Pembahasan Peluang SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 213

Soal yang Akan Dibahas
Banyak bilangan 4 angka (boleh berulang) yang habis dibagi 2 atau 5 dan angka ribuannya 1 atau 3 adalah ....
A). 900 B). 1.000 C). 1.100
D). 1.200 E). 1.300

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kaidah aturan perkalian :
Jika ada dua kejadian yaitu $ p $ dan $ q $ terjadi sekaligus, maka total kejadiannya adalah $ p \times q $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angka ada 10 yaitu {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
*). Akan kita susun sebuah bilangan yang terdiri dari 4 angka/digit (boleh berulang). Karena boleh berulang, maka digit yang sudah kita pakai boleh kita gunakan lagi untuk digit lainnya. 4 digit terdiri dari ribua, ratusan, puluhan, dan satuan.
*). Syarat suatu bilangan habis dibagi 2 adalah angka satuannya harus genap. Sedangkan syarat suatu bilangan habis dibagi 5 adalah angka satuannya harus 0 atau 5.
*). Penyusunan bilangan tersebut :
-). angka ribuan, ada 2 pilihan yaitu 1 atau 3 .
-). angka ratusan, ada 10 pilihan yaitu {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
-). angka puluhan, ada 10 pilihan yaitu {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
-). angka satuan, ada 6 pilihan yaitu {0,2,4,5,6,,8} karena harus memenuhi syarat habis dibagi 2 atau 5.
*). Total cara pembentukan bilangan
$ = 2.10.10.6 = 1.200 \, $ cara.
Jadi, ada 1.200 bilangan yang terbentuk $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 213

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ f(x) = ax^2 + bx + c $ memotong sumbu Y di titik $ (0,1) $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{f(x)} = \frac{1}{4} $, maka $ a + c = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ .
*). Limit bentuk tak tentu
Jika $ g(k) = 0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g(x)}{f(x)} = c \, $ (hasilnya konstanta), maka $ f(k) = 0 $. Bentuk hasil limit $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{0}{0} $ disebut bentuk tak tentu.
*). Penerapan turunan pada limit bentuk tak tentu (dalil L'Hospital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g(x)}{f(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g^\prime (x)}{f^\prime (x)} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (0,1) $ ke fungsi $ y = f(x) = ax^2+bx + c $ :
$ y = ax^2+bx + c \rightarrow 1 = a.0^2+b.0 + c \rightarrow 1 = c $
sehingga $ f(x) = ax^2 + bx + 1 $
*). Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{f(x)} = \frac{1}{4} $ dengan pembilang bernilai nol ketika disubstitusikan $ x = 1 $ adalah bentuk tak tentu (agar hasilnya konstanta), sehingga $ f(1) = 0 $ dengan $ f(x) = ax^2 + bx + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + b $.
$ f(1) = 0 \rightarrow a.1^2 + b.1 + 1 = 0 \rightarrow a + b = -1 \, $ ....(i).
*). Menyelesaikan limitnya dengan dalil L'Hospital :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{f(x)} & = \frac{1}{4} \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{-1}{f^\prime (x)} & = \frac{1}{4} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{-1}{2ax + b} & = \frac{1}{4} \\ \frac{-1}{2a.1 + b} & = \frac{1}{4} \\ \frac{-1}{2a + b} & = \frac{1}{4} \\ 2a + b & = -4 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 2a + b = -4 & \\ a + b = -1 & - \\ \hline a = -3 & \end{array} $
pers(i): $ a + b = -1 \rightarrow -3 + b = -1 \rightarrow b = 2 $.
Sehinga nilai $ a + c = -3 + 1 = -2 $
Jadi, nilai $ a + c = -2 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Transformasi SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 213

Soal yang Akan Dibahas
Transformasi yang bersesuaian dengan matriks A memetakan titik $(6, 3)$ ke titik $(4,-2)$. Jika transformasi yang sama memetakan titik $(-2,-1) $ ke titik $(m, n)$, maka nilai $ m - n $ adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Mencari bayangan oleh transformasi matriks A :
bayangan $ = A \times \, $ awal.
*). Sifat matriks :
$ \left( \begin{matrix} ka \\ kb \end{matrix} \right) = k \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \, $ dan $ kA= B \rightarrow A = \frac{1}{k}B $.
dengan $ k $ adalah suatu konstanta.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Modifikasi persamaan matriksnya :
Diketahui : titik awal $(6, 3)$ , bayangannya $(4,-2)$
$\begin{align} \text{titik bayangan } & = A \times \text{titik awal} \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) & = A \times \left( \begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) & = A \times -3\left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ \frac{1}{-3} \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) & = A \times \left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -\frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} \end{matrix} \right) & = A \times \left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Bentuk akhir ini sama dengan : $ \left( \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right) = A \times \left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \right) $
Artinya nilai $ m = -\frac{4}{3} \, $ dan $ n = \frac{2}{3} $.
Sehingga nilai $ m - n = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2 $
Jadi, nilai $ m - n = -2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Transformasi SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 213

Soal yang Akan Dibahas
Transformasi yang bersesuaian dengan matriks A memetakan titik $(6, 3)$ ke titik $(4,-2)$. Jika transformasi yang sama memetakan titik $(-2,-1) $ ke titik $(m, n)$, maka nilai $ m - n $ adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Mencari bayangan oleh transformasi matriks A :
bayangan $ = A \times \, $ awal.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Pertama : titik awal $(6, 3)$ , bayangannya $(4,-2)$
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime} \\ y^{ \prime} \end{matrix} \right) & = A \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 6a + 3b \\ 6c + 3d \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3(2a + b) \\ 3(2c+d) \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ 3(2a+b) = 4 \rightarrow 2a + b = \frac{4}{3} $
$ 3(2c+d) = -2 \rightarrow 2c + d = \frac{-2}{3} $
-). Kedua : titik awal $(-2,-1) $ , bayangannya $(m,n) $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2a - b \\ -2c - d \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -(2a + b) \\ -(2c + d) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} \end{matrix} \right) \end{align} $
Sehingga nilai $ m - n = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2 $
Jadi, nilai $ m - n = -2 . \, \heartsuit $