Pembahasan Matriks UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) $ dan $ k $ merupakan skalar sehingga $ A + kA^T = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) $ , maka $ x + y + z = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan ada matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Transpose matriks A yaitu $ A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
-). Perkalian skalar :
$ kA = k \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} ka & kb \\ kc & kd \end{matrix} \right) $
-). Penjumlahan matriks = jumlah unsur yang seletak
-). Kesamaan dua matriks : Unsur yang seletak nilainya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) $
Transpose matriks A yaitu $ A^T = \left( \begin{matrix} 1 & y \\ x & z \end{matrix} \right) $
*). Menyusun persamaannya :
$\begin{align} A + kA^T & = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) + k\left( \begin{matrix} 1 & y \\ x & z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} k & ky \\ kx & kz \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 + k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh kesamaan yaitu :
$ 1 + k = -1 \rightarrow k = -2 $
$ z + kz = -2 \rightarrow z + (-2)z = -2 \rightarrow z = 2 $
$ x + ky = 5 \rightarrow x + (-2)y = 5 \rightarrow x = 2y + 5 $ ...(i)
$ y + kx = -7 \rightarrow y + (-2)x = -7 \rightarrow 2x-y = 7 $ ...(ii)
*). Substitusi $ x = 2y + 5 $ ke pers(ii)
$\begin{align} 2x - y & = 7 \\ 2(2y+5) - y & = 7 \\ 4y + 10- y & = 7 \\ 3y & = -3 \\ y & = -1 \end{align} $
pers(i): $ x = 2y + 5 = 2(-1) + 5 = 3 $
*). Menentukan nilai $ x + y + z $
$\begin{align} x + y + z & = 3 + (-1) + 2 = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y + z = 4 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Tiga bilangan real $ a, b, $ dan $ c $ dengan $ c < a $ membentuk barisan geometri yang hasil jumlahnya adalah $ -14 $ dan hasil perkaliannya adalah 216. Nilai $ c $ adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -14 \, $ D). $ -18 \, $ E). $ -20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, .... $
-). Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
barisan geometri : $ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, .... $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = .... $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Barisannya : $ a, b, c $
Misalkan kita ubah sesuai barisan geometri yaitu
$ a, b, c \rightarrow a, ar , ar^2 $
artinya $ a = a, b = ar, $ dan $ c = ar^2 $.
*). Menyusun persamaannya :
-). Jumlahnya = -14
$ a + ar + ar^2 = -14 \, $ .....(i)
-). hasil kali = 216
$\begin{align} a . ar .ar^2 & = 216 \\ (ar)^3 & = 6^3 \\ ar & = 6 \\ r & = \frac{6}{a} \end{align} $
*). Substitusikan $ ar = 6 $ dan $ r = \frac{6}{a} $ ke pers(i)
$\begin{align} a + ar + ar^2 & = -14 \\ a + ar + ar.r & = -14 \\ a + 6 + 6r & = -14 \\ a + 6r & = -20 \\ a + 6. \frac{6}{a} & = -20 \, \, \, \, (\times a) \\ a^2 + 36 & = -20a \ a^2 + 20a + 36 & = 0 \\ (a + 2)(a+18) & = 0 \\ a = -2 \vee a & = -18 \end{align} $
-). Untuk $ a = -2 \rightarrow r = \frac{6}{a} = \frac{6}{-2} = -3 $
$ c = ar^2 = (-2). (-3)^2 = (-2) . 9 = -18 $
-). Untuk $ a = -18 \rightarrow r = \frac{6}{a} = \frac{6}{-18} = -\frac{1}{3} $
$ c = ar^2 = (-18). ( -\frac{1}{3})^2 = (-18). \frac{1}{9} = - 2 $
Karena $ c < a $ , maka yang memenuhi adalah $ a = -2 $ dan $ c = -18 $.
Jadi, nilai $ c = -18 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah tiga suku pertama barisan geometri adalah 91. Jika suku ketiga dikurangi 13, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). 4 atau 43 B). 7 atau 46
C). 10 atau 49 D). 13 atau 52
E). 16 atau 55

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, .... $
-). Ciri-ciri barisan aritmetika :
$ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = u_4-u_3 = u_5 - u_4 = .... $
-). Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
barisan geometri : $ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, .... $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui tiga suku barisan geometri yaitu $ a, ar, ar^2 $.
Jumlahnya = 91
$ a + ar + ar^2 = 91 \, $ ....... (i)
atau di ubah menjadi :
$ a + ar^2 = 91 - ar $
*). Barisannya diubah menjadi $ a, ar, ar^2 - 13 $ yang membentuk barisan aritmetika.
Selisih pada barisan aritmetika selalu sama :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ ar - a & = (ar^2 - 13) - ar \\ a + ar^2 - 2ar & = 13 \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusikan pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} a + ar^2 - 2ar & = 13 \\ (a + ar^2) - 2ar & = 13 \\ (91 - ar) - 2ar & = 13 \\ 3ar & = 78 \\ ar & = 26 \\ r & = \frac{26}{a} \end{align} $
*). Substitusikan $ ar = 26 $ dan $ r = \frac{26}{a} $ ke pers(i) :
$\begin{align} a + ar + ar^2 & = 91 \\ a + ar + ar. r & = 91 \\ a + ar + 26 r & = 91 \\ a + 26 + 26. \frac{26}{a} & = 91 \\ a + \frac{26 \times 26}{a} & = 65 \, \, \, \, \, (\times a ) \\ a^2 + 26 \times 26 & = 65 a \\ a^2 - 65a + 26 \times 26 & = 0 \\ (a - 13 )(a - 52) & = 0 \\ a = 13 \vee a & = 52 \end{align} $
Jadi, suku pertamanya yaitu 13 atau 52 $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Program Linear UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Seorang Apoteker mencoba meracik obat baru yang berbahan dasar zat A dan zat B. Racikan pertama membutuhkan 400 mg zat A dan 300 mg zat B. Racikan kedua membutuhkan 200 mg zat A dan 100 mg zat B. Obat racikan pertama dijual Rp8000,- dan obat racikan kedua dijual Rp3200,-. Jika persediaan yang ada hanya 6 gram zat A dan 4 gram zat B, maka pendapatan maksimum Apoteker tersebut adalah Rp....
A). $ 60.800 \, $ B). $ 72.000 \, $ C). $ 96.000 \, $
D). $ 112.000 \, $ E). $ 120.000 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum :
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terkecil sebagai nilai minimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan :
$ x = \, $ banyak racikan pertama
$ y = \, $ banyak racikan kedua
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ 400x + 200y \leq 6000 \rightarrow (0,30) , \, (15,0) $
Garis II : $ 300x + 100y \leq 4000 \rightarrow (0,40), \, (\frac{40}{3},0) $
dan $ x \geq 0 , \, \, \, \, y \geq 0 $
Fungsi tujuan : $ f(x,y) = 8000x + 3200y $
 
-). Titik pojok $ A(\frac{40}{3} , 0) $ dan $ C ( 0,30) $
*). Menentukan titik pojok B :
Sederhanakan persamaan garisnya
pers(i) : $ 2x + y = 30 \rightarrow y = 30 - 2x $
pers(ii) : $ 3x + y = 40 $
Substitusi (i) ke (ii) :
$ \begin{align} 3x + y & = 40 \\ 3x + (30 - 2x) & = 40 \\ x & = 10 \end{align} $.
pers(i) : $ y = 30 -2x = 30 - 2. 10 = 10 $
Sehingga titik B(10 , 10)
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $ f(x,y) = 8000x + 3200y $
$ \begin{align} A(\frac{40}{3},0) \rightarrow f & = 8000 \times \frac{40}{3} + 3200 \times 0 = 106.667 \\ B(10,10) \rightarrow f & = 8000 \times 10 + 3200 \times 10 = 112.000 \\ C(0,30) \rightarrow f & = 8000 \times 0 + 3200 \times 30 = 96.000 \\ \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah Rp112.000 $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan real $ a $. Jika himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan $ (2x-1)^2 - a^2 \leq 1 - 4x $ adalah $ \{ a : x \text{ bilangan real }, p \leq x \leq q \} $, maka $ p + q = .... $
A). $ -a \, $ B). $ -1 $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan terdapat pertidaksamaan $ ax^2 + bx + c \leq 0 $ memiliki penyelesaian $ p \leq x \leq q $ , artinya $ p $ dan $ q $ adalah akar-akar dari $ ax^2 + bx + c = 0 $ sehingga berlaku rumus operasi akar-akar yaitu : $ p + q = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align} (2x-1)^2 - a^2 & \leq 1 - 4x \\ 4x^2 - 4x + 1 - a^2 & \leq 1 - 4x \\ 4x^2 - a^2 & \leq 0 \end{align} $
*). Dari bentuk $ 4x^2 - a^2 \leq 0 $ memiliki solusi $ p \leq x \leq q $, artinya $ p $ dan $ q $ adalah akar-akar dari persamaan $ 4x^2 - a^2 = 0 $ sehingga berlaku operasi akar-akar.
Bentuk $ 4x^2 - a^2 = 0 $ memiliki $ a = 4, b = 0 , $ dan $ c = -a^2 $
$ \begin{align} p + q & = \frac{-b}{a} \\ p + q & = \frac{-0}{4} \\ p + q & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ p + q = 0 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan real $ a $. Jika himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan $ (2x-1)^2 - a^2 \leq 1 - 4x $ adalah $ \{ a : x \text{ bilangan real }, p \leq x \leq q \} $, maka $ p + q = .... $
A). $ -a \, $ B). $ -1 $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align} (2x-1)^2 - a^2 & \leq 1 - 4x \\ 4x^2 - 4x + 1 - a^2 & \leq 1 - 4x \\ 4x^2 - a^2 & \leq 0 \\ (2x + a)(2x - a) & \leq 0 \\ x = -\frac{a}{2} \vee x & = \frac{a}{2} \end{align} $
Yang diminta $ \leq 0 $ (daerah negatif).
*). Kita bagi menjadi tiga kasus untuk nilai $ a $ yaitu $ a > 0 , \, a = 0 , \, $ dan $ a < 0 $
-). Untuk $ a > 0 $ , garis bilangannya :
 
solusinya : $ -\frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2} $
sama dengan $ p \leq x \leq q $
sehingga $ p = -\frac{a}{2} $ dan $ q = \frac{a}{2} $
Nilai $ p + q = (-\frac{a}{2}) + \frac{a}{2} = 0 $

-). Untuk $ a = 0 $ , nilai $ -\frac{a}{2} = \frac{a}{2} = 0 $ :
 
solusinya : $ x = 0 $
sama dengan $ p \leq x \leq q $
sehingga $ p = 0 $ dan $ q = 0 $
Nilai $ p + q = 0 + 0 = 0 $

-). Untuk $ a < 0 $ , garis bilangannya :
 
solusinya : $ \frac{a}{2} \leq x \leq -\frac{a}{2} $
sama dengan $ p \leq x \leq q $
sehingga $ p = \frac{a}{2} $ dan $ q = -\frac{a}{2} $
Nilai $ p + q = \frac{a}{2} + (- \frac{a}{2} ) = 0 $

Dari semua kasus nilai $ a $, nilai $ p + q $ tetap sama yaitu $ p + q = 0 $
Jadi, nilai $ p + q = 0 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sistem persamaan linear
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x+3y=a \\ \frac{1}{7}x+\frac{1}{5}y = 5 \end{array} \right. $
Jika $ x + y = 2a + 3 $ , maka $ a = .... $
A). $ 16 \, $ B). $ 32 \, $ C). $ 38 \, $ D). $ 40 \, $ E). $ 43 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan metode substitusi dan eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaannya :
$ 2x + 3y = a \, $ .....(i)
$ \frac{1}{7}x + \frac{1}{5} y = 5 \, $ ..... (ii)
$ x + y = 2a + 3 \, $ ..... (iii)
*). Modifikasi pers(i) dan (iii) :
$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = a & \times 2 & 4x + 6y = 2a & \\ x + y = 2a + 3 & \times 1 & x + y = 2a + 3 & + \\ \hline & & 5x + 7y = 4a + 3 & \end{array} $
*). Substitusikan $ 5x + 7y = 4a + 3 $ ke pers (ii)
Sebelumnya kalikan 35 pada pers(ii) :
$\begin{align} 5x + 7 y & = 175 \\ 4a + 3 & = 175 \\ 4a & = 172 \\ a & = \frac{172}{4} = 43 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 43 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sistem persamaan linear
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x+3y=a \\ \frac{1}{7}x+\frac{1}{5}y = 5 \end{array} \right. $
Jika $ x + y = 2a + 3 $ , maka $ a = .... $
A). $ 16 \, $ B). $ 32 \, $ C). $ 38 \, $ D). $ 40 \, $ E). $ 43 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan metode substitusi dan eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaannya :
$ 2x + 3y = a \, $ .....(i)
$ \frac{1}{7}x + \frac{1}{5} y = 5 \, $ ..... (ii)
$ x + y = 2a + 3 \, $ ..... (iii)
*). Eliminasi pers(i) dan (iii) :
$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = a & \times 1 & 2x + 3y = a & \\ x + y = 2a + 3 & \times 2 & 2x + 2y = 4a + 6 & - \\ \hline & & y = -3a - 6 & \end{array} $
Pers(iii) :
$ x + y = 2a + 3 \rightarrow x + (-3a - 6) = 2a + 3 \rightarrow x = 5a + 9 $
*). Substitusikan $ x = 5a + 9 $ dan $ y = -3a - 6 $ ke pers (ii)
Sebelumnya kalikan 35 pada pers(ii) :
$\begin{align} 5x + 7 y & = 175 \\ 5(5a + 9) + 7 (-3a - 6) & = 175 \\ 25a + 45 -21a - 42 & = 175 \\ 4a + 3 & = 175 \\ 4a & = 172 \\ a & = \frac{172}{4} = 43 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 43 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)