Cara 2 Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{12}} \, $ C). $ \frac{3}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{3}{2^{12}} \, $ E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap barisan memiliki pola atau rumus tersendiri.
*). Sifat eksponen :
untuk $ n \, $ ganjil, $ (-1)^n = -1 $
untuk $ n \, $ genap, $ (-1)^n = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ :
-). Penjabaran setiap sukunya :
$ u_1 = -\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} - \frac{1}{2^0} = \frac{1}{2^1} + (-1)^1 . \frac{1}{2^(1-1)} $
$ u_2 = \frac{3}{4} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2^2} + (-1)^2 . \frac{1}{2^{2-1}} $
$ u_3 = -\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} - \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2^3} + (-1)^3 . \frac{1}{2^{3-1}} $
$ u_4 = \frac{3}{16} = \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2^4} + (-1)^4 . \frac{1}{2^{4-1}} $
......
$ u_n = \frac{1}{2^n} + (-1)^n . \frac{1}{2^{n-1}} $
-). Sehingga rumus umum suku ke-$n$ nya yaitu :
$ u_n = \frac{1}{2^n} + (-1)^n . \frac{1}{2^{n-1}} $
*). Menentukan suku ke-12 :
$\begin{align} u_n & = \frac{1}{2^n} + (-1)^n . \frac{1}{2^{n-1}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{12}} + (-1)^{12} . \frac{1}{2^{12-1}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{12}} + 1 . \frac{1}{2^{11}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{2^{11}} \\ u_{12} & = \frac{1 + 2}{2^{12}} \\ u_{12} & = \frac{3}{2^{12}} \end{align} $
Jadi, suku ke-12 adalah $ \frac{3}{2^{12}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{12}} \, $ C). $ \frac{3}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{3}{2^{12}} \, $ E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap barisan memiliki pola atau rumus tersendiri.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ :
dapat ditulis menjadi : $ -\frac{1}{2^1}, \frac{3}{2^2}, -\frac{1}{2^3}, \frac{3}{2^4} , .... $
$ u_1 = -\frac{1}{2^1} $
$ u_2 = \frac{3}{2^2} $
$ u_3 = -\frac{1}{2^3} $
$ u_4 = \frac{3}{2^4} $
-). dapat kita perumum rumus barisannya menjadi :
untuk $ n $ ganjil : $ u_n = -\frac{1}{2^n} $
untuk $ n $ genap : $ u_n = \frac{3}{2^n} $
*). Menentukan suku ke-12 :
$ n = 12 \, $ (genap) sehingga rumusnya : $ u_n = \frac{3}{2^n} $
$\begin{align} u_n & = \frac{3}{2^n} \\ u_{12} & = \frac{3}{2^{12}} \end{align} $
Jadi, suku ke-12 adalah $ \frac{3}{2^{12}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika diberikan $ 2a-b+3c = 8 $ , $ a^2 - 2b^2 = 15 $ , dan $ 7b^2+12ac=16b $ , maka nilai $ c $ adalah ....
A). $ -\frac{5}{3} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui sistem persamaan :
$ 2a-b+3c = 8 \, $ ......(i)
$ a^2 - 2b^2 = 15 \, $ .....(ii)
$ 7b^2+12ac=16b \, $ .......(iii)
*). kuadratkan pers(i) :
$\begin{align} 2a-b+3c & = 8 \\ 2a +3c & = b + 8 \\ (2a +3c)^2 & = (b + 8)^2 \\ 4a^2 + 12ac + 9c^2 & = b^2 + 16b + 64 \\ 12ac = b^2 + 16b + & 64 - 4a^2 - 9c^2 \, \, \, \, \, \text{.....(iv)} \end{align} $
*). Substitusi pers(iv) ke pers(iii) :
$\begin{align} 7b^2+12ac & = 16b \\ 7b^2+(b^2 + 16b + 64 - 4a^2 - 9c^2) & = 16b \\ 8b^2 - 4a^2 - 9c^2 + 64 & = 0 \\ -4(a^2 - 2b^2) - 9c^2 + 64 & = 0 \, \, \, \, \, \text{.....(v)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(v) :
$\begin{align} -4(a^2 - 2b^2) - 9c^2 + 64 & = 0 \, \, \, \, \, \text{.....(v)} \\ -4(15) - 9c^2 + 64 & = 0 \\ -60 - 9c^2 + 64 & = 0 \\ - 9c^2 + 4 & = 0 \\ 9c^2 & = 4 \\ c^2 & = \frac{4}{9} \\ c & = \pm \sqrt{\frac{4}{9} } \\ c & = \pm \frac{2}{3} \end{align} $
Artinya nilai $ c = \frac{2}{3} \, $ dan $ c = -\frac{2}{3} $
Yang ada di optionnya adalah $ c = \frac{2}{3} $
Jadi, nilai $ c = \frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Definit Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ y = ax^2 + bx + c $
-). Syarat definiti :
Definit positif syaratnya : $ D < 0 $ dan $ a > 0 $
Definit negatif syaratnya : $ D < 0 $ dan $ a < 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
-). Fungsi kuadrat selalu di atas sumbu X, artinya memenuhi definit positif.
*). RUmus ABC : $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Tentukan akar-akarnya
2). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya
3). Arsir daerahnya,
jika $ > 0 $ , maka arsir yang $ + $ (daerah positif)
jika $ < 0 $ , maka arsir yang $ - $ (daerah negatif)
4). BUat himpunannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $
untuk memudahkan, kita ganti $ a $ dengan $ k $, sehingga
kurvanya menjadi $ y = (k-2)x^2+ \sqrt{3}(1-k)x + (k-2) $
Nilai $ a = k - 2 , b = \sqrt{3}(1-k) $ , dan $ x = k - 2 $
dan yang ditanyakan adalah $ k - 2 $ bulat terkecil.
*). Kurvanya selalu di atas sumbu X, artinya berlaku definit positif.
Syarat definit positif : $ D < 0 $ dan $ a > 0 $
*). Menyelesaikan definit syarat positifnya :
-). syarat : $ a > 0 $
$ a > 0 \rightarrow k - 2 > 0 \rightarrow k > 2 $
$ HP_1 = \{ k > 2 \} $
-). Syarat : $ D < 0 $
$\begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (\sqrt{3}(1-k))^2 - 4.(k - 2).(k - 2) & < 0 \\ 3(1 - 2k + k^2) - 4.(k^2 - 4k + 4) & < 0 \\ 3 - 6k + 3k^2 - 4k^2 + 16k - 16 & < 0 \\ -k^2 + 10k - 13 & < 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali } -1) \\ k^2 - 10k + 13 & > 0 \\ \end{align} $
-). RUmus ABC untuk menentukan akar-akarnya :
Bentuk $ k^2 - 10k + 13 = 0 $
$\begin{align} k & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ k & = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4.1.13}}{2.1} \\ k & = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 52}}{2 } \\ k & = \frac{10 \pm \sqrt{48}}{2 } \\ k & = \frac{10 \pm 4\sqrt{3}}{2 } \\ k & = 5 \pm 2\sqrt{3} \end{align} $
sehingga $ k_1 = 5 - 2\sqrt{3} $ dan $ k_2 = 5 + 2\sqrt{3} $
-). garis bilangannya :
 

$ HP_2 = \{ k < 5 - 2\sqrt{3} \vee k > 5 + 2\sqrt{3} \} $
*). SOlusi total yaitu $ HP_1 $ irisan $ HP_2 $ :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ k > 2 \} \cap \{ k < 5 - 2\sqrt{3} \vee k > 5 + 2\sqrt{3} \} \\ & = \{ k > 5 + 2\sqrt{3} \} \end{align} $
*). Bilangan bulat yang memenuhi $ k > 5 + 2\sqrt{3} = 8,... $ yaitu :
$ k = \{ 9, 10, 11, 12, 13, 14, .... \} $
artinya $ k $ bulat terkecil adalah $ k = 9 $
sehingga nilai bulat terkecil dari $ k - 2 $ :
$ k - 2 = 9 - 2 = 7 $
Jadi, nilai terkecil $ a - 2 $ adalah $ 7 . \, \heartsuit $