Cara 2 Pembahasan Statistika UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Dua perusahaan masing-masing memiliki 6 karyawan dengan rata-rata usia karyawannya adalah 35 tahun dan 38 tahun. Jika satu orang di masing-masing perusahaan dipertukarkan, maka rata-rata kedua kelompok tersebut menjadi sama. Selisih usia kedua karyawan yang dipertukarkan tersebut adalah ...
A). $ 3 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 9 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 18 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan terdapat dua kelompok dengan jumlah $ n $ orang di masing-masing kelompok.
rata-rata kelompok I = $ p $
rata-rata kelompok II = $ q $
Satu orang dari masing-masing kelompok ditukarkan
Maka selisih nilai kedua orang itu $ = \frac{1}{2}n|p-q| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari soal deiketahui : $ n = 6 $
rata-rata perusahaan I $ \rightarrow p = 35 $
rata-rata perusahaan II $ \rightarrow q = 38 $
*). Selisih dua orang yang ditukarkan :
$\begin{align} \text{Selisih } & = \frac{1}{2}n|p-q| \\ & = \frac{1}{2}.6.|35-38| \\ & = 3 . 3 = 9 \\ \end{align} $
Sehingga selisih usia kedua karyawan yang dipertukarkan tersebut adalah 9 .
Jadi, selisihnya adalah $ 9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Garis $ y = 2x + 1 $ tidak memotong ataupun tidak menyinggung hiperbola $ \frac{(x-2)^2}{2}-\frac{(y-a)^2}{4}=1 $, interval nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 3 < a < 7 \, $ B). $ -3 < a < 7 \, $ C). $ a < 3 \, $ atau $ a > 7 $
D). $ a < -3 \, $ atau $ a > 7 \, $ E). $ -7 < a < -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat garis tidak memotong atau tidak menyinggung hiperbola adalah $ D < 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Substitusikan garis ke hiperbola sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
(1). Menentukan akar-akarnya dengan difaktorkan.
(2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($\pm$) setiap daerahnya
(3). Arsir daerah yang diminta :
jika $ > 0 $ , maka pilih daerah positif
jika $ < 0 $ , maka pilih daerah negatif
(4). BUat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusikan garis $ y = 2x + 1 $ ke hiperbola : :
$\begin{align} \frac{(x-2)^2}{2}-\frac{(y-a)^2}{4} & = 1 \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 2(x-2)^2 - (y-a)^2 & = 4 \\ 2(x-2)^2 - (2x + 1-a)^2 & = 4 \\ 2(x^2 - 4x + 4) - [ 4x^2 + 4x(1-a) + 1 - 2a + a^2] & = 4 \\ 2x^2 - 8x + 8 - 4x^2 - 4x + 4ax - 1 + 2a - a^2 & = 4 \\ -2x^2 - 12x + 4ax + 3 + 2a - a^2 & = 0 \\ -2x^2 +( 4a - 12)x + 3 + 2a - a^2 & = 0 \\ \text{(Syarat : ) } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (4a - 12)^2 - 4.(-2). (3 + 2a - a^2) & < 0 \\ 16a^2 - 96a + 144 + 24 + 16a - 8a^2 & < 0 \\ 8a^2 - 80a + 168 & < 0 \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ a^2 - 10a + 21 & < 0 \\ (a -3)(a-7) & < 0 \\ a = 3 \vee a & = 7 \end{align} $
Garis bilangannya :
 


Himpunan penyelesaiannya : $ 3 < a < 7 $
Jadi, penyelesaiaan adalah $ 3 < a < 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui barisan aritmetika dengan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$. Jika $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $ , maka nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = .... $
A). $ \frac{2}{k} \, $ B). $ \frac{3}{k} \, $ C). $ \frac{4}{k} \, $ D). $ \frac{6}{k} \, $ E). $ \frac{8}{k} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, U_n = a + (n-1) b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda
$ U_n = \, $ suku ke-$n$

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $
*). Menyederhakan yang diketahui :
$\begin{align} U_{k+2} & = U_2 + kU_{16} - 2 \\ a + (k+2-1)b & = (a+b) + k(a + (16-1)b) - 2 \\ a + (k+1)b & = (a+b) + k(a + 15b) - 2 \\ a + kb + b & = a+b + ka + 15kb - 2 \\ ka + 14kb & = 2 \\ k(a + 14b) & = 2 \\ a + 14b & = \frac{2}{k} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} $ :
$\begin{align} & U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} \\ & = (a+5b) + (a+11b) + (a + 17b) + (a + 23b) \\ & = 4a + 56b = 4( a + 14b) \\ & = 4. \frac{2}{k} = \frac{8}{k} \end{align} $
Jadi, nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = \frac{8}{k} . \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Mutlak UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Penyelesaian dari pertidaksamaan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ adalah berbentuk interval $ (a,b) $. Nilai $ a + b + 2 = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \\ \end{array} \right. $
Untuk pertidaksamaan mutlak, solusinya adalah gabungan dari kedua batas di atas.
*). Bentuk interval :
$ (a,b) \, $ sama dengan $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ sama dengan $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ sama dengan $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ sama dengan $ a \leq x \leq b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ dengan solusi $ (a,b) \rightarrow a < x < b $.
*). Mengubah bentuk mutlak sesuai definisi mutlak :
$ |2x+1| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x+1 & , \text{untuk } x \geq -\frac{1}{2} \\ -(2x+1) & , \text{untuk } x < -\frac{1}{2} \end{array} \right. $
$ |x+1| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x+1 & , \text{untuk } x \geq -1 \\ -(x+1) & , \text{untuk } x < -1 \end{array} \right. $
-). Dari batas kedua bentuk mutlak yaitu $ -1 $ dan $ -\frac{1}{2} $ , maka kita bagi menjadi tiga bagian yaitu :
$ x < - 1 \, $ , $ \, -1 \leq x < -\frac{1}{2} \, $ , dan $ \, x \geq -\frac{1}{2} $
*). Kita selesaikan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ berdasarkan ketiga bagian di atas :
-). Pertama : $ x < -1 $ berlaku $ | 2x + 1| = -(2x+1) $ dan $ |x+1| = -(x+1) $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ -(2x+1) & < 2 + [-(x+1)] \\ -2x - 1 & < 2 - x - 1 \\ -x & < 2 \\ x & > -2 \end{align} $
Sehingga $ HP_1 = \{ x < -1 \} \cap \{ x > -2 \} = \{ -2 < x < -1 \} $
-). Kedua : $ -1 \leq x < -\frac{1}{2} $ berlaku $ | 2x + 1| = -(2x+1) $ dan $ |x+1| = x+1 $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ -(2x+1) & < 2 + (x+1) \\ -2x - 1 & < 2 + x + 1 \\ -3x & < 4 \\ x & > -\frac{4}{3} \end{align} $
Sehingga $ HP_2 = \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} \cap \{ x > -\frac{4}{3} \} = \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} $
-). Ketiga : $ x \geq -\frac{1}{2} $ berlaku $ | 2x + 1| = 2x+1 $ dan $ |x+1| = x+1 $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ (2x+1) & < 2 + (x+1) \\ x & < 2 \end{align} $
Sehingga $ HP_3 = \{ x \geq -\frac{1}{2} \} \cap \{ x < 2 \} = \{ -\frac{1}{2} \leq x < 2 \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari ketiga himpunan di atas :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cup HP_2 \cup HP_3 \\ & = \{ -2 < x < -1 \} \cup \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} \cup \{ -\frac{1}{2} \leq x < 2 \} \\ & = \{ -2 < x < 2 \} \end{align} $
Bentuk $ -2 < x < 2 $ sama dengan $ a < x < b $ sehingga $ a = -2 $ dan $ b = 2 $.
Nilai $ a + b + 2 = -2 + 2 + 2 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b + 2 = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Dalam sebuah kantong terdapat $ m $ bola putih dan $ n $ bola merah dengan $ m.n = 120 $ dan $ m < n $. Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $ \frac{5}{7}$, maka nilai $ m + n = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 26 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 21 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kejadian pengambilan bola tidak memperhatikan urutan sehingga penghitungannya menggunakan kombinasi.
*). Rumus kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
*). Peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (Ruang sampel)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ m $ bola putih dan $ n $ bola merah dengan $ m.n = 120 $ dan peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $ \frac{5}{7}$.
-). Total bola $ = m + n $
-). Diambil dua bola sekaligus :
$\begin{align} n(S) & = C_2^{m+n} = \frac{(m+n)!}{(m+n-2)!.2!} \\ & = \frac{(m+n).(m+n-1).(m+n-2)!}{(m+n-2)!.2} \\ & = \frac{(m+n).(m+n-1)}{2} \end{align} $
-). Peluang terambil paling sedikit satu putih , kejadiannya yaitu :
(1). satu putih dan satu merah $ = C_1^m.C_1^n $
(2). Keduanya putih $ = C_2^m $
Sehingga total kejadiana yang diharapkan :
$\begin{align} n(A) & = C_1^m.C_1^n + C_2^m \\ & = \frac{m!}{(m-1)!.1!}. \frac{n!}{(n-1)!.1!} + \frac{m!}{(m-2)!.2!} \\ & = m.n + \frac{m.(m-1)}{2} \\ & = 120 + \frac{m.(m-1)}{2} \\ \end{align} $
*). Peluang kejadian A $ = \frac{5}{7} $
$\begin{align} P(A) & = \frac{5}{7} \\ \frac{n(A)}{n(S)} & = \frac{5}{7} \\ \frac{120 + \frac{m.(m-1)}{2}}{\frac{(m+n).(m+n-1)}{2}} & = \frac{5}{7} \\ \frac{120 + \frac{m.(m-1)}{2}}{\frac{(m+n).(m+n-1)}{2}} . \times \frac{2}{2} & = \frac{5}{7} \\ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} & = \frac{5}{7} \end{align} $
-). Dari bentuk $ m.n = 120 $ dan $ m < n $ , ada beberapa nilai $ m $ yang mungkin yaitu :
$ m.n = 120 = 10.12 \rightarrow m = 10 , n = 12 $
$ m.n = 120 = 5.24 \rightarrow m = 5 , n = 24 $
$ m.n = 120 = 2.60 \rightarrow m = 2 , n = 60 $
$ m.n = 120 = 1.120 \rightarrow m = 1 , n = 120 $
-). Dari pilihan nilai $ m $ di atas, kita cek satu persatu ke $ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} = \frac{5}{7} $ , dan yang memenuhi adalah $ m = 10 $ dan $ n = 12 $.
Sehingga nilai $ m + n = 10 + 12 = 22 $.

Catatan :
-). Sebenarnya kita bisa juga langsung menyelesaikan persamaan $ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} = \frac{5}{7} $ dengan cara dikalikan silang dan subsitusi $ mn=120 \rightarrow n = \frac{120}{m} $, namun akan terbentuk persamaan dengan variabel $ m $ pangkat 4 serta koefisien yang besar sehingga juga sulit untuk menyelesaikannya.
-). Boleh juga dengan memperhatikan bentuk $ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} = \frac{5}{7} $ yaitu penyebutnya $ (m+n).(m+n-1) $ adalah kelipatan 7 sehingga nilai $ m + n $ yang mungkin adalah $ 22 $ atau $ 21 $.

Jadi, nilai $ m + n = 22 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Parabola UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -mx + c \\ y = (x+4)^2 \end{array} \right. $
Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai $ m $ adalah ....
A). $ -32 \, $ B). $ -20 \, $ C). $ -16 \, $ D). $ -8 \, $ E). $ -4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sistem persamaan dalam bentuk garis dan fungsi kuadrat memiliki tetap satu penyelesaian memiliki arti garis dan parabola saling bersinggungan, sehingga syaratnya yaitu $ D = 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $ (Nilai Diskriminan).
*). Untuk menentukan nilai $ D $, substitusi dulu garis ke parabola, lalu ubah kebentuk persamaan kuadrat.
*). Operasi akar-akar pada persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -mx + c \\ y = (x+4)^2 \end{array} \right. $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} y & = (x+4)^2 \\ -mx + c & = (x+4)^2 \\ -mx + c & = x^2 + 8x + 16 \\ x^2 + 16x + mx + 8 - c & = 0 \\ x^2 + (m + 8)x + (16 - c) & = 0 \\ \text{ Syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (m+8)^2 - 4.1.(16-c) & = 0 \\ m^2 + 16m + 64 + 4c - 64 & = 0 \\ m^2 + 16m + 4c & = 0 \end{align} $
*). Menentukan jumlah semua nilai $ m $ yaitu $ m_1 + m_2 $ :
$\begin{align} m_1 + m_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-16}{1} = -16 \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai $ m $ adalah $ -16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) $ memenuhi $ f(x) = f(-x) $. Jika nilai $ \int \limits_{-3}^3 f(x) dx = 6 $ dan $ \int \limits_{2}^3 f(x) dx = 1 $ , maka nilai $ \int \limits_{0}^2 f(x) dx = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi genap
-). Jika fungsi $ f(x) $ memenuhi $ f(-x) = f(x) $ , maka fungsi $ f(x) $ disebut fungsi genap.
-). Jika $ f(x) $ fungsi genap, maka berlaku sifat integral :
$ \int \limits_{-a}^a f(x) dx = 2 \int \limits_0^a f(x) dx $.
*). Sifat integral mengubah batasnya :
$ \int \limits_a^c f(x) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx $
dengan $ a \leq b \leq c $.
Contoh :
FUngsi genap : $ \int \limits_{-5}^5 f(x) dx = 2\int \limits_0^5 f(x) dx $
Ubah batas : $ \int \limits_0^7 f(x) dx = \int \limits_0^4 f(x) dx + \int \limits_4^7 f(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ f(x) $ memenuhi $ f(x) = f(-x) $ , artinya fungsi $ f(x) $ adalah fungsi genap. Mengubah bentuk integral yang diketahui sesuai sifat integral pada fungsi genap :
$\begin{align} \int \limits_{-3}^3 f(x) dx & = 6 \\ 2\int \limits_{0}^3 f(x) dx & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \int \limits_{0}^3 f(x) dx & = 3 \end{align} $
*). Mengubah bentuk batas $ \int \limits_{0}^3 f(x) dx = 3 $ sesuai sifat batas integral dan gunakan yang diketahui pada soalnya di atas :
$\begin{align} \int \limits_{0}^3 f(x) dx & = 3 \\ \int \limits_{0}^2 f(x) dx + \int \limits_{2}^3 f(x) dx & = 3 \\ \int \limits_{0}^2 f(x) dx + 1 & = 3 \\ \int \limits_{0}^2 f(x) dx & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_{0}^2 f(x) dx = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Trigonometri UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} \sin ( x+y) = 1 + \frac{1}{5} \cos y \\ \sin (x - y) = -1 + \cos y \end{array} \right. $
dengan $ 0 < y < \frac{\pi}{2} $. Nilai $ \sin x = .... $
A). $ \frac{2}{5} \, $ B). $ \frac{3}{5} \, $ C). $ \frac{4}{5} \, $ D). $ \frac{5}{5} \, $ E). $ \frac{5}{6} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah fungsi trigonometri :
$ \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} \sin ( x+y) = 1 + \frac{1}{5} \cos y \\ \sin (x - y) = -1 + \cos y \end{array} \right. $
*). Misalkan $ A = x+y $ dan $ B = x-y $
$ A + B = 2x $ dan $ A - B = 2y $
*). Jumlahkan kedua persamaan, kita peroleh :
$\begin{align} \sin (x+y) + \sin (x-y) & = \frac{1}{5} \cos y + \cos y \\ \sin (A) + \sin (B) & = \frac{1}{5} \cos y + \cos y \\ 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) & = \frac{6}{5} \cos y \\ 2 \sin \left( \frac{2x}{2} \right) \cos \left( \frac{2y}{2} \right) & = \frac{6}{5} \cos y \\ 2 \sin x \cos y & = \frac{6}{5} \cos y \, \, \, \, \text{(coret)} \\ \sin x & = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin x = \frac{3}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ B = \left( \begin{matrix} 1 & -4 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right) $ dan berlaku persamaan $ A^2 + B = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) $. Determinan matriks $ A^4 $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 81 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi pengurangan pada matriks : Kurangkan unsur-unsur seletak.
*). Determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$ det(A) = |A| = ad - bc $
*). Sifat determinan : $ |A^n| = |A|^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan determinan matriks A :
$\begin{align} A^2 + B & = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \\ A^2 & = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) - B \\ A^2 & = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 1 & -4 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right) \\ A^2 & = \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{(determinankan)} \\ |A^2| & = \left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right| \\ |A|^2 & = 2.1 - 2.(-1) \\ |A|^2 & = 4 \\ |A| & = 2 \end{align} $
*). Menentukan determinan matriks $ A^4 $ :
$\begin{align} |A^4| & = |A|^4 = 2^4 = 14 \end{align} $
Jadi, determinan $ A^4 $ adalah $ 16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bunga Majemuk UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Ratna menabung di bank A dalam $ x $ tahun dan uangnya menjadi sebesar $ M $, Wati juga menabung di bank A dalam $ x $ tahun dan uangnya menjadi 3 kali uangnya Ratna. Jika tabungan awal Wati sebesar Rp 2.700.000 dan bank A menerapkan sistem bunga majemuk, maka tabungan awal Ratna sebesar Rp ...
A). $ 8.100.000 \, $ B). $ 5.000.000 \, $ C). $ 2.400.000 \, $
D). $ 2.700.000 \, $ E). $ 900.000 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus penentuan modal pada bunga majemuk :
$ \, \, \, \, \, \, M_n = M_0 ( 1 + i)^n $
Keterangan :
$ M_n = \, $ tabungan akhir setelah $ n $ periode
$ M_0 = \, $ tabungan awal
$ i = \, $ suku bunga (dalam persen)
$ n = \, $ lama menabung (total periode).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Karena menabung pada bank yang sama dan di soal tidak menyebutkan besarnya suku bunga ($i$), maka di kasus soal ini kita anggap besarnya suku bunga sama yaitu $ i $ persen per tahun.
*). Diketahui masing-masing :
-). Ratna : $ M_n = M , M_0 = M_0, n = x $
$ M = M_0 (1+i)^x \, $ .....(i)
-). Wati : $ M_n = 3M , M_0 = 2.700.000 , n = x $
$ 3M = 2.700.000(1+i)^x \, $ (sederhanakan)
$ M = 900.000(1+i)^x \, $ ......(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} M & = 900.000(1+i)^x \\ M_0 (1+i)^x & = 900.000(1+i)^x \\ M_0 & = 900.000 \end{align} $
Jadi, tabungan awal Ratna adalah Rp $ 900.000 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} = 2 $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{\frac{ax}{8}+\frac{b}{8}} -2x + 1}{x^2+4x+3} = .... $
A). $ \frac{-2}{15} \, $ B). $ \frac{-1}{15} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{15} \, $ E). $ \frac{2}{15} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit, salah satu caranya substitusi langsung.
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limit yang diketahui :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} & = 2 \\ \frac{\sqrt[3]{a.2+b}}{2+1} & = 2 \\ \frac{\sqrt[3]{2a+b}}{3} & = 2 \\ \sqrt[3]{2a+b} & = 6 \end{align} $
*). Menyelesaikan limit yang ditanyakan :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{\frac{ax}{8}+\frac{b}{8}} -2x + 1}{x^2+4x+3} \\ & = \frac{\sqrt[3]{\frac{a.2}{8}+\frac{b}{8}} -2.2 + 1}{2^2+4.2+3} \\ & = \frac{\sqrt[3]{\frac{2a+b}{8}} -3}{15} \\ & = \frac{\frac{\sqrt[3]{2a+b} }{\sqrt[3]{8}} -3}{15} \\ & = \frac{\frac{6}{2} -3}{15} = \frac{3 -3}{15} = \frac{0}{15} = 0 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 > 0 $ dengan $ 0 < a < 1 $ adalah ....
A). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-1} $
B). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-2} $
C). $ a^2 < x < a^{-1} $
D). $ a^2 < x < a^{-2} $
E). $ a^{-2} < x < a^2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pertidaksamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki penyelesaian :
jika $ a > 1 $, maka $ f(x) > g(x) \, \, $ (tetap)
jika $ 0 < a < 1 $, maka $ f(x) < g(x) \, \, $ (dibalik)
*). Sifat logaritma : $ x = {}^a \log a^x $
*). Notasi logaritma : $ {}^a \log b = \log _a b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ {}^a \log x = p $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$\begin{align} \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 & > 0 \\ \left( {}^a \log x \right)^2 - {}^a \log x \, - 2 & > 0 \\ p^2 - p - 2 & > 0 \\ (p -2)(p+1) & > 0 \\ p = 2 \vee p & = -1 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Solusinya : $ p< -1 \vee p > 2 $.
Kita ubah dalam bentuk $ x $ :
Karena nilai $ 0 < a < 1 $ , maka ketaksamaan diubah.
$\begin{align} p< -1 & \vee p > 2 \\ {}^a \log x < -1 & \vee {}^a \log x > 2 \\ {}^a \log x < {}^a \log a^{-1} & \vee {}^a \log x > {}^a \log a^2 \\ x > a^{-1} & \vee x < a^2 \end{align} $
Jadi, penyelesaiaan adalah $ x < a^2 \vee x > a^{-1} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UTBK 2019 Matematika Saintek


Nomor 1
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 > 0 $ dengan $ 0 < a < 1 $ adalah ....
A). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-1} $
B). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-2} $
C). $ a^2 < x < a^{-1} $
D). $ a^2 < x < a^{-2} $
E). $ a^{-2} < x < a^2 $
Nomor 2
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} = 2 $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{\frac{ax}{8}+\frac{b}{8}} -2x + 1}{x^2+4x+3} = .... $
A). $ \frac{-2}{15} \, $ B). $ \frac{-1}{15} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{15} \, $ E). $ \frac{2}{15} $
Nomor 3
Ratna menabung di bank A dalam $ x $ tahun dan uangnya menjadi sebesar $ M $, Wati juga menabung di bank A dalam $ x $ tahun dan uangnya menjadi 3 kali uangnya Ratna. Jika tabungan awal Wati sebesar Rp 2.700.000 dan bank A menerapkan sistem bunga majemuk, maka tabungan awal Ratna sebesar Rp ...
A). $ 8.100.000 \, $ B). $ 5.000.000 \, $ C). $ 2.400.000 \, $
D). $ 2.700.000 \, $ E). $ 900.000 $
Nomor 4
Diketahui matriks $ B = \left( \begin{matrix} 1 & -4 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right) $ dan berlaku persamaan $ A^2 + B = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) $. Determinan matriks $ A^4 $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 81 \, $
Nomor 5
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} \sin ( x+y) = 1 + \frac{1}{5} \cos y \\ \sin (x - y) = -1 + \cos y \end{array} \right. $
dengan $ 0 < y < \frac{\pi}{2} $. Nilai $ \sin x = .... $
A). $ \frac{2}{5} \, $ B). $ \frac{3}{5} \, $ C). $ \frac{4}{5} \, $ D). $ \frac{5}{5} \, $ E). $ \frac{5}{6} \, $
Nomor 6
Fungsi $ f(x) $ memenuhi $ f(x) = f(-x) $. Jika nilai $ \int \limits_{-3}^3 f(x) dx = 6 $ dan $ \int \limits_{2}^3 f(x) dx = 1 $ , maka nilai $ \int \limits_{0}^2 f(x) dx = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 7
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -mx + c \\ y = (x+4)^2 \end{array} \right. $
Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai $ m $ adalah ....
A). $ -32 \, $ B). $ -20 \, $ C). $ -16 \, $ D). $ -8 \, $ E). $ -4 $
Nomor 8
Dalam sebuah kantong terdapat $ m $ bola putih dan $ n $ bola merah dengan $ m.n = 120 $ dan $ m < n $. Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $ \frac{5}{7}$, maka nilai $ m + n = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 26 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 21 $
Nomor 9
Penyelesaian dari pertidaksamaan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ adalah berbentuk interval $ (a,b) $. Nilai $ a + b + 2 = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 10
Diketahui barisan aritmetika dengan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$. Jika $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $ , maka nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = .... $
A). $ \frac{2}{k} \, $ B). $ \frac{3}{k} \, $ C). $ \frac{4}{k} \, $ D). $ \frac{6}{k} \, $ E). $ \frac{8}{k} $
Nomor 11
Garis $ y = 2x + 1 $ tidak memotong ataupun tidak menyinggung hiperbola $ \frac{(x-2)^2}{2}-\frac{(y-a)^2}{4}=1 $, interval nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ a < 3 \, $ atau $ a > 7 $ B). $ -3 < a < 7 \, $ C). $ 3 < a < 7 \, $
D). $ a < -3 \, $ atau $ a > 7 \, $ E). $ -7 < a < -3 $

Catatan : Pembahasan soal-soal ini akan kita lengkapkan secara bertahap.