Pembahasan Soal SELMA UM (Universitas Negeri Malang) TKPA Matematika Dasar tahun 2014 kode 141 nomor 11 sampai 14


Nomor 11
Sepasang suami istri merencanakan memiliki 4 anak. Dikarenakan kromosom suami lebih kuat dari kromosom istri, maka peluang memiliki anak laki-laki 3 kali peluang memiliki anak perempuan. Peluang suami istri tersebut memiliki 1 anak laki-laki dan 3 anak perempuan adalah ....
$\spadesuit \, $ Misal : P(L) = peluang laki-laki dan P(W) = peluang wanita
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang masing-masing
$P(L) = 3P(W) \rightarrow \frac{P(L)}{P(W)} = \frac{3}{1} $
artinya $ P(L) = \frac{3}{4} \, $ dan $ \, P(W) = \frac{1}{4} $
$\spadesuit \, $ Ada 4 kemungkinan atau susunan yaitu :
LWWW, WLWW, WWLW, dan WWWL
sehingga peluang totalnya :
Peluang = $ 4 \times (\frac{3}{4}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}) = \frac{3}{64} $
Jadi, peluang 1 laki-laki dan 3 perempuan adalah $ \frac{3}{64} . \heartsuit $
Nomor 12
Jika $ \frac{z}{x+y} = 2 \, $ dan $ \, \frac{z}{x-y} =3 , \, $ maka ....
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan
$ \frac{z}{x+y} = 2 \rightarrow x+y = \frac{1}{2}z \, \, $ ...pers(i)
$ \frac{z}{x-y} =3 \rightarrow x-y = \frac{1}{3}z \, \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} x+y = \frac{1}{2}z & \\ x-y = \frac{1}{3}z & + \\ \hline 2x = \frac{5}{6}z & \\ x = 5(\frac{z}{12}) & \end{array} $
pers(i) : $ x+y = \frac{1}{2}z \rightarrow 5(\frac{z}{12})+y = \frac{1}{2}z \rightarrow y = \frac{z}{12} $
diperoleh : $ x = 5(\frac{z}{12}) \, $ dan $ \, y = \frac{z}{12} \, $ yang artinya nilai $ x $ dan $ y $ tergantung dari nilai $ z $
$\clubsuit \, $ Nilai $ z $ dibagi menjadi dua kasus
Kasus I : nilai $ z $ positif,
dari $ x = 5(\frac{z}{12}) \, $ dan $ \, y = \frac{z}{12} \, $ diperoleh $ x > y $
dari $ x = 5(\frac{z}{12}) \rightarrow \frac{x}{z} = \frac{5}{12} \, $ yang artinya $ z > x $
Sehingga kesimpulannya : $ z > x > y \, $ atau $ \, y < x < z $
Kasus II : nilai $ z $ negatif,
dari $ x = 5(\frac{z}{12}) \, $ dan $ \, y = \frac{z}{12} \, $ diperoleh $ y > x $
dari $ x = 5(\frac{z}{12}) \rightarrow \frac{x}{z} = \frac{5}{12} \, $ yang artinya $ x > z $
Sehingga kesimpulannya : $ y > x > z \, $ atau $ \, z < x < y $
Dari kedua kasus ini, yang ada dipilihan adalah kasus pertama untuk $ z $ bilangan positif.
Jadi, hubungan nilai $ x, y, z \, $ adalah $ y < x < z \, $ atau $ \, z < x < y \heartsuit $
Nomor 13
Jika jumlah sepuluh bilangan bulat berurutan adalah 64, maka hasil kali bilangan terkecil dan terbesar adalah .....
$\spadesuit \, $ Deret aritmatika : $ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $
$\spadesuit \, $ Jumlah 10 suku pertama = 64
$\begin{align} S_{10} & = 64 \\ \frac{10}{2} (2a + (10-1)b) & = 64 \\ 5(2a+9b) & = 64 \\ 10a + 45b & = 64 \\ a & = \frac{64 - 45b}{10} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Analisa bentuk $ \, a = \frac{64 - 45b}{10} $
Karena barisannya bilangan bulat, maka haruslah nilai $ a $ juga bulat. Agar $ a $ bulat, maka $ 64 - 45b \, $ harus habis dibagi oleh 10 yang artinya $ 64 - 45b \, $ hasilnya harus satuannya angka nol. Agar $ 64 - 45b \, $ satuannya nol, maka hasil perkalian $ 45b \, $ satuannya harus angka 4, yang artinya tidak mungkin karena perkalian dengan angka 5 hasil yang mungkin satuannya hanya 0 atau 5.
Sehingga kesimpulannya tidak ada nilai $ a $ bulat yang memenuhi kasus ini.
Catatan : Kemungkinan ada kesalahan dalam pengetikan soal, khususnya untuk hasilnya 64
Jadi, tidak ada bilangan bulat yang memenuhi kasus ini. $ \heartsuit $
Nomor 14
Jika $ S_n = 2^{n+1} - 2 \, $ adalah jumlah $ n \, $ suku pertama suatu deret geometri, maka suku ke-10 deret tersebut adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar : $ U_n = S_n - S_{n-1} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai suku ke-10 dengan $ \, S_n = 2^{n+1} - 2 $
$\begin{align} U_n & = S_n - S_{n-1} \\ U_{10} & = S_{10} - S_{10-1} \\ U_{10} & = S_{10} - S_9 \\ & = (2^{10+1} - 2 ) - (2^{9+1} - 2) \\ & = 2^{11} - 2^{10} \\ & = 2^{10} . [2^1 - 1 ] \\ & = 2^{10} . 1 \\ & = 1024 \end{align} $
Jadi, nilai suku ke-10 nya adalah 1024. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-14

Pembahasan Soal SELMA UM (Universitas Negeri Malang) TKPA Matematika Dasar tahun 2014 kode 141 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \log x = \frac{1}{3} \log 8 + \log 9 - \frac{1}{3} \log 27 \, \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Sifat dan persamaan logaritma
Sifat : $ n . {}^a \log b = {}^a \log b^n, \, {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (b.c) $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
Persamaan : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \log x & = \frac{1}{3} \log 8 + \log 9 - \frac{1}{3} \log 27 \\ \log x & = \log 8^\frac{1}{3} + \log 9 - \log 27^\frac{1}{3} \\ \log x & = \log (2^3)^\frac{1}{3} + \log 9 - \log (3^3)^\frac{1}{3} \\ \log x & = \log 2 + \log 9 - \log 3 \\ \log x & = \log \frac{2.9}{3} \\ \log x & = \log 6 \\ x & = 6 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = 6 . \heartsuit $
Nomor 7
Jika $ \left( \begin{matrix} 2 & a \\ 0 & b \end{matrix} \right)A = \left( \begin{matrix} 2 & 3a \\ 0 & 3b \end{matrix} \right), \, $ maka nilai determinan matriks $ A $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep matriks
Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A)=|A| = a.d - b.c $
Invers : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
Menentukan matriks lain : $ AX = B \rightarrow X = A^{-1}.B $
$\clubsuit \, $ Menentukan matriks A
$\begin{align} \left( \begin{matrix} 2 & a \\ 0 & b \end{matrix} \right)A & = \left( \begin{matrix} 2 & 3a \\ 0 & 3b \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} 2 & a \\ 0 & b \end{matrix} \right)^{-1} . \left( \begin{matrix} 2 & 3a \\ 0 & 3b \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2b-0.(-a)}\left( \begin{matrix} b & -a \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 3a \\ 0 & 3b \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2b}\left( \begin{matrix} 2b & 0 \\ 0 & 6b \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \\ |A| & = 1.3 - 0.0 = 3 \end{align}$
Jadi, nilai determinan matriks A adalah 3. $\heartsuit$

Cara II
$\clubsuit \, $ Sifat determinan : $ |AB| = |A|.|B| $
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan matriks A
$\begin{align} \left| \left( \begin{matrix} 2 & a \\ 0 & b \end{matrix} \right)A \right| & = \left| \left( \begin{matrix} 2 & 3a \\ 0 & 3b \end{matrix} \right) \right| \\ \left| \begin{matrix} 2 & a \\ 0 & b \end{matrix} \right| \left| A \right| & = \left| \begin{matrix} 2 & 3a \\ 0 & 3b \end{matrix} \right| \\ (2b-0.a). | A | & = (2.3b - 0. 3a) \\ (2b). | A | & = (6b) \\ |A| & = \frac{6b}{2b} = 3 \end{align}$
Jadi, nilai determinan matriks A adalah 3. $\heartsuit$
Nomor 8
Jika $ f(2x) = \frac{2}{2+x} , x > 0, \, $ maka $ f(1) + f(-1) = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $ f(x) $
Misal $ : y = 2x \rightarrow x = \frac{y}{2} $
$\begin{align} f(2x) & = \frac{2}{2+x} \\ f(y) & = \frac{2}{2+\frac{y}{2}} \\ f(y) & = \frac{4}{4 + y} \\ f(x) & = \frac{4}{4 + x} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal dengan $ f(x) = \frac{4}{4 + x} $
$\begin{align} f(1) + f(-1) & = \frac{4}{4 + 1} + \frac{4}{4 + (-1)} \\ & = \frac{4}{5} + \frac{4}{3} = \frac{12}{15} + \frac{20}{15} = \frac{32}{15} \end{align}$
Jadi, nilai $ f(1) + f(-1) = \frac{32}{15} . \heartsuit$
Nomor 9
Jika $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ x^2+ax+b=0 \, $ , maka nilai $ a + b $ adalah ....
$\clubsuit \, $ PK : $ x^2+ax+b=0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1=a \, $ dan $ \, x_2=b $
$\clubsuit \, $ Operasi perkalian
$\begin{align} x_1.x_2 & = \frac{c}{a} \\ a.b & = \frac{b}{1} \\ a & = 1 \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Operasi penjumlahan
$\begin{align} x_1+x_2 & = \frac{-b}{a} \\ a+b & = \frac{-a}{1} \\ a+b & = -a \, \, \text{(substitusi nilai a dari pers(i))} \\ 1+b & = -1 \\ b & = -2 \end{align}$
Sehingga nilai $ a + b = 1 + -2 = -1 $
Jadi, nilai $ a+b = -1 .\heartsuit $
Nomor 10
Jika puncak grafik fungsi kuadrat $ f(x) = x^2 - 2(1+c)x + c \, $ terletak pada sumbu X, maka nilai $ 4c-(2+c)^2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ FK : $ f(x) = x^2 - 2(1+c)x + c \rightarrow a = 1, b = -2(1+c), c = c $
Karena puncaknya terletak pada sumbu X, artinya parabola menyinggung sumbu X, sehingga syarat parabola menyinggung sumbu X (suatu garis) adalah $ \, D = 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ c \, $ dengan syarat $ D = 0 $
$\begin{align} D = 0 \rightarrow b^2 - 4ac & = 0 \\ [- 2(1+c)]^2 - 4.1.c & = 0 \\ 4(1+c)^2 - 4c & = 0 \\ 4 + 8c + 4c^2 - 4c & = 0 \\ 4c^2 + 4c + 4 & = 0 \\ c^2 + c + 1 & = 0 \\ D = b^2-4ac & = 1^2 - 4.1.1 = -3 \end{align}$
Dari bentuk $ c^2 + c + 1 = 0 \, $ , tidak ada nilai $ c $ bilangan real yang memenuhi karena nilai Diskriminannya negatif ( D < 0 ).
sehingga nilai $ \, 4c-(2+c)^2 \, $ tidak bisa ditentukan hasilnya dalam bialngan real.
Jadi, nilai $ 4c-(2+c)^2 \, $ hasilnya bukan bilangan real, melainkan imajiner. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-14