Pembahasan Transformasi SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 233

Soal yang Akan Dibahas
Titik (2,3) dicerminkan terhadap garis $ y = -x $ dan kemudian ditranslasi dengan $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ ke titik (3,2). Peta titik (3,2) di bawah transformasi yang sama adalah ....
A). $ (-3,-2) \, $ B). $ (-2,-3) \, $ C). $ (3,2) \, $
D). $ (4,1) \, $ E). $ (6,4) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Translasi $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
*). Penecerminan terhadap garis $ y = -x $ : $ MT = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
Bayangan = MT $ \times $ Awal.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik $(2,3) $ ditransformasi :
-). Pertama : pencerminan terhadap garis $ y = -x $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
-). Kedua : dilanjutkan Translasi oleh $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
menghasilkan bayangan $ (x^{\prime \prime} , y^{\prime \prime}) = (3,2) $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -3 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a - 3 \\ b - 2 \end{matrix} \right) \\ a - 3 & = 3 \rightarrow a = 6 \\ b -2 & = 2 \rightarrow b = 4 \end{align} $

*). Menentukan bayangan titik (3,2) dengan transformasi yang sama :
-). Pertama : pencerminan terhadap garis $ y = -x $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
-). Kedua : dilanjutkan Translasi oleh $ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, peta titik (3,2) adalah $ (4,1) . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 233

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ x - y \leq 4 $, $ 2x + y \geq 2 $ , $ y \leq 0 $ adalah .... satuan luas.
A). $ 1\frac{1}{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 2\frac{1}{2} \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga :
Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menggambar daerah penyelesaian (DHP) :
I). $ x - y \leq 4 \rightarrow (0,-4) $ dan $ (4,0)$
II). $ 2x + y \geq 2 \rightarrow (0,2) $ dan $ (1,0)$
III). $ y \leq 0 \rightarrow \, $ adalah sumbu X.
 

*). Menentukan titik potong garis I dan garis II :
$ \begin{array}{cc} 2x + y = 2 & \\ x - y = 4 & + \\ \hline 3x = 6 & \\ x = 2 & \end{array} $
garis I : $ x - y = 4 \rightarrow 2 - y = 4 \rightarrow y = -2 $.
*). Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir yaitu berupa segitiga ABC dengan alas AB dan tingginya CD, Luasnya :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2}\times AB \times CD \\ & = \frac{1}{2}\times 3 \times 2 = 3 \end{align} $
Jadi, luas daerah penyelesaiannya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 233

Soal yang Akan Dibahas
Lima bilangan asli membentuk suatu barisan geometri dengan rasio positif. Jika jumlah 3 suku terbesar dan jumlah 3 suku terkecil barisan geometri tersebut berturut-turut adalah 171 dan 76 maka jumlah 5 bilangan tersebut adalah ....
A). $ 125 \, $ B). $ 130 \, $ C). $ 180 \, $ D). $ 211 \, $ E). $ 347 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Jumlah $ n $ suku pertama
$ S_n = \frac{a(r^n-1)}{r - 1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui lima bilangan membentuk barisan geometri,
yaitu : $ U_1, \, U_2, \, U_3, \, U_4, \, $ dan $ U_5$.
*). Persamaan pertama : Jumlah tiga suku terkecil
$\begin{align} U_1 + U_2 + U_3 & = 76 \\ a + ar + ar^2 & = 76 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Persamaan kedua : jumlah tiga suku terbesar
$\begin{align} U_3 + U_4 + U_5 & = 171 \\ ar^2 + ar^3 + ar^4 & = 171 \\ r^2( a + ar + ar^2) & = 171 \, \, \, \, \, \, \text{.... dari pers(i)} \\ r^2 . 76 & = 171 \\ r^2 & = \frac{171}{76} = \frac{9}{4} \\ r & = \sqrt{ \frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} a + a.\frac{3}{2} + a.(\frac{3}{2})^2 & = 76 \\ a + \frac{3}{2}a + \frac{9}{4}a & = 76 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4a + 6a + 9a & = 76 \times 4 \\ 19a & = 76 \times 4 \\ a & = \frac{76 \times 4}{19} = 16 \end{align} $
*). Menentukan jumlah kelima sukunya :
$\begin{align} S_n & = \frac{a(r^n-1)}{r - 1} \\ S_5 & = \frac{16.\left(\left(\frac{3}{2}\right)^5-1\right)}{\frac{3}{2} - 1} \\ & = \frac{16.\left( \frac{243}{32} -1\right)}{\frac{1}{2} } \\ & = \frac{16.\left( \frac{211}{32} \right)}{\frac{1}{2} } \\ & = 16. \frac{211}{32} . \frac{2}{1} = 211 \end{align} $
Jadi, jumlah 5 bilangan tersebut adalah $ 211 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 233

Soal yang Akan Dibahas
Hasil bagi suku pertama oleh suku ke-3 suatu barisan aritmetika adalah $ \frac{1}{2}$. Jika suku ke-5 barisan tersebut adalah 12, maka suku ke-7 adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 14 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 28 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Aritmetika
*). Rumus suku k-$n$ : $ U_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan
-). Persamaan pertaman :
$\begin{align} \frac{U_1}{U_3} & = \frac{1}{2} \\ \frac{a}{a + 2b} & = \frac{1}{2} \\ 2a & = a + 2b \\ a & = 2b \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua :
$\begin{align} U_5 & = 12 \\ a + 4b & = 12 \, \, \, \, \, \, \, \text{.....dari (i)} \\ 2b + 4b & = 12 \\ 6b & = 12 \\ b & = 2 \end{align} $
Pers(i): $ a = 2b = 2 . 2 = 4 $
Nilai $ U_7 = a+6b = 4 + 6.2 = 4 + 12 = 16 $
Jadi, suku ke-7 adalah $ 16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Daerah Asal SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 233

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{3-x}{x+1} $ dan $ g(x) = \frac{2-2x}{x-1} $, maka daerah asal $ f. g $ adalah ....
A). $\{ x | -\infty < x < \infty \} $
B). $\{ x | x \neq -1 \} $
C). $\{ x | x \neq -1 \, \text{ dan } \, x \neq 1 \} $
D). $\{ x | x < -1 \, \text{ atau } \, x > 1 \} $
B). $\{ x | -1 < x < 1 \} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Fungsi
*). Domain (daerah asal) fungsi $ f(x) $ adalah nilai $ x $ yang bisa kita substitusi ke fungsi $ f(x) $ sehingga bisa kita hitung nilai fungsinya (biasanya hasilnya bilangan real untuk matematika tingkat SMA).
*). Bentuk $ y = \frac{f(x)}{g(x)} \, $ memiliki daerah asal $ x $ yang memenuhi $ g(x) \neq 0 $
*). Misalkan daerah asal $ f(x) $ adalah $ D_f $, daerah asal fungsi $ g(x) $ adalah $ D_g $, maka daerah asal fungsi $ f.g $ adalah $ D_{f.g} = \{ x | D_f \cap D_g \} $
(irisan dari kedua daerah asal)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan daerah asal fungsi masing-masing :
$ f(x) = \frac{3-x}{x+1} \rightarrow D_f = \{ x + 1 \neq 0 \} = \{ x \neq -1 \} $
$ g(x) = \frac{2-2x}{x-1} \rightarrow D_g = \{ x - 1 \neq 0 \} = \{ x \neq 1 \} $
*). Menentukan daerah asal $ f.g $ :
$\begin{align} D_{f.g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x \neq -1 \} \cap \{ x \neq 1 \} \\ & = \{ x | x \neq -1 \, \text{ dan } \, x \neq 1 \} \end{align} $
Jadi, $ D_{f.g} = \{ x | x \neq -1 \, \text{ dan } \, x \neq 1 \} . \, \heartsuit $