Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $|x|+|x-2| > 3 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
B). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
C). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
D). $ x < -1 \, $ atau $ x > 3 $
E). $ x < -\frac{3}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow |x|+|x-2| & > 3 \\ |3|+|3-2| & > 3 \\ 3+1 & > 3 \\ 4 & > 3 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=3$ BENAR, opsi yang salah B dan D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= -1 \Rightarrow |x|+|x-2| & > 3 \\ |-1|+|-1-2| & > 3 \\ 1+3 & > 3 \\ 4 & > 3 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=-1$ BENAR, opsi yang salah A dan E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < -\frac{1}{2} \} \, $ atau $ \{ x > \frac{5}{2} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $|x|+|x-2| > 3 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
B). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
C). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
D). $ x < -1 \, $ atau $ x > 3 $
E). $ x < -\frac{3}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Bentuk Mutlak :
*). Menyelesaikan pertidaksamaan bentuk mutlak salah satu caranya menggunakan definisi bentuk mutlak.
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Definisi nilai mutlak masing-masing :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text{ untuk } x < 0 \end{array} \right. $
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & , \text{ untuk } x \geq 2 \\ -(x-2) & , \text{ untuk } x < 2 \end{array} \right. $
*). Untuk memudahkan menyelesaikan pertidaksamaannya, kita bagi menjadi tiga batasan (daerah) berdasarkan definisi nilai mutlak di atas.
 

*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan daerahnya :
-). daerah I : $ x < 0 $
Berlaku $ |x| = -x \, $ dan $ |x-2| = -(x-2) = -x + 2 $
$\begin{align} |x|+|x-2| & > 3 \\ -x+ (-x + 2) & > 3 \\ -2x & > 1 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -1, tanda dibalik)} \\ x & < -\frac{1}{2} \end{align} $
$ HP1 = \{ x < 0 \} \cap \{ x < -\frac{1}{2} \} = \{ x < -\frac{1}{2} \} $
-). daerah II : $ 0 \leq x < 2 $
Berlaku $ |x| = x \, $ dan $ |x-2| = -(x-2) = -x + 2 $
$\begin{align} |x|+|x-2| & > 3 \\ x+ (-x + 2) & > 3 \\ 2 & > 3 \, \, \, \, \, \, \text{(SALAH)} \end{align} $
Artinya tidak ada $ x $ yang memenuhi daerah II ini.
-). daerah III : $ x \geq 2 $
Berlaku $ |x| = x \, $ dan $ |x-2| = x - 2 $
$\begin{align} |x|+|x-2| & > 3 \\ x+ (x - 2) & > 3 \\ 2x & > 5 \\ x & > \frac{5}{2} \end{align} $
$ HP2 = \{ x \geq 2 \} \cap \{ x > \frac{5}{2} \} = \{ x > \frac{5}{2} \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari solusi ketiga daerah :
$\begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 \\ & = \{ x < -\frac{1}{2} \} \cap \{ x > \frac{5}{2} \} \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < -\frac{1}{2} \} \, $ atau $ \{ x > \frac{5}{2} \} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Lingkaran UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $ L_1 \equiv x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 $ serta berpusat di garis $ g \equiv x - 2y = 5 $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 5 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 5 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 10 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkas Lingkaran:
*). Persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran $L_1 $ dan $ L_2 $ adalah $ L_1 + \lambda L_2 $ atau $ L_2 + \lambda L_1 $
(bentuk seperti ini disebut berkas lingkaran).
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
dengan pusat lingkaran : $(a,b) = (-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $ L_1 \equiv x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 $
$ \begin{align} L_2 + \lambda L_1 & = 0 \\ (x^2+y^2 + 2x - 6y +6) + \lambda (x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 ) & = 0 \\ (1+\lambda)x^2 + (1 + \lambda)y^2 + (2-2\lambda)x - (6 + 2\lambda)y + (6 - 2\lambda) & = 0 \\ x^2 + y^2 + \frac{2-2\lambda}{1+\lambda}x - \frac{6 + 2\lambda}{1+\lambda}y + \frac{6 - 2\lambda}{1+\lambda} & = 0 \end{align} $
Artinya titik pusat lingkarannya :
$ a = -\frac{1}{2}A = -\frac{1}{2} \frac{(2-2\lambda)}{(1+\lambda)} = \frac{-1+\lambda}{1+\lambda} $
$ b = -\frac{1}{2}B = -\frac{1}{2}. - \frac{(6 + 2\lambda)}{(1+\lambda)} = \frac{3 + \lambda}{1+\lambda} $
*). Substitusi titik pusat ke garis $ x - 2y = 5 $ (pusat ada di garis)
$\begin{align} x - 2y & = 5 \\ \frac{-1+\lambda}{1+\lambda} - 2. \frac{3 + \lambda}{1+\lambda} & = 5 \\ -1+\lambda - 2(3 + \lambda) & = 5(1+\lambda) \\ -1+\lambda - 6 - 2\lambda & = 5+ 5\lambda \\ \lambda & = -2 \end{align} $
*). Substitusi $ \lambda = -2 $ ke berkas lingkaran :
$\begin{align} (x^2+y^2 + 2x - 6y +6) + \lambda (x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 ) & = 0 \\ (x^2+y^2 + 2x - 6y +6) + (-2). (x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 ) & = 0 \\ -x^2 -y^2 + 6x - 2y + 10 & = 0 \\ x^2 +y^2 - 6x + 2y - 10 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya adalah $ x^2 + y^2 - 6x + 2y -10 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $ L_1 \equiv x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 $ serta berpusat di garis $ g \equiv x - 2y = 5 $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 5 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 5 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 10 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
dengan pusat lingkaran : $(a,b) = (-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B) $
*). Langkah-langkah menentukan titik potong dua lingkaran :
1). Kurangkan kedua persamaan, kita peroleh persamaan garis
2). Substitusikan garis yang diperoleh ke salah satu lingkaran, kita dapatkan salah satu nilai variabelnya
3). Substitusikan nilai variabel ke garis, kita peroleh kedua titik potong kedua lingkaran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik pusat ada di garis $ x - 2y = 5 $, substitusikan titik pusatnya :
$\begin{align} (x,y) = (-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B) \rightarrow x - 2y & = 5 \\ \text{(kali 2 ) } \, \, \, -\frac{1}{2}A - 2.(-\frac{1}{2}B) & = 5 \\ -A +2B & = 10 \, \, \, \, \, \, \, ...(i) \end{align} $
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran, eliminasi :
$\begin{array}{cc} x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 & \\ x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 & - \\ \hline 4x - 4y + 8 = 0 & \\ x - y + 2 = 0 & \end{array} $
Persamaan garisnya : $ x - y + 2 = 0 \rightarrow y = x + 2 $
-). Substitusi garis ke $ L_1 $ :
$ \begin{align} x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 & = 0 \\ x^2+(x+2)^2 - 2x - 2(x+2) - 2 & = 0 \\ 2x^2 - 2 & = 0 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \\ x = 1 \rightarrow y & = x + 2 \\ y & = 1 + 2 = 3 \\ x = -1 \rightarrow y & = x + 2 \\ y & = -1 + 2 = 1 \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran adalah $(1,3) $ dan $ (-1,1) $.
*). Lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ melalui dua titik $(1,3) $ dan $ (-1,1) $
$\begin{align} (1,3) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 1^2 + 3^2 + A.1 + B.3 + C & = 0 \\ A + 3B + C & = -10 \, \, \, \, ...(ii) \\ (-1,1) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ (-1)^2 + 1^2 + A.(-1) + B.1 + C & = 0 \\ -A + B + C & = -2 \, \, \, \, ...(iii) \end{align} $
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(iii) :
$\begin{array}{cc} A + 3B + C = -10 & \\ -A + B + C = -2 & - \\ \hline 2A + 2B = -8 & \\ A + B = -4 & (iv) \end{array} $
*). Eliminasi pers(iv) dan pers(i) :
$\begin{array}{cc} -A +2B = 10 & \\ A + B = -4 & + \\ \hline 3B = 6 & \\ B = 2 & \end{array} $
Pers(iv) : $ A + B = -4 \rightarrow A + 2 = -4 \rightarrow A = -6 $
Pers(iii): $ -A + B + C = -2 \rightarrow -(-6) + 2 + C = -2 \rightarrow C = -10 $
Sehingga persamaan lingkarannya adalah :
$ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
yaitu $ x^2 + y^2 - 6x + 2y -10 = 0 $.
Jadi, persamaannya adalah $ x^2 + y^2 - 6x + 2y -10 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan bilangan-bilangan positif $ x_1 $ dan $ x_2 $. Jika $ 12, x_1, x_2 $ membentuk barisan aritmetika dan $ x_1, x_2, 4 $ membentuk barisan geometri, maka $ x_1 + x_2 = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 15 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Aritmetika dan Geometri :
*). Barisan artimetika memiliki selisih sama antara dua suku berdekatan.
Jika $ x , y , z \, $ barisan aritmetika, maka $ 2y = x + z $.
*). Barisan geometri memiliki perbandingan sama antara dua suku berdekatan.
Jika $ x , y , z \, $ barisan geometri, maka $ y^2 = x.z $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). $ 12, x_1, x_2 $ membentuk barisan aritmetika
maka $ 2x_1 = 12 + x_2 \rightarrow x_1 = 6 + \frac{1}{2}x_2 \, $ ....(i)
-). $ x_1, x_2, 4 $ membentuk barisan geometri
maka $ x_2^2 = 4.x_1 \, $ ....(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} x_2^2 & = 4.x_1 \\ x_2^2 & = 4.(6 + \frac{1}{2}x_2) \\ x_2^2 & = 24 + 2x_2 \\ x_2^2 - 2x_2 - 24 & = 0 \\ (x_2 + 4)(x_2 - 6) & = 0 \\ x_2 = -4 \vee x_2 & = 6 \end{align} $
Karena $ x_2 $ positif, $ x_2 = 6 $ yang memenuhi.
Pers(i) : $ x_1 = 6 + \frac{1}{2}x_2 = 6 + \frac{1}{2} . 6 = 6 + 3 = 9 $
Sehingga nilai $ x_1 + x_2 = 9 + 6 = 15 $.
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = 15 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \tan A = \frac{4}{3} $ , dan $ \tan B = 7 $ , maka $ A + B = .... $
A). $ 45^\circ \, $ B). $ 135^\circ \, $ C). $ 150^\circ \, $ D). $ 225^\circ \, $ E). $ 330^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A . \tan B} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ A + B $ :
$\begin{align} \tan (A + B) & = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A . \tan B} \\ & = \frac{\frac{4}{3} + 7}{1 - \frac{4}{3} . 7} \\ & = \frac{\frac{4}{3} + 7}{1 - \frac{4}{3} . 7} \times \frac{3}{3} \\ & = \frac{4 + 21}{3 - 28} \\ & = \frac{25}{-25} \\ \tan (A + B) & = -1 \\ A + B & = 135^\circ \end{align} $
Jadi, nilai $ A + B = 135^\circ . \, \heartsuit $

Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui dua bilangan real positif $ x $ dan $ y $. Jika $ x + 2y = 20 $, maka nilai maksimum dari $ x^2y $ adalah .....
A). $ \frac{16000}{9} \, $ B). $ \frac{16000}{27} \, $ C). $ \frac{4000}{27} \, $ D). $ \frac{1600}{27} \, $ E). $ \frac{400}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Terapan Turunan
*). Fungsi $ f(x) $ akan mencapai maksimum atau minimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun fungsinya :
$ x + 2y = 20 \rightarrow y = 10 - \frac{1}{2}x \, $ ....(i)
Substitusi pers(i) ke $ x^2y $ :
$\begin{align} x^2y & = x^2 (10 - \frac{1}{2}x) \\ f(x) & = 10x^2 - \frac{1}{2}x^3 \\ f^\prime (x) & = 20x - \frac{3}{2}x^2 \end{align} $
*). Syarat nilai maks/min : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 20x - \frac{3}{2}x^2 & = 0 \\ x(20 - \frac{3}{2}x) & = 0 \\ x = 0 \vee 20 - \frac{3}{2}x & = 0 \\ x = 0 \vee x & = \frac{40}{3} \end{align} $
Bentuk $ x^2y $ akan maksimum saat $ x = \frac{40}{3} $,
Sehingga $ y = 10 - \frac{1}{2}x = 10 - \frac{1}{2} \times \frac{40}{3} = \frac{10}{3} $.
*). Menentukan Nilai maksimum bentuk $ x^2y $ :
$\begin{align} x^2y & = \left( \frac{40}{3} \right)^2 . \frac{10}{3} \\ & = \frac{16000}{27} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{16000}{27} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Dimensi Tiga UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah ....
A). $ \frac{4}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{3}{4}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{4}{3}\sqrt{2} \, $ D). $ \frac{3}{4}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{8}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk jenis soal seperti ini, jarak titik C ke bidang BDG adalah
$ = \frac{1}{3} \times \, $ diagonal ruang.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar kubus ABCD.EFGH :
 

$ CE = 4\sqrt{3} \, $ (diagonal ruang)
*). Perhatikan gambar, jarak titik C ke bidang BDG sama dengan CM karena garis CM tegak lurus dengan bidang BDG. Panjang CM adalah $ \frac{1}{3} $ panjang CE (diagonal ruangnya).
*). Menentukan panjang CM :
$ CM = \frac{1}{3} . CE = \frac{1}{3}. 4\sqrt{3} = \frac{4}{3}\sqrt{3} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{4}{3}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah ....
A). $ \frac{4}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{3}{4}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{4}{3}\sqrt{2} \, $ D). $ \frac{3}{4}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{8}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menentukan jarak pada dimensi tiga, kita bisa menggunakan perbansingan luas segitiga.
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar kubus ABCD.EFGH :
 

$ AC = 4\sqrt{2} \, $ (diagonal bidang)
$ CN = \frac{1}{2}AC = 2\sqrt{2} $
$ GN = \sqrt{CN^2 + CG} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} = 2\sqrt{2}.\sqrt{3} $
Jarak C ke bidang BDG = jarak C ke garis GN = panjang CM.
*). Menentukan panjang CM dengan luas segitiga CGN yaitu alasnya GN dan alasnya CN:
$\begin{align} \frac{1}{2}. GN . CM & = \frac{1}{2} . CN . CG \\ CM & = \frac{CN.CG}{GN} \\ & = \frac{2\sqrt{2}. 4}{2\sqrt{2}.\sqrt{3}} \\ & = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{4}{3}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Fungsi UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f\left( \frac{2x+1}{x-3} \right) = x^2 + 2x - 3 $ , maka nilai dari $ f^\prime (0) $ adalah ....
A). $ -2\frac{1}{4} \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1\frac{3}{4} \, $ D). $ -1\frac{1}{4} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan Fungsi :
*). Turunan fungsi :
$ y = ax^2 \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V - U .V^\prime}{V^2} $
*). Untuk bentuk pecahan $ y = \frac{ax+b}{cx+d} $ ,
turunannya adalah $ y^\prime = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari bentuk $ f\left( \frac{2x+1}{x-3} \right) = x^2 + 2x - 3 $, kita misalkan $ g(x) = \frac{2x+1}{x-3} $ , sehingga turunannya $ g^\prime (x) = \frac{2.(-3) - 1.1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2 } $
*). Menentukan turunan fungsi pada soal :
$\begin{align} f\left( \frac{2x+1}{x-3} \right) & = x^2 + 2x - 3 \\ f\left[ g(x) \right] & = x^2 + 2x - 3 \, \, \, \, \, \, \text{(turunannya)} \\ f^\prime \left[ g(x) \right] . g^\prime (x) & = 2x + 2 \\ f^\prime \left( \frac{2x+1}{x-3} \right) . \frac{-7}{(x-3)^2 } & = 2x + 2 \\ f^\prime \left( \frac{2x+1}{x-3} \right) & = -\frac{1}{7} (x-3)^2 .(2x + 2) \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Agar kita peroleh $ f^\prime (0) $, haruslah :
$\begin{align} \frac{2x+1}{x-3} & = 0 \\ 2x+1 & = 0 \\ 2x & = -1 \\ x & = -\frac{1}{2} \end{align} $
*). Substitusi $ x = -\frac{1}{2} \, $ ke (i) :
$\begin{align} f^\prime \left( \frac{2x+1}{x-3} \right) & = -\frac{1}{7} (x-3)^2 .(2x + 2) \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ f^\prime \left( \frac{2. ( -\frac{1}{2})+1}{ -\frac{1}{2}-3} \right) & = -\frac{1}{7}. ( -\frac{1}{2}-3)^2 .(2.( -\frac{1}{2}) + 2) \\ f^\prime \left( \frac{-1+1}{ -\frac{7}{2}} \right) & = -\frac{1}{7}. ( -\frac{7}{2})^2 .(-1 + 2) \\ f^\prime \left( \frac{0}{ -\frac{7}{2}} \right) & = -\frac{1}{7}. \frac{49}{4} .(1) \\ f^\prime \left( 0 \right) & = - \frac{7}{4} \\ & = - 1\frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ f^\prime \left( 0 \right) = -1\frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Suku Banyak UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Jika salah satu akar persamaan $ x^3 + 2x^2 + px - 6 = 0 $ adalah 2, maka jumlah dua akar lainnya adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menentukan penjumlahan akar-akar suku banyak, bisa menggunakan teorem Vieta (operasi akar-akar).
*). Suku banyak $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2, x_3 $.
$ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan akar-akar persamaan $ x^3 + 2x^2 + px - 6 = 0 $ adalah $ x_1 , x_2, $ dan $ x_3 $ dengan salah satu akarnya $ x_3 = 2 $ :
Operasi penjumlahan akarnya :
$ \begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{-b}{a} \\ x_1 + x_2 + 2 & = \frac{-2}{1} \\ x_1 + x_2 + 2 & = -2 \\ x_1 + x_2 & = -4 \end{align} $
Sehingga jumlah dua akar selain $ x_3 = 2 $ adalah
$ x_1 + x_2 = -4 $.
Jadi, jumlah dua akar lainnya adalah $ - 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Jika salah satu akar persamaan $ x^3 + 2x^2 + px - 6 = 0 $ adalah 2, maka jumlah dua akar lainnya adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menentukan akar-akar suku banyak, bisa menggunakan metode horner.
*). Misalkan $ k $ adalah akar dari suku banyak $ f(x) = 0 $ , maka bisa kita substitusi sehingga $ f(k) = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ p $ dengan substitusi $ x = 2 $ :
$ \begin{align} x^3 + 2x^2 + px - 6 & = 0 \\ 2^3 + 2.2^2 + p.2 - 6 & = 0 \\ 8 + 8 + 2p - 6 & = 0 \\ 2p & = - 10 \\ p & = -5 \end{align} $
Sehingga suku banyaknya menjadi : $ x^3 + 2x^2 -5x - 6 = 0 $
*). Memfaktorkan dengan metode horner :
$ \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 2 & -5 & -6 & \\ 2 & * & 2 & 3 & 6 & + \\ \hline & 1 & 4 & 3 & 0 & \end{array} $
Sisanya : $ 0 \, $ (karena $ x = 2 $ adalah akarnya)
Hasilnya : $ x^2 + 4x + 3 $
Yang dapat difaktorkan menjadi :
$ x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3) $
$ x_1 = -1 , x_2 = -3$,
Sehingga jumlah dua akar selain $ x_3 = 2 $ adalah
$ x_1 + x_2 = -1 + (-3) = -4 $.
Jadi, jumlah dua akar lainnya adalah $ - 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Banyak bilangan tiga digit yang berbeda yang disusun dari angka 0,1,2,...,9 dan habis dibagi oleh 5 adalah ....
A). $ 136 \, $ B). $ 144 \, $ C). $ 128 \, $ D). $ 162 \, $ E). $ 180 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Kaidah aturan perkalian :
Jika ada dua kejadian yaitu $ p $ dan $ q $ terjadi sekaligus, maka total kejadiannya adalah $ p \times q$.
*). Ciri-ciri suatu bilangan dapat dibagi oleh 5 adalah satuannya harus 0 atau 5.
*). Bilangan dengan digit berbeda, artinya tidak boleh ada digit yang sama sehingga angka yang sudah kita pakai tidak boleh dipakai lagi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada 10 pilihan angka yaitu : $ 0,1,2, ... , 9 $
*). Bilangan dengan tiga digit terdiri dari ratusan, puluhan dan satuan (berbeda).
*). Agar bilangan habis dibagi 5 maka satuannya harus 0 atau 5. Kita bagi menjadi dua kasus yaitu :
-). satuannya angka 0,
Satuan ada 1 cara,
Ratusan ada 9 cara yang tersisa,
Puluhan ada 8 cara yang tersisa,
Cara I $ = 1 \times 9 \times 8 = 72 \, $ cara.
-). satuannya angka 5,
Satuan ada 1 cara,
Ratusan ada 8 cara yang tersisa (angka 0 tidak boleh didepan),
Puluhan ada 8 cara yang tersisa (angka 0 boleh ikut),
Cara II $ = 1 \times 8 \times 8 = 64 \, $ cara.
-). Sehingga total cara :
Total = Cara I $ + $ cara II = $ 72 + 64 = 136 \, $ cara.
Jadi, ada 136 bilangan $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Perkalian Vektor UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = a\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} $ dan $ \vec{v} = -\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} $ . Jika vektor $ \vec{w} $ tegak lurus vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dengan panjang vektor $ \vec{w} $ adalah 3, maka jumlah nilai-nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perkalian Cross dua buah vektor menghasilkan suatu vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut.
*). $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{c} $, artinya $ \vec{c} $ tegak lurus $ \vec{u} $ dan $ \vec{c} $ tegak lurus $ \vec{v} $.
*). Panjang vektor $ \vec{a} $ disimbolkan $ |\vec{a}| $ :
Misalkan $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) \rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{a_1^1 + a_2^2 + a_3^2} $.
*). Perkalian Cross :
Misalkan $ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) = b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k} $
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) $
*). Operasi penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat :
Jumlah $ = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $\vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \vec{u} = \vec{u} = a\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} = (a , 1, 2) $
dan $ \vec{v} = -\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} = (-1,-1,-1) $
$\begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) \\ \vec{w} & = (1.(-1)-2.(-1), 2.(-1) - a.(-1) , a.(-1) - 1.(-1)) \\ & = (-1 + 2 , -2 + a , -a + 1 ) \\ & = ( 1 , a - 2 , 1 - a) \end{align} $
*). Menyusun persamaan dengan panjang $ \vec{w} $ = 3 :
$\begin{align} |\vec{w}| & = 3 \\ \sqrt{1^2 + (a-2)^2 + (1-a)^2} & = 3 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 1^2 + (a-2)^2 + (1-a)^2 & = 9 \\ 1 + a^2 - 4a + 4 + a^2 - 2a + 1 & = 9 \\ 2a^2 - 6a - 3 & = 0 \end{align} $
Jumlah nilai $ a $ yang mungkin adalah :
Jumlah $ = \frac{-b}{a} = \frac{-(-6)}{2} = 3 $
Jadi, jumlah nilai $ a $ yang memenuhi adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret dan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui suatu deret tak hingga $ \sin 2x \sin ^2x + \sin 2x \sin ^4 x + \sin 2x \sin ^6 x + ...$, $ 0 < x \leq \frac{\pi}{4} $. Nilai maksimum deret tak hingga tersebut adalah ....
A). $ 32 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Deret geometri tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1 - r} $
*). Rumus Trigonometri
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1 - \sin ^2 x = \cos ^2 x $
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $ dan $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
*). Turunan fungsi :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U.V^\prime $
*). Fungsi $ y = f(x) $ disebut fungsi naik jika $ f^\prime (x) > 0 $ untuk semua $ x $.
*). Jika fungsi $ y = f(x) $ adalah fungsi naik, maka pada interval $ a \leq x \leq b $ mencapai maksimum di $ x = b $ dan minimum di $ x = a $, sehingga nilai maksimumnya adalah $ f(b) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menghitung deret tak hingganya :
$ \sin 2x \sin ^2x + \sin 2x \sin ^4 x + \sin 2x \sin ^6 x + ...$
$ a = \sin 2x \sin ^2x $ dan $ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{ \sin 2x \sin ^4 x }{ \sin 2x \sin ^2 x } = \sin ^2 x $
$\begin{align} S_\infty & = \frac{a}{1-r} \\ f(x) & = \frac{\sin 2x \sin ^2x}{1 - \sin ^2 x} \\ & = \frac{2 \sin x \cos x \sin ^2x}{\cos ^2 x} \\ & = \frac{2 \sin x \sin ^2x}{\cos x} \\ & = 2 \sin ^2x . \frac{\sin x }{\cos x} \\ & = 2 \sin ^2x . \tan x = 2(\sin ^2 x . \tan x ) \end{align} $
*). Menentukan turunan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = 2( \sin ^2x . \tan x) = U.V \\ U & = \sin ^2 x \rightarrow U^\prime = 2 \sin x \cos x \\ V & = \tan x \rightarrow V^\prime = \sec ^2 x \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U.V^\prime \\ & = 2( 2 \sin x \cos x . \tan x + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) \\ & = 2( 2 \sin x \cos x . \frac{\sin x}{\cos x} + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) \\ & = 2( 2 \sin x \sin x + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) \\ & = 2( 2 \sin ^2 x + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) \\ \end{align} $
*). Perhatikan hasil turunannya yaitu
$ f^\prime (x) = 2( 2 \sin ^2 x + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) > 0 $
(selalu positif) untuk semua nilai $ x $ karena bentuknya kuadrat, sehingga fungsi $ f(x) $ adalah fungsi naik. Artinya pada interval $ 0 < x \leq \frac{\pi}{4} $ akan maksimum di batas atasnya yaitu saat $ x = \frac{\pi}{4} $ .
*). Menentukan nilai maksimumnya saat $ x = \frac{\pi}{4} $ :
$\begin{align} f(x) & = 2( \sin ^2x . \tan x) \\ f_\text{maks} & = f \left( \frac{\pi}{4} \right) \\ & = 2. \sin ^2 \frac{\pi}{4} . \tan \frac{\pi}{4} \\ & = 2. \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^2 . 1 \\ & = 2. \left(\frac{1}{2} \right) . 1 \\ & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor Satuan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan dua vektor $ \vec{u} = (1, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1) $ . Jika vektor $ \vec{w} $ mempunyai panjang satu dan tegak lurus dengan vektor $ \vec{u } $ dan $ \vec{v} $ , maka $ \vec{w} = .... $
A). $ (0,0,0) \, $
B). $ \left( \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2}, 0 \right) \, $
C). $ \left( \frac{1}{2}\sqrt{2}, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, 0 \right) \, $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \, $
E). $ \left( \frac{2}{3} , \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perkalian Cross dua buah vektor menghasilkan suatu vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut.
*). $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{c} $, artinya $ \vec{c} $ tegak lurus $ \vec{u} $ dan $ \vec{c} $ tegak lurus $ \vec{v} $.
*). Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Vektor satuan dari $ \vec{a} $ adalah $ \frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} $.
*). Panjang vektor $ \vec{a} $ disimbolkan $ |\vec{a}| $ :
Misalkan $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) \rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{a_1^1 + a_2^2 + a_3^2} $.
*). Perkalian Cross :
Misalkan $ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) $
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) $
*). Sifat perkalian cross :
$ \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $\vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \vec{u} = (1, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1) $
$\begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) \\ & = ((-1).(-1) - 2.1 , 2.(-1)-1.(-1), 1.1 - (-1).(-1)) \\ & = (1 - 2 , -2 + 1, 1 -1) \\ & = (-1 , -1, 0) \end{align} $
*). Menentukan Panjang $ \vec{u} \times \vec{v} $ :
$\begin{align} |\vec{u} \times \vec{v}| & = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 } = \sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan vektor $ \vec{w} $ :
$\begin{align} \vec{w} & = \frac{1}{|\vec{u} \times \vec{v}|} (\vec{u} \times \vec{v}) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (-1 , -1, 0) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} (-1 , -1, 0) \\ & = \left( -\frac{1}{2}\sqrt{2} , - \frac{1}{2}\sqrt{2} , 0 \right) \end{align} $
atau
$\begin{align} \vec{w} & = \frac{1}{|\vec{v} \times \vec{u}|} (\vec{v} \times \vec{u}) \\ & = \frac{1}{|\vec{u} \times \vec{v}|} (-\vec{u} \times \vec{v}) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 , 1, 0) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} (1 , 1, 0) \\ & = \left( \frac{1}{2}\sqrt{2} , \frac{1}{2}\sqrt{2} , 0 \right) \end{align} $
Yang ada dijopsion adalah $ \vec{w} = \left( \frac{1}{2}\sqrt{2} , \frac{1}{2}\sqrt{2} , 0 \right) $
Jadi, $ \vec{w} = \left( \frac{1}{2}\sqrt{2} , \frac{1}{2}\sqrt{2} , 0 \right) . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan garis lurus melalui $(0,-2) $ dan $\left( \frac{3}{2} , 0 \right) $. Jarak parabola $ y = x^2 - 1 $ ke garis tersebut adalah ....
A). $ \frac{5}{6} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{1}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui $(x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2)$ :
$ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $
*). Jarak titik $ (x_0,y_0) $ ke garis $ ax+by+c = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{a.x_0+b.y_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
*). Jarak yang dimaksud adalah jarak terpendek (minimum).
*). Gradien garis singgung di titik $(a,b) $ adalah $ m = f^\prime (a) $
*). Gradien garis $ ax + by + c = 0 $ adalah $ m = \frac{-a}{b} $.
*). Jarak garis ke parabola dapat ditentukan dengan :
i). Menentukan titik singgung dimana garis singgungnya sejajar dengan garis lurus yang mau kita cari jaraknya, sehingga gradiennya sama,
ii). Jarak dapat dihitung dari titik singgung ke garis lurusnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,-2) $ dan $ (x_2,y_2) = (\frac{3}{2} , 0) $ :
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-(-2)}{0-(-2)} & = \frac{x-0}{\frac{3}{2} - 0} \\ \frac{y+2}{2} & = \frac{2x }{3} \\ 3y + 6 & = 4x \\ -4x + 3y + 6 & = 0 \\ m & = \frac{-a}{b} = \frac{-(-4)}{3} = \frac{4}{3} \end{align} $
*). Misalkan titik singgungnya $ (a,b) $, gradiennya :
$ y = x^2 - 1 \rightarrow y^\prime = 2x $
$ m = f^\prime (a) = 2a $.
 

*). Gradien garis singgung sama dengan gradien garis $ -4x + 3y + 6 $ :
$\begin{align} 2a & = \frac{4}{3} \rightarrow a = \frac{2}{3} \end{align} $
$ y = x^2 - 1 \rightarrow b = (\frac{2}{3})^2 - 1 = -\frac{5}{9} $
Artinya titik singgungnya $ (a,b) = (\frac{2}{3} , -\frac{5}{9} ) $.
*). Menentukan jarak titik $(\frac{2}{3} , -\frac{5}{9} ) $ ke garis $ -4x + 3y + 6 = 0 $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{-4x + 3y + 6}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-4.\frac{2}{3} + 3.( -\frac{5}{9} ) + 6}{5} \right| \\ & = \frac{1}{5} \left| -\frac{8}{3} - \frac{5}{3} + 6 \right| \\ & = \frac{1}{5} . \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan garis lurus melalui $(0,-2) $ dan $\left( \frac{3}{2} , 0 \right) $. Jarak parabola $ y = x^2 - 1 $ ke garis tersebut adalah ....
A). $ \frac{5}{6} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{1}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui $(x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2)$ :
$ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $
*). Jarak titik $ (x_0,y_0) $ ke garis $ ax+by+c = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{a.x_0+b.y_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
*). Jarak yang dimaksud adalah jarak terpendek (minimum).
*). Nilai minimum fungsi $ y = f(x) $ pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,-2) $ dan $ (x_2,y_2) = (\frac{3}{2} , 0) $ :
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-(-2)}{0-(-2)} & = \frac{x-0}{\frac{3}{2} - 0} \\ \frac{y+2}{2} & = \frac{2x }{3} \\ 3y + 6 & = 4x \\ -4x + 3y + 6 & = 0 \end{align} $
*). Kita tidak bisa langsung mencari jarak garis ke parabola namun kita menghitung jarak titik ke garis, sehingga kita cari titik pada parabola yang posisinya terdekat dengan garis. Misalkan titik tersebut $(a,b) $, karena ada di parabola maka boleh kita substitusi ke parabola :
$ (x,y)=(a,b) \rightarrow y = x^2 - 1 \rightarrow b = a^2 - 1 $.
Artinya titik tersebut menjadi $ (a,b) = (a,a^2 - 1) $.
ilustrasi gambarnya
 

*). Menentukan jarak $(a, a^2 - 1) $ titik ke garis $ -4x + 3y + 6 = 0 $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{-4x + 3y + 6}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}} \right| \\ f(a) & = \left| \frac{-4.a + 3.(a^2 - 1) + 6}{5} \right| \\ f(a) & = \left| \frac{3a^2 - 4a + 3}{5} \right| \\ f(a) & = \frac{1}{5}(3a^2 - 4a + 3) \\ f^ \prime (a) & = \frac{1}{5}(6a - 4 ) \\ \end{align} $
*). Syarat nilai minimum : Turunan pertama $ = 0 $
$\begin{align} f^ \prime (a) & = 0 \\ \frac{1}{5}(6a - 4 ) & = 0 \\ 6a & = 4 \\ a & = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan Jarak garis dan parabola saat $ a = \frac{2}{3} $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = f(a) = \frac{1}{5}(3a^2 - 4a + 3) \\ & = \frac{1}{5}(3.(\frac{2}{3})^2 - 4.\frac{2}{3} + 3) \\ & = \frac{1}{5}.( \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{9}{3}) \\ & = \frac{1}{5}.( \frac{5}{3}) = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = b^x , \, b \, $ konstanta positif, maka $ \frac{f(x^2-1)}{f(1-x^2)} = .... $
A). $ f(1 - x^2)f(1 - x^2) \, $
B). $ f(1 - x^2)f(x^2 - 1) \, $
C). $ f(x^2 - 1)f( x^2 - 1) \, $
D). $ f(1 - x^2) + f(1 - x^2) \, $
E). $ f(x^2 - 1) + f( x^2 - 1) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat eksponen :
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk fungsi masing-masing :
$ f(x) = b^x $
$ f(x^2 - 1) = b^{x^2 - 1} $
$ f(1 - x^2) = b^{1 - x^2} $
*). Menentukan hasil :
$ \begin{align} \frac{f(x^2-1)}{f(1-x^2)} & = \frac{b^{x^2 - 1}}{b^{1 - x^2}} \\ & = b^{x^2 - 1} . b^{-(1 - x^2)} \\ & = b^{x^2 - 1} . b^{x^2 - 1} \\ & = f(x^2-1) . f(x^2-1) \end{align} $
Jadi, Bentuk $ \frac{f(x^2-1)}{f(1-x^2)} = f(x^2-1) f(x^2-1) . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to -y} \frac{\tan x + \tan y}{\left(\frac{x^2-y^2}{-2y^2} \right) (1 - \tan x \tan y)} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ y \, $ E). $ -y $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit fungsi Trigonometri
*). sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\tan f(x) }{f(x)} = 1 \, $ dengan syarat $ f(k) = 0 $.
*). Rumus trigonometri :
$ \tan (x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -y} \frac{\tan x + \tan y}{\left(\frac{x^2-y^2}{-2y^2} \right) (1 - \tan x \tan y)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -y} \, \frac{-2y^2}{x^2-y^2} . \frac{\tan x + \tan y}{(1 - \tan x \tan y)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -y} \, \frac{-2y^2}{x^2-y^2} . \tan (x + y) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -y} \, \frac{-2y^2}{(x-y)(x+y)} . \tan (x + y) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -y} \, \frac{\tan (x+y) }{(x+y)} . \frac{-2y^2}{(x-y) } \\ & = 1 . \frac{-2y^2}{(-y-y) } \\ & = \frac{-2y^2}{(-2y) } = y \end{align} $ .
Jadi, hasil limitnya adalah $ y . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UTUL UGM 2017 Matematika IPA Kode 814


Nomor 1
$ \displaystyle \lim_{x \to -y} \frac{\tan x + \tan y}{\left(\frac{x^2-y^2}{-2y^2} \right) (1 - \tan x \tan y)} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ y \, $ E). $ -y $
Nomor 2
Jika $ f(x) = b^x , \, b \, $ konstanta positif, maka $ \frac{f(x^2-1)}{f(1-x^2)} = .... $
A). $ f(1 - x^2)f(1 - x^2) \, $
B). $ f(1 - x^2)f(x^2 - 1) \, $
C). $ f(x^2 - 1)f( x^2 - 1) \, $
D). $ f(1 - x^2) + f(1 - x^2) \, $
E). $ f(x^2 - 1) + f( x^2 - 1) \, $
Nomor 3
DIberikan garis lurus melalui $(0,-2) $ dan $\left( \frac{3}{2} , 0 \right) $. Jarak parabola $ y = x^2 - 1 $ ke garis tersebut adalah ....
A). $ \frac{5}{6} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{1}{6} $
Nomor 4
Diberikan dua vektor $ \vec{u} = (1, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1) $ . Jika vektor $ \vec{w} $ mempunyai panjang satu dan tegak lurus dengan vektor $ \vec{u } $ dan $ \vec{v} $ , maka $ \vec{w} = .... $
A). $ (0,0,0) \, $
B). $ \left( \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2}, 0 \right) \, $
C). $ \left( \frac{1}{2}\sqrt{2}, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, 0 \right) \, $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \, $
E). $ \left( \frac{2}{3} , \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \, $
Nomor 5
Diketahui suatu deret tak hingga $ \sin 2x \sin ^2x + \sin 2x \sin ^4 x + \sin 2x \sin ^6 x + ...$, $ 0 < x \leq \frac{\pi}{4} $. Nilai maksimum deret tak hingga tersebut adalah ....
A). $ 32 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 1 $

Nomor 6
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = a\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} $ dan $ \vec{v} = -\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} $ . Jika vektor $ \vec{w} $ tegak lurus vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dengan panjang vektor $ \vec{w} $ adalah 3, maka jumlah nilai-nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 7
Banyak bilangan tiga digit yang berbeda yang disusun dari angka 0,1,2,...,9 dan habis dibagi oleh 5 adalah ....
A). $ 136 \, $ B). $ 144 \, $ C). $ 128 \, $ D). $ 162 \, $ E). $ 180 $
Nomor 8
Jika salah satu akar persamaan $ x^3 + 2x^2 + px - 6 = 0 $ adalah 2, maka jumlah dua akar lainnya adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 6 $
Nomor 9
Jika $ f\left( \frac{2x+1}{x-3} \right) = x^2 + 2x - 3 $ , maka nilai dari $ f^\prime (0) $ adalah ....
A). $ -2\frac{1}{4} \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1\frac{3}{4} \, $ D). $ -1\frac{1}{4} \, $ E). $ -1 $
Nomor 10
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah ....
A). $ \frac{4}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{3}{4}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{4}{3}\sqrt{2} \, $ D). $ \frac{3}{4}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{8}{3} $

Nomor 11
Diketahui dua bilangan real positif $ x $ dan $ y $. Jika $ x + 2y = 20 $, maka nilai maksimum dari $ x^2y $ adalah .....
A). $ \frac{16000}{9} \, $ B). $ \frac{16000}{27} \, $ C). $ \frac{4000}{27} \, $ D). $ \frac{1600}{27} \, $ E). $ \frac{400}{9} $
Nomor 12
Jika $ \tan A = \frac{4}{3} $ , dan $ \tan B = 7 $ , maka $ A + B = .... $
A). $ 45^\circ \, $ B). $ 135^\circ \, $ C). $ 150^\circ \, $ D). $ 225^\circ \, $ E). $ 330^\circ $
Nomor 13
DIberikan bilangan-bilangan positif $ x_1 $ dan $ x_2 $. Jika $ 12, x_1, x_2 $ membentuk barisan aritmetika dan $ x_1, x_2, 4 $ membentuk barisan geometri, maka $ x_1 + x_2 = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 15 $
Nomor 14
Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $ L_1 \equiv x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 $ serta berpusat di garis $ g \equiv x - 2y = 5 $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 5 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 5 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 10 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0 \, $
Nomor 15
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $|x|+|x-2| > 3 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
B). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
C). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
D). $ x < -1 \, $ atau $ x > 3 $
E). $ x < -\frac{3}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $


Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Untuk bilangan $ a > 1 $ , jika $ p = \frac{x}{a^3} $ , maka nilai semua $ x $ yang memenuhi $ \frac{{}^p \log a }{{}^a \log x \, - 4} < 0 $ adalah ....
A). $ a^{-3} < x < a^4 \, $
B). $ a^{3} < x < a^4 \, $
C). $ a^{-3} < x < a^3 \, $
D). $ a^{-2} < x < a^2 \, $
E). $ a < x < a^4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=a^2 \Rightarrow p & = \frac{x}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} = a^{-1} \\ \frac{{}^{a^{-1}} \log a }{{}^a \log a^2 \, - 4} & < 0 \\ \frac{-1}{2 \, - 4} & < 0 \\ \frac{1}{2} & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \\ \text{Pilih} \, x=a \Rightarrow p & = \frac{x}{a^3} = \frac{a}{a^3} = a^{-2} \\ \frac{{}^{a^{-2}} \log a }{{}^a \log a \, - 4} & < 0 \\ \frac{-2}{1 \, - 4} & < 0 \\ \frac{2}{3} & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=a$ SALAH, opsi yang salah D.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi B (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ \{ a^3 < x < a^4 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Untuk bilangan $ a > 1 $ , jika $ p = \frac{x}{a^3} $ , maka nilai semua $ x $ yang memenuhi $ \frac{{}^p \log a }{{}^a \log x \, - 4} < 0 $ adalah ....
A). $ a^{-3} < x < a^4 \, $
B). $ a^{3} < x < a^4 \, $
C). $ a^{-3} < x < a^3 \, $
D). $ a^{-2} < x < a^2 \, $
E). $ a < x < a^4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nol kan salah satu ruas, kemudian kita tentukan akar-akarnya,
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $-$),
3). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ < 0 $ , maka pilih daerah negatif,
Jika $ > 0 $ , maka pilih daerah positif.
*). Konsep logaritma :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Karena solusi yang ada di option dalam bentuk $ a $ dan $ x $, maka $ p $ harus kita ganti dulu.
*). Menentukan akar-akar pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{{}^p \log a }{{}^a \log x \, - 4} & < 0 \\ \frac{{}^\frac{x}{a^3} \log a }{{}^a \log x \, - 4} & < 0 \\ \frac{1 }{\left( {}^a \log \frac{x}{a^3} \right) ({}^a \log x \, - 4)} & < 0 \\ \text{pertama : } {}^a \log \frac{x}{a^3} & = 0 \\ \frac{x}{a^3} & = a^0 \\ \frac{x}{a^3} & = 1 \\ x & = a^3 \\ \text{kedua : } ({}^a \log x \, - 4) & = 0 \\ {}^a \log x & = 4 \\ x & = a^4 \end{align} $
Garis bilangan dan tandanya :
 

Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya $ \{ a^3 < x < a^4 \} $
Jadi, penyelesaiannya adalah $ \{ a^3 < x < a^4 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Penerapan Matriks UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Sistem persamaan linear
$ \, \, \, \, \, \, \begin{align} & 2x \sin a + y \cos a = -2 \\ & 2x \cos a - y \sin a = 2 \end{align} $
mempunyai solusi $ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = .... $
A). $ \left( \begin{matrix} \sin a + \cos a \\ -2\cos a - 2 \sin a \end{matrix} \right) \, $
B). $ \left( \begin{matrix} -\sin a + \cos a \\ 2\cos a - 2 \sin a \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} \sin a - \cos a \\ -2\cos a - 2 \sin a \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} -\sin a + \cos a \\ -2\cos a - 2 \sin a \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} -\sin a + \cos a \\ -2\cos a + 2 \sin a \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan matriks A :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $
*). Invers matriks A :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers matriks :
$ AX = B \rightarrow X = A^{-1}.B $
*). Sistem persamaan Linear Metode invers:
$ \, \, \, \, \, \, \begin{align} & a_1x + b_1y = c_1 \\ & a_2x + b_2y = c_2 \end{align} $
Bentuk persamaan matriksnya :
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan matriksnya :
$ \, \, \, \, \, \, \begin{align} & 2x \sin a + y \cos a = -2 \\ & 2x \cos a - y \sin a = 2 \end{align} $
Persamaannya :
$ \left( \begin{matrix} 2\sin a & \cos a \\ 2\cos a & -\sin a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan hasil akhirnya :
$ \begin{align} & \left( \begin{matrix} 2\sin a & \cos a \\ 2\cos a & -\sin a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2\sin a & \cos a \\ 2\cos a & -\sin a \end{matrix} \right) ^{-1} . \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{-2\sin ^2 a - 2\cos ^2 a} \left( \begin{matrix} -\sin a & -\cos a \\ -2\cos a & 2\sin a \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{-2(\sin ^2 a + \cos ^2 a)} \left( \begin{matrix} -\sin a & -\cos a \\ -2\cos a & 2\sin a \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{-2.1} \left( \begin{matrix} -\sin a & -\cos a \\ -2\cos a & 2\sin a \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\sin a & -\cos a \\ -2\cos a & 2\sin a \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\sin a + \cos a \\ -2\cos a - 2\sin a \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, nilai $ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\sin a + \cos a \\ -2\cos a - 2\sin a \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Geometri UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Pada suatu deret geometri diketahui suku ke-6 adalah 162 dan jumlah logaritma dari suku ke-2, ke-3 dan ke-4 sama dengan $ 3 \log 2 + 3\log 3 $. Suku ke-3 deret tersebut adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 9 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 54 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n $ : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
$ n . {}^a \log b = {}^a \log b^n $
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ U_6 = 162 \rightarrow ar^5 = 162 \, $ ....pers(i)
*). Jumlah logaritma :
$\begin{align} \log U_2 + \log U_3 + \log U_4 & = 3 \log 2 + 3\log 3 \\ \log U_2. U_3 . U_4 & = \log 2^3 + \log 3^3 \\ \log ar. ar^2. ar^3 & = \log 2^3. 3^3 \\ a^3r^6 & = (6)^3 \\ (ar^2)^3 & = (6)^3 \\ ar^2 & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
Artinya kita telah menemukan nilai suku ke-3 :
$ U_3 = ar^2 = 6 $.
Jadi, nilai suku ke-3 adalah $ 6 . \, \heartsuit $

Catatan :
Teman-teman boleh menentukan nilai $ a $ dan $ r $ dengan cara menyelesaikan pers(i) dan pers(ii), setelah itu baru kita tentukan nilai suku ke-3 nya.

Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = \frac{15x-1}{x+k} $ di titik $(x_0,y_0) $ dengan $ x_0 = k + 1 $ memotong sumbu X di $(\frac{1}{2} , 0 ) $. Nilai $ y_0 = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ \frac{45}{2} \, $ E). $ 45 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Terapan Turunan
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_0, y_0) $ :
$ \, \, \, \, \, y - y_0 = m(x - x_0) $
dengan $ m = f^\prime (x_0) $
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V - U . V^\prime }{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ y_0 $ dengan substitusi $ x_0 = k+1 $ :
$\begin{align} y & = \frac{15x-1}{x+k} \\ y_0 & = \frac{15(k+1)-1}{(k+1)+k} \\ y_0 & = \frac{15k + 14}{2k + 1} \end{align} $
*). Menentukan turunan dan gradien $ m $:
$\begin{align} y & = \frac{15x-1}{x+k} \\ y^\prime & = \frac{15.(x+k) - (15x-1).1}{(x+k)^2} \\ y^\prime & = \frac{15k + 1}{(x+k)^2} \\ m & = f^\prime (x_0) = f^\prime (k+1) \\ & = \frac{15k + 1}{((k+1)+k)^2} \\ & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} \end{align} $
*). Menyusun persamaan garis singgung :
$\begin{align} y - y_0 & = m (x - x_0) \\ y - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} (x -(k+1)) \\ y - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} (x -k - 1) \end{align} $
*). Substitusi titik $(\frac{1}{2} , 0 ) $ ke persamaan garis singgung :
$\begin{align} y - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} (x -k - 1) \\ 0 - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} (\frac{1}{2} -k - 1) \\ - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} . -\frac{1}{2} (2k + 1) \\ - (15k + 14) & = (15k + 1). -\frac{1}{2} \\ 2(15k + 14) & = (15k + 1) \\ 30k + 28 & = 15k + 1 \\ k & = \frac{-9}{5} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ y_0 $ :
$\begin{align} y_0 & = \frac{15k + 14}{2k + 1} \\ & = \frac{15. \frac{-9}{5} + 14}{2. \frac{-9}{5} + 1} \\ & = \frac{15. \frac{-9}{5} + 14}{2. \frac{-9}{5} + 1} \times \frac{5}{5} \\ & = \frac{-135 + 70}{-18 + 5} = \frac{-65}{-13} = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ y_0 = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Fungsi UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{8x^2}{( 4-x)^2} $ , maka nilai $ \frac{f^\prime (2)}{f(2)} = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan Fungsi
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan $ f^\prime (2) = 1 $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{8x^2}{( 4-x)^2} = \frac{U}{V} \\ f(2) & = \frac{8.2^2}{( 4-2)^2} = 8 \\ U & = 8x^2 \rightarrow U^\prime = 16x \\ V & = ( 4-x)^2 \rightarrow V^\prime = 2. ( 4-x) . (-1) = 2x - 8 \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{16x.( 4-x)^2 - 8x^2 . (2x-8)}{( 4-x)^4} \\ f^\prime (2) & = \frac{16.2.( 4-2)^2 - 8.2^2 . (2.2-8)}{( 4-2)^4} \\ & = \frac{128 + 128}{16} = \frac{256}{16} = 16 \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \frac{f^\prime (2)}{f(2)} & = \frac{16}{8} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{f^\prime (2)}{f(2)} = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Komposisi UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823