Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui A adalah sudut yang terletak di kuadran IV dan $ \cos A = \sqrt{\frac{x+1}{2x}} $ , $ x > 0 $, maka $ \tan A $ adalah ......
A). $ \frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} \, $ B). $ -\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1} \, $ C). $ - \frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} \, $
D). $ -\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} \, $ E). $ - \frac{\sqrt{x-1}}{x+1} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus perbandingan dasar trigonometri :
$ \sin A = \frac{de}{mi}, \, \cos A = \frac{sa}{mi} $ dan $ \tan A = \frac{de}{sa} $
*). Pada kuadran IV, nilai cos positif dan tan negatif.
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{a.b} $ dan $ \sqrt{a}.\sqrt{a} = a $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Diketahui :
$ \cos A = \sqrt{\frac{x+1}{2x}} = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x}} = \frac{sa}{mi} $
artinya pada segitiga siku-siku :
$ samping = \sqrt{x+1} $ dan $ miring = \sqrt{2x} $
untuk menentukan depan, kita gunakan Pythagoras :
$\begin{align} de & = \sqrt{mi^2 - sa^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{2x})^2 - (\sqrt{x+1})^2} \\ & = \sqrt{(2x) - (x+1) } \\ & = \sqrt{x - 1} \end{align} $
 

*). Karena A pada kuadran IV, maka nilai $ \tan A $ negatif :
$ \begin{align} \tan A & = - \frac{de}{sa} \\ & = - \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} \, \, \, \, \, \, \text{(rasionalkan)} \\ & = - \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} \times \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}} \\ & = - \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{x + 1} \\ & = - \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x + 1} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan A = - \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x + 1} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ A = \left( \begin{matrix} x+2 & 3 \\ 3 & 3 \end{matrix} \right) $, $ B = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 5 & x + 2 \end{matrix} \right) $ , maka perkalian nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ det(AB) = 36 \, $ adalah ......
A). $ -8 \, $ B). $ -7 \, $ C). $ -6 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $
*). Sifat determinan : $ |A.B| = |A|.|B| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Menentukan determinan masing-masing :
$\begin{align} A = \left( \begin{matrix} x+2 & 3 \\ 3 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |A| & = 3(x+2) - 3.3 \\ & = 3x - 3 = 3(x-1) \\ B = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 5 & x + 2 \end{matrix} \right) \rightarrow |B| & = 3(x+2) - 0 \\ & = 3(x+2) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ dengan $ |AB| = 36 $ :
$ \begin{align} |AB| & = 36 \\ |A|.|B| & = 36 \\ 3(x-1).3(x+2) & = 36 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 9)} \\ (x-1)(x+2) & = 4 \\ x^2 + x - 2 & = 4 \\ x^2 + x - 6 & = 0 \\ (x + 3)(x-2) & = 0 \\ x = -3 \vee x & = 2 \end{align} $
Sehingga hasil kalinya :
$ x_1.x_2 = -3.2 = -6 $
Jadi, hasil kali nilai $ x $ adalah $ -6. \, \heartsuit $

Catatan :
Jika bentuk $ x^2 + x - 6 = 0 $ ternyata sulit difaktorkan, kita gunakan operasi akar-akar yaitu :
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = -6 $ .

Cara 3 Pembahasan Limit TakHingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} = .... $
A). $ -\infty \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ + \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A $
*). Dengan pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ maka
$ 1 - \cos ^2 A = (1 - \cos A)(1 + \cos A) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \csc y - \cot y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{\sin y} - \frac{\cos y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos y}{\sin y} \, \, \, \, \text{(kalikan } \frac{\sin y}{\sin y} ) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos y}{\sin y} \times \frac{\sin y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{(1 - \cos y)\sin y }{\sin ^2 y} \, \, \, \, \, \, \text{(identitas trigono)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{(1 - \cos y)\sin y }{1 - \cos ^2 y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{(1 - \cos y)\sin y }{(1 - \cos y)(1 + \cos y)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin y }{ (1 + \cos y)} \\ & = \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = \frac{0}{2} = 0 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
$(a,b) $ dan $ (c,d) $ adalah titik potong antara kurva $ x^2 - y^2 = 0 $ dan garis $ y + 2x = 11 $. Jika $ a $ dan $ b $ merupakan bilangan bulat, maka $ a - b + c - d = ...... $
A). $ -\frac{11}{3} \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{22}{3} \, $ D). $ \frac{44}{3} \, $ E). $ 22 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan bentuk sistem persamaan, cukup dengan substitusi atau eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).persamaannya : $ x^2 - y^2 = 0 $ dan $ y + 2x = 11 \rightarrow y = -2x + 11 $
*).Substitusi pers(ii) ke (i) :
$\begin{align} x^2 - y^2 & = 0 \\ x^2 - (-2x + 11)^2 & = 0 \\ x^2 - (4x^2 - 44x + 121) & = 0 \\ -3x^2 + 44x - 121 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 - 44x + 121 & = 0 \\ (3x - 11)(x - 11) & = 0 \\ x = \frac{11}{3} \vee x & = 11 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ x $ ke pers(ii) : $ y = -2x + 11 $
$ x = \frac{11}{3} \rightarrow y = -2. \frac{11}{3} + 11 = \frac{11}{3} $
$ x = 11 \rightarrow y = -2. 11 + 11 = -11 $
*). Karena $ (a,b) $ bulat, maka pasangannta :
$ (a,b) = (11,-11) $ dan $ (c,d) = \left( \frac{11}{3} , \frac{11}{3} \right) $
Sehingga nilai :
$ a - b + c - d = 11 - (-11) + \frac{11}{3} - \frac{11}{3} = 22 $
Jadi, nilai $ a - b + c - d = 22 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Perhatikan gambar berikut :

Dalam sistem pertidaksamaan $ 2y \geq x $ , $ y \leq 2x $ , $ 2y + x \leq 20 $ , $ y + x \geq 9 $ , nilai minimum dari $ -3y - x $ dicapai pada titik ......
A). O B). P C). Q D). R E). S

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menentukan nilai optimum program linear :
(1). Menentukan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP)
(2). Menentukan titik pojok pada DHP
(3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya
(4). Tinggal kita pilih nilai minimum atau maksimumnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Menentukan pasangan garis dan persamaannya :
(I). $ 2y \geq x \rightarrow (0,0) $ dan $ (2,1) $
(II). $ y \leq 2x \rightarrow (0,0) $ dan $ (2,4) $
(III). $ 2y + x \leq 20 \rightarrow (0,10) $ dan $ (20,0) $
(IV). $ y + x \geq 9 \rightarrow (0,9) $ dan $ (9,0) $
Sesuai dengan tanda ketaksamaan keempat garis tersebut, maka DHP nya :
 

*).Menentukan titik pojok pada DHPnya :
-). Titik P , perpotongan garis (I) dan (IV) :
substitusi (I) ke (IV), titik P(6,3)
-). Titik Q , perpotongan garis (II) dan (IV) :
substitusi (II) ke (IV), titik Q(3,6)
-). Titik R , perpotongan garis (II) dan (III) :
substitusi (II) ke (III), titik R(4,8)
-). Titik S , perpotongan garis (I) dan (III) :
substitusi (I) ke (III), titik S(10,5)
*).Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuan : $ z = -x - 3y $ :
$\begin{align} P(6,3) \rightarrow z & = -6-3.3 = - 15 \\ Q(3,6) \rightarrow z & = -3-3.6 = - 21 \\ R(4,8) \rightarrow z & = -4-3.8 = - 28 \\ S(10,5) \rightarrow z & = -10-3.5 = - 25 \end{align} $
Nilai minimumnya adalah $ - 28 $ pada titik pojok R.
Jadi, nilai minimum dicapai pada titik R $. \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Eksponen Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari
$ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} = \frac{1}{(x^2 - 4x + 4)^{-2x + 1}} $ , $ x \neq 2 $
adalah ......
A). $ \{1,2\} \, $ B). $ \{-2,2\} \, $ C). $ \{-2,3\} \, $
D). $ \{-2,1,3\} \, $ E). $ \{-2,1,2,3\} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian persamaan eksponen :
Bentuk $[ h(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian :
(1). $ f(x) = g(x) $
(2). $ h(x) = 1 $
(3). $ h(x) = 0 \, $ dengan syarat pangkatnya sama-sama positif.
(4). $ h(x) = -1 \, $ dengan syarat pangkatnya sama-sama genap atau ganjil.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Mengubah bentuk persamaannya :
$\begin{align} (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{(x^2 - 4x + 4)^{-2x + 1}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{[(x-2)^2]^{-2x + 1}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{(x-2)^{-4x + 2}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = (x-2)^{-(-4x + 2)} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = (x-2)^{4x - 2 } \\ [h(x)]^{f(x)} & = [h(x)]^{g(x)} \end{align} $
artinya $ h(x) = x-2 , f(x) = x^2 + 4x - 6 , g(x) = 4x - 2 $
dengan syarat $ x \neq 2 $.
*).Menentukan penyelesaiannya :
-). Pertama : $ f(x) = g(x) $
$\begin{align} x^2 + 4x - 6 & = 4x - 2 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
Karena syaratnya $ x \neq 2 $ , maka $ x_1 = -2 $ yang memenuhi.
-). Kedua : $ h(x) = 1 $
$\begin{align} x - 2 & = 1 \\ x_2 & = 3 \end{align} $
-). Ketiga : $ h(x) = 0 $
$\begin{align} x - 2 & = 0 \\ x & = 2 \end{align} $
karena $ x \neq 2 $ , maka solusi ketiga ini tidak memenuhi.
-). Kedua : $ h(x) = -1 \, $ dengan pangkatnya sama-sama genap atau ganjil
$\begin{align} x - 2 & = -1 \\ x & = 1 \end{align} $
Kita cek nilai pangkat untuk $ x = 1 $ :
$ x = 1 \rightarrow f(1) = 1^2 + 4.1 - 6 = -1 \, $ (ganjil)
$ x = 1 \rightarrow g(1) = 4.1-2 = 2 \, $ (genap)
karena nilai pangkat untuk $ x = 1 $ tidak sama-sama genap atau ganjil, maka solusi keempat ini tidak memenuhi.
Sehingga solusinya adalah $ \{ -2, 3 \} $
Jadi, HP $ = \{ -2, 3 \} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2016 Matematika Dasar Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2. Jika $ f(2) = f(4) = 0 \, $ maka $ a + b + c = .... $
A). $-10 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -4 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ jika terpenuhi $ f(x_1) = f(x_2) = 0 $ .
*). Rumus titik puncak $(x_p , y_p ) $ :
$ x_p = -\frac{b}{2a} = \frac{x_1 + x_2}{2} $
dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ adalah titik potong sumbu X.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ordinat titik puncak fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2, artinya $ y_p = 2 $.
*). Diketahui $ f(2) = f(4) = 0 \, $ , artinya $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 $
sehingga $ x_p = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 $
kita peroleh titik puncaknya : $ (x_p,y_p) = (3,2) $ .
*). Menyusun Persamaan dengan substitusi ke $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
$ \begin{align} f(2) = 0 \rightarrow a.2^2 + b.2 + c & = 0 \\ 4a + 2b + c & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ f(4) = 0 \rightarrow a.4^2 + b.4 + c & = 0 \\ 16a + 4b + c & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \\ (x,y)=(3,2) \rightarrow a.3^2 + b.3 + c & = 2 \\ 9a + 3b + c & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \end{align} $
*). ELiminasi persamaan yang terbentuk :
-). pers(i) dan (ii) : $ 12a + 2b = 0 \rightarrow b = -6a \, $ .....(iv) :
-). pers(i) dan (iii) : $ 5a + b = 2 \, $ .....(v)
-). Substitusi pers(iv) ke (v) :
$ 5a + b = 2 \rightarrow 5a + (-6a) = 2 \rightarrow a = -2 $
pers(iv) : $ b = -6a = -6.(-2) = 12 $
pers(i) : $ 4a + 2b + c = 0 \rightarrow 4.(-2) + 2.12 + c = 0 \rightarrow c = -16 $
Sehingga nilai $ a + b + c = -2 + 12 + (-16) = -6 $
Jadi, nilai $ a + b + c = -6 . \, \heartsuit $