Pembahasan Peluang SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 226

Soal yang Akan Dibahas
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah ....
A). 720 B). 705 C). 672 D). 48 E). 15

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada n objek berbeda akan disusun berjajar,
total cara ada $ n! $ cara penempatan (susunan).
dengan $ n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1 $
Contoh :
$ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 $
$ 4! = 4.3.2.1 = 24 $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). ada 3 pasang pemain bulutangkis ganda, artinya total ada 6 orang. Banyak susunan foto berjajar 6 orang tanpa syarat adalah $ 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 \, $ cara.
*). Syarat yang diminta yaitu "tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan", artinya masing-masing ketiga pasangan tidak boleh berdekatan sekaligus. Sehingga diperbolehkan susunan berfoto jika ada salah satu pasangan atau dua pasangan berdekatan.
*). Banyak susunan dimana setiap pasangan ganda berdekatan :
-). setiap pasangan kita gabungkan menjadi satu kelompok (kita hitung 1 objek), sehingga ada 3 kelompok (pasangan) dengan banyak susunan $ 3! = 3.2.1 = 6 $.
-). pada setiap kelompok (setiap pasangan) bisa kita tukar posisinya (misalkan AB atau BA), sehingga setiap kelompok ada 2 cara. banyak susunannya $ = 2.2.2 = 8 $.
-). total susunannya yaitu $ = 6 \times 8 = 48 $.
*). Banyak susunan dengan "tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan" adalah :
total cara $ = 720 - 48 = 672 $
Jadi, total susunan berfoto ada 672 cara $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 226

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ f(x) = ax^2+bx + c $ memotong sumbu Y di titik $ (0,1) $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = -4 $, maka $ \frac{b + c}{a} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ .
*). Limit bentuk tak tentu
Jika $ g(k) = 0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = c \, $ (hasilnya konstanta), maka $ f(k) = 0 $. Bentuk hasil limit $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ disebut bentuk tak tentu.
*). Penerapan turunan pada limit bentuk tak tentu (dalil L'Hospital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (0,1) $ ke fungsi $ y = f(x) = ax^2+bx + c $ :
$ y = ax^2+bx + c \rightarrow 1 = a.0^2+b.0 + c \rightarrow 1 = c $
sehingga $ f(x) = ax^2 + bx + 1 $
*). Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = -4 $ dengan penyebut bernilai nol ketika disubstitusikan $ x = 1 $ adalah bentuk tak tentu (agar hasilnya konstanta), sehingga $ f(1) = 0$ dengan $ f(x) = ax^2 + bx + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + b $.
$ f(1) = 0 \rightarrow a.1^2 + b.1 + 1 = 0 \rightarrow a + b = -1 \, $ ....(i).
*). Menyelesaikan limitnya dengan dalil L'Hospital :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} & = -4 \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{2ax + b}{1} & = -4 \\ \displaystyle \lim_{x \to 1} 2ax + b & = -4 \\ 2a.1 + b & = -4 \\ 2a + b & = -4 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 2a + b = -4 & \\ a + b = -1 & - \\ \hline a = -3 & \end{array} $
pers(i): $ a + b = -1 \rightarrow -3 + b = -1 \rightarrow b = 2 $.
Sehinga nilai $ \frac{b + c}{a} = \frac{2 + 1}{-3} = \frac{3}{-3} = -1 $
Jadi, nilai $ \frac{b + c}{a} = -1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Transformasi SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 226

Soal yang Akan Dibahas
Titik $ (1,0) $ dipetakan dengan translasi $ \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) $ dan kemudian dicerminkan terhadap garis $ x = 3 $ ke titik $ ( 6, 2) $. Peta titik $ (2,1) $ di bawah transformasi yang sama adalah ....
A). $ (5,3) \, $ B). $ (6,2) \, $ C). $ (6,3) \, $ D). $ (7,2) \, $ E). $ (7,3) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep translasi dengan matriks $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
*). Konsep pencerminan terhadap garis $ x = h $ :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2h - x \\ y \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik $ (1,0) $ ditranslasi oleh $ \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a + 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). titik $ (x , y) = ( a+1, 2) $ dilanjutkan dicerminkan terhadap $ x = 3 $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2h - x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2.3 - (a + 1) \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 6 - a - 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5 - a \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Bayangan akhir yaitu $ (5-a,2) $ sama dengan $ (6,2) $ , sehingga :
$ 5 - a = 6 \rightarrow a = -1 $.
Artinya matriks translasinya adalah $ \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) $.
*). Menentukan bayangan titik $ (2,1) $ dengan translasi $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) $ kemudian dicerminkan terhadap garis $ x = 3 $ :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
-). titik $ (1,3) $ dilanjutkan pencerminan terhadap $ x = 3 $ :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2h - x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2.3 - 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangannya adalah $ (5,3) . \, \heartsuit $