Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 247 Matematika IPA tahun 2016


Nomor 1
Misalkan $ L_1 $ lingkaran yang mempunyai radius 6 dan pusat di (0,0) dan $ L_2 $ lingkaran yang mempunyai radius 3 dan pusat di sumbu-X positif. Jika persamaan garis singgung dalam kedua lingkaran adalah $ 4y - 3x + 30 = 0 $ , maka persamaan $ L_2 $ adalah ....
A). $ ( x - 13)^2 + y^2 = 9 \, $
B). $ ( x - 15)^2 + y^2 = 9 \, $
C). $ ( x - 16)^2 + y^2 = 9 \, $
D). $ ( x - 17)^2 + y^2 = 9 \, $
E). $ ( x - 19)^2 + y^2 = 9 \, $
Nomor 2
Diketahi $\Delta ABC$ dan $ \alpha , \, \beta , \, \gamma $ adalah sudut di A, B, dan C. Jika diketahui $ \sin \beta = \frac{1}{3} $ dan $ \sin \gamma = \frac{1}{2}$ , maka $ \frac{BC}{AC} \, $ adalah ....
A). $\frac{1}{2} (\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) \, $
B). $\frac{1}{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \, $
C). $\frac{1}{2} (\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) \, $
D). $(\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) \, $
E). $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) $
Nomor 3
Nilai $ x $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2\cos x + \sin x \geq 1 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{3} $
B). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} $
C). $ \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
D). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
E). $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi $
Nomor 4
Jika titik ($s,t$) dirotasi sejauh 270$^\circ$ berlawanan arah jarum jama terhadap titik pusat, kemudian dicerminkan terhadap $ y = t $ diperoleh titik ($-2, 3-t$), maka $ s + 3t = .... $
A). $5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 \, $
Nomor 5
Pada kubus ABCD.EFGH, titik M terletak pada diagonal BE dengan perbandingan $ EM:MB = 1:3 $ dan N adalah titik tengah rusuk CD. Jika R terletak pada rusuk AB dimana RM sejajar AE, maka $ \sin \angle MNR \, $ adalah .....
A). $ \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{26}} \, $ B). $ \frac{2}{\sqrt{26}} \, $ C). $ \frac{3}{\sqrt{26}} \, $ D). $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{17}} \, $ E). $ \frac{5}{\sqrt{17}} \, $
Nomor 6
Jika diketahui sisa pembagian $ xf(x) $ oleh $ (x^2 + 4x - 12 $ adalah $ ax + b $, sisa pembagian $ (x-1)g(x)$ oleh $ (x^2+x-6)$ adalah $ x + 3$, dan sisa pembagian $ f(x) g(x) $ oleh $(x^2 - 8x + 12) $ adalah $ 7x - 13 $ , maka $ 4a^2 + 4ab + b^2 = .... $
A). $ \frac{4}{25} \, $ B). $ \frac{6}{25}\, $ C). $ \frac{8}{25} \, $ D). $ \frac{10}{25} \, $ E). $ \frac{11}{25} $
Nomor 7
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} = .... $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{2} $
Nomor 9
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika $ \frac{u_1 + u_2}{u_3+u_4} = \frac{1}{9} $ maka $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_1+u_4} = ..... $
A). $ \frac{10}{9} \, $ B). $ \frac{10}{7} \, $ C). $ \frac{10}{3} \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 $
Nomor 10
Diketahui $ f(x) = ax^2 + bx -2 $ mencapai titik maksimum di titik minimum $ g(x) = 4x^3 - 3x + 3 $. Nilai $ a + b = .... $
A). $ -16 \, $ B). $ -8 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 16 $
Nomor 11
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
Nomor 12
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x) = f(x+a) $ , $ f(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ 0 < x < a $ , dan $ g(x) = g(x+2a $ , $ g(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ -a < x \leq a $ , dan $ \int \limits_0^a f(x) dx = b $. Nilai dari $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx $ adalah ....
A). $ 2a \, $ B). $ 3a \, $ C). $ 4a \, $ D). $ 5a \, $ E). $ 6a $
Nomor 13
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $
E). $ 72 $
Nomor 14
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $
Nomor 15
Diketahui $ x_1, x_2 $ adalah akar-akar dari persamaan $ x^2 + 5ax + a^3 - 4a + 1 = 0 $. Nilai $ a $ sehingga $ x_1 + x_1x_2 +x_2 $ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah ...
A). $ -3 \, $ B). $ -\sqrt{3} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \sqrt{3} \, $ E). $ 3 $



Kode 246 Pembahasan Vektor SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan vektor $ p = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) $ dan $ q = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) $ dengan $ 0 < x < \infty $. Nilai $ c $ yang memenuhi syarat agar $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul berada pada interval .....
A). $ \left(0, \, \frac{4}{3} \right) \, $ B). $ \left(-\frac{4}{3}, \, 0 \right) \, $
C). $ \left(-\frac{4}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $ D). $ \left(-\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $
E). $ \left(\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Vektor
*). Misalkan ada dua vektor
$ p = (p_1, \, p_2, \, p_3) \, $ dan $ q = (q_1, \, q_2, \, q_3 ) $
*). Perkalian dot $ p $ dan $ q $ ($p.q$) :
$ p.q = p_1.q_1 + p_2.q_2 + p_3.q_3 $
juga berlaku :
$ p.q = |p|. |q| \cos \theta $
Sehingga $ \cos \theta = \frac{p.q}{|p|.|q|} $
*). Panjang vektor $ p $ ($|p|$) :
$ |p| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2} $
*). Vektor $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul jika
$ -1 \leq \cos \theta \leq 0 \, $ atau $ -1 \leq \frac{p.q}{|p|.|q|} \leq 0 $

*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n {}^a \log b $
$ {}^a \log a = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Untuk memudahkan dalam penyelesaian, kita pilih $ x = 2 $ yang memenuhi interval $ 0 < x < \infty $ , sehingga vektor $ p $ dan $ q $ menjadi :
$\begin{align} p & = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) \\ & = \left( {}^2 \log 2^c , \, 2, \, {}^2 \log 2^{2c} \right) \\ & = \left( c{}^2 \log 2 , \, 2, \, 2c {}^2 \log 2 \right) \\ & = \left( c , \, 2, \, 2c \right) \\ q & = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) \\ & = \left( {}^2 \log 2, \, 2, \, {}^2 \log 2^{2c^2} \right) \\ & = \left( 1, \, 2, \, 2c^2 {}^2 \log 2 \right) \\ & = \left( 1, \, 2, \, 2c^2 \right) \end{align} $
*). Menentukan $ p.q $ dan panjangnya
$\begin{align} p.q & = \left( c , \, 2, \, 2c \right). \left( 1, \, 2, \, 2c^2 \right) \\ & = c.1 + 2.2 + 2c. 2c^2 \\ & = 4c^3 + c + 4 \\ |p| & = \sqrt{c^2 + 2^2 + (2c)^2 } = \sqrt{5c^2 + 4 } \\ |q| & = \sqrt{1^2 + 2^2 + (2c^2)^2} = \sqrt{4c^4 + 5} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c $ agar vektor $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul :
$\begin{align} -1 \leq & \frac{p.q}{|p|.|q|} \leq 0 \\ -1 \leq & \frac{4c^3 + c + 4}{\sqrt{5c^2 + 4 }.\sqrt{4c^4 + 5} } \leq 0 \end{align} $
Agar pertidaksamaan ini terpenuhi, maka :
Pertama,
$ 4c^3 + c + 4 \leq 0 \, $ yang akan terpenuhi untuk $ c < 0 $.
Kedua,
$\begin{align} 4c^3 + c + 4 & \geq -1 \\ 4c^3 + c + 5 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(faktorkan)} \\ (c+1)(4c^2 - 4c + 5) & \geq 0 \end{align} $
terpenuhi untuk $ c \geq -1 $.
*). Sehingga solusinya adalah irisan dari kedua nilai $ c $ yaitu $ c < 0 $ dan $ c \geq -1 $
$\begin{align} \text{HP } & = \{ c \geq -1 \} \cap \{ c < 0 \} \\ & = \{ -1 \leq c < 0 \} \end{align} $
Sehingga nilai $ c $ yang memenuhi adalah $ \{ -1 \leq c < 0 \} $ yang juga ada pada interval $ \left( -\frac{4}{3}, 0 \right) $.
Jadi, Nilai $ c $ agar sudut kedua vekor sudut tumpul yaitu $ \left( -\frac{4}{3}, 0 \right) $ atau $ \{ -\frac{4}{3} < c < 0 \} . \, \heartsuit $

Catatan :
Jika $ x $ tidak diganti dengan nilai tertentu, akan sulit bagi kita untuk menyelesaikan soalnya. Namun teman-teman boleh mencoba tanpa menggantikan nilai $ x $ nya terlebih dahulu, tentu langkah-langkah pengerjaannya sama dengan cara di atas. Selamat mencoba.



Cara 2 : Kode 246 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah di antar kurva $ y = -3a+4 $ dan kurva $ y = x^2-3a $ selalu bernilai konstan, yaitu $ k$. Nilai $ k $ adalah ....
A). $ \frac{34}{3} \, $ B). $ \frac{32}{3} \, $ C). $ \frac{28}{3} \, $ D). $ \frac{16}{3} \, $ E). $ \frac{8}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral Tanpa Menggambar
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva yaitu parabola dan parabola atau parabola dan garis adalah :
Luas $ = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Rumus Langsung
*). Samakan kedua fungsi
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 3a & = -3a + 4 \\ x^2 & = 4 \\ x^2 - 4 & = 0 \\ a = 1, \, b = 0 , \, c & = -4 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = 0^2 - 4. 1 . (-4) \\ & = 16 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ k $ :
$\begin{align} \text{Luas } & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \\ k & =\frac{16\sqrt{16}}{6. 1^2} \\ & = \frac{32}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ k = \frac{32}{3} . \, \heartsuit $

Catatan :
Luas selalu bernilai konstan, artinya berapapun kita gantikan nilai $ a $, luas akan selalu sama yaitu sebesar $ k = \frac{32}{3} $.



Kode 246 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah di antar kurva $ y = -3a+4 $ dan kurva $ y = x^2-3a $ selalu bernilai konstan, yaitu $ k$. Nilai $ k $ adalah ....
A). $ \frac{34}{3} \, $ B). $ \frac{32}{3} \, $ C). $ \frac{28}{3} \, $ D). $ \frac{16}{3} \, $ E). $ \frac{8}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)


$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Konsep Luas Menggunakan Integral
*). Ilustrasi Gambar :
 

*). Titik Potong Kedua Kurva
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 3a & = -3a + 4 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ k $ :
$\begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_{-2}^2 [ (-3a + 4) - (x^2 - 3a) ] dx \\ k & = \int \limits_{-2}^2 ( 4 - x^2) \\ & = [4x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^2 \\ & = ( 4.2 - \frac{1}{3}.2^3) - ( 4.(-2) - \frac{1}{3}.(-2)^3) \\ & = ( 8 - \frac{8}{3}) - ( -8 + \frac{8}{3}) \\ & = \frac{32}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ k = \frac{32}{3} . \, \heartsuit $

Catatan :
Luas selalu bernilai konstan, artinya berapapun kita gantikan nilai $ a $, luas akan selalu sama yaitu sebesar $ k = \frac{32}{3} $.



Kode 246 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = x^3 + 2x^2 + a $ dan $ g(x) = x + a $ berpotongan di sumbu-x, dengan $ a $ bilangan bulat. Nilai minimum dari $ f(x) $ di interval $ -1\leq x \leq 2 $ adalah ....
A). $ -\frac{4}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ :
*). Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ berpotongan di sumbu X dengan $ a $ bilangan bulat, artinya $ f(x) $ dan $ g(x) $ memotong sumbu X di $ x $ yang sama.
*). $ g(x) $ memotong sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
$\begin{align} y = 0 \rightarrow g(x) & = x + a \\ 0 & = x + a \\ x & = -a \end{align} $
Artinya $ f(x) $ juga memotong sumbu X di $ x = -a $, substitusi $ x = -a $ ke $ f(x) $ :
$\begin{align} x = -a , \, y = 0 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 + a \\ (-a)^3 + 2(-a)^2 + a & = 0 \\ -a^3 + 2a^2 + a & = 0 \\ a^3 - 2a^2 - a & = 0 \\ a(a^2 - 2a - 1) & = 0 \\ a = 0 \vee a^2 - 2a - 1 & = 0 \end{align} $
Bentuk $ a^2 - 2a - 1 = 0 $ tidak bisa difaktorkan langsung sehingga kita harus menggunakan rumus ABC, ini artinya nilai $ a $ nya tidak bulat lagi. Sehingga nilai $ a $ yang bulat yang memenuhi adalah $ a = 0 $ .
*). Fungsi $ f(x) $ nya menjadi :
$ f(x) = x^3 + 2x^2 + a = x^3 + 2x^2 + 0 \rightarrow f(x) = x^3 + 2x^2 $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ dan syarat nilai minimum $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f(x) & = x^3 + 2x^2 \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x \\ \text{syarat } : \, f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 + 4x & = 0 \\ x ( 3x + 4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = - \frac{4}{3} \end{align} $
Karena interval yang diminta $ -1 \leq x \leq 2 $ , maka $ x = 0 \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ f(x) $ untuk $ x = 0 $ , batas interval yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 2 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow f(0) & = 0^3 + 2 . 0^2 \\ & = 0 \\ x = -1 \rightarrow f(-1) & = (-1)^3 + 2 . (-1)^2 \\ & = 1 \\ x = 2 \rightarrow f(2) & = (2)^3 + 2 . (2)^2 \\ & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai minimum $ f(x) $ pada interval $ -1 \leq x \leq 2 $ adalah $ 0 . \, \heartsuit $



Kode 246 Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika $ \frac{u_1+u_2}{u_3+u_4}=\frac{1}{9} \, $ maka $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3}= .... $
A). $ \frac{10}{9} \, $ B). $ 3 \, $ C). $ \frac{10}{3} \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri dan Eksponen
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $
*). Sifat eksponen :
$ a^2 = b \rightarrow a = \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai rasio ($r$) :
$\begin{align} \frac{u_1+u_2}{u_3+u_4} & = \frac{1}{9} \\ \frac{a+ar}{ar^2+ar^3} & = \frac{1}{9} \\ \frac{a(1+r)}{ar^2( 1 +r)} & = \frac{1}{9} \\ \frac{1}{r^2} & = \frac{1}{9} \\ r^2 & = 9 \\ r & = 3 \end{align} $
*). Menentukan Hasilnya :
$\begin{align} \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3} & = \frac{a + ar+ar^2+ar^3}{ar+ar^2} \\ & = \frac{a (1 + r+r^2+r^3)}{a(r+r^2)} \\ & = \frac{1 + r+r^2+r^3}{r+r^2} \\ & = \frac{1 + 3+3^2+3^3}{3+3^2} \\ & = \frac{1 + 3+9+27}{3+9} \\ & = \frac{40}{12} \\ & = \frac{10}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3} = \frac{10}{3} . \, \heartsuit $



Kode 246 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) \sqrt{x}}{x^\frac{3}{2}} = .... $
A). $ - \infty \, $ B). $ -\frac{7}{2} \, $ C). $ -\frac{5}{2} \, $ D). $ -\frac{3}{2} \, $ E). $ -\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin x}{x} = 1 $
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ a^{m+n} = a^m . a^n $
$ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) \sqrt{x}}{x^\frac{3}{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) . x^\frac{1}{2}}{x^{ 1 + \frac{1}{2}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^\frac{3}{2} .x^ \frac{1}{2} \sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) . x^\frac{1}{2}}{x^1 .x^ \frac{1}{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^ \frac{1}{2} \sin (x)[ x^\frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)]}{x .x^ \frac{1}{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)[ x^\frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)]}{x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x } \times [ x^\frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)] \\ & = 1 \times [ 0^\frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)] \\ & = 1 \times [ 0- \left(\frac{1}{2}\right)] \\ & = 1 \times [ - \frac{1}{2}] \\ & = - \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ - \frac{1}{2}. \, \heartsuit $



Kode 246 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sisa pembagian suku banyak $ f(x)-g(x) $ oleh $ x^2 + x - 2 $ adalah $ x $ dan sisa pembagian $ f(x) + g(x) $ oleh $ x^2 - 3x + 2 $ adalah $ x+1$, maka sisa pembagian $ \left(f(x)\right)^2 - \left(g(x)\right)^2 $ oleh $ x- 1 $ adalah .....
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{3}{4} \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). $ f(x) - g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + x - 2 $ dengan sisa $ s(x) = x $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) - g(x) = (x^2 + x - 2).h_1(x) + (x) $
$ f(x) - g(x) = (x-1)(x+2).h_1(x) + (x) $ ....(i)
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x-2)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = 2 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) - g(x) & = (x-1)(x+2).h_1(x) + (x) \\ f(1) - g(1) & = (1-1)(1+2).h_1(1) + (1) \\ f(1) - g(1) & = (0).(3).h_1(1) + (1) \\ f(1) - g(1) & = 1 \\ x = -2 \rightarrow f(x) - g(x) & = (x-1)(x+2).h_1(x) + (x) \\ f(-2) - g(-2) & = (-2-1)(-2+2).h_1(-2) + (-2) \\ f(-2) - g(-2) & = (-3).(0).h_1(-2) + (-2) \\ f(-2) - g(-2) & = -2 \end{align} $
*). $ f(x) + g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 - 3x + 2 $ dengan sisa $ s(x) = x + 1 $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ f(x) + g(x) = (x^2 - 3x + 2).h_2(x) + (x + 1) $
$ f(x) + g(x) = (x-1)(x-2).h_2(x) + (x + 1) $ ....(i)
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x-1)(x-2)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = 2 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) + g(x) & = (x-1)(x-2).h_2(x) + (x+1) \\ f(1) + g(1) & = (1-1)(1-2).h_2(1) + (1 + 1) \\ f(1) + g(1) & = (0).(-1).h_2(1) + (2) \\ f(1) + g(1) & = 2 \\ x = 2 \rightarrow f(x) + g(x) & = (x-1)(x-2).h_2(x) + (x+1) \\ f(2) + g(2) & = (2-1)(2-2).h_2(2) + (2 + 1) \\ f(2) + g(2) & = (1).(0).h_2(2) + (3) \\ f(2) + g(2) & = 3 \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya :
$ \left(f(x)\right)^2 - \left(g(x)\right)^2 \, $ dibagi dengan $ p(x) = x - 1 $ dengan sisa $ s(x) $ dan hasil bagi $ h_3(x) $ :
$\begin{align} \left(f(x)\right)^2 - \left(g(x)\right)^2 & = (x-1).h_3(x) + s(x) \\ [f(x)+g(x)][f(x)-g(x)] & = (x-1).h_3(x) + s(x) \\ \text{substitusi } x & = 1 \\ [f(1)+g(1)][f(1)-g(1)] & = (1-1).h_3(1) + s(1) \\ [2]\times [1] & = (0).h_3(1) + s(1) \\ 2 & = s(1) \\ \end{align} $
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk mngerjakan soal ini bisa juga menggunakan teorema sisa.



Kode 246 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH, titik P adalah titik potong diagonal AH dan DE, titik Q adalah titik potong diagonal BG dan CF. Nilai $ \sin \angle BPQ $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{3}}{3} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{2} \, $ C). $ \frac{\sqrt{3}}{6} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ E). $ \frac{\sqrt{2}}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 

Panjang $ BD = \frac{1}{2}BG = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} = \sqrt{2} $
Panjang BP :
$ BP = \sqrt{ BQ^2 + PQ^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \sin \angle BPQ $ :
$\begin{align} \sin \angle BPQ & = \frac{BQ}{BP} \\ & = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ & = \frac{1}{3} \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \angle BPQ = \frac{1}{3} \sqrt{3} . \, \heartsuit $



Kode 246 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika pencerminan titik $P(s,t)$ terhadap garis $ x = a $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = b $ menghasilkan dilatasi sebesar 3 kali, maka $ ab = .... $
A). $st \, $ B). $ 2st \, $ C). $ 3st \, $ D). $ 4st \, $ E). $ 5st \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Transformasi
*). Pencerminan garis vertikal dan horizontal
Titik $A(x,y)$ dicerminakan terhadap garis $ x = a $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = b $ akan menghasilkan bayangan $a^\prime (x^\prime , y^\prime ) $, yaitu :
$ (x^\prime , y^\prime ) = (2a - x, 2b - y )$
atau bisa ditulis : $ A(x,y) \rightarrow A^\prime (2a - x, 2b - y )$
*). Dilatasi dengan faktor skala $ k $ :
Titik $A(x,y)$ didilatasi dengan faktor skala $ k$ akan menghasilkan bayangan $ A^\prime (x^\prime , y^\prime ) $, yaitu :
$ (x^\prime , y^\prime ) = (kx, ky) $.
atau bisa ditulis : $ A(x,y) \rightarrow A^\prime (kx, ky )$

Catatan :
dalam penghitungan transformasinya kita tidak menggunakan bentuk matriks transformasi karena hasilnya akan sama juga.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan bayangan titik $P(s,t)$ jika dicerminkan terhadap garis $ x = a $ dan dilanjutkan $ y = b $ :
$ P(s,t) \rightarrow P^\prime (2a - s , 2b - t ) $
bayangannya adalah : $ P^\prime (2a - s , 2b - t ) $
*). Menentukan bayangan titik $P(s,t)$ jika didilatasi dengan faktor skala $ k = 3 $ :
$ P(s,t) \rightarrow P^\prime (3s , 3t ) $
bayangannya adalah : $ P^\prime (3s,3t ) $
*). Dari pernyataan pada soal, kedua bentuk trasformasi di atas menghasilkan bayangan yang sama, sehingga :
$ P^\prime (2a - s , 2b - t ) = P^\prime (3s,3t ) $
Artinya :
$ 2a - s = 3s \rightarrow a = 2s $
$ 2b - t = 3t \rightarrow b = 2t $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$ ab = (2s) \times (2t) = 4st $.
Jadi, kita peroleh $ ab = 4st . \, \heartsuit $



Kode 246 Pembahasan Persamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $(\cos 3x + \tan 3x)(\cos 3x - \tan 3x) = 1 $ untuk $0 \leq x \leq 2\pi, \, x \neq \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \, $ dan $ k $ bilangan asli, adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus Dasar pada Trigonometri
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \, $ (identitas trigonometri).
*). Persamaan Trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki solusi :
$ f(x) = \theta + k 2\pi $ dan $ f(x) = -\theta + k2\pi $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soal :
$\begin{align} (\cos 3x + \tan 3x)(\cos 3x - \tan 3x) & = 1 \\ (\cos 3x + \frac{\sin 3x}{\cos 3x})(\cos 3x - \frac{\sin 3x}{\cos 3x}) & = 1 \\ \frac{(\cos ^2 3x + \sin 3x)}{\cos 3x}\frac{(\cos ^2 3x - \sin 3x)}{\cos 3x} & = 1 \\ \frac{(\cos ^4 3x - \sin ^2 3x)}{\cos ^2 3x} & = 1 \\ \cos ^4 3x - \sin ^2 3x & = \cos ^2 3x \\ \cos ^4 3x & = \sin ^2 3x + \cos ^2 3x \\ \cos ^4 3x & = 1 \\ \cos 3x & = \pm \sqrt[4]{1} \\ \cos 3x & = \pm 1 \\ \cos 3x = 1 \vee \cos 3x & = -1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ dengan persamaan trigonometri dengan $ k $ adalah bilangan asli :
Pertama untuk $ \cos 3x = 1 \rightarrow \cos 3x = \cos 0^\circ $ ,
Memiliki solusi :
$ \begin{align} \text{(i)) } \, f(x) & = \theta + k2\pi \\ 3x & = 0 + k . 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = k . 120^\circ \\ k = 1 \rightarrow x & = 1 \times 120^\circ = 120^\circ \\ k = 2 \rightarrow x & = 2 \times 120^\circ = 240^\circ \\ k = 3 \rightarrow x & = 2]3 \times 120^\circ = 360^\circ \end{align} $
Untuk nilai $ k $ lainnya tidak memenuhi $0 \leq x \leq 2\pi $.
$ \begin{align} \text{(ii)) } \, f(x) & = -\theta + k2\pi \\ 3x & = -0 + k . 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = k . 120^\circ \end{align} $
Hasilnya akan sama dengan yang diatasnya.

Kedua Pertama untuk $ \cos 3x = -1 \rightarrow \cos 3x = \cos 180^\circ $ ,
Memiliki solusi :
$ \begin{align} \text{(i)) } \, f(x) & = \theta + k2\pi \\ 3x & = 180^\circ + k . 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = 60^\circ + k . 120^\circ \\ k = 1 \rightarrow x & = 60^\circ + 1 \times 120^\circ = 180^\circ \\ k = 2 \rightarrow x & = 60^\circ + 2 \times 120^\circ = 300^\circ \end{align} $
Untuk nilai $ k $ lainnya tidak memenuhi $0 \leq x \leq 2\pi $.
$ \begin{align} \text{(ii)) } \, f(x) & = -\theta + k2\pi \\ 3x & = -180^\circ + k . 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = -60^\circ + k . 120^\circ \\ k = 1 \rightarrow x & = -60^\circ + 1 \times 120^\circ = 60^\circ \\ k = 2 \rightarrow x & = -60^\circ + 2 \times 120^\circ = 180^\circ \\ k = 3 \rightarrow x & = -60^\circ + 3 \times 120^\circ = 300^\circ \end{align} $
Untuk nilai $ k $ lainnya tidak memenuhi $0 \leq x \leq 2\pi $.
Sehingga solusinya adalah :
$ x = \{ 60^\circ, \, 120^\circ, \, 180^\circ, \, 240^\circ, \, 300^\circ, \, 360^\circ \} $
Jadi, ada 6 nilai $ x $ yang memenuhi persamaan . $\, \heartsuit $



Kode 246 Pembahasan Aturan Cosinus SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahi $\Delta ABC$, titik D pada AC, dengan AB = 8, BC = 10, AC = 12 dan $ \angle ACB = \angle CBD$. Panjang BD = .....
A). $\frac{16}{3} \, $ B). $\frac{17}{3} \, $ C). $\frac{18}{3} \, $ D). $ \frac{19}{3} \, $ E). $ \frac{20}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus
Pada segitiga ABC di atas, berlaku aturan cosinus :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos A \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2 }{2ba} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.

Karena $\angle ACB = \angle CBD$ , maka $\Delta$CBD sama kaki yaitu $ DB = DC = x $.
*). Menentukan nilai $ x $ :
Nilai cos B pada segitiga CBD sama dengan nilai cos B pada segitiga ABC karena besar sudutnya sama.
$\begin{align} \cos B \, (\Delta CBD) & = \cos B \, (\Delta ABC) \\ \frac{CD^2+CB^2 - BD^2}{2 . CB.CD} & = \frac{AC^2+BC^2 - AB^2}{2.AC.BC} \\ \frac{x^2 + 10^2 - x^2}{2 . x.10} & = \frac{12^2 + 10^2 - 8^2}{2.12.10} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{100}{20x} & = \frac{180}{240} \\ \frac{5}{x} & = \frac{3}{4} \\ 3x & = 20 \\ x & = \frac{20}{3} \end{align} $
Jadi, panjang $ BD = x = \frac{20}{3} . \, \heartsuit $



Kode 246 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui lingkaran menyinggung sisi-sisi persebi panjang dengan ukuran $ 12 \times 15$, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran. Panjang DE = ....
A). $ 4 \, $ B). $ 3\sqrt{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 4\sqrt{3} \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
garis AB dan CB menyinggung lingkaran dimana panjangnya sama yaitu AB = BC.

$\clubsuit $ Pembahasan 

Dari gambar di atas dan sesuai dengan konsep di atas, kita peroleh :
garis CH dan CG menyinggung lingkaran, artinya CH = CG = 9 .
garis HE dan EF menyinggung lingkaran, artinya HE = EF.
*). Misalkan panjang $ HE = x $ , maka $ HE = EH = x $
sehingga $ DE = DF - EF = 9 - x $.
dan $ CE = CH + HE = 9 + x $.
*). Menentukan nilai $ x $ dari $\Delta$CDE dengan pythagoras :
$\begin{align} EC^2 & = ED^2 + DC^2 \\ (9+x)^2 & = (9-x)^2 + 12^2 \\ 81 + 16x + x^2 & = 81 - 16x + x^2 + 144 \\ 36x & = 144 \\ x & = 4 \end{align} $
sehingga panjang $ DE = 9 - x = 9 - 4 = 5 $
Jadi, panjang $ DE = 5 \, $ cm $ . \, \heartsuit $



Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 246 Matematika IPA tahun 2016


Nomor 1
Diketahui lingkaran menyinggung sisi-sisi persebi panjang dengan ukuran $ 12 \times 15$, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran. Panjang DE = ....
A). $ 4 \, $ B). $ 3\sqrt{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 4\sqrt{3} \, $ E). $ 6 $
Nomor 2
Diketahi $\Delta ABC$, titik D pada AC, dengan AB = 8, BC = 10, AC = 12 dan $ \angle ACB = \angle CBD$. Panjang BD = .....
A). $\frac{16}{3} \, $ B). $\frac{17}{3} \, $ C). $\frac{18}{3} \, $ D). $ \frac{19}{3} \, $ E). $ \frac{20}{3} $
Nomor 3
Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $(\cos 3x + \tan 3x)(\cos 3x - \tan 3x) = 1 $ untuk $0 \leq x \leq 2\pi, \, x \neq \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \, $ dan $ k $ bilangan asli, adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Jika pencerminan titik $P(s,t)$ terhadap garis $ x = a $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = b $ menghasilkan dilatasi sebesar 3 kali, maka $ ab = .... $
A). $st \, $ B). $ 2st \, $ C). $ 3st \, $ D). $ 4st \, $ E). $ 5st \, $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH, titik P adalah titik potong diagonal AH dan DE, titik Q adalah titik potong diagonal BG dan CF. Nilai $ \sin \angle BPQ $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{3}}{3} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{2} \, $ C). $ \frac{\sqrt{3}}{6} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ E). $ \frac{\sqrt{2}}{2} \, $
Nomor 6
Diketahui sisa pembagian suku banyak $ f(x)-g(x) $ oleh $ x^2 + x - 2 $ adalah $ x $ dan sisa pembagian $ f(x) + g(x) $ oleh $ x^2 - 3x + 2 $ adalah $ x+1$, maka sisa pembagian $ \left(f(x)\right)^2 - \left(g(x)\right)^2 $ oleh $ x- 1 $ adalah .....
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{3}{4} \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
Nomor 7
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) \sqrt{x}}{x^\frac{3}{2}} = .... $
A). $ - \infty \, $ B). $ -\frac{7}{2} \, $ C). $ -\frac{5}{2} \, $ D). $ -\frac{3}{2} \, $ E). $ -\frac{1}{2} $
Nomor 9
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika $ \frac{u_1+u_2}{u_3+u_4}=\frac{1}{9} \, $ maka $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3}= .... $
A). $ \frac{10}{9} \, $ B). $ 3 \, $ C). $ \frac{10}{3} \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 10 $
Nomor 10
Misalkan $ f(x) = x^3 + 2x^2 + a $ dan $ g(x) = x + a $ berpotongan di sumbu-x, dengan $ a $ bilangan bulat. Nilai minimum dari $ f(x) $ di interval $ -1\leq x \leq 2 $ adalah ....
A). $ -\frac{4}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $
Nomor 11
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
Nomor 12
Luas daerah di antar kurva $ y = -3a+4 $ dan kurva $ y = x^2-3a $ selalu bernilai konstan, yaitu $ k$. Nilai $ k $ adalah ....
A). $ \frac{34}{3} \, $ B). $ \frac{32}{3} \, $ C). $ \frac{28}{3} \, $ D). $ \frac{16}{3} \, $ E). $ \frac{8}{3} $
Nomor 13
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $
E). $ 72 $
Nomor 14
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $
Nomor 15
Misalkan vektor $ p = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) $ dan $ q = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) $ dengan $ 0 < x < \infty $. Nilai $ c $ yang memenuhi syarat agar $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul berada pada interval .....
A). $ \left(0, \, \frac{4}{3} \right) \, $ B). $ \left(-\frac{4}{3}, \, 0 \right) \, $
C). $ \left(-\frac{4}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $ D). $ \left(-\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $
E). $ \left(\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) $
Catatan :
Pembahasannya akan dilengkapi secara bertahap. Terima kasih.