Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar KD1 tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja.
pembahasan soal simak ui matematika dasar kd1 tahun 2014 nomor 11 sampai 15 ini kebanyakan membahas tentang bentuk pertidaksamaan seperti nomor 11 (tepatnya program linear), nomor 12 dan nomor 13. Untuk nomor 11 dan 12 relatif lebih mudah, sedangkan nomor 13 menurut saya bagus karena melibatkan pertidaksamaan dan persamaan yang dikombinasikan menjadi satu. pokoknya menurut saya soal nomor 13 ini keren, hahaha. Sebenarnya saya agak ragu untuk penyelesaian nomor 13 yang telah saya tulis di sini, mohon masukan dan koreksi dari sobat para pembaca ya untuk lebih menyempurnakan penyelesaiaannya. Terima kasih.

Untuk soal nomor 14 pada pembahasan soal simak ui matematika dasar kd1 tahun 2014 , menurut saya cukup menantang karena harus bisa memodifikasi bentuk aljabar dengan baik. Setelah dimisalkan seperti penyelesaiannya, ternyata mudah dalam pengerjaannya.

Nah untuk nomor 15, saya kira lebi sulit lagi, karena butuh analisa yang lebih. Mohon masukannya ya untuk penyelesaian noor 15 ini, mungkin saja ada nilai $ x $ yang lainnya selain $ x =-1 $ yang memenuhi sistem persamaan kuadrat yang ada. Terima kasih.

Ok, berikut pembahasan lengkap untuk soal simak ui matematika dasar kd1 tahun 2014 nomor 11 sampai 15. Selamat belajar.

Nomor 11
simak_ui_matdas_kd1_1_2014.png
Diberikan grafik dari sistem suatu pertidaksamaan linear seperti gambar di atas. Koordinat $(x,y)$ dari titik-titik yang berada pada daerah yang diarsir memenuhi pertidaksamaan ...
$\spadesuit \, $ Gambar dengan persamaannya
simak_ui_matdas_kd1_4_2014.png
Dari gambar , daerah arsiran terpenuhi untuk sistem :
$x\geq 0, \, y \geq 0, \, 2x-y\geq -2, \, 3x+4y \leq 12,$
$ -x+y\geq -1, \, x+4y \geq 4 $
Nomor 12
Himpunan penyelesaian $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $4-3x \leq x^2-4x \leq 2+6x \leq 5$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Bentuk $\, 4-3x \leq x^2-4x \leq 2+6x \leq 5 \, $ dibagi menjadi 3 kasus
* $ 2+6x \leq 5 \, \rightarrow x \leq \frac{1}{2} \, \, $ ....(HP1)
* $ x^2-4x \leq 2+6x \rightarrow x^2 -10x -2 \leq 0 \rightarrow x = \pm \frac{10 \pm \sqrt{108}}{2} = 5 \pm 3\sqrt{3} $
simak_ui_matdas_kd1_5_2014.png
HP2 = $\{ 5 - 3\sqrt{3} \leq x \leq 5 + 3\sqrt{3} \} $
* $ 4-3x \leq x^2-4x \rightarrow x^2 -x -4 \geq 0 \rightarrow x = \pm \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} $
simak_ui_matdas_kd1_6_2014.png
HP3 = $\{ x \leq \frac{1-\sqrt{17}}{2} \vee x \geq \frac{1+\sqrt{17}}{2} \} $
Sehingga solusinya :
HP = $HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \, \} \, $ (himpunan kosong).
Jadi, penyelesaiannya adalah $ HP = \{ \, \} . \heartsuit $
Nomor 13
Jika $x$ dan $y$ memenuhi $2y^2-1>x$ dan $9y-x+4=0$ , maka $x-y$ memenuhi ...
$ 9y-x+4=0 \rightarrow x = 9y+4 \, \, $ ....pers(i)
$2y^2-1>x \, \, \, $ ....pert(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pert(ii)
$\begin{align} 2y^2-1 & > x \\ 2y^2-1 & > 9y+4 \\ 2y^2 -9y -5 & > 0 \\ (2y+1)(y-5) & > 0 \\ y = -\frac{1}{2} & \vee y = 5 \end{align}$
simak_ui_matdas_kd1_7_2014.png
diperoleh : $ y < -\frac{1}{2} \vee y > 5 $
$\spadesuit \, $ Substitusi $ y < -\frac{1}{2} \vee y > 5 $
$ x = 9y + 4 \rightarrow x - y = 8y + 4 $
$ \begin{align} y < -\frac{1}{2} \rightarrow x - y & < 8 ( -\frac{1}{2} ) + 4 \\ & < -4 + 4 \\ & < 0 \\ y > 5 \rightarrow x - y & > 8 . 5 + 4 \\ & > 40 + 4 \\ & > 44 \end{align} $
Jadi, diperoleh $ x-y < 0 \vee x-y > 44 . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui untuk bilangan real positif $a,b,c,p,q,$ dan $r$ berlaku $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r}$. Nilai dari $\frac{abc(p+q)(q+r)(r+p)}{pqr(a+b)(b+c)(c+a)}$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Permisalan: $ t = \frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r} $
Diperoleh : $ a = pt, \, b=qt, \, c = rt $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} & \frac{abc(p+q)(q+r)(r+p)}{pqr(a+b)(b+c)(c+a)} \\ & = \frac{pt.qt.rt(p+q)(q+r)(r+p)}{pqr(pt+qt)(qt+rt)(rt+pt)} \\ & = \frac{pqrt^3(p+q)(q+r)(r+p)}{pqr.t(p+q).t.(q+r).t.(r+p)} \\ & = \frac{pqrt^3(p+q)(q+r)(r+p)}{pqrt^3(p+q)(q+r)(r+p)} \\ & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{abc(p+q)(q+r)(r+p)}{pqr(a+b)(b+c)(c+a)} = 1 . \heartsuit $
Nomor 15
Jika diketahui $x<0$ , maka banyaknya penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan $\left\{ \begin{array}{c} x^2-ax+2014=0 \\ x^2-2014x+a=0 \end{array} \right.$ , adalah ...
$\clubsuit \, $ Kurangkan kedua persamaan
$\begin{array}{cc} x^2-ax+2014=0 & \\ x^2-2014x+a=0 & - \\ \hline (-a+2014)x+(-a+2014) = 0 & \end{array} $
Bentuk $ (-a+2014)x+(-a+2014) = 0 $ mempunyai penyelesaian hanya untuk $ x = -1 $
Cara : $ (-a+2014)x+(-a+2014) = 0 $
$ \rightarrow (-a+2014)x = - (-a+2014) $
$ \rightarrow x = \frac{- (-a+2014)}{(-a+2014)} = -1 $
Jadi, banyaknya penyelesaian ada satu solusi nilai $ x $ yaitu $ x = -1 . \heartsuit $


Jika ada masukan, saran, kritikan, alternatif penyelesaian lain yang lebih mudah, atau apapun yang berhubungan dengan halaman ini, silahkan kirim ke email : d.4rm.408@gmail.com , atau langsung isi komentar pada kotak komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat, terima kasih.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar KD1 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja.

Pada pembahasan soal simak ui matematika dasar kd1 tahun 2014 nomor 6 sampai 10 terdapat kategori soal yang mudah yaitu nomor 7 dan nomor 10. nomor 7 menggunakan konsep invers matriks dan operasi pada matriks, sementara nomor 10 menggunakan penerapan program linear untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian (daerah arsirannya).

Untuk soal nomor 6, menggunakan konsep peluang untuk menentukan banyaknya cara pengambilan. Akan tetapi tidak bisa secara langsung, sehingga saya mendata langsung setiap kasus yang ada, agak repot dan panjang, mungkin sobat punya cara yang lebih sederhana dan mohon untuk di share di sini ya.

Konsep barisan dan deret geometri dan aritmetika di terapkan pada soal nomor 8 dan nomor 9. untuk nomor 8 menggunakan deret geometri tak hingga, hanya saja bentuk $\, S_n \, $ agak sulit. jadi perlu pemikiran dan pengelompokan suku-suku terlebih dahulu dan bantuan deret teleskoping ( deret saling menghilangkan). Nah untuk nomor 9, agak sulit dalam pemahaman soalnya saja. Setelah memahami dengan jelas, tinggal mengaplikasikannya pada deret aritmetik.

Berikut pembahasan soal simak ui matematika dasar kd1 tahun 2014 nomor 6 sampai 10. Selamat belajar.

Nomor 6
$A$ memilih secara acak 2 bilangan yang berbeda dari {1,2,3,4,5} dan $B$ secara acak memilih sebuah bilangan dari {1,2,3,...,10}. Peluang bahwa bilangan $B$ lebih besar dari jumlah 2 bilangan yang dipilih oleh $A$ adalah ....
$\spadesuit \, $ A memilih secara acak 2 bilangan dari himpunan {1,2,3,4,5} dengan banyak cara $C_2^5 = 10 \, $ cara.
$\spadesuit \, $ B memilih secara acak 1 bilangan dari himpunan {1,2,3, ... ,10} dengan banyak cara : 10 cara
$\spadesuit \, $ Setiap pengambilan 1 bilangan oleh B, ada 10 kemungkinan pengambilan oleh A, sehingga total cara pengambilan : $ n(S) = 10 . 10 = 100 $
$\spadesuit \, $ Agar pengambilan oleh B lebih besar dari pengambilan oleh A, maka angka yang terambil oleh B mulai dari 4 sampai 10. Berikut tabel pengambilannya :
simak_ui_matdas_kd1_2_2014.png
Total kemungkinan harapannya :
$n(H) = 1 + 2 + 4+ 6+ 8 + 9 + 10 = 40 $
Sehingga peluangnya : $ P(H) = \frac{n(H)}{n(S)} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{2}{5} . \heartsuit $
Nomor 7
Jika $A$ adalah invers dari matriks $\frac{1}{3} \left[ \begin{matrix}-1 & -3 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right] $ , maka $A \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right] $ akan menghasilkan nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi $2x+y =...$
$\clubsuit \, $ Konsep dasar : $P.Q = D \rightarrow Q = P^{-1}.D $
$\clubsuit \, $ Misalkan : $ B = \frac{1}{3} \left[ \begin{matrix}-1 & -3 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right] $
$ A = B^{-1} \rightarrow A^{-1} = B $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dan $ \, y $
$\begin{align} A \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] & = A^{-1} \left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] & = B \left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] & = \frac{1}{3} \left[ \begin{matrix}-1 & -3 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} -\frac{10}{3} \\ \frac{19}{3} \end{matrix} \right] \end{align}$
sehingga : $2x+y = 2\left( -\frac{10}{3} \right) + \left( \frac{19}{3} \right) = -\frac{1}{3} $
Jadi nilai $ 2x + y = -\frac{1}{3} . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui untuk $n>1$ , berlaku $s_n=\frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} + \frac{1}{4^n} + ... $, maka $s_2+s_3+s_4+...=...$
$\spadesuit \, $ Deret geometri tak hingga : $ S_\infty = \frac{a}{1-r} $
dan $ \, \frac{1}{k(k+1)} \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $ ....pers(a)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai : $ S_2, S_3, S_4, .... $
$s_n=\frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} + \frac{1}{4^n} + ... $
$S_2=\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... $
$S_3=\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + ... $
$S_4=\frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + ... $
$\spadesuit \, $ Jumlahkan semua :
$\begin{align} & S_2 + s_3 + s_4 + .... \\ & = (\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...) + (\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + ...) \\ & + (\frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + ...) + ... \\ & = (\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...)+(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+...) \\ & + (\frac{1}{4^2} +\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+...)+ .... \\ & = S_{\infty 1} + S_{\infty 2} + S_{\infty 2} + .... \\ & = \frac{\frac{1}{2^2}}{1-\frac{1}{2}} + \frac{\frac{1}{3^2}}{1-\frac{1}{2}} + \frac{\frac{1}{4^2}}{1-\frac{1}{2}} + .... \\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + .... \\ & = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + .... \, \, \text{(gunakan pers(a))} \\ & = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + .... \\ & = \frac{1}{1} = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ \, s_2+s_3+s_4+... = 1 \heartsuit$
Nomor 9
Diketahui deret aritmatika terdiri dari $n$ suku. Suku awal deret tersebut merupakan jumlah $n$ suku pertama bilangan genap dan bedanya $n$ , maka jumlah deret aritmatika tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Deret aritmetika : $S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Barisan bilangan genap, suku pertama $ a = 2 \, $ dan beda $ b = 2 $
$S_n \, \text{(genap)} \, = \frac{n}{2}(2.2+(n-1)2) = n+n^2 $
$\clubsuit \, $ Menentukan $S_n $ dari deret dengan suku pertamanya $S_n \, \text{(genap)} \, $ dan beda $ b = n $
$a = S_n \, \text{(genap)} = n+n^2 $
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ & = \frac{n}{2}(2.(n+n^2)+(n-1).n) \\ & = \frac{n}{2}(n+3n^2) \\ S_n & = \frac{3n^3}{2} + \frac{n^2}{2} \end{align}$
Jadi, jumlah $ n \, $ suku pertamanya adalah $ \, S_n = \frac{3n^3}{2} + \frac{n^2}{2} . \heartsuit $
Nomor 10
Himpunan titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan $y-2x>0$ dan $y>4-x$ seluruhnya berada di kuadran ...
$\spadesuit \, $ Gambarnya
simak_ui_matdas_kd1_3_2014.png
Jadi, Himpunan penyelesaiannya ada di kuadran I dan kuadran II. $ \heartsuit $


Jika ada masukan, saran, kritikan, alternatif penyelesaian lain yang lebih mudah, atau apapun yang berhubungan dengan halaman ini, silahkan kirim ke email : d.4rm.408@gmail.com , atau langsung isi komentar pada kotak komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat, terima kasih.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar KD1 tahun 2014



Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja.

Pada kali ini saya akan sharing pembmahasan soal SIMAK UI Matematika Dasar KD1 tahun 2014. Seperti biasa, soal simak ui itu menurut saya sangat menantang, sehingga ada guyonan dari temen bahwa untuk mengerjakan soal simak ui itu cukup di simak saja dan ditinggalkan, hahahahaha!!!. Tapi tenang saja, di sini saya akan share alternatif pembahasan yang bisa menambah referensi dan wawasan untuk mengerjakan soal-soal simak ui tahun-tahun mendatang.

Soal nomor 1 simak ui matematika dasar KD1 tahun 2014 tergolong mudah karena hanya menggunakan konsep turunan pecahan, sehingga saya yakin setiap peserta bisa mengerjakan soal ini. Untuk nomor 2 menggunakan konsep fungsi komposisi, untuk mengerjakannya butuh ketelitian dan trik. Konsep peluang juga dipakai untuk soal nomor 3 dan 4, akan tetapi soal nomor 4 lebih sulit dan menurut saya ide soalnya bagus sekali, sehingga mengerjakannya pun harus butuh pemikiran yang ekstra dan pemahaman konsep dasar yang kuat. Kemudian untuk nomor 5, sebenarnya soalnya tergolong mudah karena hanya menggunakan konsep statistika, hanya saja penyelesaiannya (yang bisa saya kerjakan di sini) menggunakan teknik mendata satu-satu sehingga agak lama dan butuh ketelitian.

Untuk pembahasan lengkap soal simak ui matematika dasar kd1 tahun 2014, langsung saja bisa dilihat berikut ini untuk nomor 1 sampai nomor 5. selamat belajar.

Nomor 1
Jika $f(2)=3 , \, f^\prime (2)=6, \, g(2)=1 , \, g^\prime(2)=4, \,$ dan $\, h(x)=\frac{f(x)g(x)}{f(x)-g(x)}, \,$ maka $h^\prime(2)=...$
$\clubsuit \, $ Turunan pecahan : $y=\frac{u}{v} \Rightarrow y^\prime = \frac{u^\prime . v - u. v^\prime}{v^2} $
$\clubsuit \, $ Turunan perkalian : $y=u.v \Rightarrow y^\prime = u^\prime . v + u.v^\prime $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan $h(x)=\frac{f(x)g(x)}{f(x)-g(x)} $
$\begin{align} &h(x)=\frac{f(x)g(x)}{f(x)-g(x)} \\ &h^\prime (x) =\frac{[f(x)g(x)]^\prime .[f(x)-g(x)] - [f(x)g(x)] . [f(x)-g(x)]^\prime }{[f(x)-g(x)]^2} \\ &= \frac{[f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)] .[f(x)-g(x)] - [f(x)g(x)] . [f^\prime(x)-g^\prime(x)] }{[f(x)-g(x)]^2} \\ &\text{Sehingga : } \\ &h^\prime (2)= \frac{[f^\prime(2)g(2) + f(2)g^\prime(2)] .[f(2)-g(2)] - [f(2)g(2)] . [f^\prime(2)-g^\prime(2)] }{[f(2)-g(2)]^2} \\ &= \frac{[6.1 + 3.4] .[3-1] - [3.1] . [6-4] }{[3-1]^2} \\ &= \frac{[18] .[2] - [3] . [2] }{4} \\ &= \frac{36 - 6 }{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} \\ &h^\prime (2)=\frac{15}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $h^\prime (2)=\frac{15}{2}. \heartsuit $
Nomor 2
Misalkan $f(x)$ menunjukkan jumlah angka-angka dalam bilangan positif $x$. Sebagai contoh, $f(9)=9$ dan $f(78)=7+8=15$. Banyaknya bilangan $x$ yang terdiri dari 2 angka dan memenuhi $(f\circ f)(x)=3$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan : $ p = f(x) $
$(f\circ f)(x)=3 \leftrightarrow f(f(x)) = 3 \leftrightarrow f(p) = 3 $
$\spadesuit \, $ Agar $ f(p) = 3 \, $ , nilai $ p \, $ yang mungkin :
$ p =\{ 3, 30, 12, 21, 111, 300, 120, .... \} $
Akan tetapi $ x $ adalah dua angka dengan nilai terbesar 99, sehingga nilai terbesar $ \, p = f(x) = f(99) = 9 + 9 =18 $ . Ini artinya nilai terbesar $ p = f(x) \, $ adalah 18, sehingga nilai $ p $ yang mungkin dan memenuhi hanya 3 dan 12 saja.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dua angka dari nilai $p$
* untuk $ p = 3 \rightarrow f(x) = 3 \, $ terpenuhi untuk $ \, x = \{ 30, 12, 21 \} $
* untuk $ p = 12 \rightarrow f(x) = 12 \, $ terpenuhi untuk
$ \, x = \{ 39,93,48,84,57,75,66 \} $
sehingga semua nilai $x$ adalah $ x = \{12,21,30,39,93,48,84,57,75,66 \} $
Jadi, banyaknya bilangan $ x \, $ dua angka yang memenuhi ada 10 bilangan. $ \heartsuit $
Nomor 3
Malik dan Ali melakukan permainan lempar anak panah. Malik melempar tepat sasaran dengan peluang 0,65 , sedangkan Ali melempar tepat sasaran dengan peluang 0,45. Malik memenangkan permainan jika Malik melempar tepat sasaran dan Ali tidak mengenai sasaran. Sebaliknya, Ali menang jika Ali melempar tepat sasaran dan Malik tidak mengenai sasaran. Kondisi lainnya adalah permainan seri. Peluang bahwa permainan akan berakhir seri adalah ...
$\clubsuit \, $ Peluang komplemen : $P(X^c)=1-P(X)$
Permisalan :
$P(M)$ : Peluang Malik tepat sasaran , $P(M^c)$ : Peluang Malik tidak tepat sasaran.
$P(A)$ : Peluang Ali tepat sasaran , $P(A^c)$ : Peluang Ali tidak tepat sasaran .
$\clubsuit \, $ Peluang masing-masing:
$P(M)=0,65 \Rightarrow P(M^c)=1-P(M)=1-0,65=0,35 $
$P(A)=0,45 \Rightarrow P(A^c)=1-P(A)=1-0,4=0,55 $
$\clubsuit \, $ Ada empat kemungkinan permainan :
i). Malik menang dan Ali kalah ($P(M).P(A^c)$)
ii). Malik kalah dan Ali menang ($P(M^c).P(A)$)
i). Seri : keduanya tepat sasaran ($P(M).P(A)$)
i). Seri : keduanya tidak tepat sasaran ($P(M^c).P(A^c)$)
Sehingga peluang seri adalah
$P(Seri) = P(M).P(A) + P(M^c).P(A^2) $
$ P(Seri) = 0,65 \times 0,45 + 0,35 \times 0,55 = 0,4850 $
Jadi, peluang permainan seri adalah 0,4850. $ \heartsuit $
Nomor 4
Terdapat 2 kotak yang masing-masing berisi bola hitam dan bola putih, dan banyaknya bola pada kedua kotak adalah 20. Sebuah bola diambil dari masing-masing kotak dan peluang bahwa kedua bola berwarna hitam adalah $\frac{5}{12}$, dan peluang bahwa kedua bola berwarna putih adalah $\frac{m}{n}$ dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif terkecil yang mungkin. Nilai $m+n$ adalah ...
A). 13
B).14
C). 15
D). 16
E). 22
$\spadesuit \, $ Peluang komplemen : $P(X^c)=1-P(X)$
Permisalan :
$P(H_1)$ : Peluang hitam kotak satu , $P(H_2)$ : Peluang hitam kotak dua.
$P(p_1)$ : Peluang putih kotak satu , $P(p_2)$ : Peluang putih kotak dua.

Pada soal ini ada sedikit kejanggalan dari kalimat "banyaknya bola pada kedua kotak adalah 20". Untuk itu kita bagi menjadi dua penafsiran yaitu pertama : kita anggap masing-masing kotak berisi 20 bola, dan kedua : jumlah kedua kotak ada 20 bola.

Pertama : masing-masing kotak berisi 20 bola,
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang masing-masing:
Peluang bola hitam dari kedua kotak adalah $ \frac{5}{12} $
$ P(H_1) . P(H_2) = \frac{5}{12} \rightarrow P(H_1) . P(H_2) = \frac{5}{6} . \frac{1}{2} $
artinya $ P(H_1) = \frac{5}{6} \, $ dan $ \, P(H_2) = \frac{1}{2} \, $ atau sebaliknya.
Sehingga diperoleh :
Kotak I : $P(H_1)=\frac{5}{6} \Rightarrow P(p_1)=1-P(H_1)=1-\frac{5}{6} =\frac{1}{6} $
Kotak II : $P(H_2)=\frac{1}{2} \Rightarrow P(p_2)=1-P(H_2)=1-\frac{1}{2} =\frac{1}{2} $
$\spadesuit \, $ Peluang bola putih kedua kotak
$P(putih) = P(p_1).P(p_1) = \frac{1}{6} . \frac{1}{2} = \frac{1}{12} $
Karena peluang putih sama dengan $ \frac{m}{n} $ , maka nilai $ \frac{m}{n} \, $ adalah
$ \frac{m}{n} = \frac{1}{12} \, $ atau bentuk perbandingan yang senilai lainnya
$ \frac{m}{n} = \frac{1}{12} = \frac{2}{24} = \frac{3}{36} = \frac{...}{...} $
Sehingga nilai terkecilnya : $ m + n = 1 + 12 = 13 $


Kedua : Jumlah bola kedua kotak adalah 20 buah ,
untuk memudahkan dalam menentukan banyaknya bola hitam dan putih setiap kotak, kita buat kedua penyebut berjumlah 20.
$\spadesuit \, $ Modifikasi pertama :
Peluang bola hitam dari kedua kotak adalah $ \frac{5}{12} $
$\begin{align} P(H_1) . P(H_2) & = \frac{5}{12} \\ & = \frac{5}{6} \times \frac{1}{2} \\ & = \frac{5}{6} \times \frac{1\times 7}{2\times 7} \\ & = \frac{5}{6} \times \frac{ 7}{14} \end{align} $
Artinya $ P(H_1) = \frac{5}{6} \Rightarrow P(p_1)=1-P(H_1)=1-\frac{5}{6} =\frac{1}{6} $
$ P(H_2) = \frac{7}{14} \Rightarrow P(p_2)=1-P(H_2)=1-\frac{7}{14} =\frac{7}{14} $
sehingga peluang kedua putih :
$P(putih) = P(p_1).P(p_1) = \frac{1}{6} . \frac{7}{14} = \frac{1}{12} $
nilai $ m + n = 1 + 12 = 13. $
dengan kotak satu ada 5 bola hitam 1 bola putih dan kotak dua ada 7 bola hitam 7 bola putih.
$\spadesuit \, $ Modifikasi kedua :
Peluang bola hitam dari kedua kotak adalah $ \frac{5}{12} $
$\begin{align} P(H_1) . P(H_2) & = \frac{5}{12} \\ & = \frac{5}{12} \times \frac{8}{8} \\ & = \frac{5}{8} \times \frac{8}{12} \end{align} $
Artinya $ P(H_1) = \frac{5}{8} \Rightarrow P(p_1)=1-P(H_1)=1-\frac{5}{8} =\frac{3}{8} $
$ P(H_2) = \frac{8}{12} \Rightarrow P(p_2)=1-P(H_2)=1-\frac{8}{12} =\frac{4}{12} $
sehingga peluang kedua putih :
$P(putih) = P(p_1).P(p_1) = \frac{3}{8} . \frac{4}{12} = \frac{1}{8} $
nilai $ m + n = 1 + 8 = 9. $
dengan kotak satu ada 5 bola hitam 3 bola putih dan kotak dua ada 8 bola hitam 4 bola putih.
Dari kemungkinan kedua yaitu jumlah kotak satu dan kotak dua ada 20 bola, nilai terkecil dari $ m + n \, $ adalah 9.

Namun, ketika kita cek jawaban pada pilihannya, yang terkecil adalah 13 pada pilihan A, ini artinya kemungkinan besar yang dimaksud oleh soal nomor 4 ini adalah jumlah masing-masing bola pada kotak adalah 20 buah.

Jadi, nilai terkecil $ m+ n \, $ adalah 13. $ \heartsuit $
Nomor 5
Sebuah himpunan yang terdiri atas 10 anggota yang semuanya bilangan bulat mempunyai rata-rata, median, modus, serta jangkauan yang sama, yaitu 9. Hasil kali antara bilangan terkecil dan terbesar yang masuk dalam himpunan tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan himpunannya : $ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10} $
rata-rata = median = modus = jangkauan = 9
rata-rata = 9 $\, \rightarrow \frac{x_1+ ... + x_{10}}{10} = 9 \rightarrow x_1 + ... + x_{10} = 90 \, $ ...pers(i)
median = 9 $ \, \rightarrow \frac{x_5+x_6}{2} = 9 \rightarrow x_5+x_6 = 18 $
karena modusnya 9, maka haruslah $ \, x_5 = x_6 = 9 $
jangkauan = 9 $ \, \rightarrow x_{10} - x_1 = 9 \rightarrow x_{10} = x_1 + 9 \, $
$\clubsuit \, $ Karena $ \, x_5 = x_6 = 9 \, $ , maka nilai $ x_1 $ adalah $ 0 \leq x_1 \leq 9 $ dan yang memenuhi $ 2 \leq x_1 \leq 7 $. Dengan ketekunan dan kesabaran, kita daftar bilangan-bilangan tersebut berdasarkan nilai $ x_1 $ dan menentukan nilai $ x_{10} $ dengan $ x_{10} = x_1 + 9 $
* $x_1 = 2 \rightarrow x_{10} = 2 + 9 = 11 \, \, $ hasil kali : $ x_1.x_{10} = 2.11 = 22 $
bilangannya : 2, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 11, 11
* $x_1 = 3 \rightarrow x_{10} = 3 + 9 = 12 \, \, $ hasil kali : $ x_1.x_{10} = 3.12 = 36 $
bilangannya : 3, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 12, 12
* $x_1 = 4 \rightarrow x_{10} = 4 + 9 = 13 \, \, $ hasil kali : $ x_1.x_{10} = 4.13 = 52 $
bilangannya : 4, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 13
* $x_1 = 5 \rightarrow x_{10} = 5 + 9 = 14 \, \, $ hasil kali : $ x_1.x_{10} = 5.14 = 70 $
bilangannya : 5, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 14
* $x_1 = 6 \rightarrow x_{10} = 6 + 9 = 15 \, \, $ hasil kali : $ x_1.x_{10} = 6.15 = 90 $
bilangannya : 6, 6, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 15
* $x_1 = 7 \rightarrow x_{10} = 7 + 9 = 16 \, \, $ hasil kali : $ x_1.x_{10} = 7.16 = 112 $
bilangannya : 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 16
Sehingga himpunan hasil kali terkecil dan terbesar adalah {22, 36, 52, 70, 90, 112}
Jadi, himpunan hasil kali terkecil dan terbesar adalah {22, 36, 52, 70, 90, 112}. $\heartsuit$
Catatan :
*). untuk $ x_1 = 0 \rightarrow x_{10} = 0 + 9 = 9, \, $ maka jumlah kesepuluh bilangannya kurang dari 90 (jumlah maksimalnya 81 saat : 0,9,9,9,9,9,9,9,9,9).
*). untuk $ x_1 = 1 \rightarrow x_{10} = 1 + 9 = 10, \, $ maka jumlah kesepuluh bilangannya kurang dari 90 (jumlah maksimalnya 86 saat : 1,9,9,9,9,9,10,10,10,10).
*). dan untuk $ x_1 > 7 , \, $ maka jumlah kesepuluh bilangannya akan lebih dari 90 (jumlah minimalnya 94 saat : 8,8,8,8,9,9,9,9,9,17).


Jika ada masukan, saran, kritikan, alternatif penyelesaian lain yang lebih mudah, atau apapun yang berhubungan dengan halaman ini, silahkan kirim ke email : d.4rm.408@gmail.com , atau langsung isi komentar pada kotak komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat, terima kasih.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20



Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001 nomor 26 sampai 30


Nomor 26
Disuatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 orang. Calon yang tersedia terdiri dari 5 pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah ....
$\spadesuit \, $ Ada 5 pria dan 4 wanita, akan dipilih 6 orang dengan sekurang-kurangnya terpilih 3 pria, sehingga dibagi menjadi beberapa kasus :
1. 3P3W $ \rightarrow C_3^5.C_3^4 = 10.4 = 40 $
2. 4P2W $ \rightarrow C_4^5.C_2^4 = 5.6 = 30 $
3. 5P1W $ \rightarrow C_5^5.C_1^4 = 1.4 = 4 $
sehingga total = 40 + 30 + 4 = 74.
Keterangan :
3P3W artinya terpilih 3 pria dan 3 wanita
4P2W artinya terpilih 4 pria dan 2 wanita
5P1W artinya terpilih 5 pria dan 1 wanita
Jadi, banyaknya susunan perwakilan ada 74. $ \heartsuit $
Nomor 27
Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih kecil dari 400 adalah ....
$\clubsuit \, $ Pilihan angka ada 6 pilihan yaitu : angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9
$\clubsuit \, $ Bilangan tiga angka berlainan kurang dari 400, sebanyak
umptn_matdas_10_2001.png
total susunan = 2.5.4 = 40 bilangan
Keterangan :
* Karena berlainan, maka angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi.
* Ratusan (R) ada dua pilihan angka yaitu 2 atau 3 (agar kurang dari 400).
* Puluhan (P) ada lima pilihan karena satu angka sudah dipakai pada ratusan.
* Satuan (S) ada empat pilihan karena dua angka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Jadi, banyak bilangan ada 40 bilangan. $ \heartsuit $
Nomor 28
Rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan laju 7 cm per detik. Laju bertambahnya volume pada saat rusuk panjangnya 15 cm adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : Laju suatu fungsi adalah turunan pertamanya
$\spadesuit \, $ Rusuk (S) bertambah panjang dengan laju 7,
artinya $ \, S^\prime = 7 \, $ ( $ \, S^\prime \, $ adalah turunan dari S)
$\spadesuit \, $ Laju bertambahnya volume saat rusuk S = 15
$\begin{align} V & = S^3 \, \, \text{(volume kubus)} \\ V^\prime & = 3.S^2.S^\prime \\ V^\prime & = 3.(15)^2.7 \\ V^\prime & = 4725 \end{align}$
Jadi, laju bertambahnya volume adalah 4725 cm$^3$/detik . $ \heartsuit $
Nomor 29
Pertidaksamaan $ \, \left( \frac{1}{3} \right)^{2x+1} > \sqrt{\frac{27}{3^{x-1}}} \, $ mempunyai penyelesaian ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar : untuk $ a > 1 , \, a^{f(x)} > a^{g(x)} \rightarrow f(x) > g(x) $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \left( \frac{1}{3} \right)^{2x+1} & > \sqrt{\frac{27}{3^{x-1}}} \\ (3^{-1})^{2x+1} & > \sqrt{\frac{3^3}{3^{x-1}}} \\ 3^{-2x-1} & > \sqrt{3^{3-(x-1)}} \\ 3^{-2x-1} & > \sqrt{3^{-x+4}} \\ 3^{-2x-1} & > 3^\frac{-x+4}{2} \\ -2x-1 & > \frac{-x+4}{2} \, \, \text{(kali 2)} \\ -4x-2 & > -x+4 \\ -3x & > 6 \, \, \text{(bagi -3, ketaksamaan dibalik)} \\ x & < -2 \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ x < -2 \} . \heartsuit $
Nomor 30
Ditentukan rasio deret geometri tak hingga adalah $ \, {}^7 \log (4x-1) \, $ . Jika deret ini mempunyai jumlah (konvergen), maka nilai $x \, $ yang memenuhi adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan geometri dengan rasio $ \, r = {}^7 \log (4x-1) $
$\spadesuit \, $ Syarat deret tak hingga konvergen (mempunyai jumlah) : $ -1 < r < 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \, x $
$\begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < & {}^7 \log (4x-1) < 1 \\ {}^7 \log 7^{-1} < & {}^7 \log (4x-1) < {}^7 \log 7 \\ 7^{-1} < & 4x-1 < 7 \, \, \text{(jumlahkan 1)} \\ \frac{1}{7} + 1 < & (4x -1) + 1 < 7 + 1 \\ \frac{8}{7} < & 4x < 8 \, \, \text{(bagi 4)}\\ \frac{8}{7} : 4 < & 4x : 4 < 8:4 \\ \frac{2}{7} < & x < 2 \, \, \text{...(HP1)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Syarat logaritma
$ r = {}^7 \log (4x-1) $
Syarat : $4x-1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{4} \, \, $ ....(HP2)
Sehingga solusinya : $ HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ \frac{2}{7} < x < 2 \} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ HP = \{ \frac{2}{7} < x < 2 \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Berdasarkan penelitian, diketahui bahwa populasi hewan A berkurang menjadi setengahnya tiap 10 tahun. Pada tahun 2000 populasinya tinggal 1 juta ekor. Ini berarti pada tahun 1960 jumlah populasi hewan A adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ U_n = ar^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Populasi berkurang menjadi setengah, artinya rasio = $ \frac{1}{2}$
$\spadesuit \, $ Dari tahun 1960 sampai tahun 2000 ada 5 suku (perubahan setiap 10 tahun) yaitu 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 . Sehingga $U_5 = 1 \, $ juta (suku kelima)
$\spadesuit \, $ Menentukan $ a $ (populasi tahun 1960)
$\begin{align} U_5 & = 1 \\ ar^{5-1} & = 1 \\ a.\left( \frac{1}{2} \right)^4 & = 1 \\ a & = 16 \end{align}$
Jadi, populasi pada tahun 1960 adalah 16 juta. $ \heartsuit $
Nomor 22
Jumlah 5 suku pertama suatu deret aritmetika adalah 20. Jika masing-masing suku dikurangi dengan suku ke-3 maka hasil kali suku ke-1, suku ke-2, suku ke-4, dan suku ke-5 adalah 324. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ U_n = a+ (n-1)b \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Jumlah 5 suku = 20
$S_5 = 20 \rightarrow \frac{5}{2}(2a+4b) = 20 \rightarrow a+2b = 4 \, $ ....pers(i)
$\clubsuit \, $ Setiap suku dikurangi $ U_3 $ , barisannya menjadi :
$U_1-U_3, \, U_2 - U_3, \, U_3 - U_3 , \, U_4-U_3 , \, U_5-U_3 $
$a-(a+2b), (a+b)-(a+2b), 0, (a+3b)-(a+2b), (a+4b)-(a+2b) $
$-2b, \, -b, \, 0, \, b, \, 2b $
Perkaliannya = 324 $ \, \rightarrow (-2b).(-b).b.2b = 324 \rightarrow 4b^4 = 324 \rightarrow b = 3 \vee b= -3 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dari pers(i)
$b=3 \rightarrow a+2b = 4 \rightarrow a+2.3 = 4 \rightarrow a = -2 $
$b=-3 \rightarrow a+2b = 4 \rightarrow a+2.(-3) = 4 \rightarrow a = 10 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ S_8 $
Untuk $ a= -2 , \, b = 3 $
$\begin{align} S_8 & = \frac{8}{2}(2.(-2)+7.3) \\ & = 4(-4+21) \\ & = 4.(17) = 68 \end{align}$
Untuk $ a= 10 , \, b = -3 $
$\begin{align} S_8 & = \frac{8}{2}(2.10+7.(-3)) \\ & = 4(20+(-21)) \\ & = 4.(-1) = -4 \end{align}$
Jadi, jumlah 8 suku pertamanya adalah -4 dan 68. $ \heartsuit $
Nomor 23
Diketahui matriks-matriks :
$A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right), \, B = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right), \, C = \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) $
Jika determinan dari matriks - matriks $ \, 2A - B + C \, $ adalah 13, maka nilai $ \, a \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks $ \, 2A - B + C $
$\begin{align} 2A - B + C & = 2\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 6 & 8 \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4+1+a & 2-2-1 \\ 6-5+2 & 8-6+3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5+a & -1 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \, a \, $ dari determinan
$\begin{align} \left| 2A - B + C \right| & = 13 \\ \left| \begin{matrix} 5+a & -1 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| & = 13 \\ 5(5+a) - 3.(-1) & = 13 \\ 25+5a+3 & = 13 \\ 5a & = -15 \rightarrow a = -3 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = -3 . \heartsuit $
Nomor 24
Kelas A terdiri dari 45 siswa dan kelas B 40 siswa. Nilai rata-rata kelas A 5 lebih tinggi rata-rata kelas B. Apabila kedua kelas digabungkan, maka nilai rata-ratanya menjadi 58. Nilai rata-rata kelas A adalah ....
$\clubsuit \,$ Data dibagi 2 kelompok
$n_A = 45, \, \overline{x}_A = a , \, n_B = 40, \, \overline{x}_B = a-5, \, \overline{x}_{gb} = 58 $
$\clubsuit \,$ Rata - rata gabungan
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_A.\overline{x}_A + n_B.\overline{x}_B}{n_A + n_B} \\ 58 & = \frac{45.a + 40.(a-5)}{45+40} \\ 58 & = \frac{45a + 40a-200}{85} \\ 58. 85 & = 85a - 200 \\ 4930 & = 85a - 200 85a & = 5130 \\ a & = \frac{5130}{85} = 60\frac{6}{17} \end{align}$
Jadi, nilai rata-rata kelas A adalah $ 60\frac{6}{17} . \heartsuit $
Nomor 25
Jika matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right), \, $ maka nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \left| A - x\lambda \right| = 0 \, $ dengan $ I \, $ matriks satuan dan $ \left| A - x\lambda \right| $ determinan dari $ A - x\lambda \, \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks $ A - xI $
$\begin{align} A - xI & = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) - x \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x & 0 \\ 0 & x \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1-x & 4 \\ 2 & 3-x \end{matrix} \right) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \, x \, $ dari determinan
$\begin{align} \left| A - xI \right| & = 0 \\ \left| \begin{matrix} 1-x & 4 \\ 2 & 3-x \end{matrix} \right| & = 0 \\ (1-x)(3-x) - 2.4 & = 0 \\ 3-4x+x^2 - 8 & = 0 \\ x^2-4x-5 & = 0 \\ (x-5)(x+1) & = 0 \\ x=5 & \vee x = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ \, x \, $ adalah $ x=5 \vee x = -1 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jarak terpendek titik (4, 2) ke titik pada parabol $ \, y^2 = 8x \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
umptn_matdas_8_2001.png
Jarak terdekat titik (4,2) ke parabola adalah jarak AB.
$\spadesuit \, $ Substitusi titik B(a,b) ke parabola
$y^2=8x \rightarrow b^2 = 8a \rightarrow a = \frac{b^2}{8} $
sehingga titik B($\frac{b^2}{8} , b $)
$\spadesuit \, $ Jarak titik A dan B
jarak $ \, = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $
jarak $ \, = \sqrt{(\frac{b^2}{8} - 4)^2+(b-2)^2} = \sqrt{\frac{b^4}{64} - 4b + 20}$
$\spadesuit \, $ Nilai maks/min : $f^\prime (x) = 0 \, $ (Turunan pertama = 0)
$\begin{align} j & = \sqrt{\frac{b^4}{64} - 4b + 20} \\ j^\prime & = \frac{\frac{4b^3}{64} - 4}{2\sqrt{\frac{b^4}{64} - 4b + 20}} \\ j^\prime & = 0 \\ \frac{\frac{4b^3}{64} - 4}{2\sqrt{\frac{b^4}{64} - 4b + 20}} & = 0 \\ \frac{4b^3}{64} - 4 & = 0 \\ b & = 4 \end{align}$
Sehingga jarak minimumnya :
jarak $ \, = \sqrt{\frac{b^4}{64} - 4b + 20} = \sqrt{\frac{4^4}{64} - 4.4 + 20} = 2\sqrt{2} $
Jadi, jarak minimumnya adalah $ 2\sqrt{2}. \heartsuit $
Nomor 17
Turunan dari $ \, y=(1-x)^2(2x+3) \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Rumus dasar
$y = \left[ f(x) \right]^n \rightarrow y^\prime = n.\left[ f(x) \right]^{n-1} . f^\prime (x) $
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan
$\begin{align} y & =(1-x)^2(2x+3) \\ U & = (1-x)^2 \rightarrow U^\prime = 2(1-x).(-1) = -2(1-x) \\ V & = (2x+3) \rightarrow V^\prime = 2 \\ y^\prime & = U^\prime.V + U.V^\prime \\ y^\prime & = -2(1-x).(2x+3) + (1-x)^2. 2 \\ & = (1-x)(-4x-6+2-2x) \\ & = (1-x)(-6x-4) \\ y^\prime & = 2(x-1)(3x+2) \end{align}$
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 2(x-1)(3x+2) . \heartsuit $
Nomor 18
Jika $ \, {}^2 \log \frac{1}{a} = \frac{3}{2} \, $ dan $ \, {}^{16} \log b = 5 . \, $ Maka $ \, {}^a \log \frac{1}{b^3} = .... $
$\spadesuit \, $ Definisi dan sifat logaritma
Def : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
Sifat : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \, a \, $ dan $ \, b$
$ {}^2 \log \frac{1}{a} = \frac{3}{2} \rightarrow \frac{1}{a} = 2^\frac{3}{2} \rightarrow a = 2^\frac{-3}{2} $
$ {}^{16} \log b = 5 \rightarrow b = 16^5 = (2^4)^5 = 2^20$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} {}^a \log \frac{1}{b^3} & = {}^a \log b^{-3} \\ & = {{}^2}^\frac{-3}{2} \log (2^20)^{-3} \\ & = {{}^2}^\frac{-3}{2} \log (2)^{-60} \\ & = \frac{-60}{\frac{-3}{2}} {}^2 \log 2 \\ & = 60. \frac{2}{3} . 1 \\ & = 40 \end{align}$
Jadi, nilai logaritmanya adalah 40. $ \heartsuit $
Nomor 19
Nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \, \left( {}^b \log x \right)^2 + 10 < 7. {}^b \log x \, $ dengan $ \, b > 1 \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Misal : $ p = {}^b \log x $
$\begin{align} \left( {}^b \log x \right)^2 + 10 & < 7. {}^b \log x \\ p^2 + 10 & < 7p \\ p^2 - 7p + 10 & < 0 \\ (p-2)(p-5) & = 0 \\ p=2 \rightarrow \, & {}^b \log x = 2 \rightarrow x = b^2 \\ p=5 \rightarrow \, & {}^b \log x = 5 \rightarrow x = b^5 \end{align}$
umptn_matdas_9_2001.png
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ b^2 < x < b^5 \} . \heartsuit $
Nomor 20
Jika $ \, (a+2), \, (a-1), \, (a-7), .... \, $ membentuk barisan geometri. Maka rasionya sama dengan ....
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ \, (a+2), \, (a-1), \, (a-7) $
Rasio sama , diperoleh persamaan berikut :
$\begin{align} \text{Rasio} \, = \frac{U_2}{U_1} & = \frac{U_3}{U_2} \\ (U_2)^2 & = U_1.U_3 \\ (a-1)^2 & = (a+2).(a-7) \\ a^2-2a+1 & = a^2 - 5a - 14 \\ 3a & = -15 \rightarrow a = -5 \end{align}$
Sehingga rasio :
Rasio $ = \frac{U_2}{U_1} = \frac{a-1}{a+2} = \frac{-5-1}{-5+2} = \frac{-6}{-3} = 2 $
Jadi, rasionya adalah 2. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $ \, (f \circ g ) (x) = 4x^2 + 8x - 3 \, $ dan $ \, g(x) = 2x + 4 \, $ . Maka $ \, f^{-1} (x) = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} (f \circ g ) (x) & = 4x^2 + 8x - 3 \\ f(g(x)) & = 4x^2 + 8x - 3 \\ f(2x + 4) & = 4x^2 + 8x - 3 \\ \text{misal} \, & p = 2x + 4 \rightarrow x = \frac{p-4}{2} \\ f(2x + 4) & = 4x^2 + 8x - 3 \\ f(p) & = 4. \left( \frac{p-4}{2} \right)^2 + 8. \left( \frac{p-4}{2} \right) - 3 \\ f(p) & = 4. \left( \frac{p^2-8p+16}{4} \right) + 4p-16 - 3 \\ f(p) & = p^2-4p-3 \\ f(x) & = x^2 - 4x -3 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers $ f(x) $ dengan kuadrat sempurna
konsep invers : $ y=f(x) \rightarrow x = f^{-1} (y) $
$\begin{align} f(x) & = x^2 - 4x -3 \\ y & = x^2 - 4x -3 \\ x^2 - 4x -3 & = y \\ (x-2)^2 - 7 & = y \\ (x-2)^2 & = y+7 \\ x-2 & = \pm \sqrt{y+7} \\ x & = 2 \pm \sqrt{y+7} \end{align}$
sehingga : $ f^{-1} (x) = 2 \pm \sqrt{x+7} $
Jadi, inversnya adalah $ 2 + \sqrt{x+7} \, $ atau $ \, 2 - \sqrt{x+7} . \heartsuit $
Nomor 12
Nilai minimum dari $ z = 3x + 6y \, $ yang memenuhi syarat :
$ 4x+y \geq 20, \, x+y \leq 20, \, x+y \geq 10, \, x \geq 0, \, y \geq 0 \, $
adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP)
umptn_matdas_6_2001.png
Eliminasi pers(i) dan pers(iii) diperoleh titik D($\frac{10}{3}, \, \frac{20}{3}$)
$\clubsuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $ z = 3x + 6y $
$\begin{align} A(10,0) \rightarrow z & = 3.10 + 6.0 = 30 \\ B(20,0) \rightarrow z & = 3.20 + 6.0 = 60 \\ C(0,20) \rightarrow z & = 3.0 + 6.20 = 120 \\ D(\frac{10}{3}, \, \frac{20}{3}) \rightarrow z & = 3.\frac{10}{3} + 6.\frac{20}{3} = 50 \end{align}$
Jadi, nilai nilai minimumnya adalah 30. $ \heartsuit $
Nomor 13
$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \cos \left( 1 - \frac{1}{x} \right) }{(x-1)} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $\displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan syarat $\, f(k) = 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \cos \left( 1 - \frac{1}{x} \right) }{(x-1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \cos \left( 1 - \frac{1}{x} \right) }{x.\left( 1 - \frac{1}{x} \right)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \left( 1 - \frac{1}{x} \right) }{\left( 1 - \frac{1}{x} \right)} . \frac{\cos \left( 1 - \frac{1}{x} \right) }{x} \\ & = \frac{1}{1} . \frac{\cos \left( 1 - \frac{1}{1} \right) }{1} \\ & = \frac{\cos 0 }{1} = \frac{1}{1} = 1 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 1. $ \heartsuit $
Nomor 14
$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \left\{ \sqrt{x(4x+5)} - \sqrt{4x^2 - 3} \right\} = .... $
$\clubsuit \,$ Konsep dasar : $\displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+px+q} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left\{ \sqrt{x(4x+5)} - \sqrt{4x^2 - 3} \right\} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left\{ \sqrt{4x^2+5x} - \sqrt{4x^2 - 3} \right\} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{5-0}{2\sqrt{4}} = \frac{5}{4} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{5}{4} . \heartsuit $
Nomor 15
Fungsi $ \, f(x) = \frac{1}{3}x^3 -3x^2 +5x - 10 \, $ turun pada interval ....
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan
$ f(x) = \frac{1}{3}x^3 -3x^2 +5x - 10 \rightarrow f^\prime (x) = x^2 - 6x + 5 $
$\spadesuit \, $ Syarat fungsi turun : $ f^\prime (x) < 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & < 0 \\ x^2 - 6x + 5 & < 0 \\ (x-1)(x-5) & < 0 \\ x=1 & \vee x = 5 \end{align}$
umptn_matdas_7_2001.png
Jadi, interval turunnya adalah $ \{ 1 < x < 5 \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Supaya sistem persamaan linear $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y = 6 \\ (1+a)x-6y = 7 \end{array} \right. $
merupakan persamaan dua garis yang saling tegak lurus, maka $ \, a = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien
$2x+3y=6 \rightarrow m_1 = \frac{-a}{b} = \frac{-2}{3} $
$ (1+a)x-6y = 7 \rightarrow m_2 = \frac{-a}{b} = \frac{-(1+a)}{-6} = \frac{1+a}{6} $
$\spadesuit \, $ Kedua garis tegak lurus
$\begin{align} m_1.m_2 & = - 1 \\ \frac{-2}{3} . \frac{1+a}{6} & = -1 \\ 1+a & = 9 \\ a & = 8 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 8 . \heartsuit $
Nomor 7
Pada $\Delta$ABC diketahui $ a+b = 10, \, $ sudut A = $30^\circ \, $ dan sudut B = $45^\circ \, $ , maka panjang sisi $ \, b = ....$
$\clubsuit \, $ Gambar
umptn_matdas_2_2001.png
$ a+b = 10 \, \, $ ....pers(i)
$\clubsuit \, $ Aturan sinus pada segitiga ABC
$\begin{align} \frac{a}{\sin A} & = \frac{b}{\sin B} \\ \frac{a}{\sin 30 ^\circ} & = \frac{b}{\sin 45 ^\circ} \\ \frac{a}{\frac{1}{2}} & = \frac{b}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} \\ a & = \frac{1}{2} b \sqrt{2} \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$\begin{align} a+b & = 10 \\ \frac{1}{2} b \sqrt{2} + b & = 10 \, \, \text{(kali 2)} \\ b \sqrt{2} + 2b & = 20 \\ b (2 + \sqrt{2}) & = 20 \\ b & = \frac{20}{ 2 + \sqrt{2} } \\ b & = \frac{20}{ 2 + \sqrt{2} } . \frac{2 - \sqrt{2}}{ 2 - \sqrt{2} } = 10 (2 - \sqrt{2}) \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 10 (2 - \sqrt{2}) . \heartsuit$
Nomor 8
Jika $ \tan ^2 x + 1 = a^2 \, , $ maka $ \, \sin ^2 x = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai tan $x$
$\begin{align} \tan ^2 x + 1 & = a^2 \\ \tan ^2 x & = a^2 - 1 \\ \tan x & = \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{1} \end{align}$
umptn_matdas_3_2001.png
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\sin ^2 x $
$\begin{align} \sin x & = \frac{de}{mi} \\ \sin x & = \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a} \\ \sin ^2 x & = \frac{a^2 - 1}{a^2} \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin ^2 x = \frac{a^2 - 1}{a^2} . \heartsuit $
Nomor 9
Penyelesaian $ \, \frac{x^2-3x-18}{(x-6)^2(x-2)} < 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar (pembuat nol)
$\begin{align} \frac{x^2-3x-18}{(x-6)^2(x-2)} & < 0 \\ \frac{(x+3)(x-6)}{(x-6)^2.(x-2)} & < 0 \\ x=-3, \, x & = 6 , \, x = 2 \end{align}$
umptn_matdas_4_2001.png
Jadi, penyelesaiannya adalah $ HP = \{ x < -3 \vee 2 < x < 6 \} . \heartsuit$
Nomor 10
Pertidaksamaan $ \, \left| \frac{2x-1}{x+5} \right| \leq 3 \, $ mempunyai penyelesaian ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar : $ |x|^2 = x^2 \, $ dan $ \, p^2-q^2 = (p-q)(p+q) $
$\spadesuit \, $ Kuadratkan kedua ruas
$\begin{align} \left| \frac{2x-1}{x+5} \right| & \leq 3 \\ \left| \frac{2x-1}{x+5} \right|^2 & \leq 3^2 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} \right)^2 & \leq 3^2 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} \right)^2 - 3^2 \leq 0 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} - 3 \right) \left( \frac{2x-1}{x+5} + 3 \right) \leq 0 \\ \left( \frac{2x-1-3(x+5)}{x+5} \right) . \left( \frac{2x-1+3(x+5)}{x+5} \right) \leq 0 \\ \left( \frac{-x-16}{x+5} \right) . \left( \frac{5x+14}{x+5} \right) \leq 0 \\ x=-16, \, x= -\frac{14}{5} , \, x & = -5 \end{align}$
umptn_matdas_5_2001.png
Jadi, penyelesaiannya adalah $ HP = \{ x \leq -16 \vee x \geq -\frac{14}{5} \} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001


Nomor 1
Nilai $x \, $ yang menyebabkan pernyataan :
" Jika $x^2 + x = 6 \, $ , maka $ \, x^2 + 3x < 9 \, $ "
Bernilai salah adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \, x $
$x^2+x=6 \leftrightarrow x^2+x-6=0 \leftrightarrow (x-2)(x+3)=0 \leftrightarrow x=2 \vee x=-3 $
$\clubsuit \, $ Cek kebenaran
$\begin{align} x=2 \rightarrow x^2+3x & < 9 \\ 2^2+3.2 & < 9 \\ 10 & < 9 \, \, \, \text{(salah)} \end{align}$
$\begin{align} x=-3 \rightarrow x^2+3x & < 9 \\ (-3)^2+3.(-3) & < 9 \\ 0 & < 9 \, \, \, \text{(benar)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Pernyataan " Jika P, maka Q" bernilai salah jika P benar dan Q salah.
Sehingga " Jika $x^2 + x = 6 \, $ , maka $ \, x^2 + 3x < 9 \, $ " bernilai salah untuk $ \, x=2$
Jadi, pernyataan SALAH untuk $ \, x=2 . \heartsuit $
Nomor 2
Agar ketiga garis $ 3x-y+1 = 0; \, 2x-y-3=0; \, $ dan $ \, x-ay-7 =0 \, $ berpotongan pada suatu titik, maka $ a \, $ harus bernilai ....
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 3x-y+1 = 0 & \\ 2x-y-3=0 & - \\ \hline x = -4 & \end{array} $
pers(ii): $ 2x-y-3=0 \rightarrow 2.(-4)-y-3=0 \rightarrow y = -11 $
sehingga titik potongnya adalah (-4, -11)
$\spadesuit \, $ Substitusi titik potong ke pers(iii)
$x-ay-7 =0 \rightarrow (-4)-a.(-11)-7 =0 \rightarrow a = 1 $
Jadi, nilai $ a = 1. \heartsuit $
Nomor 3
Misalkan $ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 2x-1, & \text{untuk} \, \, \, \, 0 < x < 1 \\ x^2+1, & \text{untuk} \, \, x \, \, \text{yang lain} \end{array} \right. $
maka $ f(2)f(-4)+f\left( \frac{1}{2} \right) f(3) = .... $
$\clubsuit \, $ Fungsi $f(x)$ berlaku sesuai nilai $x$ yang disubstitusikan
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai fungsi
$\begin{align} x = 2 \rightarrow f(x) & = x^2 + 1 \\ f(2) & = 2^2 + 1 = 5 \\ x = -4 \rightarrow f(x) & = x^2 + 1 \\ f(-4) & = (-4)^2 + 1 = 17 \\ x = \frac{1}{2} \rightarrow f(x) & = 2x - 1 \\ f(\frac{1}{2}) & = 2.(\frac{1}{2}) - 1 = 0 \\ x = 3 \rightarrow f(x) & = x^2 + 1 \\ f(3) & = (3)^2 + 1 = 10 \end{align}$
$ \clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$f(2).f(-4)+f(\frac{1}{2}).f(3) = 5.17 + 0 . 10 = 85 $
Jadi, hasilnya adalah 85. $ \heartsuit $
Nomor 4
Garis yang sejajar dengan garis $2x+y=15 \, $ memotong kurva $ y = 6 + x - x^2 \, $ di titik (4, -6) dan ....
$\spadesuit \, $ Gambar
umptn_matdas_1_2001.png
$\spadesuit \, $ Gradien garis g
$2x+y=15 \rightarrow m_g = \frac{-a}{b} = \frac{-2}{1} = -2 $
Garis k sejajar dengan garis g, sehingga gradiennya sama : $ m_k = m_g = -2 $
$\spadesuit \, $ Persamaan garis k
$y-y_1 = m(x-x_1) \rightarrow y-(-6) = -2(x-4) \rightarrow y = -2x + 2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong garis k dan parabola
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ -2x+2 & = 6+x-x^2 \\ x^2-3x-4 & = 0 \\ (x+1)(x-4) & = 0 \\ x=-1 & \vee x = 4 \\ x= -1 \rightarrow & y = -2x+2 = -2(-1)+2 = 4 \\ x= 4 \rightarrow & y = -2x+2 = -2(4)+2 = -6 \end{align}$
sehingga titik potongnya : (4,-6) dan (-1,4)
Jadi, titik potong yang lain adalah (-1,4). $ \heartsuit $
Nomor 5
Persamaan kuadrat $ \, 3x^2-(a-1)x-1=0 \, $ mempunyai akar - akar $ x_1 \, $ dan $ \, x_2 \, $ , sedangkan persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ \frac{1}{x_1} \, $ dan $ \frac{1}{x_2} \, $ adalah $ \, x^2-(2b+1)x+b=0 \, $ . Nilai $ \, 2a + b = .... $
$\clubsuit \, $ PK I : $ 3x^2 - (a-1)x - 1 = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ \, x_2$
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{a-1}{3} \, $ dan $ \, x_1.x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{1}{3} $
PK II : $ x^2-(2a+1)x+b = 0 \, $ akar-akarnya $ y_1 = \frac{1}{x_1} \, $ dan $ \, y_2 = \frac{1}{x_2} \, $ Operasi akar-akar PK II
$\begin{align} \text{operasi} & \text{ perkalian} : \, \, \\ y_1.y_2 & = \frac{c}{a} \\ \frac{1}{x_1} . \frac{1}{x_2} & = \frac{b}{1} \\ \frac{1}{x_1.x_2} & = b \\ \frac{1}{-\frac{1}{3}} & = b \\ -3 & = b \end{align}$ $\begin{align} \text{operasi} & \text{ penjumlahan} : \\ y_1+y_2 & = \frac{-b}{a} \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} & = \frac{b}{1} \\ \frac{x_1+x_2}{x_1.x_2} & = \frac{2b+1}{1} \\ \frac{\frac{a-1}{3}}{-\frac{1}{3}} & = 2b+1 \\ 1-a & = 2b + 1 \\ 1-a & = 2.(-3) + 1 \rightarrow a = 6 \end{align}$

sehingga : $ 2a + b = 2.6 + (-3) = 9 $
Jadi, nilai $ 2a + b = 9. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas bujur sangkar. Jika jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak ditentukan sebesar 432 cm$^2\, $ , maka volume kotak terbesar yang mungkin adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_5_2002.png
$\begin{align} L_p & = L_{alas} + 4\times L_{samping} \\ 432 & = x^2 + 4xt \\ t & = \frac{432 - x^2}{4x} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan volume dan turunannya
$\begin{align} V & = L_{alas} \times t \\ V & = x^2.t \\ V & = x^2 . \frac{432 - x^2}{4x} \\ V & = \frac{1}{4} (432x-x^3) \rightarrow V^\prime = \frac{1}{4}(432-3x^2) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Nilai max/min : $ V^\prime = 0 \, $ (turunan = 0)
$ V^\prime = 0 \rightarrow \frac{1}{4}(432-3x^2) = 0 \rightarrow x = 12 $
sehingga volume maksimumnya saat $ x = 12 $
$V_{max} = \frac{1}{4} (432x-x^3) = \frac{1}{4} (432.12-(12)^3) = 864 $
Jadi, volume maksimumnya adalah 864. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Balok tanpa tutup :
$V_{max} = \frac{L_p}{6}.\sqrt{\frac{L_p}{3}} $
$\spadesuit \, $ Menentukan volume maksimum dengan $ L_p = 432 $
$V_{max} = \frac{L_p}{6}.\sqrt{\frac{L_p}{3}} = \frac{432}{6}.\sqrt{\frac{432}{3}} = 864 $
Jadi, volume maksimumnya adalah 864. $ \heartsuit $
Nomor 22
Jika $r \, $ rasio deret geometri tak hingga yang jumlahnya mempunyai limit dan $S \, $ limit jumlah deret tak hingga $1 + \frac{1}{4+r} + \frac{1}{(4+r)^2} + ....+ \frac{1}{(4+r)^n} + ..... \, $ , maka .....
$\clubsuit \, r \, $ adalah rasio deret geometri tak hingga, sehingga harus $ -1 < r < 1 $
Rumus dasar tak hingga : $ S_\infty = \frac{a}{1-rasio} $
Deret : $1 + \frac{1}{4+r} + \frac{1}{(4+r)^2} + ....+ \frac{1}{(4+r)^n} + ..... \, $
dengan $ a = 1 \, \, $ dan $ \, rasio = \frac{U_2}{U_1} = \frac{1}{4+r} $
Jumlah tak hingganya dengan $S_\infty = S $ adalah :
$\begin{align} S_\infty & = \frac{a}{1-rasio} \\ S & = \frac{1}{1- \frac{1}{4+r} } \\ S & = \frac{4+r}{3+r} \\ S & = 1 + \frac{1}{3+r} \end{align}$
Untuk interval nilai $ r $ : $ -1 < r < 1 $
Nilai terkecil untuk $r=1 $ , $ S = 1 + \frac{1}{3+1} = 1\frac{1}{4} $
Nilai terbesar untuk $r=-1 $ , $ S = 1 + \frac{1}{3+(-1)} = 1\frac{1}{2} $
Jadi, rentang nilai $ S $ adalah $ 1\frac{1}{4} < S < 1\frac{1}{2}. \heartsuit $
Nomor 23
Titik-titik sudut segitiga sama kaki ABC terletak pada lingkaran berjari-jari 3 cm. Jika alas AB = $2\sqrt{2} \, $ cm, maka $\, \, \tan A = .... $
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_6_2002.png
$AB = 2\sqrt{2} \rightarrow AD = \frac{1}{2}AB = \sqrt{2} $
$OD = \sqrt{OB^2-DB^2} = \sqrt{3^2 - \sqrt{2}^2} = \sqrt{9-2} = \sqrt{7} $
$CD = CO + OD = 3 + \sqrt{7} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai tan A pada segitiga ACD
$\begin{align} \tan A & = \frac{CD}{AD} = \frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \\ & = \frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \tan A & = \frac{1}{2}(3\sqrt{2}+\sqrt{14}) \end{align}$
Jadi, nilai $ \tan A = \frac{1}{2}(3\sqrt{2}+\sqrt{14}) . \heartsuit $
Nomor 24
Jika ${}^8 \log 5 = r , \, $ maka $ \, {}^5 \log 16 = .... $
$\clubsuit \,$ Sifat-sifat logaritma
${{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b \, \, $ dan $ \, {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
$\clubsuit \,$ Menyederhanakan yang diketahui
${}^8 \log 5 = r \rightarrow {{}^2}^3 \log 5^1 = r $
$ \rightarrow \frac{1}{3} {}^2 \log 5 = r \rightarrow {}^2 \log 5 = 3r $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^5 \log 16 & = {}^5 \log 2^4 \\ & = 4 . {}^5 \log 2 \\ & = 4. \frac{1}{{}^2 \log 5} \\ & = 4 . \frac{1}{3r} = \frac{4}{3r} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^5 \log 16 = \frac{4}{3r} . \heartsuit $
Nomor 25
Untuk memperpendek lintasan A menuju C melalui B, dibuat jalan pintas dari A langsung ke C. Jika AB = $a \, $ dan BC = $3a \, $ , maka panjang jalur pintas AC adalah .....
spmb_matdas_1_2002.png
$\spadesuit \, $ Aturan cosinus pada sudut B
$\begin{align} AC^2 & = BC^2 + BA^2 - 2BC.BA . \cos B \\ & = (3a)^2 + a^2 - 2 . (3a).a . \cos 120^\circ \\ & = 9a^2 + a^2 - 6a^2. (-\frac{1}{2}) \\ & = 10a^2 + 3a^2 \\ AC^2 & = 13a^2 \\ AC & = \sqrt{13a^2} = a\sqrt{13} \end{align}$
Jadi, panajang $ AC = a\sqrt{13} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jumlah semua bilangan ganjil antara bilangan 20 dan 60 adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan Aritmetika : $ U_n = a+ (n-1)b \, \, \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
Barisan bilangan ganjil antara 20 dan 60 adalah :
21, 23, 25, .... 59
$\spadesuit \, $ Menentukan banyak suku dengan $ a = 21 \, \, $ dan $ \, b = 2 $
$\begin{align} U_n = 59 \rightarrow a+(n-1)b & = 59 \\ 21+(n-1)2 & = 59 \\ n & = 20 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Jumlah semua bilangan ($S_{20}$)
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ S_{20} & = \frac{20}{2}(2.21+19.2) \\ & = 10(42 + 38 ) \\ & = 800 \end{align}$
Jadi, jumlah semua bilangannya adalah 800. $\heartsuit $
Nomor 17
Jika $p, \, q , \, $ dan $\, r \, $ membentuk suku - suku deret aritmetika, maka $ p^2+q^2+r^2 = ....$
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $p, \, q, \, r $
Selisih sama : $ q-p = r-q \rightarrow q = \frac{p+r}{2} $
$\clubsuit \, $ Substitusikan nilai $q$
$\begin{align} p^2+q^2+r^2 & = p^2+\left( \frac{p+r}{2} \right)^2+r^2 \\ & = p^2+ \frac{p^2+r^2+2pr}{4} +r^2 \\ & = \frac{5p^2+2pr+5r^2}{4} \end{align}$
Jadi, bentuk lainnya adalah $ \frac{5p^2+2pr+5r^2}{4} . \heartsuit $
Nomor 18
Suku pertama, pembanding dan suku ke-($n-1$) dari deret geometri masing-masing adalah 1, 3, dan 243. Jumlah $n \, $ suku pertama = ....
$\spadesuit \, $ Deret Geometri : $ U_n = ar^{n-1} \, $ dan $\, S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan banyak suku dengan $ a = 1, \, r=3, \, U_{n-1} = 243 $
$\begin{align} U_n = ar^{n-1} \rightarrow U_{n-1} & = ar^{(n-1)-1} \\ 243 & = 1.3^{n-2} \\ 3^5 & = 3^{n-2} \\ n-2 & = 5 \\ n & = 7 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah 7 suku pertama
$\begin{align} S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \rightarrow S_7 & = \frac{1.(3^7-1)}{3-1} \\ & = \frac{2186}{2} = 1093 \end{align}$
Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 1093 . $ \heartsuit $
Nomor 19
Jika M matriks berordo 2 $\times \, $ 2 dan $M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \, $ , maka $ M^2 \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar matriks
Invers : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
Sifat Invers : $ AB = C \rightarrow A = C.B^{-1} $
$\clubsuit \,$ Menentukan matriks M
$\begin{align} M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \\ MP=Q \rightarrow M & = Q.P^{-1} \\ M & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) . \frac{1}{2.3-4.1}\left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -2.3+1.(-4) & -2.-1+1.2 \\ 14.3+10.-4 & 14.-1+10.2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -10 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan matriks M$^2$
$\begin{align} M^2 & = M.M \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, nilai $ M^2 = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor 20
Pak Agus bekerja selama 6 hari dengan 4 hari diantaranya lembur, mendapat upah Rp. 74.000,00. Pak Bardi bekerja selama 5 hari dengan 2 hari diantaranya lembur mendapat upah Rp.55.000,00. Pak Agus , pak Bardi dan pak Dodo bekerja dengan upah yang sama. Jika pak Dodo bekerja 5 hari dengan terus-menerus lembur, maka upah yang akan diperoleh adalah ....
$\spadesuit \, $ Misalkan : upah kerja = $x$ tiap hari, dan upah lembur = $y$ tiap hari
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
pak Agus : $6x+4y = 74000 \, $ ...pers(i)
pak Bardi : $5x+2y = 55000 \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 6x+4y = 74000 & \times 1 & 6x+4y = 74000 & \\ 5x+2y = 55000 & \times 2 & 10x+4y = 110000 & - \\ \hline & & -4x = -36000 \rightarrow x = 9000 & \end{array} $
pers(ii) : $ 5.(9000)+2y = 55000 \rightarrow y = 5000 $
sehingga upah pak Dodo :
$5x + 5y = 5(x+y) = 5(9000+5000) = 70.000$
Jadi, upah pak Dodo adalah 70.000 . $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25