Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 526 tahun 2010 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Rumah di jalan Veteran dinomori secara urut mulai 1 sampai dengan 150. Berapa banyak rumah yang nomornya menggunakan angka 8 sekurang-kurangnya satu kali?
$\clubsuit \, $ Dibagi perkasus
* 1-79 yang memuat angka 8 ada 8 yaitu 8, 18, 28, ... , 78
* 80-90 yang memuat angka 8 ada 10 yaitu 80, 81, 82, ... , 89
* 91-150 yang memuat angka 8 ada 6 yaitu 98, 108, 118, 128, 138, 148
Jadi, total yang memuat angka 8 ada 8 + 10 + 6 = 24 angka. $ \heartsuit $
Nomor 12
Suatu kelas terdiri atas 10 pelajar pria dan 20 pelajar wanita. Separuh pelajar pria memakai arloji dan separuh pelajar wanita juga memakai arloji. Jika dipilih satu pelajar, maka peluang yang terpilih wanita atau memakai arloji adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada 10P 20W , sehingga $n(S) = 10+20 = 30 $
memakai arloji : 5P dan 10W , total memakai arloji = 15
$\spadesuit \, $ Harapannya terpilih seorang wanita atau memakai arloji
$\begin{align*} n(W \cup Ar) & = n(W) + n(Ar) - n(W\cap Ar) \\ & = 20 + 15 - 10 \\ & = 25 \end{align*}$
Keterangan :
$n(W\cup Ar ) $ = banyak wanita atau memakai arloji
$n(W) $ = banyak wanita
$n(Ar ) $ = banyak memakai arloji (total)
$n(W\cap Ar ) $ = banyak wanita yang sekaligus memakai arloji
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya : $P(W\cup Ar) $
$P(W\cup Ar) = \frac{n(W\cup Ar)}{n(S)} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} $
Jadi, peluang terpilih wanita atau memakai arloji adalah $\frac{5}{6} . \heartsuit $
Nomor 13
Diberikan barisan $U_n=\left\langle -1,1,-1,1,... \right\rangle $ dengan $n$ bilangan asli. Semua yang berikut merupakan rumus umum untuk barisan itu, kecuali ....
(A) $U_n=(-1)^n $
(B) $U_n=-\sin (n-\frac{1}{2})\pi $
(C) $U_n=-\cos (n-1)\pi $
(D) $U_n=-\sin (n-1)\pi $
(E) $U_n= \left\{ \begin{array}{c} -1, \, \text{jika} \, n \, \text{ganjil} \\ 1, \, \text{jika} \, n \, \text{genap} \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Cek setiap pilihan dengan menggantikan nilai $n$
$U_n=\left\langle -1,1,-1,1,... \right\rangle $
artinya : $U_1 = -1, U_2=1, U_3=-1, ....$
Cukup dicek untuk $n=1$ dan hasilnya harus $ \, -1 \, $ karena $U_1=-1$
A. $U_n=(-1)^n \rightarrow U_1=(-1)^1 = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
B. $U_n=-\sin (n-\frac{1}{2})\pi \rightarrow U_1=-\sin (1-\frac{1}{2})\pi = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
C. $U_n=-\cos (n-1)\pi \rightarrow U_1=-\cos (1-1)\pi = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
D. $U_n=-\sin (n-1)\pi \rightarrow U_1=-\sin (1-1)\pi = 0 \, \, \, \, \, \, $ (salah)
E. $U_n= \left\{ \begin{array}{c} -1, \, \text{jika} \, n \, \text{ganjil} \\ 1, \, \text{jika} \, n \, \text{genap} \end{array} \right. \rightarrow U_1= -1 $ karena $n$ ganjil (benar)
Jadi, opsi yang salah adalah opsi D. $ \heartsuit $
Nomor 14
Luas daerah pada bidang $XOY$ yang memenuhi hubungan $|x|+|y| \leq 2 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Definisi harga mutlak
$|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. \, \, \, $ dan $ \, \, \, |y| = \left\{ \begin{array}{cc} y & , y \geq 0 \\ -y & , y < 0 \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Menghilangkan harga mutlak dari bentuk $|x|+|y| \leq 2 $
* untuk $x \geq 0 , y \geq 0 \rightarrow |x| = x , |y|=y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, x+y \leq 2 \rightarrow (0,2)\, (2,0) $
* untuk $x \geq 0 , y < 0 \rightarrow |x| = x , |y|=-y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, x-y \leq 2 \rightarrow (0,-2)\, (2,0) $
* untuk $x < 0 , y \geq 0 \rightarrow |x| = -x , |y|=y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, -x+y \leq 2 \rightarrow (0,2)\, (-2,0) $
* untuk $x < 0 , y < 0 \rightarrow |x| = -x , |y|=-y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, -x-y \leq 2 \rightarrow (0,-2)\, (-2,0) $
$\spadesuit \, $ Gambarnya
sbmptn_mat_ipa_k526_5_2010.png
Daerah arsiran membentuk belah ketupat
Luas arsir = $\frac{d_1.d_2}{2} = \frac{4\times 4 }{2} = 8 $
Jadi, luasnya adalah 8. $ \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^2-1}{x-1} & , x \neq 1 \\ 3 & , x = 1 \end{array} \right. $
Semua pernyataan berikut benar, kecuali ...
(A) $\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = 2 $
(B) $\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) $
(C) $f$ kontinu di $x=0$
(D) $f$ tidak kontinu di $x=1$
(E) $f$ mempunyai turunan di $x=1$
$\clubsuit \, $ Fungsi $f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^2-1}{x-1} & , x \neq 1 \\ 3 & , x = 1 \end{array} \right. $
maksudnya, untuk $x=1$ maka $f(1) = 3 $ , dan untuk $x\neq 1 $ maka $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} $
$\clubsuit \, $ Cek setiap pilihan
(A). limit $x$ mendekati 1, artinya $x\neq 1 $ sehingga $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} $
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2-1}{x-1} \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{2x}{1} \\ & = 2\times 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) & = 2 \, \, \text{(Benar)} \\ \end{align*}$
(B). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = 2 , \, f(1) = 3 $
$\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) \, \, \, $ (Benar)
(C). $f$ kontinu di $x=0$ , harus dibuktikan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f(x) = f(0) $
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{0^2-1}{0-1} = 1 $
Nilai $ f(0) = \frac{0^2-1}{0-1} = 1 $
Karena $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f(x) = f(0) $ , maka $f$ kontinu di $x=0 \, \, $ (Benar)
(D). $f$ tidak kontinu di $x=1$ , harus dibuktikan $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) $
Berdasarkan opsi B, benar bahwa $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) $
(E). Konsep dasar turunan di $x=a$ : $f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $
Artinya : suatu fungsi $f$ mempunyai turunan di $x=a$ jika nilai fungsi $f^\prime (a) $ ada (terdefinisi) yaitu hasilnya bukan $\infty $ atau $-\infty $
* Menghitung nilai $f^\prime (1) $
$f(1+h) = \frac{(1+h)^2-1}{(1+h)-1} = \frac{h^2+2h}{h} = h +2 \, \, $ dan $\, f(1) = 3 $
$\begin{align*} f^\prime (a) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ f^\prime (1) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{(h+2)-3}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{h-1}{h} = \frac{0-1}{0} = \frac{-1}{0} \\ f^\prime (1) & = -\infty \end{align*}$
Karena nilai $f^\prime (1) = -\infty \, \, $ (tidak terdefinisi), maka $f$ tidak punya turunan di $x=1$ . (Salah)
Jadi, yang salah adalah opsi E. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 526 tahun 2010 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\frac{2-\sin \theta}{\cos \theta} \leq \frac{\cos \theta}{\sin \theta} $ untuk $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Ruas kanan di nol kan
$\begin{align} \frac{2-\sin \theta}{\cos \theta} & \leq \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \\ \frac{2-\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta}& \leq 0 \\ \frac{2\sin \theta - \sin ^2 \theta - \cos ^2 \theta}{\cos \theta \sin \theta}& \leq 0 \\ \frac{2\sin \theta - ( \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta ) }{\cos \theta \sin \theta}& \leq 0 \\ \frac{2\sin \theta - 1 }{\cos \theta \sin \theta}& \leq 0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\theta$
$2\sin \theta - 1 \rightarrow \sin \theta = \frac{1}{2} \rightarrow \theta = \frac{\pi}{6} , \frac{5\pi}{6} $
$ \cos \theta = 0 \rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} $
$\sin \theta = 0 \rightarrow \theta = 0 , \pi $
sbmptn_mat_ipa_k526_2_2010.png
$\spadesuit \, $ Karena $\theta$ pada interval $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ , maka solusi yang memenuhi adalah $0 < \theta \leq \frac{\pi}{6} $
Jadi, HP = $ 0 < \theta \leq \frac{\pi}{6} . \heartsuit $
Nomor 7
Panjang dua sisi suatu segitiga adalah 10 cm dan 8 cm. Semua nilai berikut dapat menjadi nilai keliling segitiga tersebut, kecuali ...
$\clubsuit \, $ Pertidaksamaan pada sisi segitiga
sbmptn_mat_ipa_k526_3a_2010.png
$\clubsuit \, $ Deskripsi gambar
sbmptn_mat_ipa_k526_3b_2010.png
artinya nilai $x$ terbesar adalah kurang dari 18 .
$\clubsuit \, $ Keliling segitiga
$\begin{align} \text{Keliling} \, \Delta & = 10 + 8 + x \\ \text{Keliling} \, \Delta & < 10 + 8 + 18 \\ \text{Keliling} \, \Delta & < 36 \end{align}$
sehingga keliling yang mungkin kurang dari 36.
Jadi, keliling yang tidak mungkin lebih besar sama dengan 36, yaitu opsi E. $ \heartsuit$

Cara II
$\clubsuit \, $ Jika diketahui dua sisi pada segitiga , misalkan $a$ dan $b$ dengan $a \geq b $ , maka rentang keliling segitiga yang mungkin adalah $2a < K \Delta < 2(a+b) $
$\clubsuit \, $ diketahui panjang sisi segitiga, $a=10$ , dan $b=8$ , Rentang kelilingnya :
$\begin{align} 2a < & \text{Keliling} \, \Delta < 2 (a+b) \\ 2.10 < & \text{Keliling} \, \Delta < 2 (10+8) \\ 20 < & \text{Keliling} \, \Delta < 36 \end{align}$
Jadi, keliling yang tidak mungkin diluar interval di atas, yaitu 36, opsi E. $ \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui fungsi $g$ kontinu di $ x = 3 $ dan $\displaystyle \lim_{x \to 3} g(x) = 2 $ .
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 3} \left( g(x)\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right) $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x).g(x) = \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) . \displaystyle \lim_{x \to a} g(x)$ .
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan limitnya
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 3} \left( g(x)\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right) & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \, \, \, \text{(rasionalkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(x-3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} (\sqrt{x}+\sqrt{3}) \\ & = 2 \times (\sqrt{3} + \sqrt{3}) \\ & = 2 \times 2\sqrt{3} \\ & = 4\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, hasilnya adalah $ 4\sqrt{3} . \heartsuit$

Cara II
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x).g(x) = \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) . \displaystyle \lim_{x \to a} g(x)$ .
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan limitnya
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 3} \left( g(x)\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right) & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} 2\sqrt{x} \\ & = 2 \times 2\sqrt{3} \\ & = 4\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, hasilnya adalah $ 4\sqrt{3} . \heartsuit$
Nomor 9
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $g(x)=f(x^2+2) $ . Jika diketahui bahwa $g^\prime (1) = 8 $ , maka nilai $f^\prime (3) $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
$y=f\left[ h(x) \right] \rightarrow y^\prime = f^\prime \left[ h(x) \right] . h^\prime (x) $
$\clubsuit \, $ Menurunkan fungsinya dan substitusi $x=1$
$\begin{align*} g(x) & =f(x^2+2) \\ g^\prime (x) & = f^\prime (x^2+2) . (2x) \\ x=1 \rightarrow g^\prime (1) & = f^\prime (1^2+2) . (2.1) \\ 8 & = f^\prime (3) . 2 \\ f^\prime (3) & = \frac{8}{2} \\ f^\prime (3) & = 4 \end{align*}$
Jadi, nilai $ f^\prime (3) = 4 . \heartsuit $
Nomor 10
Daerah R di kuadran satu, dibatasi oleh grafik $y=x^2, \, y=x+2 $ dan $y=0 $ . Integral yang menyatakan luas daerah R adalah ...
$\spadesuit \, $ Gambarnya
sbmptn_mat_ipa_k526_4_2010.png
$\spadesuit \, $ Titik potong kedua kurva
$\begin{align*} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = x + 2 \\ x^2 - x- 2 & = 0 \\ (x+1)(x-2) & = 0 \\ x=-1 & \vee x =2 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Luas daerah arsiran
$\begin{align*} \text{L}_\text{arsir} & = L_A + L_B \\ & = \int \limits_{-2}^{-1} (x+2) dx + \int \limits_{-1}^0 x^2 dx \end{align*}$
Jadi, Luasnya adalah $\int \limits_{-2}^{-1} (x+2) dx + \int \limits_{-1}^0 x^2 dx . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 526 tahun 2010


Nomor 1
Nilai $p$ agar vektor $\, \, pi+2j-6k \, \, $ dan $\, \, 4i-3j+k \, \, $ saling tegak lurus adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan vektor-vektornya
$\vec{u} = (p \, \, \, 2 \, \, \, -6) $ dan $\vec{v} = (4 \, \, \, -3 \, \, \, 1) $
$\clubsuit \, $ Vektor $\vec{u} $ tegak lurus vekor $\vec{v}$ , syarat : $\vec{u}.\vec{v} = 0 $
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v} & = 0 \\ \, \, \, p.4 + 2.(-3) + (-6).1 & = 0 \\ 4p-6-6 & = 0 \\ 4p & = 12 \\ p & = 3 \end{align*}$
Jadi, nilai $p=3 .\heartsuit $
Nomor 2
Jika garis singgung kurva $y=2x\cos 3x $ di titik ($\pi , -2\pi $ ) tegak lurus dengan garis $g$ , maka persamaan garis $g$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung di titik ($\pi , -2\pi $ ), $m = f^\prime (\pi ) $
$\begin{align} y & =2x\cos 3x \\ y^\prime & = 2\cos 3x - 6x\sin 3x \\ m_1 & = f^\prime (\pi ) \\ m_1 & = 2\cos 3\pi - 6\pi . \sin 3\pi \\ & = 2.(-1) - 6\pi . (0) \\ m_1 & = -2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Garis $g$ tegak lurus garis singgung, sehingga gradiennya
$m_1.m_2 = -1 \rightarrow m_2 = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} $
sehingga gradien garis $g$ adalah $m = \frac{1}{2} $
$\spadesuit \, $ Persamaan garis $g$
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(-2\pi) & = \frac{1}{2} (x- \pi) \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y + 4\pi & = (x- \pi) \\ y & = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\pi \end{align}$
Jadi, persamaan garis $g$ adalah $ y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\pi . \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui suku banyak $P(x) = x^4+2x^3-9x^2-2x+k $ habis dibagi $x-2 $ . Jika $P(x) $ dibagi $x-1 $ sisanya adalah ...
$\clubsuit \, $ Teorema sisa : $\frac{P(x)}{x-a} \rightarrow $ Sisa = $P(a)$
$\clubsuit \, P(x) $ habis dibagi $x-2$ , maka sisanya nol
$\begin{align} P(2) & = \text{sisa} \\ 2^4+2.2^3-9.2^2-2.2+k & = 0 \\ -8 + k & = 0 \\ k & = 8 \end{align}$
Sehingga $P(x) = x^4+2x^3-9x^2-2x+8 $
$\spadesuit \, P(x) $ dibagi $x-1 \rightarrow $ sisa = $P(1)$
Sisa = $p(1) = 1^4+2.1^3-9.1^2-2.1+8 = 0 $
Jadi, sisanya adalah 0 . $ \heartsuit $
Nomor 4
Persamaan kuadrat yang mempunyai akar $a$ dan $b$ sehingga $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{7}{10} $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} & = \frac{7}{10} \\ \frac{a+b}{ab} & = \frac{7}{10} \\ \frac{a+b}{ab} & = \frac{7}{10} = \frac{14}{20} = \frac{21}{30} = \frac{28}{40} = .... \end{align}$
artinya nilai terkecil dari $a+b = 7 $ dan $ab=10$
$\spadesuit \, $ Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $a$ dan $b$
$\begin{align} x^2 - (a+b)x+ab & = 0 \\ x^2 - 7x+ 10 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 - 7x+ 10 = 0 . \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P pada CT sehingga TP : PC = 2 : 1. Jarak P ke bidang BDT adalah ...
$\clubsuit \, $ Gambarnya :
sbmptn_mat_ipa_k526_1_2010.png sbmptn_mat_ipa_k526_1a_2010.png
$\clubsuit \, $ Jarak P ke bidang BDT sama dengan jarak Pke garis TN atau panjang PM
$\clubsuit \, $ Konsep kesebangunan, $\Delta$TPM sebangun dengan $\Delta$TCN
$\begin{align} \frac{PM}{NC} & = \frac{TP}{TC} \\ \frac{PM}{3\sqrt{2}} & = \frac{4}{6} \\ PM & = \frac{4}{6} . 3\sqrt{2} \\ PM & = 2\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, jaraknya adalah $ 2\sqrt{2} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 574 tahun 2011 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diberikan kurva $y=x^3+2x^2-x+5$ . Jika garis singgung kurva di titik ($a,b$) sejajar dengan garis $y-3x-4=0$ , maka nilai $b$ yang mungkin adalah ...
$\clubsuit \, $ Garis $y-3x-4=0$ memiliki gradien $m=\frac{-x}{y} = \frac{-(-3)}{1} = 3 $
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $y-3x-4=0$ artinya gradiennya sama yaitu $m = 3 $
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung di titik ($a,b$) : $m = f^\prime (a) $
$\begin{align*} y & = x^3+2x^2-x+5 \\ y^\prime & = 3x^2+4x-1 \\ m & = f^\prime (a) \\ 3 & = 3a^2+4a-1 \\ 3a^2+4a -4 & = 0 \\ (3a-2)(a+2) & = 0 \\ a=\frac{3}{2} & \vee a = -2 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $a=-2$ ke kurva
$\begin{align*} a=-2 \rightarrow y & = x^3+2x^2-x+5 \\ b & = (-2)^3+2(-2)^2-(-2)+5 \\ b & = -8+8+2+5 \\ b & = 7 \end{align*}$
Jadi, salah satu nilai $b$ yang mungkin adalah 7 . $\heartsuit $
Nomor 12
Grafik $y=f^\prime (x) $ ditunjukkan pada gambar berikut
sbmptn_mat_ipa_k574_1_2011.png
Pernyataan yang benar adalah ...
$\spadesuit \, $ Titik maksimum/minimum saat $f^\prime (x) = 0 $
Dari gambar di atas, $f^\prime (x) = 0 $ tercapai untuk $x=-2$ dan $x=2$ , artinya titik maksimum/minimum saat $x=-2$ dan $x=2$ .
$\spadesuit \, $ Fungsi naik/turun
fungsi turun dengan syarat $f^\prime (x) < 0 $ ($ f^\prime (x) $ negatif)
fungsi naik dengan syarat $f^\prime (x) > 0 $ ($ f^\prime (x) $ positif)
Dari gambar di atas :
* $f^\prime (x) $ negatif (bagian kurva di bawah sumbu X) ada pada interval $-2 < x < 2 $ , artinya $y=f(x) $ turun pada interval $-2 < x < 2 $
* $f^\prime (x) $ positif (bagian kurva di atas sumbu X) ada pada interval $ x < -2 \vee x > 2 $ , artinya $y=f(x) $ naik pada interval $ x < -2 \vee x > 2 $
$\spadesuit \, $ Deskripsi gambar fungsi awal $y=f(x) $
sbmptn_mat_ipa_k574_5a_2011.png
sbmptn_mat_ipa_k574_5b_2011.png
Jadi, fungsi $y=f(x) $ minimum saat $x = 2 . \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui vektor $\vec{u} = (1, -3a+1, 2) $ dan $\vec{v} = (a^3-3a^2, 3, 0) $ dengan $-2 < a < 4 $ . Nilai maksimum $\vec{u} . \vec{v} $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan $\vec{u}.\vec{v} $
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v} & = 1.(a^3-3a^2) + (-3a+1).3 + 2.0 \\ f(a) & = a^3-3a^2-9a+3 \\ f^\prime (a) & = 3a^2 - 6a - 9 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai maksimum
$\begin{align*} f^\prime (a) & = 0 \\ 3a^2 - 6a - 9 & = 0 \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ a^2 - 2a - 3 & = 0 \\ (a+1)(a-3) & = 0 \\ a=-1 & \vee a = 3 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi semua nilai $a$ ke fungsi awal
$a=-1 \rightarrow f(-1)= (-1)^3-3.(-1)^2-9.(-1)+3 = 8 $
$a=3 \rightarrow f(3)= (3)^3-3.(3)^2-9.(3)+3 = -24 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 8. $ \heartsuit $
Nomor 14
Bola dengan diameter 8 cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah ... cm.
$\spadesuit \, $ Gambarnya
sbmptn_mat_ipa_k574_6a_2011.png sbmptn_mat_ipa_k574_6b_2011.png
$AB = \sqrt{R^2+t^2} $
$\spadesuit \, $ Konsep kesebangunan pada $\Delta$AED dan $\Delta$ABC
$\begin{align*} \frac{ED}{BC} & = \frac{AE}{AB} \\ \frac{4}{R} & = \frac{t-4}{\sqrt{R^2+t^2}} \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{16}{R^2} & = \frac{t^2-8t+16}{R^2+t^2} \\ 16R^2+16t^2 & = R^2(t-8t)+16R^2 \\ R^2 & = \frac{16t^2}{t-8t} \\ R^2 & = \frac{16t}{t-8} \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Volume maksimum/minimum, syarat : $V^\prime = 0 $
$\begin{align*} V & = \frac{1}{3} \pi R^2 t \, \, \, \text{substitusi pers(i)} \\ V & = \frac{1}{3} \pi .\frac{16t}{t-8} . t \\ V & = \frac{1}{3} \pi .\frac{16t^2}{t-8} \\ V^\prime & = 0 \\ \frac{16\pi}{3} \left[ \frac{2t(t-8)-t^2}{(t-8)^2} \right] & = 0 \\ \frac{16\pi}{3} \left[ \frac{t^2-16t}{(t-8)^2} \right] & = 0 \\ t^2-16t & = 0 \\ t(t-16) & = 0 \\ t=0 & \vee t=16 \end{align*}$
Jadi, tinggi kerucut adalah 16 cm. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Gambarnya
sbmptn_mat_ipa_k574_6a_2011.png
$\spadesuit \, $ Berdasarkan gambar, volume kerucut minimum saat :
$t=4r \, \, $ dan $\, \, R = 2\sqrt{2}$
Sehingga $t=4r=4\times 4 = 16 $
Jadi, tinggi kerucut adalah 16 cm. $ \heartsuit $
Nomor 15
Diberikan lingkaran dengan persamaan $(x+5)^2+(y-12)^2= 14^2 $ . Jarak minimal titik pada lingkaran tersebut ke titik asal adalah ...
$\clubsuit \, $ Unsur-unsur lingkaran
$(x-a)^2+(y-b)^2= r^2 \, \, \, \, $ memiliki pusat ($a,b$) dan jari-jari $r$
$(x+5)^2+(y-12)^2= 14^2 \, \, \, \, $ memiliki pusat (-5,12) dan $r=14$
$\clubsuit \, $ Gambarnya
sbmptn_mat_ipa_k574_7_2011.png
$\clubsuit \, $ Menentukan jarak PA
jarak titik P(-5,12) ke A(0,0)
$PA = \sqrt{((-5)-0)^2 + (12-0)^2 } = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2 } = \sqrt{25 + 144 } = 13 $
$\clubsuit \, $ Menentukan jarak terdekat
Jarak terdekat/minimal titik pada lingkaran dengan titik asal (titik A(0,0)) yaitu jarak titik A ke semua titik yang ada pada lingkaran, misalkan AB, AC, AD, ... dan AH. Namun yang paling kecil jaraknya adalah AB. Sehingga jarak minimalnya adalah AB, dengan PB sama dengan jari-jari lingkaran.
$\begin{align*} AB & = PB - PA \\ & = r - PA \\ & = 14 - 13 \\ AB & = 1 \end{align*}$
Jadi, jarak minimalnya adalah 1. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 574 tahun 2011 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Prisma tegak segitiga sama sisi ABC.DEF dengan panjang AB = $s$ dan AD = $t$ . Jika titik G terletak di tengah-tengah sisi EF, maka panjang AG adalah ...
$\spadesuit \, $ gambar :
sbmptn_mat_ipa_k574_3_2011.png
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang AH :
$\begin{align*} AH^2 & = AB^2 - HB^2 \\ & = s^2 - \left( \frac{s}{2} \right)^2 \\ & = s^2 - \frac{s^2}{4} \\ AH^2 & = \frac{3s^2}{4} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang AG :
$\begin{align*} AG^2 & = AH^2 + HG^2 \\ AG^2 & = \frac{3s^2}{4} + t^2 \\ AG & = \sqrt{ \frac{3s^2}{4} + t^2 } \end{align*}$
Jadi, panjang AG = $ \sqrt{ \frac{3s^2}{4} + t^2 } . \heartsuit $
Nomor 7
Jika $0 < x < \pi $ dan $x$ memenuhi $\sin ^2 x + \sin x = 2 $ , maka $\cos x $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $\sin x $ dan $\cos x$
$\begin{align*} \sin ^2 x + \sin x & = 2 \\ \sin ^2 x + \sin x - 2 & = 0 \\ (\sin x + 2)(\sin x -1 ) & = 0 \\ \sin x = -2 \rightarrow & \, \, \text{(tidak memenuhi)} \\ \sin x = 1 \rightarrow & x = 90^o \\ \text{sehingga} \, \cos x = \cos 90^o & = 0 \end{align*}$
Jadi, nilai $\cos x = 0 . \heartsuit$
Nomor 8
$\sin 35^o \cos 45^o - \cos 35^o \sin 40^o = ... $
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
$\sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \, \, \, \, \, $ dan
$\sin x = \cos (90^o - x) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align*} \sin 35^o \cos 40^o - \cos 35^o \sin 40^o & = \sin (35^o - 40^o) \\ & = \sin (-5^o) \, \, \, \text{...(rumus 2)} \\ & = \cos (90^o - (-5^o)) \\ & = \cos 95^o \end{align*}$
Jadi, hasil $\sin 35^o \cos 40^o - \cos 35^o \sin 40^o = \cos 95^o . \heartsuit$
Nomor 9
Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri atas 4 angka yang disusun oleh angka-angka 0, 1, 3, 5, dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah ...
$\clubsuit \, $ Angka pertama atau terakhir tidak nol, artinya jika angka pertama tidak nol maka angka yang lain bebas, dan jika angka terakhir tidak nol maka angka yang lain bebas.
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal :
A menyatakan angka pertama tidak nol
sbmptn_mat_ipa_k574_4a_2011.png
B menyatakan angka terakhir tidak nol
sbmptn_mat_ipa_k574_4b_2011.png
A$\cap$B menyatakan angka pertama dan terakhir tidak nol
sbmptn_mat_ipa_k574_4c_2011.png
Sehingga banyak A atau B :
$n(A\cup B ) = n(A) + n(B) - n(A\cap B ) = 500 + 500 - 400 = 600 $ .
$\clubsuit \, $ Penjelasan salah satu kejadian :
sbmptn_mat_ipa_k574_4a_2011.png
I. Angka pertama tidak nol, sehingga angka pertama bisa diisi oleh angka-angka 1,3,5,7 yaitu ada 4 cara.
II. angka kedua bebas, sehingga ada 5 pilihan (cara) angka untuk mengisinya yaitu angka-angka 0,1,3,5,7 . begitu juga untuk angka III dan IV .
Jadi, total kupon ada 600. $ \heartsuit $
Nomor 10
Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa -2 bila dibagi ($x+1$), bersisa 3 bila dibagi $x-2$ . Suku banyak $g(x)$ bersisa 3 bila dibagi $x+1$ dan bersisa 2 bila dibagi $x-2$ . Jika $h(x)=f(x)g(x)$ , maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^2-x-2$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x+a} \rightarrow \text{sisa} \, = f(-a) $
$\frac{f(x)}{x+1} \rightarrow \text{sisa} \, = f(-1) \rightarrow f(-1)=-2 $
$\frac{f(x)}{x-2} \rightarrow \text{sisa} \, = f(2) \rightarrow f(2)=3 $
$\frac{g(x)}{x+1} \rightarrow \text{sisa} \, = g(-1) \rightarrow f(-1)=3 $
$\frac{g(x)}{x-2} \rightarrow \text{sisa} \, = g(2) \rightarrow g(2)=2 $
$\spadesuit \, $ Misalkan sisa pembagian $h(x)$ dengan $x^2-x-2$ adalah $ax+b$ .
Sisa = $ax+b$ dan $h(x)=f(x)g(x)$ .
$\frac{h(x)}{x^2-x-2} = \frac{h(x)}{(x+1)(x-2)} \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = h(-1) \\ \text{sisa} = h(2) \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan dengan sisa = $ax+b$ dan $h(x)=f(x)g(x)$
$\begin{align*} \text{sisa} & = h(-1) \\ a(-1) + b & = f(-1).g(-1) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ -a+b & = -2.3 \\ -a+b & = -6 \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$ $\begin{align*} \text{sisa} & = h(2) \\ a(2) + b & = f(2).g(2) \\ 2a+b & = 3.2 \\ 2a+b & = 6 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 2a+ b = 6 & \\ -a+b = -6 & - \\ \hline 3a = 12 \rightarrow a=4, b=-2 \end{array} $
Jadi, sisa = $ax+b = 4x-2 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 574 tahun 2011


Nomor 1
Diketahui vektor $\vec{u}=(a, -2, -1) $ dan $\vec{v}=(a, a, -1) $ . Jika vektor $\vec{u} $ tegak lurus pada $\vec{v}$ , maka nilai $a$ adalah ...
$\clubsuit \, $ vektor $ \vec{u} $ tegak lurus vektor $ \vec{v} $ , syarat : $\vec{u}.\vec{v} = 0 $
$\begin{align*} \vec{u} . \vec{v} & = 0 \\ \, \, \, a.a+(-2).a+(-1).(-1) & = 0 \\ a^2-2a+1 & = 0 \\ (a-1)^2 & = 0 \\ a-1 & = 0 \\ a & = 1 \end{align*}$
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
Nomor 2
Pernyataan berikut yang benar adalah ...
(A) Jika $\sin x = \sin y $ , maka $x=y$
(B) Untuk setiap vektor $\vec{u}, \vec{v} $ dan $\vec{w} $ berlaku $\vec{u}.(\vec{v}.\vec{w}) = (\vec{u}.\vec{v}).\vec{w} $
(C) Jika $\int \limits_a^b f(x)dx=0 $ , maka $f(x) = 0 $
(D) Ada fungsi $f$ sehingga $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) \neq f(c) $ untuk suatu $c$
(E) $1-\cos 2x = 2\cos ^2 x $
$\spadesuit \, $ Analisa setiap pilihan :
(A) Jika $\sin x = \sin y $ , maka belum tentu $x=y$ ,
contohnya $\sin 30^o = \sin 150^o $ maka $30^o \neq 150^o $ . (salah)
(B) Perkalian dot hasilnya skalar (bilangan), dan perkalian dot hanya berlaku vektor dengan vektor bukan dengan skalar.
$\vec{u}.(\vec{v}.\vec{w}) = \vec{u} $ . (skalar)
tidak bisa dioperasikan (salah)
(C) Ada fungsi lain dengan $f(x) \neq 0 $ yang menyebabkan $\int \limits_a^b f(x)dx=0 $ .
Contoh : $f(x) = x $
$\int \limits_{-1}^1 f(x)dx = \int \limits_{-1}^1 x dx = \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{-1}^1 = 0 $
(D) $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) \neq f(c) $ artinya fungsi diskontinu, dan fungsi tersebut ada.
Contoh : $f(x) = \frac{1}{x-1} $ diskontinu saat $x=1 $ . (Benar)
(E) konsep dasar :
$\cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $ dan $ 1- \cos ^2 x = \sin ^2 x $ (identitas)
$\begin{align*} 1- \cos 2x & = 1- ( \cos ^2 x - \sin ^2 x ) \\ & = (1- \cos ^2 x ) + \sin ^2 x \\ & = \sin ^2 x + \sin ^2 x \\ 1- \cos 2x & = 2\sin ^2 x \end{align*}$
Artinya $ 1- \cos 2x \neq 2\cos ^2 x $ . (salah)
Jadi, yang benar adalah opsi D. $ \heartsuit $
Nomor 3
Luas daerah di bawah $y=-x^2+8x$ , di atas $y=6x-24 $ , dan terletak di kuadran I adalah ...
$\clubsuit \, $ gambarnya :
sbmptn_mat_ipa_k574_2_2011.png
Luas daerah yang dimaksud adalah daerah A dan B.
$\clubsuit \, $ Titik potong kedua kurva
$\begin{align*} y_1 & = y_2 \\ 6x-24 & = -x^2+8x \\ x^2 -2x -24 & = 0 \\ (x+4)(x-6) & = 0 \\ x=-4 & \vee x = 6 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan luas
$\begin{align*} \text{Luas} & = \text{Luas A} \, + \, \text{Luas B} \\ & = \int \limits_{0}^4 y_2 dx + \int \limits_{4}^6 (y_2-y_1) dx \\ & = \int \limits_{0}^4 (-x^2+8x) dx + \int \limits_{4}^6 (-x^2+8x)-(6x-24) dx \\ & = \int \limits_{0}^4 (-x^2+8x) dx + \int \limits_{4}^6 (-x^2+2x+24) dx \end{align*}$
Jadi, luasnya adalah $ \int \limits_{0}^4 -x^2+8x) dx + \int \limits_{4}^6 (-x^2+2x+24) dx . \heartsuit $
Nomor 4
Delapan titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada tiga titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapa dibuat dengan titik-titik sudut dari titik-titik tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Untuk membuat segitiga dibutuhkan 3 titik , artinya akan dipilih 3 titik dari 8 titik yang ada tanpa memperhatikan urutan ($\Delta$ABC sama saja dengan $\Delta$BCA ) sehingga menggunakan kombinasi.
Total cara = $C_3^8 = 56 $ cara.
Jadi, banyak segitiga yang terbentuk ada 56 segitiga. $ \heartsuit $
Nomor 5
Vektor $\vec{u} = 4\vec{i} + b\vec{j}+c\vec{k} $ tegak lurus vektor $\vec{w} = 2\vec{i} -2\vec{j}+3\vec{k} $ dan $|\vec{u} | = 2|\vec{w}| $ , maka nilai $b$ memenuhi ...
$\vec{u} = (4, \, \, b, \, \, c ) $ , $\vec{w} = (2, \, \, -2, \, \, 3) $
panjang vektor $\vec{u} $ : $|\vec{u}| = \sqrt{4^2+b^2+c^2} = \sqrt{16+b^2+c^2} $
panjang vektor $\vec{w} $ : $|\vec{w}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+3^2} = \sqrt{17} $
$\clubsuit \, $ Vektor $\vec{u} $ dan $\vec{w} $ tegak lurus, syarat : $\vec{u}. \vec{w} = 0 $
$\begin{align} \vec{u}. \vec{w} & = 0 \\ 4.2 + b.(-2)+c.3 & = 0 \\ 8-2b+3c & = 0 \\ c & = \frac{2b-8}{3} \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan bentuk $b$ dengan substitusi pers(i)
$\begin{align} |\vec{u} | & = 2|\vec{w}| \\ \sqrt{16+b^2+c^2} & = 2 \sqrt{17} \, \, \, \text{(dikuadratkan)} \\ 16+b^2+c^2 & = 4 \times 17 \, \, \, \text{...pers(i)} \\ 16+b^2+\left( \frac{2b-8}{3} \right)^2 & = 68 \\ b^2+\left( \frac{4b^2-32b+64}{9} \right)^2 & = 52 \, \, \, \text{(kali 9)} \\ 9b^2+ 4b^2-32b+64 & = 468 \\ 13b^2 -32b - 404 & = 0 \end{align}$
Jadi, nilai $b$ memenuhi $ 13b^2 -32b - 404 = 0. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Vektor $\vec{x} $ dicerminkan terhadap garis $y=0 $ . Kemudian hasilnya diputar terhadap titik asal O sebesar $\theta $ > 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor $\vec{y} $ . Jika $\vec{y} = A\vec{x} $ , maka matriks $A = ...$
$\clubsuit \, $ Menentukan matriks transformasinya :
* Pertama, dicerminkan terhadap garis $y=0 $ (sumbu X )
T$_1=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
** Kedua, dirotasi dengan pusat (0,0) sebesar $\theta $ searah jarum jam ($\theta $ negatif )
T$_2=\left( \begin{matrix} \cos (-\theta ) & -\sin (-\theta ) \\ \sin (-\theta ) & \cos (-\theta ) \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
Ingat : $\cos (-x) = \cos x $ dan $\sin (-x) = -\sin x $
$\clubsuit \, $ Matriks gabungannya (MT) :
MT = T$_2$ . T$_1$ = $ \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$\vec{y} = A\vec{x} $ artinya A adalah matriks gabungannya, sehingga A = MT
Jadi, nilai $A = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor 12
Himpunan $A $ memenuhi hubungan $\{1\} \subset A \subset \{1,2,3,4,5,6\} $ . Jika 6 adalah anggota $A $ , maka banyak himpunan $A $ yang mungkin adalah ...
$\spadesuit \, $ Karena 1 adalah himpunan bagian dari A ($\{1\} \subset A$ ), maka A harus memuat angka 1
Dari soal, A juga sudah memuat angka 6, artinya A sudah memuat 2 anggota yaitu 1 dan 6. Sehingga angka yang bisa dipilih tinggal angka-angka 2,3,4, dan 5.
$\spadesuit \, $ Banyakknya himpunan A berdasarkan banyak anggotanya :
* 2 anggota ada 1 himpunan
* 3 anggota ada $C_1^4 = 4 $ himpunan, maksudnya A telah memuat 1 dan 6 sehingga satu anggota lagi dipilih dari angka-angka 2,3,4,5 yaitu menggunakan kombinasi 1 dari 4.
* 4 anggota ada $C_2^4 = 6 $ himpunan
* 5 anggota ada $C_3^4 = 4 $ himpunan
* 6 anggota ada $C_4^4 = 1 $ himpunan
total himpunan = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 himpunan.
Jadi, banyak himpunan A yang mungkin ada 16 himpunan. $ \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui suku banyak $p(x) = x^2+bx+c $ . Jika $b $ dan $c $ dipilih secara acak dari selang [0,2], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah ...
$\spadesuit \, $ Karena $b$ dan $c$ dipilih pada selang [0,2] artinya nilai $0 \leq b \leq 2$ dan $0 \leq c \leq 2 $ , yang mana ada tak hingga banyaknya angka, maka nilai $n(A) $ dan $n(S) $ diwakili oleh luasan.
snmptn_mat_ipa_k634_8_2012.png
$n(S) = \text{Luas Persegi} = 2\times 2 = 4 $
$\spadesuit \, $ Agar $p(x) = x^2+bx+c \, \, $ tidak punya akar, maka nilai $ D < 0 $
$\begin{align} D < 0 \rightarrow b^2 - 4ac & < 0 \\ b^2 - 4.1.c & < 0 \\ b^2 - 4c & < 0 \end{align}$
Artinya nilai $b$ dan $c$ pada selang [0,2] harus memenuhi $ b^2 - 4c < 0 $
$\spadesuit \, $ gambar $ b^2 - 4c = 0 \rightarrow c = \frac{b^2}{4} $
snmptn_mat_ipa_k634_9_2012.png
$\spadesuit \, $ Cek titik (b,c) = (0,1) ke $ b^2 - 4c < 0 $
$\begin{align} b^2 - 4c & < 0 \\ 0^2-4\times 1 & < 0 \\ -4 & < 0 \, \, \, \text{(benar)} \end{align}$
Artinya daerah yang memenuhi $ b^2 - 4c < 0 \, \, $ ada di dalam parabola seperti pada gambar di atas dan ada dalam selang [0,2] .
$\spadesuit \, $ Daerah yang diarsir (M dan N ) merupakan nilai $b$ dan $c$ agar $P(x)$ tidak punya akar.
Luas M = 2 . 1 = 2
Luas N = $\frac{2}{3}. \text{Luas persegi panjang} = \frac{2}{3} . 2 . 1 = \frac{4}{3} $
sehingga : $n(A) = $ Luas M + Luas N = 2 + $ \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\frac{10}{3}}{4}= \frac{5}{6} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{5}{6} . \heartsuit $
Nomor 14
Nilai $\sqrt{3} \sin x - \cos x < 0 $ , jika ...
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal :
$\begin{align*} \sqrt{3} \sin x - \cos x & < 0 \\ \sqrt{3} \sin x < \cos x \\ \frac{\sin x }{\cos x } & < \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan x & < \frac{1}{3} \sqrt{3} \\ \tan x & = \tan \frac{\pi}{6} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $\tan x = \tan \theta \rightarrow x = \theta + k.\pi$
$\begin{align*} x & = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ k=0 \rightarrow x & = \frac{\pi}{6} + 0.\pi = \frac{\pi}{6} \\ k=1 \rightarrow x & = \frac{\pi}{6} + 1.\pi = \frac{7\pi}{6} \\ k=2 \rightarrow x & = \frac{\pi}{6} + 2.\pi = \frac{13\pi}{6} \end{align*}$
snmptn_mat_ipa_k634_10_2012.png
Bentuk ketaksamaannya $< $ , sehingga yang diarsir yang bertanda negatif.
Dari opsi, yang memenuhi selang bertanda negatif di atas adalah $\frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{7} \, $ .
Jadi, solusinya adalah HP = $ \frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{7} . \heartsuit $

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=\pi \Rightarrow \sqrt{3} \sin x - \cos x & < 0 \\ \sqrt{3} \sin \pi - \cos \pi & < 0 \\ \sqrt{3} . 0 - (-1) & < 0 \\ 1 & < 0 \, \, \text{(salah)} \end{align*}$
yang ada $x=\pi$ salah, opsi yang salah adalah B, C, D, dan E.
Jadi, opsi yang benar adalah A yaitu HP = $ \frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{7} . \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui $|\vec{u}|=1 $ dan $|\vec{v}|=2 $ . Jika $\vec{u} $ dan $\vec{v} $ membentuk sudut 30$^o $ , maka ($\vec{u}+\vec{v} ) . \vec{v} = ...$
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|\times |\vec{v}| \cos \theta \, \, \, $ dan $\, \, \, \vec{v} . \vec{v} = |\vec{v}|^2 $
$\begin{align*} (\vec{u}+\vec{v} ) . \vec{v} & = \vec{u} . \vec{v} + \vec{v} . \vec{v} \\ & = |\vec{u}|\times |\vec{v}| \cos \theta + |\vec{v}|^2 \\ & = 1 \times 2 \times \cos 30^o + (2)^2 \\ & = 2 \times \frac{1}{2} \sqrt{3} + 4 \\ & = \sqrt{3} + 4 \end{align*}$
Jadi, nilai $ (\vec{u}+\vec{v} ) . \vec{v} = \sqrt{3} + 4 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diketahui kubus ABCD.EFGH . Jika $\alpha $ adalah sudut antara bidang ACF dan alas ABCD, maka $\tan \alpha = ...$
$\spadesuit \, $ Gambar : misalkan panjangnya 2
snmptn_mat_ipa_k634_3_2012.png snmptn_mat_ipa_k634_4_2012.png
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\tan \alpha $
$\angle$ (ACF,ABCD) = $\angle$ (FP,PB)
$\tan \alpha = \frac{FB}{BP} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $
Jadi, nilai $\tan \alpha = \sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 7
Lingkaran $(x-4)^2 + (y-2)^2 = 64 $ menyinggung garis $x=-4 $ di titik ...
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=-4 $ ke persamaan
$\begin{align} (x-4)^2 + (y-2)^2 & = 64 \\ (-4-4)^2 + (y-2)^2 & = 64 \\ (-8)^2 + (y-2)^2 & = 64 \\ 64 + (y-2)^2 & = 64 \\ (y-2)^2 & = 0 \\ y-2 & = 0 \\ y & = 2 \end{align}$
Jadi, bersinggungan di titik (-4,2) . $ \heartsuit$
Nomor 8
Jika suku banyak $2x^3-x^2+6x-1 $ dibagi $2x-1 $ , maka sisanya adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan sisa dengan cara Horner
$2x^3-x^2+6x-1 : 2x-1 $
$\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{2} & 2 & -1 & 6 & -1 & \\ & & 1 & 0 & 3 & + \\ \hline & 2 & 0 & 6 & 2 & \end{array} $
Jadi, sisanya adalah 2 . $ \heartsuit$

Cara II
$\spadesuit \, $ Bagi biasa
snmptn_mat_ipa_k634_5_2012.png
Jadi, sisanya adalah 2 . $ \heartsuit$

Cara III
$\spadesuit \, $ Teorema sisa
$\frac{f(x)}{ax-b} \rightarrow \text{Sisa} \, = f\left( \frac{b}{a} \right) $
$f(x) = 2x^3-x^2+6x-1 : 2x-1 $
$\begin{align*} \text{Sisa} \, & = f\left( \frac{1}{2} \right) \\ & = 2.\left( \frac{1}{2} \right)^3-\left( \frac{1}{2} \right)^2+6.\left( \frac{1}{2} \right)-1 \\ & = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}+3-1 \\ & = 2 \end{align*}$
Jadi, sisanya adalah 2 . $ \heartsuit$
Nomor 9
Grafik fungsi $f(x)=ax^3+bx^2-cx+20 $ turun, jika ...
$\clubsuit \, $ Syarat fungsi turun : $f^\prime (x) < 0 $
$f(x)=ax^3+bx^2-cx+20 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2+2bx-c $
$f^\prime (x) < 0 \rightarrow 3ax^2+2bx-c < 0 $
ini definit negatif, syarat : $a < 0 , \, D < 0 $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan syarat definit negatif
$(*) \, a < 0 \rightarrow 3a < 0 \rightarrow a < 0 $
$\begin{align*} (**) \, D < 0 \rightarrow b^2-4ac & < 0 \\ (2b)^2-4.(3a).(-c) & < 0 \\ 4b^2 + 12ac & < 0 \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ b^2 + 3ac & < 0 \end{align*}$
Jadi, $f(x) $ turun jika $ a < 0 $ dan $ b^2 + 3ac < 0 . \heartsuit $
Nomor 10
Diketahui segitiga dengan titik sudut (-4,0), (4,0), dan ($4\cos \theta , \, 4\sin \theta$ ) untuk $0 \leq \theta \leq 2\pi $ . Banyak nilai $\theta $ yang mungkin agar luas segitiga tersebut 13 adalah ....
$\spadesuit \, $ Titik ($x,y$) = ($4\cos \theta , \, 4\sin \theta$ ) terletak pada suatu lingkaran
$\begin{align*} x^2+y^2 & = (4\cos \theta)^2+(4\sin \theta)^2 \\ & = 16 \cos ^2 \theta + 16 \sin ^2 \theta \\ & = 16 (\cos ^2 \theta + 16 \sin ^2 \theta) \\ & = 16 \times 1 \\ x^2+y^2 & = 16 \end{align*}$
Pusat lingkaran (0,0) dan jari-jari $r=4$
snmptn_mat_ipa_k634_6_2012.png
$\spadesuit \, $ Menghitung tinggi segitiga
L$\Delta ABC = \frac{1}{2} $ .AB. $t \rightarrow 13 = \frac{1}{2}.8.t \rightarrow t=3\frac{1}{4}$
Ada 4 kemungkinan yang tingginya $t= 3\frac{1}{4}$ yang ada di kuadran I, II, III, IV
snmptn_mat_ipa_k634_7_2012.png
Jadi, banyak nilai $\theta $ ada 4. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012


Nomor 1
$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} = ... $
$\clubsuit \, $ Rumus dasar
$\sin ^2x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1-\cos ^2x = \sin ^2x$
$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
$\clubsuit \, $ Menentukan limitnya
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ^2x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{x} . \frac{\sin x}{x} . \frac{1}{ \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right) } \\ & = \frac{1}{1} . \frac{1}{1} . \frac{1}{ \tan \left( 0 +\frac{\pi }{3} \right) } = \frac{1}{ \tan 60^o } \\ & = \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} = \frac{1}{3}\sqrt{3} .\heartsuit $
Nomor 2
Di dalam kotak terdapat 1 bola biru, 6 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada bola : 1B6M2P . Akan diambil 7 bola
$ n(S) = C_7^9 = 36 $
$\spadesuit \, $ Harapannya : M = 2 $\times$ P (merah dua kali putih), dibagi dua kasus
Kasus 1 :
putih 1, maka merah 2 dan biru harus 4 (umlahnya harus 7 bola), ini tidak mungkin karena bola biru hanya ada 1.
Kasus 2 :
putih 2, merah 4 dan biru 1 (memenuhi)
$n(A) = $ 2P4M1B = $ C_2^2.C_4^6.C_1^1 = 15 $
Sehingga peluangnya : $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} $
Jadi, peluangnya adalah $\frac{5}{12} . \, \heartsuit $
Nomor 3
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2 $ , $ y=1 $ , dan $ x=2 $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Gambarnya
snmptn_mat_ipa_k634_1_2012.png
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$L_\text{arsiran} = \int \limits_1^2 (y_1 - y_2) dx = \int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx $
Jadi, luasnya adalah $\int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx . \heartsuit $
Nomor 4
$\frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
$\sin ^2x + \cos ^2 x = 1 $
$\sin 2x = 2\sin x \cos x $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} & = \frac{\sin ^2x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x }{\sin ^2x + \cos ^2 x - 2\sin x \cos x} \\ & = \frac{1 + 2\sin x \cos x }{1 - 2\sin x \cos x} \\ & = \frac{1 + \sin 2x }{1 - \sin 2x } \end{align}$
Jadi, $\frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} = \frac{1 + \sin 2x }{1 - \sin 2x } . \heartsuit $
Nomor 5
Lingkaran $(x-3)^2+(y-4)^2=25 $ memotong sumbu X di titik $A$ dan $B$ . Jika $P$ adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka $\cos \angle APB = ... $
$\clubsuit \, $ Unsur-unsur lingkaran :
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $ , pusat ($a,b$) dan jari-jari $r$
$(x-3)^2+(y-4)^2=25 $ , pusat ($3,4$) dan jari-jari $r=\sqrt{25} = 5$
$\clubsuit \, $ gambarnya
snmptn_mat_ipa_k634_2_2012.png
$\clubsuit \, $ Aturan cosinus pada $\Delta ABC $
$\begin{align} AB^2 & = AP^2+ BP^2 - 2.AP.BP \cos APB \\ \cos APB & = \frac{AP^2 + BP^2 - AB^2}{2.AP.BP} \\ & = \frac{5^2 + 5^2 - 6^2}{2.5.5} = \frac{25 + 25 - 36}{50} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} \end{align}$
Jadi, nilai $\cos APB = \frac{7}{25} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 201 tahun 2008 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Transpos dari matriks A ditulis A$^t$ . Jika matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right) , B = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) , $ X
memenuhi A$^t$ = B + X, maka invers dari X adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks $X$ :
$\begin{align} A^t & = B + X \\ X & = A^t - B \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) \\ X & = \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 4 & -3 \end{matrix} \right) \rightarrow |X| = (-1).(-3)-(-1).4 = 7 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers $X$ :
$\begin{align} X^{-1} & = \frac{1}{|X|} \left( \begin{matrix} -3 & -1 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) = \frac{1}{7} \left( \begin{matrix} -3 & -1 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, $ X^{-1} = \frac{1}{7} \left( \begin{matrix} -3 & -1 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor 22
Pada percobaan melempar dua buah dadu sekaligus, peluang munculnya jumlah mata dadu tidak lebih dari 6 adalah ...
$\clubsuit \, $ Tabel jumlah dua dadu : $n(S) = 6^2=36$
snmptn_matdas_k201_4_2008.png
Artinya : Jumlah 2 ada 1 pasang, jumlah 3 ada 2 pasang, dan seterusnya.
$\clubsuit \, $ Harapannya : Jumlah dadu tidak lebih dari 6
$n(A) = $ jumlah 2 + jumlah 3 + jumlah 4 + jumlah 5 + jumlah 6
$n(A) = $ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
$\clubsuit \, $ Menentukan peluangnnya :
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{36}=\frac{5}{12} $
Jadi, peluangnnya adalah $ \frac{5}{12} . \heartsuit $
Nomor 23
snmptn_matdas_k201_1_2008.png
Dari tabel hasil ujian matematika di atas, jika nilai rata-ratanya 6, maka $x = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar rata-rata : $ \overline{x} = \frac{\sum f_i.x_i}{\sum f_i} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{\sum f_i.x_i}{\sum f_i} \\ 6 & = \frac{20\times 4+40\times 5+70\times 6+8x+10\times 10}{20+40+70+x+10} \\ 6 & = \frac{800+8x}{140+x} \, \, \, \text{(kali silang)} \\ 840 + 6x & = 800 + 8x \\ 2x & = 40 \\ x & = 20 \end{align}$
Jadi, nilai $ x =20 .\heartsuit $
Nomor 24
Persamaan kuadrat $x^2 - 6x+a = 0$ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$ . Jika $x_1$ , $x_2$ , dan $x_1+x_2$ adalah tiga suku pertama deret aritmetika, maka konstanta $a=...$
$\clubsuit \,$ PK $x^2 - 6x+a = 0 $ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$
$x_1+x_2=\frac{-b}{a} = \frac{-(-6)}{1} \rightarrow x_1+x_2 = 6 $ ...pers(i)
$x_1x_2=\frac{c}{a} = \frac{a}{1} \rightarrow x_1x_2 = a $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $x_1$ , $x_2$ , dan $x_1+x_2$
Selisih sama : $x_2-x_1 = (x_1+x_2) - x_2 \rightarrow x_2=2x_1 $
$\clubsuit \, $ Substitusi $x_2=2x_1 $ ke pers(i)
$\begin{align} x_1+x_2 & = 6 \\ x_1+2x_1 & = 6 \\ 3x_1 & = 6 \\ x_1 & = 2 \\ x_2 & = 2x_1 = 2\times 2 = 4 \end{align}$
pers(ii) : $x_1x_2 = a \rightarrow 2\times 4 = a \rightarrow a=8 $
Jadi, nilai $a=8 . \heartsuit $
Nomor 25
Deret geometri tak hingga : $(\log (x-5))^2 + (\log (x-5))^3 + (\log (x-5))^4 + ... $
$\spadesuit \, $ Deret geometri tak hingga, syarat : $ -1 < r < 1 $
Barisan : $(\log (x-5))^2 + (\log (x-5))^3 + (\log (x-5))^4 + ... $
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{(\log (x-5))^3}{(\log (x-5))^2} = \log (x-5) $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan syarat
$\begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < & \log (x-5) < 1 \\ \log 10^{-1} < & \log (x-5) < \log 10 \\ 10^{-1} < & (x-5) < 10 \\ \frac{1}{10} < & (x-5) < 10 \\ 0,1 < & (x-5) < 10 \\ 0,1 + 5 < & (x-5) + 5 < 10 + 5 \\ 5,1 < & x < 15 \end{align}$
Jadi, interval $x$ adalah $ 5,1 < x < 15 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 201 tahun 2008 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika $^7 \log 2 = a $ dan $^2 \log 3 = b$ , maka $^6 \log 98 = ...$
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma :
$^a \log (bc) = {}^a \log a + {}^a \log c $
$^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} = \frac{1}{{}^b \log a} $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi soal :
$\begin{align} ^6 \log 98 & = \frac{{}^2 \log 98}{{}^2 \log 6} \\ & = \frac{{}^2 \log (7^2.2)}{{}^2 \log (2.3)} = \frac{{}^2 \log 7^2 + {}^2 \log 2 }{{}^2 \log 3 + {}^2 \log 2} \\ & = \frac{2.{}^2 \log 7 + 1 }{b + 1} = \\ & = \frac{2.\frac{1}{a} + 1 }{b + 1} \times \frac{a}{a} \\ & = \frac{2 + a }{a(b + 1)} \end{align}$
Jadi, bentuk ${}^6 \log 98 = \frac{2 + a }{a(b + 1)} . \heartsuit $
Nomor 17
Adi selalu membelanjakan $\frac{1}{3}$ bagian dari uang yang masih dimilikinya dan ia tidak mempunyai penghasilan lagi. Jika pada saat belanja terakhir sisanya kurang dari $\frac{32}{243}$ uang semula, maka Adi paling sedikit sudah membelanjakan uangnya ...
$\clubsuit \, $ Misalkan uang Adi semula sebanyak $x$
$\clubsuit \, $ Selalu dibelanjakan $\frac{1}{3} $ bagian, berarti sisanya $\frac{2}{3} $ bagian.
$\clubsuit \, $ Berikut sisa setiap kali belanja :
Belanja ke-1 $\rightarrow $ sisa1 = $\frac{2}{3}x $
Belanja ke-2 $\rightarrow $ sisa2 = $\frac{2}{3}\times \text{sisa1} = \frac{2}{3}\times \frac{2}{3}x = \left( \frac{2}{3} \right)^2 x $
Belanja ke-3 $\rightarrow $ sisa3 = $\frac{2}{3}\times \text{sisa2} = \frac{2}{3}\times \left( \frac{2}{3} \right)^2 x = \left( \frac{2}{3} \right)^3 x $
.
.
.
Belanja ke-$n$ $\rightarrow $ sisa$n$ $ = \left( \frac{2}{3} \right)^n x $
$\clubsuit \, $ Belanja ke-$n$ dengan sisa kurang dari $\frac{32}{243} x $
$\begin{align} \left( \frac{2}{3} \right)^n x & < \frac{32}{243} x \\ \left( \frac{2}{3} \right)^n x & < \left( \frac{2}{3} \right)^5 x \\ \left( \frac{2}{3} \right)^n & < \left( \frac{2}{3} \right)^5 \\ n > 5 \end{align}$
Jadi, Adi telah belanja minimal 5 kali. $ \heartsuit $
Nomor 18
Jika 2p+q, 6p+q, dan 14p+q adalah tiga suku deret geometri yang berurutan, maka rasio deretnya adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri, rasio sama :
$\begin{align} \frac{U_2}{U_1} & = \frac{U_3}{U_2} \\ U_2^2 & = U_1 . U_3 \\ (6p+q)^2 & = (2p+q)(14p+q) \\ 36p^2 + 12pq + q^2 & = 28p^2 + 16pq + q^2 \\ 8p^2 & = 4pq \\ 2p & = q \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ q=2p $ ke rasio
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{ 6p+q}{2p+q} = \frac{ 6p+2p}{2p+2p} = \frac{ 8p}{4p}=2 $
Jadi, rasionya adalah 2. $ \heartsuit $
Nomor 19
Jumlah n suku pertama deret : $^5 \log \frac{1}{a} + ^5 \log \frac{b}{a} + ^5 \log \frac{b^2}{a} + ... $ adalah ...
$\clubsuit \,$ Deret aritmatika : $ S_n = \frac{n}{2} (2a+(n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Menentukan bedanya :
$b = U_2-U_1 = {}^5 \log \frac{b}{a} - {}^5 \log \frac{1}{a} = ^5 \log \left( \frac{b}{a} : \frac{1}{a} \right) = {}^5 \log b $
$\clubsuit \, $ Menentukan $S_n$ :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2} (2a+(n-1)b) \\ & = \frac{n}{2} \left( 2. {}^5 \log \frac{1}{a} +(n-1). {}^5 \log b \right) \\ & = \frac{n}{2} \left( {}^5 \log \left( \frac{1}{a} \right)^2 + {}^5 \log b^{n-1} \right) \\ & = \frac{n}{2} \left( {}^5 \log \left( \frac{1}{a^2} \times b^{n-1} \right) \right) \\ & = {}^5 \log \left( \frac{b^{n-1} }{a^2} \right)^\frac{n}{2} \\ S_n & = {}^5 \log \left( \frac{\left( b^{n-1} \right)^\frac{n}{2} }{a^n} \right) \, \heartsuit \end{align}$
Nomor 20
Jika $P = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) $ dan $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $ , maka $-P^4+2P^3+3P^2+4I = ... $
$\spadesuit \, $ Menentukan perkalian matriksnya :
$P^2 = P.P = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$P^3 = P^2.P = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) $
$P^4 = P^2.P^2 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & -P^4+2P^3+3P^2+4I \\ & = -\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) + 2\left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right)+3\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)+4\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) = -2\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) = -2P \end{align}$
Jadi, $-P^4+2P^3+3P^2+4I = -2P \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Perkalian identitas matriks : $P.I = I.P = P$
$\spadesuit \, $ Menentukan perkalian matriksnya :
$P^2 = P.P = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)=-I $
$P^3 = P^2.P = -I.P = -P $
$P^4 = P^2.P^2 =-I .-I = I $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal :
$\begin{align} -P^4+2P^3+3P^2+4I & = -I + 2(-P)+3(-I)+4I \\ &= -2P \end{align}$
Jadi, $-P^4+2P^3+3P^2+4I = -2P \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25