Pembahasan Himpunan Logika UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan P = { Adi, Bagus} dan Q = { Ani, Beta }. Jika $ p(x,y) $ menyatakan $ x $ adalah teman sekelas dengan $ y $ , maka pernyataan $ \forall x \in P , \exists y \in Q, p(x,y) $ , berarti ...
A). Adi teman sekelas dengan Ani dan Beta
B). Bagus teman sekelas dengan Ani
C). Bagus teman sekelas dengan Beta
D). Adi teman sekelas dengan Ani atau Beta
E). Adi dan Bagus teman sekelas dengan Ani dan Beta

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Ada beberapa isitilah dalam himpunan dan logika :
$ \forall x \, $ dibaca "setiap/seluruh/semua"
$ \in \, $ dibaca "anggota"
$ \exists \, $ dibaca "ada/terdapat"
Huruf kapitas menyatakan nama himpunan.
Contoh : $ P = \{ 1, 2,3 \} $
artinya himpunan P beranggotakan 1, 2, dan 3.
*). Dalam logika matematika, kata atau arinya boleh salah satu atau kedua-duanya.
Misalkan :
Ibu guru meminta siswa membawa pensil atau pulpen,
arti pernyataan ini adalah siswa boleh membawa pensil saja, atau membawa pulpen saja, atau membawa keduanya sekaligus yaitu pensil dan pulpen.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Arti dari simbol pada soal :
-). $ \forall x \in P \, $ dibaca "setiap $ x $ anggota himpunan P
-). $ \exists y \in Q \, $ dibaca "terdapat $ y $ anggota himpunan Q.
-). $ p(x,y) \, $ artinya $ x $ adalah teman sekelas dengan $ y $ (pengertian yang diberikan di soal).
*). Penjelasan simbol total pada soal :
Simbolnya : $ \forall x \in P , \exists y \in Q, p(x,y) $
-). Setiap anggota himpunan P pasti memiliki teman sekelas pada himpunan Q.
-). Karena ada kata "terdapat" pada himpunan Q, artinya satu orang di himpunan P pasti memiliki teman sekelas di himpunan Q, hanya saja di Q bisa satu orang atau lebih.
Misalkan :
Adi teman sekelas dengan Ani, atau
Adi teman sekelas dengan Beta, atau
Adi teman sekelas dengan Ani dan Beta.
-). Berdasarkan penjelasan di atas, maka jawaban yang cocok adalah option D yaitu "Adi teman sekelas dengan Ani atau Beta". Arti dari pernyataan ini adalah Adi teman sekelas dengan Ani saja, atau Adi teman sekelas dengan Beta saja , atau Adi teman sekelas dengan Ani dan Beta.
-). Penyangkalan untuk option yang lain :
Option (A) : Adi bisa berteman dengan salah satunya saja (tidak harus keduanya)
Option (B) : Bagus juga bisa berteman dengan Beta (tidak selalu dengan Ani)
Option (C) : Bagus juga bisa berteman dengan Ani (tidak selalu dengan Beta)
Option (E) : Mereka tidak selalu berteman dengan Ani dan Beta namun bisa juga dengan salah satunya.
Jadi, jawaban yang paling cocok adalah option (D) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Basis Bilangan UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a_1, a_2, a_3, ... , a_n $ adalah bilangan-bilangan asli berlainan yang memenuhi $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $ , maka nilai $ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = ... $
A). $ 44 \, $ B). $ 45 \, $ C). $ 46 \, $ D). $ 47 \, $ E). $ 48 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep Basis Bilangan :
*). Bilangan yang biasa kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah dalam bentuk basis 10. Contoh sederhana : 123 adalah bentuk basis 10 yang bisa kita tulis $ [123]_{10} $ yang dapat kita jabarkan menjadi :
$ [123]_{10} = 1\times 10^2 + 2\times 10^1 + 3 \times 10^0 = 10^2 + 2 \times 10 + 3 $ .
Selain bentuk basis 10, ternyata masih ada bentuk basis lainnya dimana bisa saling kita konversikan, misalnya basis 10 bisa kita konversikan ke basis 2 atau basis lainnya.
*). Bentuk umum basis bilangan :
$ [a_na_{n-1}...a_2a_1a_0]_b = a_n \times b^n + a_{n-1} \times b^{n-1} + ... + a_2 \times b^2 + a_1 \times b^1 + a_0 \times b^0 $
dengan $ a_n, a_{n-1}, ..., a_3,a_2,a_1,a_0 $ semuanya kurang dari $ b $.
Contoh 1 :
$ [101101]_2 = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 +1 \times 2^2 +0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 $ $ [101101]_2 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45 $
artinya $ [101101]_2 = [45]_{10} $
*). Cara mengubah basis 10 ke basis lain yaitu dengan cara dibagi dan kita daftarkan sisa pembagiannya.
Contoh :
bilangan $ 45 $ akan kita ubah menjadi basis 2 yaitu $ [45]_{10} = [.....]_2 $
Jawab:
-). karena akan diubah ke basis 2, maka kita bagi 2 bilangan 45.
$ 45 : 2 \rightarrow $ hasil = 22 dan sisa = 1
$ 22 : 2 \rightarrow $ hasil = 11 dan sisa = 0
$ 11 : 2 \rightarrow $ hasil = 5 dan sisa = 1
$ 5 : 2 \rightarrow $ hasil = 2 dan sisa = 1
$ 2 : 2 \rightarrow $ hasil = 1 dan sisa = 0
Urutan penulisannya adalah hasil terakhir dilanjutkan dengan sisa dari paling bawah, sehingga hasilnya :
$ [45]_{10} = [101101]_2 $
Catatan : Seingat saya materi ini dipelajari bagi siswa yang mau ikut olimpiade matematika.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatika bentuk $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $, yang artinya kita harus mengubah angka 2018 ke dalam bentuk basis 2.
*). Proses mengubah 2018 ke dalam bentuk basis 2 :
$ 2018 : 2 \rightarrow $ hasil = 1009 dan sisa = 0
$ 1009 : 2 \rightarrow $ hasil = 504 dan sisa = 1
$ 504 : 2 \rightarrow $ hasil = 252 dan sisa = 0
$ 252 : 2 \rightarrow $ hasil = 126 dan sisa = 0
$ 126 : 2 \rightarrow $ hasil = 63 dan sisa = 0
$ 63 : 2 \rightarrow $ hasil = 31 dan sisa = 1
$ 31 : 2 \rightarrow $ hasil = 15 dan sisa = 1
$ 15 : 2 \rightarrow $ hasil = 7 dan sisa = 1
$ 7 : 2 \rightarrow $ hasil = 3 dan sisa = 1
$ 3 : 2 \rightarrow $ hasil = 1 dan sisa = 1
Sehingga hasilnya : $ 2018 = [11111100010]_2 $
*). Kita ubah menjadi bentuk pangkat :
$ \begin{align} 2018 & = [11111100010]_2 \\ 2018 & = 1 \times 2^{10} + 1 \times 2^9 + 1 \times 2^8+ 1 \times 2^7 + 1 \times 2^6 + 1 \times 2^5 \\ & = + 0 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 \\ 2018 & = 2^{10} + 2^9 + 2^8+ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 0 + 0 + 0 + 2^1 + 0 \\ 2018 & = 2^{10} + 2^9 + 2^8+ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^1 \end{align} $
*). Sesuai bentuk $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $ dan bentuk pangkat di atas, maka kita peroleh :
$ a_1 = 10, a_2 = 9 , a_3 = 8 , a_4 = 7, a_5 = 6 , a_6 = 5, a_7 = 1 $
*). Menentukan jumlah pangkatnya :
$ \begin{align} \text{jumlah pangkatnya } & = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 1 = 46 \end{align} $
Jadi, jumlah pangkatnya adalah $ 46 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linier UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum fungsi $ f(x,y) = 5 - 4x + 3y $ untuk $ x $ dan $ y $ yang memenuhi $ -x + y \leq 1 $ , $ x + 2y \geq 5 $ , dan $ 2x + y \leq 10 $ adalah ...
A). $ -15 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 11 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum Program Linier:
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terbesar sebagai nilai maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ -x + y \leq 1 \rightarrow (0,1) , \, (-1,0) $
Garis II : $ x + 2y \geq 5 \rightarrow (0,\frac{5}{2}), \, (5,0) $
Garis III : $ 2x + y \leq 10 \rightarrow (0,10) , \, (8,0) $
Pers(I) : $ -x + y = 1 \rightarrow y = x + 1 $
 

*). Menentukan titik pojok A, B dan C :
-). Titik $ A(5,0) $
-). Titik B, substitusi pers(I) ke pers III :
$ 2x + y = 10 \rightarrow 2x + (x+1) = 10 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3 $
Pers(I): $ y = x + 1 = 3 + 1 = 4 $
Sehingga titik $ B (3,4) $.
-). Titik C, substitusi pers(I) ke pers II :
$ x + 2y = 5 \rightarrow x + 2(x+1) = 5 \rightarrow 3x = 3 \rightarrow x = 1 $
Pers(I): $ y = x + 1 = 1 + 1 = 2 $
Sehingga titik $ C (1,2) $.
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ f(x,y) = 5 - 4x + 3y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow f & = 5 - 4.5 + 3.0 = 5 - 20 = -15 \\ B \rightarrow f & = 5 - 4.3 + 3.4 = 5 - 12 + 12 = 5 \\ C \rightarrow f & = 5 - 4.1 + 3.2 = 5 - 4 + 6 = 7 \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logika UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang menyebabkan pernyataan : " Jika $ x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 $, maka pertidaksamaan $ x^2 + 3x - 3 < 0 $" bernilai SALAH adalah ...
A). $ 1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 1 \, $ dan $ - 2 $ E). $ -1 \, $ dan $ - 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Bentuk implikasi : Jika $ p $ maka $ q $ bernilai salah ketika $ p $ bernilai BENAR dan $ q $ bernilai SALAH.
*). Pemfaktoran beberapa bentuk :
$ab - b = b(a - 1 ) $.
$ a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan pernyataan berikut, dengan memisalkan :
Jika $ \, \underbrace{x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0}_{p} $ , maka $ \, \underbrace{x^2 + 3x - 3 < 0}_{q} $
Artinya pernyataan pada soal diubah menjadi : Jika $ p $ maka $ q $.
dengan $ p : x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 $ dan $ q : x^2 + 3x - 3 < 0 $ .
*). Pernyataan "jika $ p $ maka $ q $" bernilai salah ketika $ p $ bernilai BENAR dan $ q $ bernilai SALAH.
-). $ p $ bernilai benar, artinya kita cari nilai $ x $ (akar-akar) yang memenuhi persamaan $ x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 $.
$ \begin{align} x^3 + 2x^2 - x - 2 & = 0 \\ x^2(x + 2) - x - 2 & = 0 \\ x^2(x + 2) - (x + 2) & = 0 \\ (x + 2)(x^2 - 1) & = 0 \\ (x + 2)(x - 1)(x + 1) & = 0 \\ x = -2, x = 1, x & = -1 \end{align} $
sehingga nilai $ p $ akan BENAR untuk $ x = -2, x = 1, x = -1 $.
-). $ q $ bernilai SALAH jika $ x $ yang kita substitusi tidak memenuhi pertidaksamaan $ x^2 + 3x - 3 < 0 $ .
$ \begin{align} x = -2 \rightarrow x^2 + 3x - 3 & < 0 \\ (-2)^2 + 3.(-2) - 3 & < 0 \\ -5 & < 0 \, \, \, \text{(BENAR)} \\ x = 1 \rightarrow x^2 + 3x - 3 & < 0 \\ 1^2 + 3.1 - 3 & < 0 \\ 1 & < 0 \, \, \, \text{(SALAH)} \\ x = -1 \rightarrow x^2 + 3x - 3 & < 0 \\ (-1)^2 + 3.(-1) - 3 & < 0 \\ -5 & < 0 \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Sehingga yang membuat $ q $ salah adalah $ x = 1 $.
Jadi, nilai $ x $ yang dimaksud adalah $ x = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ tidak mempunyai akar real, maka grafik fungsi $ y = ax^2 + bx + c $ menyinggung garis $ y = -x $ bilamana ...
A). $ b < -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{2} < b < 0 $ C). $ b > -\frac{1}{2} $
D). $ 0 < b < \frac{1}{2} $ E). $ b > 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat $ \, ax^2 + bx + c = 0 $ tidak memiliki akar real syaratnya $ D < 0 $
*). Grafik fungsi kuadrat dan garis bersinggungan memiliki syarat $ D = 0 $
dimana $ D = b^2 - 4ac $.
*). Ketaksamaan dibalik jika dibagi atau dikali bilangan negatif.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ tidak mempunyai akar real
$ \begin{align} \text{Syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). FK $ y = ax^2 + bx + c $ menyinggung garis $ y = -x $
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ ax^2 + bx + c & = -x \\ ax^2 + bx + x + c & = 0 \\ ax^2 + ( b + 1) x + c & = 0 \\ \text{ Syarat menyinggung : } D & = 0 \\ (b+1)^2 - 4.a.c & = 0 \\ 4ac & = (b+1)^2 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (ii) ke (i)
$ \begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ b^2 - (b+1)^2 & < 0 \\ b^2 - (b^2 + 2b + 1) & < 0 \\ b^2 - b^2 - 2b - 1 & < 0 \\ - 2b - 1 & < 0 \\ - 2b & < 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -2)} \\ b & > -\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ b > -\frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gaji karyawan suatu perusahaan digolongkan menurut golongan I, II, dan III, dengan jumlah karyawan berturut-turut 6, 8 dan 4 orang. Gaji karyawan golongan I adalah 2 juta kurangnya dari gaji karyawan golongan II, sedangkan gaji karyawan golongan III adalah 3 juta lebihnya dari gaji karyawan golongan II. Jika gaji rata-rata semua karyawan adalah 6 juta, maka gaji rata-rata gabungan golongan I dan III adalah ... juta.
A). $ 5 \, $ B). $ 5,4 \, $ C). $ 5,5 \, $ D). $ 5,8 $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus rata-rata $ (\overline{X} ) $ :
$ \overline{X} = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan besar gaji masing-masing golongan untuk setiap orangnya :
Golongan I sebesar $ a $, Golongan II sebesar $ b $ , dan Golongan III sebesar $ c $.
*). Menyusun persamaan :
-). golongan I adalah 2 juta kurangnya dari gaji karyawan golongan II
$ a = b - 2 \, $ ....(i)
-). golongan III adalah 3 juta lebihnya dari gaji karyawan golongan II
$ c = b + 3 \, $ ....(ii)
-). gaji rata-rata semua karyawan adalah 6 juta
$ \begin{align} \frac{\text{total gaji}}{\text{total orang}} & = 6 \\ \frac{6a + 8b + 4c}{6 + 8 + 4} & = 6 \\ \frac{6a + 8b + 4c}{18} & = 6 \\ 6a + 8b + 4c & = 108 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 3a + 4b + 2c & = 54 \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \\ \end{align} $
*). Substitusi pers(i) dan (ii) ke (iii) :
$ \begin{align} 3a + 4b + 2c & = 54 \\ 3(b-2) + 4b + 2(b+3) & = 54 \\ 3b - 6 + 4b + 2b + 6 & = 54 \\ 9b & = 54 \\ b & = 6 \end{align} $
Sehingga nilai yang lainnya :
$ a = b - 2 = 6 - 2 = 4 $
$ c = b + 3 = 6 + 3 = 9 $
*). Menentukan rata-rata gaji golongan I dan III
$ \begin{align} \overline{X}_{\text{I dan II}} & = \frac{\text{total gaji I + total gaji III}}{\text{total orang I + III}} \\ & = \frac{6a + 4c}{6+4} = \frac{6.4 + 4.9}{10} \\ & = \frac{24 + 36}{10} = \frac{60}{10} = 6 \end{align} $
Jadi, rata-rata gaji golongan I dan III adalah 6 juta $ . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Bentuk Akar UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Bentuk sederhana dari $ 78 \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) $ adalah ...
A). $ 234 \, $ B). $ 312 \, $ C). $ 468 $ D). $ 546 $ E). $ 624 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{a.b} $
$ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2.b} $
*). Sifat bentuk akar dalam akar :
$ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
$ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} $
dengan $ a \geq b $
Contoh :
$ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(5+2) + 2\sqrt{5.2}} = \sqrt{5} + \sqrt{2} $
$ \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(5+2) - 2\sqrt{5.2}} = \sqrt{5} - \sqrt{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} & 78 \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) \\ & = 78 \left( \sqrt{17+2.6\sqrt{2}} + \sqrt{17-2.6\sqrt{2}} \right) \\ & = 78 \left( \sqrt{17+2 \sqrt{6^2.2}} + \sqrt{17-2\sqrt{6^2.2}} \right) \\ & = 78 \left( \sqrt{17+2 \sqrt{72}} + \sqrt{17-2\sqrt{72}} \right) \\ & = 78 \left( \sqrt{(9+8)+2 \sqrt{9.8}} + \sqrt{(9+8)-2\sqrt{9.8}} \right) \\ & = 78 \left( (\sqrt{9} + \sqrt{8}) + (\sqrt{9} - \sqrt{8}) \right) \\ & = 78 \left( (3 + \sqrt{8}) + (3 - \sqrt{8}) \right) \\ & = 78 \left( 6 \right) = 468 \end{align} $
Jadi, nilai $ 78\left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) = 468 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bentuk Akar UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Bentuk sederhana dari $ 78 \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) $ adalah ...
A). $ 234 \, $ B). $ 312 \, $ C). $ 468 $ D). $ 546 $ E). $ 624 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat eksponen dan bentuk akar :
$ a^2 = b \rightarrow a = b^\frac{1}{2} = \sqrt{b} $
$ (\sqrt{a})^2 = a $
$ (a+ b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{a.b} $
$ (a + b\sqrt{c})(a - b\sqrt{c}) = a^2 - b^2.c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasil $ \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) $ :
misalkan $ t = \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) $
$ \begin{align} t^2 & = \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right)^2 \\ & = \sqrt{17+12\sqrt{2}} ^2 + \sqrt{17-12\sqrt{2}} ^2 + 2 \sqrt{17+12\sqrt{2}} . \sqrt{17-12\sqrt{2}} \\ & = 17+12\sqrt{2} + 17-12\sqrt{2} + 2 \sqrt{(17+12\sqrt{2}).(17-12\sqrt{2})} \\ & = 34 + 2 \sqrt{17^2 - 12^2.2} \\ & = 34 + 2 \sqrt{289 - 288} \\ & = 34 + 2 \sqrt{1} \\ & = 34 + 2 .1 \\ t^2 & = 36 \\ t & = \sqrt{36} \\ t & = 6 \end{align} $
sehingga nilai $ \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) = t = 6 $
*). Hasil akhirnya :
$ \begin{align} 78 \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) & = 78 \times 6 = 468 \end{align} $
Jadi, nilai $ 78\left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) = 468 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah tim sepak bola terdiri dari 15 orang termasuk Adi dan Bagus. Peluang tim yang dapat dibentuk jika Adi dan Bagus harus masuk tim adalah ...
A). $ \frac{3}{13} \, $ B). $ \frac{3}{11} \, $ C). $ \frac{3}{7} \, $ D). $ \frac{10}{21} \, $ E). $ \frac{11}{21} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Peluang kejadian A $ P(A) $ :
$ \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (ruang sampel)
*). Rumus kombinasi : $ C^n_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
dengan $ n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1 $
Contoh $ 3! = 3.2.1 = 6 $ dan $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 $
*). Kombinasi digunakan untuk kejadian yang tidak memperhatikan urutan.
Misalkan pembentukan sebuah tim, AB dengan BA tetap dihitung sama yaitu satu tim saja.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada 15 orang yang akan dipilih sebagai sebuah tim sepak bola yang terdiri dari 11 orang. Sehingga semua kejadian yang mungkin :
$ \begin{align} n(S) & = C^{15}_{11} = \frac{15!}{(15-11)!.11!} = \frac{15!}{4!.11!} \\ & = \frac{15.14.13.12}{4.3.2.1} = 15 \times 7 \times 13 \end{align} $
*). Menentukan banyak kejadian yang diharapkan $ n(A) $ :
-). Adi dan Bagus harus selalu ikut, artinya dua orang sudah pasti terpilih atau dua orang tersebut harus ada pada setiap tim sepak bola yang terbentuk.
-). Karena dua orang sudah terpilih, maka tinggal memilih sisanya yaitu 9 orang (agar berjumlah 11 orang).
-). dari keseluruhan 15 orang, sudah terpilih 2 orang (Adi dan Bagus), sehingga tersisa 13 orang yang bisa dipilih untuk melengkapi 9 orang yang akan kita pilih.
-). Banyak caranya memilih 9 orang dari 13 orang yang tersedia :
$ \begin{align} n(S) & = C^{13}_{9} = \frac{13!}{(13-9)!.9!} = \frac{13!}{4!.9!} \\ & = \frac{13.12.11.10}{4.3.2.1} = 13 \times 11 \times 5 \end{align} $
*). Menentukan Peluangnya :
$ \begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{13 \times 11 \times 5}{15 \times 7 \times 13} = \frac{11}{21} \end{align} $
Jadi, peluangnnya adalah $ \frac{11}{21} . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Fungsi Invers UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $ untuk $ x \neq 2 $. Jika $ f^{-1}(4) = 1 $ , maka nilai $ f(3) = ...$
A). $ -10 \, $ B). $ -8 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi Invers :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1} (B) $
atau
$ f^{-1} (P) = Q \rightarrow P = f(Q) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f^{-1}(4) = 1 $ :
$ \begin{align} f^{-1}(4) & = 1 \\ 4 & = f(1) \\ 4 & = \frac{a.1+1}{2-1} \\ 4 & = \frac{a+1}{1} \\ 4 & = a + 1 \\ 3 & = a \end{align} $
sehingga $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} = \frac{3x+1}{2-x} $
*). Menetukan nilai $ f(3) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{3x+1}{2-x} \\ f(3) & = \frac{3.3+1}{2-3} \\ & = \frac{10}{-1} = -10 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(3) = -10 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi Invers UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $ untuk $ x \neq 2 $. Jika $ f^{-1}(4) = 1 $ , maka nilai $ f(3) = ...$
A). $ -10 \, $ B). $ -8 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Invers fungsi pecahan :
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx + b}{cx - a} $
atau
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{dx - b}{-cx + a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $
$ \begin{align} f(x) & = \frac{ax+1}{2-x} \\ f(x) & = \frac{ax+1}{-x+2} \\ f^{-1} (x) & = \frac{2x - 1}{x + a} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f^{-1}(4) = 1 $ :
$ \begin{align} f^{-1}(4) & = 1 \\ \frac{2.4 - 1}{4 + a} & = 1 \\ \frac{7}{4 + a} & = 1 \\ 4 + a & = 7 \\ a & = 3 \end{align} $
sehingga $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} = \frac{3x+1}{2-x} $
*). Menetukan nilai $ f(3) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{3x+1}{2-x} \\ f(3) & = \frac{3.3+1}{2-3} \\ & = \frac{10}{-1} = -10 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(3) = -10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Invers UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $ untuk $ x \neq 2 $. Jika $ f^{-1}(4) = 1 $ , maka nilai $ f(3) = ...$
A). $ -10 \, $ B). $ -8 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
(ubah $ x $ dalam bentuk $ y $ )

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $
$ \begin{align} f(x) & = \frac{ax+1}{2-x} \\ y & = \frac{ax+1}{2-x} \\ y(2-x) & = ax + 1 \\ 2y - xy & = ax + 1 \\ ax + xy & = 2y - 1 \\ x(y + a) & = 2y - 1 \\ x & = \frac{2y - 1}{y + a} \\ f^{-1} (x) & = \frac{2x - 1}{x + a} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f^{-1}(4) = 1 $ :
$ \begin{align} f^{-1}(4) & = 1 \\ \frac{2.4 - 1}{4 + a} & = 1 \\ \frac{7}{4 + a} & = 1 \\ 4 + a & = 7 \\ a & = 3 \end{align} $
sehingga $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} = \frac{3x+1}{2-x} $
*). Menetukan nilai $ f(3) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{3x+1}{2-x} \\ f(3) & = \frac{3.3+1}{2-3} \\ & = \frac{10}{-1} = -10 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(3) = -10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada pada kurva $ x = y^2 $ dan menyinggung sumbu Y adalah ...
A). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 = 0 $
B). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by - b^2 = 0 $
C). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^4 = 0 $
D). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by - b^4 = 0 $
E). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 + b^4 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Lingkaran berpusat $ ( a,b) $ menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya $ r = a $ . Begitu juga sebaliknya, jika menyinggung sumbu X maka jari-jarinya $ r = b $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan pusat lingkarannya $ (a,b) $. Karena lingkaran menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya $ r = a $.
*). Substitusi pusat $ (a,b) $ ke kurva $ x = y^2 $ :
$ \begin{align} (x,y) = (a,b) \rightarrow a & = b^2 \end{align} $
Sehingga jari-jarinya :
$ r = a = b^2 $
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) $ dan $ r = b^2 $ :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-b^2)^2 + (y-b)^2 & = (b^2)^2 \\ x^2 - 2b^2x + b^4 + y^2 - 2by + b^2 & = b^4 \\ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 = 0 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Suku Banyak UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku banyak $ x^4 - 2x^2 + 1 $ dapat difaktorkan menjadi $ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $ , maka nilai $ a + b + c + d = ...$
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep kesamaan(ekuivalen) pada suku banyak
Dua bentuk suku banyak dikatakan sama jika setiap koefisien suku-suku sejenis nilainya sama.
Contoh :
$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = fx^4 + gx^3 + hx^2 + ix + j $
kesamaannya : $ a = f, b = g, c = h, d = i $ dan $ e = j $.
*). Bentuk pemfaktoran :
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ x^4 - 2x^2 + 1 $ dapat difaktorkan menjadi $ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $, artinya :
$ \begin{align} x^4 - 2x^2 + 1 & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x^2 - 1)^2 & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x^2 - 1)(x^2 - 1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ x^2 - 1 = x^2 + ax + b \rightarrow a = 0 , b = -1 $
$ x^2 - 1 = x^2 + cx + d \rightarrow c = 0 , d = -1 $
Sehingga nilai $ a + b + c + d = 0 + (-1) + 0 + (-1 ) = -2 $
*). Bentuk $ (x^2 - 1)(x^2 - 1) $ dapat kita ubah :
$ \begin{align} (x^2 - 1)(x^2 - 1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x+1)(x-1).(x+1)(x-1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x+1)(x+1).(x-1)(x-1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ (x^2 + 2x + 1).(x^2 - 2x + 1) & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ x^2 + 2x + 1 = x^2 + ax + b \rightarrow a = 2 , b = 1 $
$ x^2 -2x + 1 = x^2 + cx + d \rightarrow c = -2 , d = 1 $
Sehingga nilai $ a + b + c + d = 2 + 1 + (-2) + 1 = 2 $
Jadi, ada dua jawaban yaitu $ 2 $ dan $ - 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku banyak $ x^4 - 2x^2 + 1 $ dapat difaktorkan menjadi $ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $ , maka nilai $ a + b + c + d = ...$
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep kesamaan(ekuivalen) pada suku banyak
Dua bentuk suku banyak dikatakan sama jika setiap koefisien suku-suku sejenis nilainya sama.
Contoh :
$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = fx^4 + gx^3 + hx^2 + ix + j $
kesamaannya : $ a = f, b = g, c = h, d = i $ dan $ e = j $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ x^4 - 2x^2 + 1 $ dapat difaktorkan menjadi $ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $, artinya :
$ \begin{align} x^4 - 2x^2 + 1 & = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \\ x^4 - 2x^2 + 1 & = x^4+cx^3+dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd \\ x^4 + 0x^3 - 2x^2 + 0x + 1 & = x^4+(a+c)x^3 + (b + d + ac)x^2 + (ad+bc)x+ bd \end{align} $
Kita peroleh kesamaan :
$ a + c = 0 , b + d + ac = -2 , ad + bc = 0 $ , dan $ bd = 1 $.
*). Karena koefisien-koefisien dari $ x^4 - 2x^2 + 1 $ bilangan bulat, maka nilai $ a $, $ b $ , $ c $ , dan $ d $ juga semuanya bilangan bulat.
*). Dari bentuk $ bd = 1 $ , maka ada dua kemungkinan nilai $ b $ dan $ d $ yaitu $ b = d = 1 $ atau $ b = d = -1 $.
*). Menentukan nilai $ a + b + c + d $ dengan $ a + c = 0 $ dan nilai $ b $ dan $ d $ :
-). Nilai $ b = d = 1 $
$ a + b + c + d = (a + c) + b + d = 0 + 1 + 1 = 2 $
-). Nilai $ b = d = -1 $
$ a + b + c + d = (a + c) + b + d = 0 + (-1) + (-1) = -2 $
Sehingga nilai $ a + b + c + d $ ada dua yaitu 2 dan $ -2 $.
Jadi, ada dua jawaban yaitu $ 2 $ dan $ - 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] $. Jika $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 $ , maka nilai $ det (f(A)) = ... $
A). $ -224 \, $ B). $ -262 \, $ C). $ -300 \, $ D). $ -324 \, $ E). $ -376 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Determinan matriks :
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow det(A) = ad - bc $
*). Operasi pada matriks :
-). Perkalian matriks $ = $ baris $ \times $ kolom.
-). Perkalian skalar = kalikan bilangan dengan semua unsur pada matriks
-). Jumlah atau kurang : operasikan unsur-unsur yang seletak.
*). Karena matriks tidak bisa dijumlahkan atau dikurangkan dengan skalar (bilangan), maka jika pada fungsi terdapat konstanta maka konstanta tersebut kita tambahkan matriks identitas yang bisa kita sebut sebagai matriks konstanta (misalkan $ 2I, 3I, 4I, $ dan lainnya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks : $ A = \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] $
*). Menentukan hasil perkalian matriks :
$ \begin{align} A^2 & = A.A = \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -2.-2 + 3.1 & -2.3 + 3.2 \\ 1.-2 + 2.1 & 1.3 + 2.2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right] \\ A^3 & = A^2 . A = \left[ \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right]. \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -14 & 21 \\ 7 & 14 \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menyusun Matriks pada fungsi $ f(x) $ :
Matriks identitas : $ I = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] $
$ \begin{align} f(x) & = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 \\ f(A) & = A^3 - 2A^2 + 3A - 4I \\ & = \left[ \begin{matrix} -14 & 21 \\ 7 & 14 \end{matrix} \right] - 2\left[ \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right] + 3\left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] - 4\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -14 & 21 \\ 7 & 14 \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} 14 & 0 \\ 0 & 14 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} -6 & 9 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -14-14+(-6)-4 & 21-0+9-0 \\ 7-0+3-0 & 14-14+6-4 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -38 & 30 \\ 10 & 2 \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menentukan determinan matriksnya :
$ \begin{align} f(A) & = \left[ \begin{matrix} -38 & 30 \\ 10 & 2 \end{matrix} \right] \\ det(f(A)) & = (-38).2 - 30.10 = -76-300 = -376 \end{align} $
Jadi, determinannya adalah $ -376 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $ cm. Titik Q dan R masing-masing adalah titik tengah CD dan CB. Jika T adalah perpotongan QR dan AC, dan S adalah proyeksi T pada bidang AFH, maka panjang AS sama dengan ...
A). $ \frac{a}{8}\sqrt{6} \, $ B). $ \frac{a}{4}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{a}{3}\sqrt{6} \, $ D). $ \frac{a}{2}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{a}{2}\sqrt{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a} . \sqrt{b} $ dan $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras.
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \, $ alas $ \times $ tinggi.
*). Hasil proyeksi titik A ke sebuah bidang adalah sebuah titik S pada bidang dimana garis AS tegak lurus dengan bidangnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

Panajng rusuk kubus $ = a $
-). Panjang $ AC = a\sqrt{2} $ dan $ UV = a $
-). Panjang $ EU = \frac{1}{2}EG = \frac{1}{2}a\sqrt{2} $
-). Perhatikan alas kubus yaitu ABCD.
Panjang $ AT = \frac{3}{4}AC = \frac{3}{4}a\sqrt{2} $
-). Segitiga AEU siku-siku di E :
$ \begin{align} AU & = \sqrt{AE^2 + EU^2} = \sqrt{a^2 + \left( \frac{1}{2}a\sqrt{2} \right)^2} \\ & = \sqrt{a^2 + \frac{2a^2}{4} } = \sqrt{\frac{4a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} } \\ & = \frac{6a^2}{4} = \frac{a}{2}\sqrt{6} \end{align} $
*). Panjang ST pada segitiga ATU dengan konsep luas segitiga ATU :
$ \begin{align} \text{Luas ATU (alas AU) } & = \text{ Luas ATU (alas AT) } \\ \frac{1}{2}.AU. ST & = \frac{1}{2}.AT.UV \\ AU. ST & = AT.UV \\ \frac{a}{2}\sqrt{6} . ST & = \frac{3}{4}a\sqrt{2} . a \\ ST & = \frac{\frac{3}{4}a\sqrt{2} . a}{\frac{a}{2}\sqrt{6}} \\ & = \frac{3}{2\sqrt{3}}a = \frac{a}{2}\sqrt{3} \end{align} $
*). Panjang AS pada segitiga AST siku-siku di S :
$ \begin{align} AS & = \sqrt{ AT^2 - ST^2} \\ & = \sqrt{ \left( \frac{3}{4}a\sqrt{2} \right)^2 - \left( \frac{a}{2}\sqrt{3} \right)^2 } \\ & = \sqrt{ \frac{18a^2}{16} - \frac{3a^2}{4} } \\ & = \sqrt{ \frac{18a^2}{16} - \frac{12a^2}{16} } \\ & = \sqrt{ \frac{6a^2}{16} } = \frac{a}{4} \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, panjang $ AS = \frac{a}{4} \sqrt{6} . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban di optionnya).

Pembahasan Barisan UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Pada awal tahun 2018 populasi sapi di kota A adalah 1.200 ekor dan di kota B adalah 400 ekor. Setiap bulan terjadi peningkatan pertumbuhan 15 ekor di kota A dan 10 ekor di kota B. Pada saat populasi sapi di kota A empat kali populasi sapi di kota B, populasi sapi di kota B adalah ... ekor
A). $ 500 \, $ B). $ 560 \, $ C). $ 590 \, $ D). $ 640 \, $ E). $ 700 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Barisan aritmetika adalah suatu barisan yang memiliki peningkatan yang sama dari satu suku ke suku berikutnya (selisih dua suku berdekatan selalu sama yang disebut beda).
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, \, u_n = a + (n-1)b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Kota A : $ a = 1200 , \, \, b = 15 $
$ \begin{align} u_{n(A)} & = a + (n-1) b \\ & = 1200 + (n-1).15 \\ & = 15n + 1185 \end{align} $
-). Kota B : $ a = 400 , \, \, b = 10 $
$ \begin{align} u_{n(B)} & = a + (n-1) b \\ & = 400 + (n-1).10 \\ & = 10n + 390 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ n $ :
$ \begin{align} \text{kota A } & = 4 \times \text{ kota B} \\ 15n + 1185 & = 4(10n + 390 ) \\ 15n + 1185 & = 40n + 1560 \\ 15n-40n & = 1560 - 1185 \\ -25n & = 357 \\ n & = -15 \end{align} $
*). Menentukan populasi di kota B dengan $ n = -15 $
$ \begin{align} u_{n(B)} & = 10n + 390 \\ & = 10.(-15) + 390 \\ & = -150 + 390 \\ & = 240 \end{align} $
Sehingga banyak populasi di kota B adalah 240 ekor.

Catatan :
-). Tidak ada jawabannya pada optionnya.
-). Ini artinya terjadi kekurangan/kesalahan pada soal karena seharusnya nilai $ n > 0 $ akan tetapi di sini kita peroleh nilai $ n $ negatif.
-). Akan terjadi 4 kali pada saat di kota B ada 240 ekor, artinya ini akan terjadi bukan beberapa bulan kedepannya akan tetapi telah terjadi beberapa bulan yang lalu ini dibuktikan dengan nilai $ n = -15 $ (negatif).

Jadi, tidak ada jawabannya pada soal ini $ . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UNDIP 2018 Matematika IPA


Nomor 1
Pada awal tahun 2018 populasi sapi di kota A adalah 1.200 ekor dan di kota B adalah 400 ekor. Setiap bulan terjadi peningkatan pertumbuhan 15 ekor di kota A dan 10 ekor di kota B. Pada saat populasi sapi di kota A empat kali populasi sapi di kota B, populasi sapi di kota B adalah ... ekor
A). $ 500 \, $ B). $ 560 \, $ C). $ 590 \, $ D). $ 640 \, $ E). $ 700 $
Nomor 2
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $ cm. Titik Q dan R masing-masing adalah titik tengah CD dan CB. Jika T adalah perpotongan QR dan AC, dan S adalah proyeksi T pada bidang AFH, maka panjang AS sama dengan ...
A). $ \frac{a}{8}\sqrt{6} \, $ B). $ \frac{a}{4}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{a}{3}\sqrt{6} \, $ D). $ \frac{a}{2}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{a}{2}\sqrt{6} $
Nomor 3
Diketahui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] $. Jika $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 $ , maka nilai $ det (f(A)) = ... $
A). $ -224 \, $ B). $ -262 \, $ C). $ -300 \, $ D). $ -324 \, $ E). $ -376 \, $
Nomor 4
Jika suku banyak $ x^4 - 2x^2 + 1 $ dapat difaktorkan menjadi $ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $ , maka nilai $ a + b + c + d = ...$
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $
Nomor 5
Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada pada kurva $ x = y^2 $ dan menyinggung sumbu Y adalah ...
A). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 = 0 $
B). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by - b^2 = 0 $
C). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^4 = 0 $
D). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by - b^4 = 0 $
E). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 + b^4 = 0 $

Nomor 6
Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $ untuk $ x \neq 2 $. Jika $ f^{-1}(4) = 1 $ , maka nilai $ f(3) = ...$
A). $ -10 \, $ B). $ -8 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 \, $
Nomor 7
Sebuah tim sepak bola terdiri dari 15 orang termasuk Adi dan Bagus. Peluang tim yang dapat dibentuk jika Adi dan Bagus harus masuk tim adalah ...
A). $ \frac{3}{13} \, $ B). $ \frac{3}{11} \, $ C). $ \frac{3}{7} \, $ D). $ \frac{10}{21} \, $ E). $ \frac{11}{21} $
Nomor 8
Bentuk sederhana dari $ 78 \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) $ adalah ...
A). $ 234 \, $ B). $ 312 \, $ C). $ 468 $ D). $ 546 $ E). $ 624 $
Nomor 9
Gaji karyawan suatu perusahaan digolongkan menurut golongan I, II, dan III, dengan jumlah karyawan berturut-turut 6, 8 dan 4 orang. Gaji karyawan golongan I adalah 2 juta kurangnya dari gaji karyawan golongan II, sedangkan gaji karyawan golongan III adalah 3 juta lebihnya dari gaji karyawan golongan II. Jika gaji rata-rata semua karyawan adalah 6 juta, maka gaji rata-rata gabungan golongan I dan III adalah ... juta.
A). $ 5 \, $ B). $ 5,4 \, $ C). $ 5,5 \, $ D). $ 5,8 $ E). $ 6 $
Nomor 10
Jika persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ tidak mempunyai akar real, maka grafik fungsi $ y = ax^2 + bx + c $ menyinggung garis $ y = -x $ bilamana ...
A). $ b < -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{2} < b < 0 $ C). $ b > -\frac{1}{2} $
D). $ 0 < b < \frac{1}{2} $ E). $ b > 0 $

Nomor 11
Nilai $ x $ yang menyebabkan pernyataan : " Jika $ x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 $, maka pertidaksamaan $ x^2 + 3x - 3 < 0 $" bernilai SALAH adalah ...
A). $ 1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 1 \, $ dan $ - 2 $ E). $ -1 \, $ dan $ - 2 $
Nomor 12
Nilai maksimum fungsi $ f(x,y) = 5 - 4x + 3y $ untuk $ x $ dan $ y $ yang memenuhi $ -x + y \leq 1 $ , $ x + 2y \geq 5 $ , dan $ 2x + y \leq 10 $ adalah ...
A). $ -15 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 11 $
Nomor 13
Jika $ a_1, a_2, a_3, ... , a_n $ adalah bilangan-bilangan asli berlainan yang memenuhi $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $ , maka nilai $ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = ... $
A). $ 44 \, $ B). $ 45 \, $ C). $ 46 \, $ D). $ 47 \, $ E). $ 48 $
Nomor 14
Misalkan P = { Adi, Bagus} dan Q = { Ani, Beta }. Jika $ p(x,y) $ menyatakan $ x $ adalah teman sekelas dengan $ y $ , maka pernyataan $ \forall x \in P , \exists y \in Q, p(x,y) $ , berarti ...
A). Adi teman sekelas dengan Ani dan Beta
B). Bagus teman sekelas dengan Ani
C). Bagus teman sekelas dengan Beta
D). Adi teman sekelas dengan Ani atau Beta
E). Adi dan Bagus teman sekelas dengan Ani dan Beta
Nomor 15
Diketahui $ x + y = \frac{\pi}{3} , \, x < 0 $ . Jika $ \tan x = \tan (\pi + y) $ , maka $ \sin ( x + 3y ) = ... $
A). $ -\frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $

Nomor 16
Diketahui suatu kurva melalui titik $ \left( -1, -\frac{1}{3} \right)$. Jika kemiringannya pada setiap titik $ x $ adalah kebalikan negatif dari kemiringan kurva dengan persamaan $ xy = 2 $ , maka persamaan kurva tersebut adalah ...
A). $ 6y - x^3 + 1 = 0 \, $
B). $ 12y - 3x^3 + 1 = 0 \, $
C). $ 3y - x^3 = 0 \, $
D). $ 6y - 3x^3 = 0 \, $
E). $ 15y - 3x^3 + 2 = 0 \, $
Nomor 17
Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva $ y = -x^2 + 2x $ dan garis singgung kurva di titik $ (2,0) $ sama dengan ...
A). $ 1\frac{1}{2} \, $ B). $ 1\frac{2}{3} \, $ C). $ 2\frac{1}{3} \, $ D). $ 2\frac{1}{2} \, $ E). $ 2\frac{2}{3} $
Nomor 18
Perbandingan jumlah karyawan pria dan wanita dalam suatu perusahaan adalah $ 2 : 3 $. Jika ada 10 karyawan pria yang baru dan 3 karyawan wanita yang keluar dari perusahaan ini, maka jumlah karyawan pria menjadi 10 kurangnya dari banyaknya karyawan wanita. Jumlah karyawan sebelumnya adalah ...
A). $ 115 \, $ B). $ 112 \, $ C). $ 110 \, $ D). $ 108 \, $ E). $ 105 $
Nomor 19
Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 13 = 0 $ dan menyinggung garis $ 3x + 4y + 9 = 0 $ mempunyai persamaan ...
A). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 12 = 0 \, $
Nomor 20
Jika kurva $ y = e^\sqrt{x} $ dicerminkan terhadap garis $ y = x $ kemudian ditranslasi dengan vektor translasi $ \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right] $. Maka kurva yang dihasilkan adalah ...
A). $ y = \ln (x^2 - 1) \, $
B). $ y = \ln (x^2 + 1) \, $
C). $ y = -1 + \ln ^2 (x + 1) \, $
D). $ y = 1 + \ln ^2 (x + 1) \, $
E). $ y = 1 + \ln ^2 (x - 1) $


Pembahasan Turunan SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 552

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x)=2x^2 + ax + 2 $ dan $ g(x) = ax^2 + 4x - 3 $. Jika $ p(x) = f(x) - g(x) $ dan $ q(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $ dengan $ p^\prime (0) = -3 $ , maka nilai $ q^\prime (0) $ adalah ...
A). $ -\frac{11}{9} \, $ B). $ -\frac{2}{3} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{11}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar turunan :
(1). $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
(2). $ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
(3). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
(4). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V - U . V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui :
$ f(x)= 2x^2 + ax + 2 \rightarrow f^\prime (x) = 4x + a $
$ g(x) = ax^2 + 4x - 3 \rightarrow g^\prime (x) = 2ax + 4 $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ p^\prime (0) = -3 $ :
$\begin{align} p(x) & = f(x) - g(x) \\ p^\prime (x) & = f^\prime (x) - g^\prime (x) \\ p^\prime (0) & = -3 \\ f^\prime (0) - g^\prime (0) & = -3 \\ (4.0 + a) - ( 2a.0 + 4) & = -3 \\ a - 4 & = -3 \\ a & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ q^\prime (0) $ dengan $ a = 1 $ :
$\begin{align} q(x) & = \frac{f(x)}{g(x)} \\ q^\prime (x) & = \frac{f^\prime (x) . g(x) - f(x) . g^\prime (x)}{[g(x)]^2} \\ q^\prime (x) & = \frac{(4x+a).(ax^2 + 4x - 3) - (2x^2 + ax + 2 ). (2ax+4)}{(ax^2 + 4x - 3)^2} \\ q^\prime (0) & = \frac{(4.0+a).(a.0^2 + 4.0 - 3) - (2.0^2 + a.0 + 2 ). (2a.0+4)}{(a.0^2 + 4.0 - 3)^2} \\ & = \frac{(a).(- 3) - (2 ). (4)}{( - 3)^2} \\ & = \frac{-3a - 8}{9} = \frac{-3.1-8}{9} = \frac{-11}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ q^\prime (0) = -\frac{11}{9} . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 552

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \left( \frac{x^4-1}{x^3 + x} \right)^2 dx = .... $
A). $ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{x} - 2x + C \, $
B). $ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{x} - 2x + C \, $
C). $ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{x} + 2x + C \, $
D). $ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{x} + x + C \, $
E). $ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{x} - x + C $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar integral :
$ \int \, ax^n \, dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + c $
*). Sifat pemfaktoran :
i). $ a^2-b^2 = (a+b)(a-b) $ dan $ a^4 - b^4 = (a^2+b^2)(a^2 - b^2) $
ii). $ ( a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasil integralnya :
$\begin{align} & \int \left( \frac{x^4-1}{x^3 + x} \right)^2 dx \\ & = \int \left( \frac{(x^2+1)(x^2-1)}{x(x^2+1)} \right)^2 dx \\ & = \int \left( \frac{x^2-1}{x} \right)^2 dx \\ & = \int \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 dx \\ & = \int \left( x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \right) dx \\ & = \int \left( x^2 + x^{-2} - 2 \right) dx \\ & = \frac{1}{2+1}x^{2+1} + \frac{1}{-2+1} x^{-2+1} - 2x + C \\ & = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{-1} x^{-1} - 2x + C \\ & = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{x} - 2x + C \end{align} $
Jadi, hasil $ \int \left( \frac{x^4-1}{x^3 + x} \right)^2 dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{x} - 2x + C . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 552

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(g(x)) + g(f(x)) = 2x $ dan $ f(g(x)) - g(f(x)) = 0 $ . Jika $ g(x-1) = \frac{1}{3x + 1} $ , maka $ f(x) = ...$
A). $ \frac{1+4x}{3x} \, $ B). $ \frac{3x}{1+4x} \, $ C). $ \frac{3x}{1-4x} \, $ D). $ \frac{1-4x}{3x} \, $ E). $ \frac{1-3x}{1+4x} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, dapat menggunakan eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} f(g(x)) + g(f(x)) = 2x & \\ f(g(x)) - g(f(x)) = 0 & + \\ \hline 2f(g(x)) = 2x & \\ f(g(x)) = x & \end{array} $
*). Menentukan fungsi $ g(x) $ :
Misalkan $ x - 1 = p \rightarrow x = p + 1 $
$\begin{align} g(x-1) & = \frac{1}{3x + 1} \\ g(p) & = \frac{1}{3(p+1) + 1} \\ g(p) & = \frac{1}{3p+4} \\ g(x) & = \frac{1}{3x+4} \end{align} $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
Misalkan $ \frac{1}{3x+4} = q \rightarrow 3x + 4 = \frac{1}{q} \rightarrow x = \frac{1-4q}{3q} $
$\begin{align} f(g(x)) & = x \\ f \left( \frac{1}{3x+4} \right) & = x \\ f (q) & = \frac{1-4q}{3q} \\ f (x) & = \frac{1-4x}{3x} \\ \end{align} $
Jadi, fungsi $ f(x) = \frac{1 - 4x}{3x} . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 552

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(g(x)) + g(f(x)) = 2x $ dan $ f(g(x)) - g(f(x)) = 0 $ . Jika $ g(x-1) = \frac{1}{3x + 1} $ , maka $ f(x) = ...$
A). $ \frac{1+4x}{3x} \, $ B). $ \frac{3x}{1+4x} \, $ C). $ \frac{3x}{1-4x} \, $ D). $ \frac{1-4x}{3x} \, $ E). $ \frac{1-3x}{1+4x} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, dapat menggunakan eliminasi.
*). Komposisi fungsi :
$ g(f(x)) \, $ artinya fungsi $ f(x) $ masuk ke fungsi $ g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} f(g(x)) + g(f(x)) = 2x & \\ f(g(x)) - g(f(x)) = 0 & - \\ \hline 2g(f(x)) = 2x & \\ g(f(x)) = x & \end{array} $
*). Menentukan fungsi $ g(x) $ :
Misalkan $ x - 1 = p \rightarrow x = p + 1 $
$\begin{align} g(x-1) & = \frac{1}{3x + 1} \\ g(p) & = \frac{1}{3(p+1) + 1} \\ g(p) & = \frac{1}{3p+4} \\ g(x) & = \frac{1}{3x+4} \\ g(f(x)) & = \frac{1}{3f(x)+4} \end{align} $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} g(f(x)) & = x \\ \frac{1}{3f(x)+4} & = x \\ 3f(x)+4 & = \frac{1}{x} \\ 3f(x) & = \frac{1}{x} - 4 \\ 3f(x) & = \frac{1}{x} - \frac{4x}{x} \\ 3f(x) & = \frac{1 - 4x}{x} \\ f(x) & = \frac{1 - 4x}{3x} \end{align} $
Jadi, fungsi $ f(x) = \frac{1 - 4x}{3x} . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Komposisi SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 552

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ (f \circ g)(x) = 1 - \frac{2}{x-4} $ dan $ f(x) = \frac{1}{x} $ , maka himpunan penyelesaian $ g(x) \leq f(x) $ adalah ...
A). $ \{ x | x < 0 \text{ atau } 2 \leq x \leq 3 \} \, $
B). $ \{ x | x \leq 2 \text{ atau } x \geq 3 \} \, $
C). $ \{ x | 0 < x \leq 2 \text{ atau } 3 \leq x < 6 \} \, $
D). $ \{ x | 2 \leq x < 6 \} \, $
E). $ \{ x | 0 < x \leq 3 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi komposisi pengerjaannya dari kanan ke kiri :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan fungsi $ g(x) $ dengan $ f(x) = \frac{1}{x} $ :
$\begin{align} (f \circ g)(x) & = 1 - \frac{2}{x-4} \\ f(g(x)) & = \frac{x-4}{x-4} - \frac{2}{x-4} \\ \frac{1}{g(x)} & = \frac{x - 6}{x-4} \\ g(x) & = \frac{x - 4}{x-6} \end{align} $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$\begin{align} g(x) & \leq f(x) \\ \frac{x - 4}{x-6} & \leq \frac{1}{x} \\ \frac{x - 4}{x-6} - \frac{1}{x} & \leq 0 \\ \frac{x(x - 4)}{x(x-6)} - \frac{x-6}{x(x-6)} & \leq 0 \\ \frac{x^2 - 4x}{x(x-6)} - \frac{x-6}{x(x-6)} & \leq 0 \\ \frac{x^2 - 5x + 6}{x(x-6)} & \leq 0 \\ \frac{(x-2)(x-3)}{x(x-6)} & \leq 0 \end{align} $
Akar-akar pembilangnya : $ x = 2 $ dan $ x = 3 $
Akar-akar penyebutnya : $ x = 0 $ dan $ x = 6 $
Garis bilangannya :
 

HP $ = \{ 0 < x \leq 2 \vee 3 \leq x < 6 \} $
Jadi, penyelesaiannya : $ \{ 0 < x \leq 2 \vee 3 \leq x < 6 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 552

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui grafik fungsi $ f(x) = -x^2 + ax + b $ memotong sumbu X di titik $ (-p-3,0) $ dan titik $ (p,0) $ untuk suatu bilangan prima $ p $. Jika $ p + 3 $ juga merupakan suatu bilangan prima, maka nilai maksimum dari $ f(x) $ adalah ...
A). $ \frac{49}{2} \, $ B). $ \frac{49}{4} \, $ C). $ 10 \, $ D). $ -\frac{49}{4} \, $ E). $ -\frac{49}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*). Nilai maksimum/minimum fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $
$ f_{maks/min} = \frac{D}{-4a} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Titik potong sumbu X maka substitusi $ y = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ p $ dan $ p + 3 $ adalah bilangan prima. Agar $ p $ dan $ p+3$ keduanya prima, maka nilai $ p = 2 $.
*). Titik $ (-p-3,0) $ dan titik $ (p,0) $ adalah titik potong fungsi $ f(x) = -x^2 + ax + b $ dengan sumbu X, artinya $ x_1 = -p-3 $ dan $ x_2 = p $ adalah akar-akar dari persamaan $ -x^2 + ax + b = 0 $.
*). Karena nilai $ p = 2 $, maka :
$ x_1 = -p-3 = -2 -3 = -5 $ dan $ x_2 = p = 2 $.
*). Operasi akar-akar pada PK $ \, -x^2 + ax + b = 0 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ (-5) + 2 & = \frac{-a}{-1} \\ -3 & = a \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ (-5). 2 & = \frac{b}{-1} \\ -10 & = -b \\ 10 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = -x^2 -3x + 10 $
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(x) = -x^2 -3x + 10 $
$\begin{align} f_{maks} & = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} \\ & = \frac{(-3)^2 - 4.(-1).10}{-4.(-1)} \\ & = \frac{9 + 40}{4} = \frac{49}{4} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{49}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 552

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui suatu barisan geometri yang hasil perkalian lima suku pertamanya adalah $ - 1 $. Jika jumlah tiga suku pertama dan jumlah empat suku pertama barisan tersebut berturut-turut adalah $ - 3 $ dan $ -\frac{5}{3} $, maka suku keduanya adalah ...
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ \, \, \, \, \, \, \, u_n = ar^{n-1} $
Keterangan :
$ u_n = \, $ suku ke-$n$
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio
*). Sifat eksponen :
$ a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui lima suku :
$ u_1 = a, u_2 = ar, u_3 = ar^2 , u_4 = ar^3 $ dan $ u_5 = ar^4 $
*). Menyusun persamaan :
-). hasil kali lima suku pertamanya = $ - 1 $
$\begin{align} u_1.u_2.u_3.u_4.u_5 & = -1 \\ a. ar.ar^2.ar^3.ar^4 & = -1 \\ a^5.r^{10} & = -1 \\ (ar^2)^5 & = -1 \\ ar^2 & = -1 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
-). hasil jumlah tiga suku pertamanya $ = -3 $
$\begin{align} u_1 + u_2 + u_3 & = -3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
-). hasil jumlah empat suku pertamanya $ = -\frac{5}{2} $
$\begin{align} u_1 + u_2 + u_3 + u_4 & = -\frac{5}{2} \, \, \, \, \, \, \text{...dari pers(ii)} \\ -3 + u_4 & = -\frac{5}{2} \\ u_4 & = \frac{1}{2} \\ ar^3 & = \frac{1}{2} \\ ar^2.r & = \frac{1}{2} \, \, \, \, \, \, \text{...dari pers(i)} \\ (-1).r & = \frac{1}{2} \\ r & = -\frac{1}{2} \end{align} $
Pers(i) : $ ar^2 = -1 \rightarrow a. \left( -\frac{1}{2} \right)^2 = -1 \rightarrow a = -4 $
*). Menentukan suku kedua :
$\begin{align} u_2 & = ar = -4 \times \left( -\frac{1}{2} \right) = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ u_2 = 2 . \, \heartsuit $