Pembahasan Transformasi UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Bayangan kurva $ y = \sin x $ oleh refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi berpusat di O(0,0) dan faktor skala $ \frac{1}{2} $ adalah kurva ....
A). $ y = \sin 2x $
B). $ y = \frac{1}{2} \sin x $
C). $ y = \sin x \cos x $
D). $ y = -\sin x \cos x $
E). $ y = -\sin 2x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Matriks gabungan dari ransformasi $ T_1 $ dilanjutkan $ T_2 $ adalah $ MT = T_2.T_1 $.
*). Cara menentukan bayangan :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = MT. \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). RUmus sudut ganda trigonometri :
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks masing-masing :
-). $ T_1 = \, $ refleksi terhadap sumbu X
Matriksnya : $ T_1 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
-). $ T_2 = \, $ dilatasi berpusat di O(0,0) dan faktor skala $ \frac{1}{2} $
Matriksnya : $ T_2 = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) $
-). Matriks gabunga (komposisinya) :
$ \begin{align} MT & = T_2 . T_1 \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Hubungan titik bayangan dan titik awal :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right)& = MT. \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right)& = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right)& = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}x \\ -\frac{1}{2}y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = \frac{1}{2}x \rightarrow x = 2x^\prime $
$ y^\prime = -\frac{1}{2}y \rightarrow y = -2y^\prime $
*). Menentukan bayangan persamaan dengan persamaan awal $ y = \sin x $ :
$ \begin{align} y & = \sin x \\ -2y^\prime & = \sin 2x^\prime \\ -2y & = \sin 2x \\ y & = -\frac{1}{2}\sin 2x \\ y & = -\frac{1}{2}.2\sin x \cos x \\ y & = -\sin x \cos x \end{align} $
Jadi, bayangannya adalah $ y = -\sin x \cos x . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui limas segitiga P.ABC. Titik K, L, M berturut-turut adalah titik tengah-titik tengah PA, PB, PC. Dibuat bidang pengiris KLM dan bidang pengiris KBM. Jika :
$ \, \, \, V_1 = \, $ volume bidang empat B.KLM,
$ \, \, \, V_2 = \, $ volume limas terpancung ABC.KLM,
maka $ \frac{V_2}{V_1} = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Volume limas $ = \, \frac{1}{3} \times \text{ luas alas } \times \text{ tinggi} $
*). Dua bangun ruang sebangun memiliki perbandingan sisi yang sama.
Misalkan perbandingan sisinya $ = 1 : n $ ,
maka perbandingan volumenya $ = 1 : n^3 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). ILustrasi gambar limas P.ABC


$ V_1 \, $ adalah berbentuk limas segitiga.
$ V_2 \, $ adalah bangun datar terpancung bagian bawah.
*). Karena K, L, dan M terletak ditengah-tengah PA, PB, dan PC, maka limas P.KLM sebangun dengan limas P.ABC dengan perbandingan sisi $ PK : PA = 1 : 2 $. Sehingga perbandingan volumenya :
$ \begin{align} \frac{V_{P.KLM}}{V_{P.ABC}} & = \frac{1}{2^3} \\ \frac{V_{P.KLM}}{V_{P.ABC}} & = \frac{1}{8} \\ V_{P.ABC} & = 8V_{P.KLM} \end{align} $
*). $ V_2 $ adalah volume KLM.ABC dengan besar :
$ \begin{align} V_2 & = V_{P.ABC} - V_{P.KLM} \\ & = 8V_{P.KLM} - V_{P.KLM} \\ & = 7V_{P.KLM} \end{align} $
*). Perhatikan limas P.KLM dan limas B.KLM, volume mereka sama karena memiliki alas yang sama yaitu segitiga KLM dan tinggi yang sama yaitu $ PG = GE $. Sehingga $ V_1 = V_{P.KLM} $.
*). Menentukan nilai $ \frac{V_2}{V_1} $ .
$ \begin{align} \frac{V_2}{V_1} & = \frac{7V_{P.KLM}}{V_{P.KLM}} = \frac{7}{1} = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{V_2}{V_1} = 7 . \, \heartsuit $