Pembahasan Turunan SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 526

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x)= ax^2 + 2x + 4 $ dan $ g(x) = x^2 + ax - 2 $. Jika $ h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $ dengan $ h^\prime (0) = 1 $ , maka nilai $ a $ adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar turunan :
(1). $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
(2). $ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
(3). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
(4). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V - U . V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui :
$ f(x)= ax^2 + 2x + 4 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + 2 $
$ g(x) = x^2 + ax - 2 \rightarrow g^\prime (x) = 2x + a $
*). Menentukan bentuk $ h^\prime (0) $ :
$\begin{align} h(x) & = \frac{f(x)}{g(x)} \\ h(x) & = \frac{ax^2 + 2x + 4}{x^2 + ax - 2} \\ h^\prime (x) & = \frac{f^\prime (x) . g(x) - f(x) . g^\prime (x)}{[g(x)]^2} \\ & = \frac{(2ax+2).(x^2 + ax - 2) - (ax^2+2x+4).(2x+a)}{(x^2 + ax - 2)^2} \\ h^\prime (0) & = \frac{(2a.0 +2).(0^2 + a.0 - 2) - (a.0^2+2.0+4).(2.0+a)}{(0^2 + a.0 - 2)^2} \\ & = \frac{(2).(- 2) - (4).(a)}{(- 2)^2} \\ & = \frac{-4 - 4a}{4} \\ h^\prime (0) & = -1 - a \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ h^\prime (0) = 1 $ :
$ h^\prime (0) = 1 \rightarrow -1 -a = 1 \rightarrow a = -2 $
Jadi, nilai $ a = -2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 526

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \left( 2x - \frac{1}{2x} \right)^2 dx = .... $
A). $ \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2x} - 2x + C \, $
B). $ \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2x} - 2x + C \, $
C). $ \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{2x} + 2x + C \, $
D). $ \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{4x} - 2x + C \, $
E). $ \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{4x} - 2x + C $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar integral :
$ \int \, ax^n \, dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + c $
*). Sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
Penjabaran : $ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasil integralnya :
$\begin{align} & \int \left( 2x - \frac{1}{2x} \right)^2 dx \\ & = \int \left( 4x^2 + \frac{1}{4x^2} - 2. (2x) . \frac{1}{2x} \right) dx \\ & = \int \left( 4x^2 + \frac{1}{4} x^{-2} - 2 \right) dx \\ & = \frac{4}{2+1}x^{2+1} + \frac{1}{4} . \frac{1}{-2 + 1} x^{-2+1} - 2 x + c \\ & = \frac{4}{3}x^{3} + \frac{1}{4} . \frac{1}{-1} x^{-1} - 2 x + c \\ & = \frac{4}{3}x^{3} - \frac{1}{4} . \frac{1}{x} - 2 x + c \\ & = \frac{4}{3}x^{3} - \frac{1}{4x} - 2 x + c \end{align} $
Jadi, hasil $ \int \left( 2x - \frac{1}{2x} \right)^2 dx = \frac{4}{3}x^{3} - \frac{1}{4x} - 2 x + c . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi Invers SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 526

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers. Jika $ f(g(x)) = 2x-1 $ dan $ g(x+1) = x - 3 $ , maka nilai $ f^{-1}(3). g^{-1}(3) $ adalah ...
A). $ 14 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -9 \, $ E). $ -14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Definisi di atas bisa kita kembangkan menjadi :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) \, $ atau $ \, f^{-1}(B) = A $
(Setiap pindah fungsinya kita beri invers).
Contoh :
$ f(5x + 1) = x- 4 \rightarrow f^{-1}(x-4) = 5x + 1 $
$ g(x+2) = 5 - 4x \rightarrow g^{-1}(5-4x) = x + 2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ g(x+1) = x - 3 $ :
$\begin{align} g(x+1) & = x - 3 \\ g^{-1}(x-3) & = x + 1 \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ g^{-1}(3) $ , maka $ x - 3 = 3 \rightarrow x = 6 $ :
$\begin{align} x = 6 \rightarrow g^{-1}(x-3) & = x + 1 \\ g^{-1}(6-3) & = 6 + 1 \\ g^{-1}(3) & = 7 \end{align} $
*). Fungsi $ f(g(x)) = 2x-1 $ :
$\begin{align} f(g(x)) & = 2x-1 \\ f^{-1}(2x - 1) & = g(x) \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ f^{-1}(3) $ , maka $ 2x-1 = 3 \rightarrow x = 2 $ :
-). Dari bentuk $ g(x+1) = x - 3 $, agar memperoleh nilai $ g(2) $ , maka $ x + 1 = 2 \rightarrow x = 1 $
$ g(x+1) = x - 3 \rightarrow g(1+1) = 1 - 3 \rightarrow g(2) = -2 $
$\begin{align} x = 2 \rightarrow f^{-1}(2x - 1) & = g(x) \\ f^{-1}(2.2 - 1) & = g(2) \\ f^{-1}( 3) & = -2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(3).g^{-1}(3) $ :
$\begin{align} f^{-1}(3).g^{-1}(3) & = (-2) \times 7 = -14 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(3).g^{-1}(3) = -14 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Invers SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 526

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers. Jika $ f(g(x)) = 2x-1 $ dan $ g(x+1) = x - 3 $ , maka nilai $ f^{-1}(3). g^{-1}(3) $ adalah ...
A). $ 14 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -9 \, $ E). $ -14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Untuk mengubah fungsi menjadi $ f(x) $ atau $ g(x) $, bisa menggunakan permisalan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ g(x+1) = x - 3 $ :
-). Mengubah menjadi $ g(x) $
Misalkan $ x + 1 = p \rightarrow x = p - 1 $
$\begin{align} g(x+1) & = x - 3 \\ g(p) & = (p-1) - 3 \\ g(p) & = p - 4 \\ g(x) & = x - 4 \end{align} $
-). Menentukan invers dari $ g(x) = x - 4 $ :
$\begin{align} g(x) & = x - 4 \\ y & = x - 4 \\ x & = y + 4 \\ g^{-1}(x) & = x + 4 \end{align} $
Nilai $ g^{-1}(3) = 3 + 4 = 7 $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
Misalkan $ x - 4 = q \rightarrow x = q + 4 $
$\begin{align} f(g(x)) & = 2x-1 \\ f(x - 4) & = 2x-1 \\ f(q) & = 2(q + 4)-1 \\ f(q) & = 2q + 7 \\ f(x) & = 2x + 7 \end{align} $
-). Menentukan invers dari $ f(x) = 2x + 7 $ :
$\begin{align} f(x) & = 2x + 7 \\ y & = 2x + 7 \\ x & = \frac{y-7}{2} \\ f^{-1}(x) & = \frac{x-7}{2} \end{align} $
Nilai $ f^{-1}(3) = \frac{3-7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(3).g^{-1}(3) $ :
$\begin{align} f^{-1}(3).g^{-1}(3) & = (-2) \times 7 = -14 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(3).g^{-1}(3) = -14 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Komposisi SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 526

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ g(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} $ dan $ f(x) $ merupakan fungsi dengan $ (f \circ g)(x) = \frac{2x-1}{x-1} $ , maka himpunan penyelesaian $ 1 \leq f(x) \leq 6 $ adalah ...
A). $ \{ x | -2 \leq x \leq -1 \text{ atau } 1 \leq x \leq 2 \} \, $
B). $ \{ x | -2 \leq x \leq 0 \text{ atau } x \geq 1 \} \, $
C). $ \{ x | -2 \leq x \leq 2 \} \, $
D). $ \{ x | -1 \leq x \leq 2 \} \, $
E). $ \{ x | 0 \leq x \leq 2 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi komposisi pengerjaannya dari kanan ke kiri :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Bentuk $ A \leq B \leq C $ memiliki penyelesaian :
$ A \leq B $ dan $ B \leq C $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
-). Misalkan :
$ \frac{1}{\sqrt{x-1}} = p \rightarrow \sqrt{x - 1} = \frac{1}{p} $
$ x - 1 = \frac{1}{p^2} \rightarrow x = \frac{1}{p^2} + 1 $
-). Substitusi permisalannya :
$\begin{align} (f \circ g)(x) & = \frac{2x-1}{x-1} \\ f(g(x)) & = \frac{2x-1}{x-1} \\ f \left( \frac{1}{\sqrt{x-1}} \right) & = \frac{2x-1}{x-1} \\ f ( p ) & = \frac{2\left( \frac{1}{p^2} + 1 \right) -1}{\frac{1}{p^2} + 1 -1} \\ f ( p ) & = \left( \frac{2}{p^2} + 1 \right) . p^2 \\ f ( p ) & = p^2 + 2 \\ f ( x ) & = x^2 + 2 \\ \end{align} $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$\begin{align} 1 \leq & f(x) \leq 6 \\ 1 \leq & x^2 + 2 \leq 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kurang 2)} \\ 1 - 2 \leq & x^2 + 2 -2 \leq 6 -2 \\ -1 \leq & x^2 \leq 4 \end{align} $
-). Pertama : $ -1 \leq x^2 $ memiliki penyelesaian untuk semua bilangan real $ x $. $ HP_1 = \{ x \in R \} $
-). Kedua : $ x^2 \leq 4 $
$\begin{align} x^2 & \leq 4 \\ x^2 - 4 & \leq 0 \\ (x+2)(x-2) & \leq 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
Garis bilangannya :
 

$ HP_2 = \{ -2 \leq x \leq 2 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 = \{ x \in R \} \cap \{ -2 \leq x \leq 2 \} \\ & = \{ -2 \leq x \leq 2 \} \end{align} $
Jadi, penyelesaiannya : $ \{ -2 \leq x \leq 2 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 526

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_1 $ dan $ x_2 $ merupakan akar-akar $ x^2 + 2ax + b^2 = 0 $. Jika $ x_1^2 + x_2^2 = 10 $ , maka nilai $ b^2 $ adalah ...
A). $ 4a^2 + 10 \, $ B). $ 4a^2 - 10 \, $
C). $ 2a^2 + 5 \, $ D). $ 2a^2 - 5 \, $
E). $ -2a^2 + 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) $ \, \, \, ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
*). Operasi akar-akar PK :
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
Rumus bantu : $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 + 2ax + b^2 = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-2a}{1} = -2a $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{b^2}{1} = b^2 $
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = 10 \\ (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 & = 10 \\ (-2a)^2 - 2b^2 & = 10 \\ 4a^2 - 2b^2 & = 10 \\ 2b^2 & = 4a^2 - 10 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ b^2 & = 2a^2 - 5 \end{align} $
Jadi, bentuk $ b^2 = 2a^2 - 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 526

Soal yang Akan Dibahas
Titik $ (a,b) $ terletak pada grafik $ y = bx^2 + (1-b^2)x - 56 $. Jika $ a - b =7 $ , maka nilai $ ab $ adalah ...
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika suatu titik dilalui oleh grafik/kurva (atau titik berada pada kurva) , maka titik tersebut bisa langsung disubstitusikan ke fungsinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (a,b) $ ke fungsinya dan gunakan $ a - b = 7 $ :
$\begin{align} (x,y)=(a,b) \rightarrow y & = bx^2 + (1-b^2)x - 56 \\ b & = b.a^2 + (1-b^2).a - 56 \\ b & = ba^2 + a - ab^2 - 56 \\ 0 & = ba^2 - ab^2 + a - b - 56 \\ 0 & = ab(a-b) + a - b - 56 \\ 0 & = ab.7 + 7 - 56 \\ 7ab & = 49 \\ ab & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 526

Soal yang Akan Dibahas
Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmetika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua tetap, serta bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikali 2, maka terbentuk suatu barisan geometri. Jika beda suku-suku pada barisan aritmatika adalah 2, maka jumlah empat bilangan pertama pada barisan geometri tersebut adalah ...
A). $ 8 \, $ B). $ 20 \, $ C). $ 24 \, $ D). $ 30 \, $ E). $ 36 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Diketahui barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
*). Barisan aritmetika memiliki selisih dua suku berdekatan sama.
$ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = u_4 - u_3 = u_5 - u_4 = ... $
*). Barisan geometri memiliki perbandingan dua suku berdekatan sama.
$ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = \frac{u_5}{u_4} = .... $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui beda dari barisan aritmetika $ = 2 $ , sehingga 4 suku barisan aritmetikanya yaitu :
$ a, a + 2, a + 4 , a + 6 $
*). Barisan aritmetika di atas mengalami perubahan sehingga membentuk barisan geometri yaitu :
$ a, a + 2, a+4 + a, 2(a+6) $
$ a, a + 2, 2a+4, 2a+ 12 $
*). Menentukan nilai $ a $ dari barisan geometrinya :
$\begin{align} \frac{u_2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ \frac{a+2}{a} & = \frac{2a+4}{a+2} \\ a(2a+4) & = (a+2)^2 \\ 2a^2 + 4a & = a^2 + 4a + 4 \\ a^2 & = 4 \\ a & = 2 \end{align} $
-). Sehingga barisan geometrinya :
$ a, a + 2, 2a+4, 2a+ 12 $
$ 2, 4, 8, 16 $
*). Menentukan jumlah keempat suku barisan geometrinya :
$\begin{align} \text{jumlah } & = 2 + 4 + 8 + 16 = 30 \end{align} $
Jadi, jumlah suku-sukunya adalah $ 30 . \, \heartsuit $

Pembahasan SPL SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 526

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sistem persamaan linier $ x + 2y = a $ dan $ 2x-y=3 $. Jika $ a $ merupakan bilangan positif terkecil sehingga sistem persamaan linier tersebut mempunyai penyelesaian bilangan bulat $ x = x_0 $ dan $ y = y_0 $, maka nilai $ x_0 + y_0 $ adalah ...
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL) :
Untuk menyelesaikan SPL, bisa menggunakan eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
-). Menentukan nilai $ x $
$ \begin{array}{c|c|cc} x + 2y = a & \times 1 & x + 2y = a & \\ 2x - y=3 & \times 2 & 4x-2y = 6 & + \\ \hline & & 5x = a + 6 & \\ & & x = \frac{a + 6}{5} & \\ \end{array} $
-). Menentukan nilai $ y $
$ \begin{array}{c|c|cc} x + 2y = a & \times 2 & 2x + 4y = 2a & \\ 2x - y=3 & \times 1 & 2x-y = 3 & - \\ \hline & & 5y = 2a - 3 & \\ & & y = \frac{2a - 3}{5} & \\ \end{array} $
Kita peroleh : $ x = \frac{a + 6}{5} $ dan $ y = \frac{2a - 3}{5} $
*). Agar $ \frac{a + 6}{5} $ dan $ \frac{2a - 3}{5} $ bulat, maka nilai $ a $ positif terkecil yang memenuhi adalah $ a = 4 $.
$\begin{align} x & = \frac{a + 6}{5} = \frac{4 + 6}{5} = \frac{10}{5} = 2 \\ y & = \frac{2a - 3}{5} = \frac{2.4 - 3}{5} = \frac{5}{5} = 1 \end{align} $
Artinya nilai $ x_0 = 2 $ dan $ y_0 = 1 $
*). Menentukan nilai $ x_0 + y_0 $ :
$\begin{align} x_0 + y_0 & = 2 + 1 = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ x_0 + y_0 = 3 . \, \heartsuit $