Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 348

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ -x + 3y = 7, \, 4x + 3y = 17, \, $ $ ax + by = 7 $ , dan $ ax - by = 1 $, maka $ a - b = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar SPL (Sistem Persamaan Linear)
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, ada beberapa cara yaitu substitusi, eliminasi, dan gabungan (eliminasi dan substitusi). Metode gabungan yang sering digunakan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui empat persamaan :
$ -x + 3y = 7 \, $ ...pers(i)
$ 4x + 3y = 17 \, $ ...pers(ii)
$ ax + by = 7 \, $ ...pers(iii)
$ ax - by = 1 \, $ ...pers(iv)
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} -x + 3y = 7 & \\ 4x + 3y = 17 & - \\ \hline -5x = -10 & \\ x = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ -x + 3y = 7 \rightarrow -2 + 3y = 7 \rightarrow y = 3 $
Kita peroleh nilai $ (x,y) = (2,3) $.
*). Substitusi nilai $ (x,y) = (2,3) \, $ ke persamaan lainnya
$ \begin{array}{cccc} ax + by = 7 & \rightarrow & 2a + 3b = 7 & \\ ax - by = 1 & \rightarrow & 2a - 3b = 1 & + \\ \hline & & 4a = 8 & \\ & & a = 2 & \end{array} $
pers(iii): $ 2a + 3b = 7 \rightarrow 2.2 + 3b = 7 \rightarrow b = 1 $.
*). Menentukan hasil $ a - b $ :
$ a - b = 2 - 1 = 1 $.
Jadi, nilai $ a - b = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 348

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = x^2 + ax + b $. Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 2 $, maka $ a - b = .... $
A). $ 7 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -3 \, $ E). $ -7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Fungsi
*). Jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \, $ angka dan $ g(k) = 0 \, $ , maka haruslah $ f(k) = 0 $. Sehingga bentukya $ \frac{0}{0} \, $ yang biasa disebut bentuk tak tentu.
*). Aplikasi turunan pada limit (dalil L'Hopital) :
jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ , maka solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan
*). Fungsinya : $ f(x) = x^2 + ax + b $
-). Persamaan pertama
$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 2 \rightarrow \frac{f(3)}{3-3} = 2 \rightarrow \frac{f(3)}{0} = 2 $
Haruslah $ f(3) = 0 \, $ (berdasarkan konsep dasar limit), sehingga
$ \begin{align} f(x) & = x^2 + ax + b \\ f(3) & = 0 \\ 3^2 + a.3 + b & = 0 \\ 3a + b & = -9 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua : $ f(x) = x^2 + ax + b \rightarrow f^\prime (x) = 2x + a $
Menyelesaikan limitnya dengan turunan :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} & = 2 \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f^\prime (x)}{1} & = 2 \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} f^\prime (x) & = 2 \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} (2x+a) & = 2 \\ (2.3+a) & = 2 \\ a & = 2 - 6 = -4 \end{align} $

Pers(i): $ 3a + b = -9 \rightarrow 3.(-4) + b = -9 \rightarrow b = 3 $
Sehingga nilai $ a - b = -4 - 3 = -7 $
Jadi, nilai $ a - b = -7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 348

Soal yang Akan Dibahas
Nilai ujian matematika 40 siswa pada suatu kelas berupa bilangan cacah tidak lebih daripada 10. Rata-rata nilai mereka adalah 7 dan hanya terdapat 10 siswa yang memperoleh nilai 6. Jika $ q $ menyatakan banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari 5, maka nilai $ q $ terbesar yang mungkin adalah ....
A). $ 11 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 13 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 17 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus rata-rata $ = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Rata-rata nilai 40 siswa adalah 7 dan hanya terdapat 10 siswa yang memperoleh nilai 6. Misalkan jumlah nilai 30 siswa yang selain mendapat nilai 6 adalah $ A_{30} $, maka kita peroleh :
$ \begin{align} \text{rata-rata} & = 7 \\ \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} & = 7 \\ \frac{A_{30} + 10 \times 6}{40} & = 7 \\ A_{30} + 60 & = 280 \\ A_{30} & = 220 \end{align} $
Artinya jumlah nilai keseluruhan 30 orang adalah 220.
*). $ q $ menyatakan banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari 5. Nilai $ q $ terbesar yang mungkin dengan nilai ujian tidak lebih dari 10 yaitu :
-). Untuk $ q = 15 \rightarrow $ jumlah terbesar nilai kurang dari 5 adalah $ 15 \times 4 = 60 $ , sehingga sisa $ = 220 - 60 = 160 $.
Sementara jumlah terbesar nilai > 6 adalah $ 15 \times 10 = 150 $ yang belum mencapai 160 sehingga tidak mungkin $ q = 15 $.
-). Untuk $ q = 14 \rightarrow $ jumlah terbesar nilai kurang dari 5 adalah $ 14 \times 4 = 56 $ , sehingga sisa $ = 220 - 56 = 164 $.
Sementara jumlah terbesar nilai > 6 adalah $ 16 \times 10 = 160 $ yang belum mencapai 164 sehingga tidak mungkin $ q = 14 $.
-). Untuk $ q = 13 \rightarrow $ jumlah terbesar nilai kurang dari 5 adalah $ 13 \times 4 = 52 $ , sehingga sisa $ = 220 - 52 = 168 $.
Sementara jumlah terbesar nilai > 6 adalah $ 17 \times 10 = 170 $ yang mencapai 168 sehingga nilai $ q = 13 $ memenuhi dengan perincian 13 siswa memiliki nilai kurang dari 5 , 1 siswa dengan nilai 8 dan 16 siswa memiliki nilai 10.
Jadi, nilai terbesar $ q $ adalah $ q = 13 . \, \heartsuit $