{matrix} \right)\, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers : $ AB=C \rightarrow A = C.B^{-1} $
*). Perkalian matriks = baris $ \times $ kolom

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks M :
$ \begin{align} M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \\ M & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right). \frac{1}{2.3 - 1.4}\left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right). \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -10 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ M^2 $ :
$ \begin{align} M^2 & = M.M \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bentuk $ M^2 = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Suku pertama, pembanding dan suku ke-$(n-1)$ dari deret geometri masing-masing adalah 1, 3 dan 243. Jumlah $ n $ suku pertamanya sama dengan ....
A). $ 364 \, $ B). $ 729 \, $ C). $ 1093 \, $ D). $ 2187 \, $ E). $ 3279 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan dan deret geometri :
-). Rumus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
-). Rumus $ S_n $ : $ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ a = 1 , r = 3 $ dan $ u_{n-1} = 243 $ :
*). Menentukan nilai $ n $ :
Rumus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
$ \begin{align} u_{n-1} & = 243 \\ a.r^{(n-1) -1} & = 243 \\ 1.3^{n-2} & = 3^5 \\ 3^{n-2} & = 3^5 \\ n-2 & = 5 \\ n & = 7 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ S_7 $ :
$ \begin{align} S_n & = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \\ S_7 & = \frac{1.(3^7 - 1)}{3 - 1} \\ & = \frac{(2187 - 1)}{2} \\ & = \frac{ 2186}{2} \\ & = 1093 \end{align} $
Jadi, jumlah $ n $ suku pertamanya $ = 1093 . \, \heartsuit $