Pembahasan Barisan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Hasil kali lima suku pertama barisan geometri tersebut adalah .....
A). $ 42\frac{5}{8} \, $ B). $ 32\frac{5}{8} \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 24\frac{5}{8} \, $ E). $ 24 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan geometri yaitu perbandingan sama.
Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
Berlaku : $ \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3} = .... $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ u_n = k.r^{n-1} $
Keterangan :
$ k = \, $ suku pertama ($u_1$)
$ r = \, $ rasio
$ r = \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3} = .... $
Catatan :
Sebenarnya rumusnya $ u_n = a.r^{n-1} $ , namun pada soal ini ternyata $ a $ sebagai suku ketiga, sehingga agar tidak membingungkan, maka kita ganti saja simbol suku pertama dengan $ k $ .
$ u_3 = kr^2 , u_4 = kr^3 $ , dan $ u_5 = kr^4 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Artinya $ u_3 = a $ , $ u_4 = \frac{1}{a} $ , dan $ u_5 = \frac{1}{a^2+2a} $. Karena $ r \neq 1 $ , maka nilai satu suku dengan suku lainnya yang berurutan tidak boleh sama.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} \frac{u_4}{u_3} & = \frac{u_5}{u_4} \\ u_4.u_4 & = u_3.u_5 \\ \frac{1}{a}.\frac{1}{a} & = a. \frac{1}{a^2+2a} \\ \frac{1}{a^2} & = a. \frac{1}{a(a+2)} \\ \frac{1}{a^2} & = \frac{1}{(a+2)} \\ a^2 & = a + 2 \\ a^2 - a - 2 & = 0 \\ (a +1)(a-2) & = 0 \\ a = -1 \vee a & = 2 \end{align} $
-). Untuk $ a = -1 $ , kita peroleh :
$ u_3 = a = -1 $ , $ u_4 = \frac{1}{a} = \frac{1}{-1} = -1 $
Karena $ u_3 = u_4 $ maka $ r = 1 $ , padahal disoal tidak boleh $ r = 1 $ , sehingga $ a = -1 $ tidak memenuhi.
-). Untuk $ a = 2 $
$ u_3 = a \rightarrow kr^2 = 2 \rightarrow k = \frac{2}{r^2} \, $ ....(i)
$ u_4 = \frac{1}{a} \rightarrow kr^3 = \frac{1}{2} \, $ .... (ii)
*). Menentukan hasil kali 5 suku pertama :
$\begin{align} & u_1.u_2.u_3.u_4.u_5 \\ & = k.kr.kr^2.kr^3.kr^4 \\ & = k^5. r^{10} \\ & = (kr^2)^5 \\ & = (u_3)^5 \\ & = 2^5 = 32 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 32 . \, \heartsuit $

Catatan :
Kita juga boleh menentukan nilai $ k $ dan $ r $ dengan menyelesaikan pers(i) dan pers(ii), kemudian substitusikan ke soal yang ditanyakan.

Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \sqrt{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 2\sqrt{2} \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Cepat untuk bentuk limit trigonometri :
$ 1 - cos B = \frac{1}{2}B^2 $
dengan syarat nilai $ B = 0 $ ketika disubstitusi nilai $ x $ nya.
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{\frac{1}{2}(4x^2)^2}}{\frac{1}{2}(2x)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{\frac{1}{2}. 16x^4}}{\frac{1}{2}. 4x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{8x^4}}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{8}. \sqrt{x^4}}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\sqrt{2}.x^2}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\sqrt{2} }{2 } \\ & = \frac{2\sqrt{2} }{2 } \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = \sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \sqrt{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 2\sqrt{2} \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal limit bentuk tak tentu ($ \frac{0}{0}$) khusus fungsi trigonometri yaitu dengan menggunakan sifat limit fungsi trigonometri :
*). Sifat-sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin a x}{bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ a x}{\sin bx} = \frac{a}{b} $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \cos p A = 1 - 2\sin ^2 \frac{p}{2} A $
atau
$ 1 - \cos p A = 2 \sin ^2 \frac{p}{2} A $
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometrinya :
$\begin{align} 1 - \cos 4 x^2 & = 2\sin ^2 \frac{4}{2} x^2 \\ & = 2 \sin ^2 2x^2 \\ 1 - \cos 2x & = 2\sin ^2 \frac{2}{2} x \\ & = 2\sin ^2 x \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2 \sin ^2 2x^2}}{2\sin ^2 x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sqrt{ \sin ^2 2x^2}}{2\sin x \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sin 2x^2}{2\sin x \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sin 2x^2}{2\sin x \sin x} \times \frac{x^2}{x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{ \sin 2x^2}{x^2} . \frac{x}{\sin x}. \frac{x}{\sin x} \\ & = \frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{2}{1} . \frac{1}{1}. \frac{1}{1} \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = \sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 3(x^2-1)-2(y+1)=-1 \\ -2(x-1)+3(y+1)=13 \end{array} \right. $
Nilai $ x^2 + y $ adalah ....
A). $ 20 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan bentuk sistem persamaan, bisa dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} 3(x^2-1)-2(y+1)=-1 \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ -2(x-1)+3(y+1)=13 \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{array} \right. $
*). Pers(i) kali 3 dan pers(ii) kali 2 :
$ \begin{array}{cc} 9(x^2-1)-6(y+1)=-3 & \\ -4(x-1)+6(y+1)=26 & + \\ \hline 9(x^2-1) - 4(x - 1) = 23 & \\ 9x^2 - 4x - 28 = 0 & \\ (x - 2)(9x + 14) = 0 & \\ x = 2 \vee x = - \frac{14}{9} & \end{array} $
Karena $ x > 0 $ , maka $ x = 2 $ yang memenuhi.
*). Substitusi $ x = 2 $ ke pers(ii) :
$\begin{align} -2(x-1)+3(y+1) & = 13 \\ -2(2-1)+3(y+1) & = 13 \\ -2+3(y+1) & = 13 \\ 3(y+1) & = 15 \\ y + 1 & = 5 \\ y & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x^2 + y $ :
$\begin{align} x^2 + y & = 2^2 + 4 \\ & = 4 + 4 = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ x^2 + y = 8 . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2^{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x - 2^{-x} = p $
*). Menentukan bentuk $ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 $ dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} (2^x - 2^{-x})^2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^x . 2^{-x} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^{x + (-x)} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^{0} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 1 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 & = p^2 + 2 \end{align} $
*). Menentukan $ 2^x + 2^{-x} $ :
$\begin{align} (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^x . 2^{-x} \\ (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2 \\ (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = (p^2 + 2) + 2 \\ (2^x + 2^{-x} ) ^ 2 & = p^2 + 4 \\ 2^x + 2^{-x} & = \sqrt{ p^2 + 4 } \end{align} $
*). Mengubah soalnya ke dalam bentuk $ p $ :
$\begin{align} 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ (2^2)^x+ (2^2)^{-x}-2^2. 2^{-x} +2^2. 2^x -7 & = 0 \\ 2^{2x}+ 2^{-2x} -4. 2^{-x} + 4. 2^x -7 & = 0 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 4( 2^x - 2^{-x} ) -7 & = 0 \\ (p^2 + 2) + 4 p -7 & = 0 \\ p^2 + 4 p -5 & = 0 \\ (p -1)(p+5) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = - 5 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 2^x + 2^{-x} $ dengan nilai $ p $ :
$\begin{align} p = 1 \rightarrow 2^x + 2^{-x} & = \sqrt{p^2 + 4} \\ & = \sqrt{1^2 + 4} \\ & = \sqrt{5} \\ p = -5 \rightarrow 2^x + 2^{-x} & = \sqrt{p^2 + 4} \\ & = \sqrt{(-5)^2 + 4} \\ & = \sqrt{29} \end{align} $
Yang ada di option adalah $ p = \sqrt{5} $
Jadi, nilai $ 2^x + 2^{-x} = \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2^{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ a^{-m} = \frac{1}{a^m} $
$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x = p $. Yang ditanyakan yaitu :
$ 2^x + 2^{-x} = 2^x + \frac{1}{2^x} = p + \frac{1}{p} $
*). Menentukan bentuk $ p^2 + (\frac{1}{p})^2 $ dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} (p - \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2. p . \frac{1}{p} \\ (p - \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 & = (p - \frac{1}{p})^2 + 2 \end{align} $
*). Mengubah soalnya ke dalam bentuk $ p $ :
$\begin{align} 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ (2^2)^x+(2^2)^{-x}-2^2.2^{-x}+2^2. 2^x-7 & = 0 \\ (2^x)^2+(2^{-x})^2-4.2^{-x}+4. 2^x-7 & = 0 \\ (2^x)^2+(\frac{1}{2^x})^2-4.\frac{1}{2^x}+4. 2^x-7 & = 0 \\ (p)^2+(\frac{1}{p})^2-4.\frac{1}{p}+4.p-7 & = 0 \\ (p)^2+(\frac{1}{p})^2 + 4( p - \frac{1}{p}) -7 & = 0 \\ (p - \frac{1}{p})^2 + 2 + 4( p - \frac{1}{p}) -7 & = 0 \\ (p - \frac{1}{p})^2 + 4( p - \frac{1}{p}) -5 & = 0 \\ (p - \frac{1}{p} -1 )(p - \frac{1}{p} + 5) & = 0 \\ p - \frac{1}{p} = 1 \vee p - \frac{1}{p} & = - 5 \end{align} $
*). Kita proses satu per satu sampai ditemukan jawabannya di optionnya.
*). Bentuk $ p - \frac{1}{p} = 1 $ , kuadratkan :
$\begin{align} p - \frac{1}{p} & = 1 \\ (p - \frac{1}{p})^2 & = 1^2 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2.p.\frac{1}{p} & = 1 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 - 2 & = 1 \\ p^2 + (\frac{1}{p})^2 & = 3 \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 + 2.p.\frac{1}{p} \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = p^2 + (\frac{1}{p})^2 + 2 \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = 3 + 2 \\ (p + \frac{1}{p})^2 & = 5 \\ p + \frac{1}{p} & = \sqrt{5} \end{align} $
Karena sudah ada di optionnya, maka bentuk $ p - \frac{1}{p} = -5 $ tidak perlu kita proses lagi.
Jadi, nilai $ 2^x + 2^{-x} = \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Catatan : Dari bentuk $ p - \frac{1}{p} = 1 $ , bisa juga dikalikan $ p $ sehingga terbentuk persamaan kuadrat, kemudian tentukan nilai $ p $ nya dengan rumus ABC, setelah itu baru substitusikan ke bentuk $ p + \frac{1}{p} $.

Pembahasan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0 $, dengan $ x> 0 $, maka $ 2^x + 2^{-x} = .... $
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{5} \, $ C). $ \sqrt{7} \, $ D). $ \sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x + 2^{-x} = p $
*). Menentukan bentuk $ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 $ dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} (2^x + 2^{-x})^2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^x . 2^{-x} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^{x + (-x)} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 2^{0} & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2. 1 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2 & = p^2 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 & = p^2 - 2 \end{align} $
*). Menentukan $ 2^x - 2^{-x} $ :
$\begin{align} (2^x - 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2. 2^x . 2^{-x} \\ (2^x - 2^{-x} ) ^ 2 & = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2 \\ (2^x - 2^{-x} ) ^ 2 & = (p^2 - 2) - 2 \\ (2^x - 2^{-x} ) ^ 2 & = p^2 - 4 \\ 2^x - 2^{-x} & = \sqrt{ p^2 - 4 } \end{align} $
*). Mengubah soalnya ke dalam bentuk $ p $ :
$\begin{align} 4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ (2^2)^x+ (2^2)^{-x}-2^2. 2^{-x} +2^2. 2^x -7 & = 0 \\ 2^{2x}+ 2^{-2x} -4. 2^{-x} + 4. 2^x -7 & = 0 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 4( 2^x - 2^{-x} ) -7 & = 0 \\ (p^2 - 2) + 4 \sqrt{ p^2 - 4 } -7 & = 0 \\ 4 \sqrt{ p^2 - 4 } = 9 - & p^2 \end{align} $
*). Kuadratkan bentuk terakhir di atas :
$\begin{align} (4 \sqrt{ p^2 - 4 })^2 & = (9 - p^2 )^2 \\ 16(p^2 - 4) & = 81 - 18p^2 + p^4 \\ p^4 - 34p^2 + 145 & = 0 \\ (p^2 - 5)(p^2 - 29) & = 0 \\ p^2 = 5 \vee p^2 & = 29 \\ p = \sqrt{5} \vee p & = \sqrt{29} \end{align} $
Yang ada di option adalah $ p = \sqrt{5} $
Jadi, nilai $ 2^x + 2^{-x} = \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan tiga digit yang disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dengan syarat semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan adalah ....
A). $ 576 \, $ B). $ 648 \, $ C). $ 729 \, $ D). $ 765 \, $ E). $ 810 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyusun banyaknya cara penyusunan angka bisa menggunakan kaidah pencacahan yaitu aturan perkalian dan penjumlahan.
*). Jika ada penyusunan dengan digit berbeda, maka maksudnya adalah angka yang sudah kita gunakan tidak boleh dipakai lagi sehingga kemungkinan untuk digit berikutnya selalu berkurang satu.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angkanya : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (ada 10 pilihan angka)
*). Akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga digit ( urutannya dari ratusan, puluhan, dan satuan) dengan aturan semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan. Untuk memudahkan penghitungan, kita bagi menjadi dua kasus yaitu :

*). Kasus I : semua digitnya berbeda, kemungkinan susunannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline R & P & S \\ \hline 9 & 9 & 8 \\ \hline \end{array} $
Cara I = $ 9 \times 9 \times 8 = 648 \, $ cara
Keterangan :
-). Ratusan tidak boleh angka nol, sehingga ada 9 pilihan kemungkinan yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
-). Satu angka sudah kita gunakan untuk ratusan, sehingga tinggal 9 pilihan lagi untuk puluhannya.
-). Dua angka sudah kita gunakan untuk ratusan dan puluhan, sehingga tinggal 8 pilihan lagi untuk satuannya.

*). Kasus II : ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan, kemungkinan susunannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline R & P & S \\ \hline 9 & 9 & 1 \\ \hline \end{array} $
Cara II = $ 9 \times 9 \times 1 = 81 \, $ cara
Keterangan :
-). Kasus kedua ini terpenuhi jika digit yang sama terletak pada ratusan dan satuannya.
-). Ratusan tidak boleh angka nol, sehingga ada 9 pilihan kemungkinan yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
-). Satu angka sudah kita gunakan untuk ratusan, sehingga tinggal 9 pilihan lagi untuk puluhannya.
-). Satuannya harus sama dengan digit pada ratusannya, sehingga otomatis satuannya terisi sesuai digit pada ratusanya, ini artinya cuma ada 1 pilihan saja.

*). Total cara penyusunannya :
$\begin{align} \text{Total } & = \text{cara I } + \text{ cara II} \\ & = 648 + 81 \\ & = 729 \end{align} $
Jadi, banyak bilangannya ada $ 729 . \, \heartsuit $