Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 624 tahun 2015 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & a \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] \, $ merupakan matriks yang mempunyai invers dan $ det(B^{-1}) = 9 , \, $ maka jumlah semua nilai $ a \, $ yang mungkin sehingga $ det(A^{-1}) = det \left( (AB) \right) \, $ adalah .....
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |A.B | = |A|.|B| $
sehigga : $ |B^{-1}| = 9 \rightarrow \frac{1}{|B|} = 9 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 2 & a \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 2.2 - a.1 = 4 - a $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A^{-1}) & = det \left( (AB) \right) \\ |A^{-1}| & = \left| (AB) \right| \\ \frac{1}{|A|} & = |A|.|B| \\ |A|^2 & = \frac{1}{|B|} \\ (4-a)^2 & = 9 \\ 16-8a+a^2 & = 9 \\ a^2 - 8a + 7 & = 0 \\ (a-1)(a-7) & = 0 \\ a = 1 \vee a & = 7 \end{align}$
hasil jumlah nilai $ a \, $ adalah $ a_1+a_2 = 1 + 7 = 8 $
atau gunakan operasi akar-akar :
$ a^2 -8a + 7 = 0 \rightarrow a_1+a_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-8)}{1} = 8 $
Jadi, hasil jumlah semua nilai $ a \, $ adalah 8. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika semua akar persamaan $ x^2 - 6x + q = 0 \, $ merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai $ q \, $ yang mungkin adalah .....
$\clubsuit \, $ Persamaan kuadrat : $ x^2 - 6x + q = 0 $
$ a = 1, \, b = -6 , \, $ dan $ c = q $
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-6)}{1} = 6 \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{q}{1} = q \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ q \, $ dari pers(i) dan pers(ii) dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ bilangan bulat positif.
$ x_1 + x_2 = 6 \, $ dan $ x_1.x_2 = q $
*). $ x_1 = 1, \, x_2 = 5 \rightarrow q = x_1.x_2 = 1.5 = 5 $
*). $ x_1 = 2, \, x_2 = 4 \rightarrow q = x_1.x_2 = 2.4 = 8 $
*). $ x_1 = 3, \, x_2 = 3 \rightarrow q = x_1.x_2 = 3.3 = 9 $
Sehingga jumlah semua nilai $ q \, $ yang mungkin :
Jumlah = 5 + 8 + 9 = 22.
Jadi, jumlah semua nilai $ q \, $ adalah 22. $ \heartsuit $
Nomor 13
Jika garis $ 2x-y = 3 \, $ tidak memotong maupun menyinggung kurva $ y = x^2 + ax + 1 , \, $ maka ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar hubungan garis dan parabola
Syarat garis dan parabola tidak berpotongan maupun menyinggung : $ D < 0 $ . dengan $ D \, $ adalah nilai Diskriminan , rumus : $ D = b^2-4ac $
$\spadesuit \, $ Substitusi parabola ke garis
$\begin{align} 2x-y & = 3 \\ 2x-(x^2 + ax + 1) & = 3 \\ -x^2 + 2x - ax - 1 & = 3 \\ -x^2 + (2-a)x - 4 & = 0 \\ a = -1, \, b = 2-a, \, c & = -4 \\ \text{ Syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ [2-a]^2 - 4.(-1).(-4) & < 0 \\ (4 - 4a + a^2) - 16 & < 0 \\ a^2 - 4a - 12 & < 0 \\ (a-6)(a+2) & < 0 \\ a = 6 \vee a & = -2 \end{align}$
sbmptn_matdas_4_k624_2015.png
Jadi, garis dan parabola tidak berpotongan maupun menyinggung ketika $ \{ -2 < a < 6 \} . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui rata-rata dari 9 nilai pengamatan sama dengan dua kali mediannya. Jika jumlah nilai pengamatan yang lebih kecil daripada median adalah 106 dan jumlah nilai pengamatan yang lebih besar daripada median adalah 200, maka rata-rata dari 9 nilai pengamatan tersebut adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep rata-rata $ (\overline{X}) $
$ \overline{X} = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} $
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $ a_1, a_2, a_3,a_4, x, b_1, b_2, b_3, b_4 $
dengan $ x \, $ sebagai nilai median dan
$ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 106 \, $ serta $ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 200 $
$\begin{align} \overline{X} & = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} \\ \overline{X} & = \frac{(a_1+a_2+a_3+a_4)+x+(b_1+b_2+b_3+b_4)}{9} \\ \overline{X} & = \frac{(106)+x+(200)}{9} \\ \overline{X} & = \frac{306+x}{9} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \text{rata-rata } & = 2 \times \text{ median} \\ \overline{X} & = 2x \\ \frac{306+x}{9} & = 2x \\ 306 + x & = 18x \\ 17x & = 306 \\ x & = \frac{306}{17} = 18 \end{align} $
Sehingga nilai rata-ratanya : $ \overline{X} = 2x = 2. 18 = 36 $
Jadi, rata-ratanya adalah 36. $ \heartsuit $
Nomor 15
Seorang siswa sedang melakukan percobaan statistika dengan cara menggunakan 6 bola bilyar berturut-turut bernomor 2, 3, 4, 5, 5, dan 6. Semua bola tersebut dimasukkan ke dalam kotak. Selanjutnya, diambil tiga bola secara acak dan dicatat angka yang muncul sehingga membentuk bilangan. Angka pada bola yang muncul pertama dicatat sebagai ratusan, angka pada bola kedua sebagai puluhan, dan angka pada bola ketiga sebagai satuan. Jika bilangan yang sama dianggap sebagai satu kejadian dan peluang setiap kejadian adalah sama, maka peluang untuk mendapatkan bilangan yang lebih besar daripada 600 adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep peluang
*). $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \, $
$\spadesuit \, $ ada 6 angka yaitu 2, 3, 4, 5, 5, dan 6.
Menentukan semua tiga angka yang terbentuk [$n(S)$] dengan membagi menjadi dua kasus :
*). Kemungkinan I : Ratusan memuat angka 5
sbmptn_matdas_5_k624_2015.png
ratusannnya angka 5 sehingga ratusannya ada satu pilihan, dan sisanya angka 2, 3, 4, 5, 6 digunakan untuk mengisi angka puluhan dan satuannya. Puluhannya ada lima pilihan angka (2, 3, 4, 5, 6), dan satuannya ada empat pilihan angka tersisa.
sehingga KI = $ 1 \times 5 \times 4 = 20 $
*). Kemungkinan II : Ratusan tidak memuat angka 5
Misal ratusannya angka 2, untuk puluhannya dibagi menjadi dua kasus yaitu memuat angka 5 atau tidak
sbmptn_matdas_5a_k624_2015.png
puluhan memuat angka 5 : ratusannya angka 2 ada 1 pilihan, puluhannya angka 5 ada 1 pilihan dan satuannya ada 4 pilihan (3,4,5,6)
puluhan tidak memuat angka 5 : ratusannya angka 2 ada 1 pilihan, puluhannya ada 3 pilihan (3,4,6) dan satuannya ada 3 pilihan (angka 5 dan sisanya)
sehingga untuk ratusannya angka 2 ada $ 1 \times 1 \times 4 + 1 \times 3 \times 3 = 4 + 9 = 13 $
Sementara untuk ratusannya selain angka 2 bisa juga angka lain seperti 3,4,6 , artinya ada 4 kemungkinan ratusan (2,3,4,6) yang tidak memuat angka 5.
KII = $ 4 \times 13 = 52 $
Diperoleh : $ n(S) = KI + KII = 20 + 52 = 72 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $ [bilangan $ > 600 $ ]
Agar bilangannya lebih besar dari 600, maka ratusannya harus angka 6, kemudian angka puluhannya dibagi menjadi dua kasus yaitu memuat angka 5 atau tidak.
sbmptn_matdas_5b_k624_2015.png
ratusan angka 6 ada 1 pilihan, puluhan angka 5 ada 1 pilihan, satuan ada 4 pilihan (2,3,4,5).
ratusan angka 6 ada 1 pilihan, puluhan tidak memuat angka 5 ada 3 pilihan (2,3,4), satuan ada 3 pilihan sisanya.
Sehingga $ n(A) = 1.1.4 + 1.3.3 = 4 + 9 = 13 $
Peluang kejadian A :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{13}{72} $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang $ P(A) \, $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{13}{72} $
Jadi, peluang terbentuknya bilangan lebih besar daripada 600 adalah $ \frac{13}{72} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 624 tahun 2015 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{2}{1-x} < x+2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \frac{2}{1-x} < x+2 \\ \frac{2}{1-x} - (x+2) & < 0 \\ \frac{2}{1-x} - \frac{(x+2)(1-x)}{1-x} & < 0 \\ \frac{2- (x+2)(1-x)}{1-x} & < 0 \\ \frac{2- (-x^2-x+2)}{1-x} & < 0 \\ \frac{x^2+x}{1-x} & < 0 \\ \frac{x(x+1)}{1-x} & < 0 \\ x=0, \, x= -1, \, x & = 1 \end{align}$
sbmptn_matdas_3_k624_2015.png
Jadi, solusinya $ HP = \{ -1 < x < 0 \vee x > 1 \} . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui suatu fungsi $ f \, $ bersifat $ f(-x) = -f(x) \, $ untuk setiap bilangan real $ x . \, $ Jika $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1, \, $ maka $ f(f(-3)) = .... $
$\clubsuit \, $ Diketahui $ f(-x) = -f(x) \, $ ....pers(i)
berlaku juga : $ f(x) = - f(-x) \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui nilai : $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1 $
$ f(-3) = -f(3) = -(-5) = 5 \, $ ....dari pers(i)
$ f(5) = -f(-5) = - (1) = -1 \, $ ....dari pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} f(f(-3)) & = f(5) \, \, \, \, \text{....[ dengan } f(-3) = 5 ] \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ f(f(-3)) = -1 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui sistem persamaan $ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x+2}{4} + \frac{2y-1}{3}=4, \\ \frac{x-2}{2} + \frac{y-x}{3}=1. \end{array} \right. $
Nilai $ y-x \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan sistem persamaan
$\begin{align} \frac{x+2}{4} + \frac{2y-1}{3} & = 4 \, \, \, \, \text{(kali 12)} \\ 3(x+2) + 4(2y-1) & = 48 \\ 3x + 8y & = 46 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ \frac{x-2}{2} + \frac{y-x}{3} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 3(x-2) + 2(y-x) & = 6 \\ x + 2y & = 12 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 3x + 8y = 46 & \times 1 & 3x + 8y = 46 & \\ x + 2y = 12 & \times 4 & 4x + 8y = 48 & - \\ \hline & & -x = -2 & \\ & & x = 2 & \end{array} $
pers(ii) : $ x + 2y = 12 \rightarrow 2 + 2y = 12 \rightarrow y = 5 $
Sehingga nilai $ y - x = 5 - 2 = 3 $
Jadi, nilai $ y - x = 3 . \heartsuit$
Nomor 9
Empat orang siswa akan mengikuti suatu perlombaan karya inovatif. Untuk itu, diperlukan biaya Rp 900.000,00. Karena masing-masing memiliki kondisi keuangan yang berbeda, besar kontribusi masing-masing siswa tidak sama. Siswa A memberikan kontribusi setengah dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa B memberikan kontribusi sepertiga dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa C memberikan kontribusi seperempat dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Besar kontribusi siswa D adalah Rp ....
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan
$\begin{align} A = \frac{1}{2}(B+C+D) \rightarrow 2A & = B+C+D \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ B = \frac{1}{3}(A+C+D) \rightarrow 3B & = A+C+D \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \\ C = \frac{1}{4}(A+B+D) \rightarrow 4C & = A+B+D \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \\ A + B + C + D & = 900.000 \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke semua persamaan
$\begin{align} \text{pers(i) : } 2A & = B+C+D \\ 2A & = 900.000 - A \\ 3A & = 900.000 \\ A & = 300.000 \\ \text{pers(ii) : } 3B & = A+C+D \\ 3B & = 900.000 - B \\ 4B & = 900.000 \\ B & = 225.000 \\ \text{pers(iii) : } 4C & = A+B+D \\ 4C & = 900.000 - C \\ 5C & = 900.000 \\ C & = 180.000 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai D
$\begin{align} A + B + C + D & = 900.000 \\ 300.000 + 225.000 + 180.000 + D & = 900.000 \\ D & = 195.000 \end{align}$
Jadi, besarnya kontribusi siswa D adalah Rp 195.000,00. $ \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ f(2x+4) = 2 - \frac{x}{2} , \, $ maka $ f^{-1} (x) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ f(A) = B \Leftrightarrow f^{-1} (B) = A $
sehingga : $ f(2x+4) = 2 - \frac{x}{2} \Rightarrow f^{-1} ( 2 - \frac{x}{2} ) = 2x+4 $
$\spadesuit \, $ Menentukan inversnya
Misal : $ p = 2 - \frac{x}{2} \rightarrow x = 2(2-p) = 4-2p $
Substitusi bentuk $ p $
$\begin{align} f^{-1} ( 2 - \frac{x}{2} ) & = 2x+4 \\ f^{-1} ( p ) & = 2(4-2p)+4 \\ f^{-1} ( p ) & = 12-4p \end{align}$
Sehingga diperoleh : $ f^{-1}(x) = 12-4x $
Jadi, diperoleh $ f^{-1}(x) = 12-4x . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 624 tahun 2015


Nomor 1
Jika $ \sqrt{a+3} = \sqrt{a} + 1 , \, $ maka $ \sqrt{a+1} = ... $
$\clubsuit \, $ Kuadratkan bentuk akar kedua ruas
$\begin{align} \sqrt{a+3} & = \sqrt{a} + 1 \\ (\sqrt{a+3})^2 & = (\sqrt{a} + 1)^2 \\ a + 3 & = a + 2\sqrt{a} + 1 \\ 2\sqrt{a} & = 2 \\ \sqrt{a} & = 1 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \sqrt{a+1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ k+24, \, k, \, $ dan $ k-6 \, $ berturut-turut merupakan suku pertama, ketiga, dan kelima suatu barisan geometri dengan semua suku positif, maka jumlah suku kedua dan suku keempat barisan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Diketahui : $ u_1 = k+24, \, u_3= k, \, u_5 = k-6 $
Barisan geometri dengan suku berurutan, misalkan $ u_1,u_2,u_3, \, $ atau $ u_3,u_4,u_5, \, $ atau $ u_1, u_3, u_5, \, $ atau $ u_2, u_5, u_8 , \, $ dan lainnya pasti memiliki perbandingan yang sama.
Perbandingannya sama : suku-suku $u_1, u_3, u_5 $
$\begin{align} \frac{u_3}{u_1} & = \frac{u_5}{u_3} \\ (u_3)^2 & = u_1 .u_5 \\ (k)^2 & = (k+24)(k-6) \\ k^2 & = k^2 + 18k - 24 \times 6 \\ 18k & = 24 \times 6 \\ k & = \frac{24 \times 6}{18} = 8 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r $
$ a = u_1 = k + 24 = 8 + 24 = 32 $
$ u_3 = k \rightarrow ar^2 = 8 \rightarrow 32.r^2 = 8 \rightarrow r = \frac{1}{2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan suku kedua dan keempat
$\begin{align} u_2 & = ar = 32 . \frac{1}{2} = 16 \\ u_4 & = ar^3 = 32. (\frac{1}{2})^3 = 4 \end{align} $
Sehingga nilai : $ u_2 + u_4 = 16 + 4 = 20 $
Jadi, jumlah suku kedua dan keempat adalah 20. $ \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k624_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k624_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui $ {}^2 \log p = \frac{1}{3} \, $ dan $ {}^3 \log q = \frac{1}{2}. \, $ Jika $ x = p^2 \, $ dan $ y = q^3, \, $ maka $ {}^x \log y = ..... $
$\spadesuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Sifat Eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} {}^2 \log p & = \frac{1}{3} \rightarrow p = 2^\frac{1}{3} \\ {}^3 \log q & = \frac{1}{2} \rightarrow q = 3^\frac{1}{2} \\ x & = p^2 = (2^\frac{1}{3})^2 =2^\frac{2}{3} \\ y & = q^3 = (3^\frac{1}{2})^3 = 3^\frac{3}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} {}^x \log y & = {{}^2}^\frac{2}{3} \log 3^\frac{3}{2} \\ & = (\frac{3}{2} : \frac{2}{3}) . {}^2 \log 3 \\ & = (\frac{3}{2} \times \frac{3}{2}) . {}^2 \log 3 \\ & = \frac{9}{4}. {}^2 \log 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^x \log y = \frac{9}{4} ({}^2 \log 3) . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k624_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15