Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P pada rusuk AE dengan $ AP = 3 \, $ cm, Q titik tengah AB. Luas segitiga HPQ adalah ....
A). $ \frac{1}{2}\sqrt{53} \, $ cm$^2 $
B). $ \sqrt{53} \, $ cm$^2 $
C). $ 2\sqrt{53} \, $ cm$^2 $
D). $ \frac{1}{3}\sqrt{53} \, $ cm$^2 $
E). $ \frac{2}{3}\sqrt{53} \, $ cm$^2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan kosinus segitiga ABC :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \, $ atau $ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $
*). Luas segitiga ABC :
Luas $ = \frac{1}{2}. b. c . \sin A $
Dengan $ a = BC, b = AC, $ dan $ c = AB $
*). Identitas tirgonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin x = \sqrt{ 1 - \cos ^2 A} $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Ilustrasi gambar :
 

$ HP = \sqrt{EH^2 + EP^2} = \sqrt{4^2 + 1^2 } = \sqrt{17} $
$ PQ = \sqrt{AP^2 + AQ^2} = \sqrt{3^2 + 2^2 } = \sqrt{13} $
$ DQ = \sqrt{AD^2 + AQ^2} = \sqrt{4^2 + 2^2 } = \sqrt{20} $
$ HQ = \sqrt{DH^2 + DQ^2} = \sqrt{4^2 + (\sqrt{20})^2 } = \sqrt{36} = 6 $
*). Menentukan nilai $ \cos P $ pada segitiga HPQ :
$ \begin{align} \cos P & = \frac{PQ^2 + PH^2 - HQ^2}{2.PQ.PH} \\ & = \frac{(\sqrt{13})^2 + (\sqrt{17})^2 - 6^2}{2.(\sqrt{13}).(\sqrt{17})} \\ & = \frac{13 + 17 - 36}{2\sqrt{221}} \\ & = \frac{-6}{2\sqrt{221}} = - \frac{3}{\sqrt{221}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin P $ :
$ \begin{align} \sin P & = \sqrt{1 - \cos ^2 P} \\ & = \sqrt{1 - (- \frac{3}{\sqrt{221}})^2} \\ & = \sqrt{1 - \frac{9}{221}} \\ & = \sqrt{\frac{212}{221}} = \frac{2\sqrt{53}}{\sqrt{221}} \end{align} $
*). Menentukan Luas segitiga HPQ :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2}. PQ. PH . \sin P \\ & = \frac{1}{2}.\sqrt{13}.\sqrt{17} . \frac{2\sqrt{53}}{\sqrt{221}} \\ & = \frac{1}{2}.\sqrt{221} . \frac{2\sqrt{53}}{\sqrt{221}} \\ & = \sqrt{53} \end{align} $
Jadi, luas segitiga HPQ adalah $ \sqrt{53} . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) $ suku banyak derajat tiga, dengan koefisien $ x^3 $ sama dengan 1, yang habis dibagi $(x-3) $ dan $ ( x+ 1) $. Jika $ f(4) = 30 $, maka $ f(2) = .... $
A). $ -8 \, $ B). $ -7 \, $ C). $ -12 \, $ D). $ 0 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku banyak berderajat tiga dengan koefisien $ x^3 $ sama dengan satu dapat kita susun berbentuk : $ f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) $
Dimana $ (x-a) , (x-b), (x-c) $ adalah faktor-faktor suku banyak atau pembaginya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Suku banyak habis dibagi $ (x-3) $ dan $ (x+1) $ dapat ditulis :
$ f(x) = (x-3)(x+1)(x-c) $
*). Substitusi $ f(4) = 30 $ :
$ \begin{align} f(x) & = (x-3)(x+1)(x-c) \\ f(4) & = 30 \\ (4-3)(4+1)(4-c) & = 30 \\ 1.5.(4-c) & = 30 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ (4-c) & = 6 \\ c & = -2 \end{align} $
Sehingga suku banyaknya menjadi :
$ f(x) = (x-3)(x+1)(x+2) $
*). Menentukan nilai $ f(2) $ :
$ \begin{align} f(x) & = (x-3)(x+1)(x+2) \\ f(2) & = (2-3)(2+1)(2+2) \\ & = -1.3.4 \\ & = -12 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(2) = -12 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah kuadrat akar-akar persamaan $ x^2 - 3x + n = 0 $ sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan $ x^2 + x - n = 0 $. Maka nilai $ n $ adalah ....
A). $ -10 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 12 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi akar-akar $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Rumus bantu :
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 $
$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1.x_2(x_1+x_2) $
Jumlah kuadrat $ = x_1^2 + x_2^2 $
Jumlah pangkat tiga $ = x_1^3 + x_2^3 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK1 $ x^2 - 3x + n = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = 3 $ dan $ x_1 . x_2 = n $
*). PK2 $ x^2 + x - n = 0 $ memiliki akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $
Operasi akar-akarnya :
$ y_1 + y_2 = -1 $ dan $ y_1 . y_2 = -n $
*). Menentukan nilai $ n $ :
$ \begin{align} \text{Jumlah kuadrat PK1 } & = \text{ jumlah pangkat 3 PK2} \\ x_1^2 + x_2^2 & = y_1^3 + y_2^3 \\ (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 & = (y_1+y_2)^3 - 3y_1.y_2(y_1+y_2) \\ (3)^2 - 2n & = (-1)^3 - 3.(-n).(-1) \\ 9 - 2n & = -1 - 3n \\ n & = -10 \end{align} $
Jadi, nilai $ n = -10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar persamaan $ x^2 - 2x + k = 0 $ dan $ a - \frac{5}{2} $ , $ a + b $ , $ a + 5 $ merupakan barisan geometri dengan suku-suku positif. Nilai $ k = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi akar-akar $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Misalkan ada tiga suku $ U_1, U_2, U_3 $ membentuk barisan geometri, maka perbandingannya sama :
$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} \rightarrow (U_2)^2 = U_1.U_3 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK $ x^2 - 2x + k = 0 $ memiliki akar-akar $ a $ dan $ b $
Operasi akar-akarnya :
$ a + b = 2 $ dan $ a.b = k $
*). $ a - \frac{5}{2} $ , $ a + b $ , $ a + 5 $ merupakan barisan geometri :
$ \begin{align} (U_2)^2 &= U_1.U_3 \\ (a+b)^2 &= ( a - \frac{5}{2}).(a+5) \\ (2)^2 &= a^2 + \frac{5}{2}a - \frac{25}{2} \\ 0 &= a^2 + \frac{5}{2}a - \frac{33}{2} \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 0 &= 2a^2 + 5a - 33 \\ 0 &= (2a + 11 )(a - 3) \\ a & = -\frac{11}{2} \vee a = 3 \end{align} $
Yang memenuhi $ a = 3 $ karena suku-suku positif.
*). Menentukan nilai $ b $ :
$ a + b = 2 \rightarrow 3 + b = 2 \rightarrow b = -1 $
Sehingga nilai $ k = a.b = 3. (-1) = -3 $
Jadi, nilai $ k = -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka yang disusun dari angka-angka 2, 3, 4, 6, 7, dan 8, tanpa ada pengulangan adalah ....
A). $ 24 \, $ B). $ 28 \, $ C). $ 40 \, $ D). $ 60 \, $ E). $ 120 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kaidah pencacahan (aturan perkalian)
*). Misalkan kejadian pertama ada $ p $ cara dan kejadian kedua ada $ q $ cara, maka total cara adalah $ p \times q $ cara.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angkanya : 2,3,4,6,7,8 (ada 6 pilihan). Akan disusun bilangan ganjil terdiri dari tiga angka/digit tanpa pengulangan, sehingga kita akan mengisi bagian satuannya dulu dengan angka ganjil.
*). Menyusun bilangan terdiri tiga angka :
-). Satuan ganjil, ada 2 pilihan
-). Puluhan ada 5 pilihan tersisa karena satu angka sudah dipakai untuk satuan
-). Ratusan ada 4 pilihan tersisa karena dua angka sudah dipakai sebelumnya.
-). Total cara : $ 2 \times 4 \times 5 = 40 \, $ cara.
Jadi, ada 40 bilangan ganjil yang terbentuk $ . \, \heartsuit $