Pembahasan Pertidaksamaan TriLog UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ 0 \leq x \leq \pi $ dan $ {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) \leq 4 $ adalah ....
A). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{6} \, $
B). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \pi \, $
C). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} \, $
D). $ \frac{5\pi}{6} \leq x \leq \pi \, $
E). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). Penulisan logaritma dan trigonometri :
$ {}^a \log ^ n b = ({}^a \log b )^2 $
$ \sin ^n x = (\sin x)^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = {}^2 \log (\sin x) $ :
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) & \leq 4 \\ ({}^2 \log (\sin x) )^2 - {}^2 \log (\sin x)^3 & \leq 4 \\ ({}^2 \log (\sin x) )^2 - 3 ({}^2 \log (\sin x)) & \leq 4 \\ (p)^2 - 3p & \leq 4 \\ p^2 - 3p - 4 & \leq 0 \\ (p + 1)(p - 4) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 4 \\ p = -1 \rightarrow {}^2 \log (\sin x) & = -1 \\ (\sin x) & = 2^{-1} \\ \sin x & = \frac{1}{2} \\ x & = \frac{\pi}{6} , \frac{5\pi}{6} \\ p = 4 \rightarrow {}^2 \log (\sin x) & = 4 \\ (\sin x) & = 2^4 \\ (\sin x) & = 16 \end{align} $
karena nilai $ \sin x $ paling besar $ 1 $ , maka tidak ada nilai $ x $ yang memenuhi $ \sin x = 16 $.
Garis bilangannya :
 

Yang diminta $ \leq 0 $ , sehingga solusinya daerah yang negatif yaitu $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} $.
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Barisan UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Anton membuat setigia sama-sisi dari segitiga-segitiga sama-sisi satuan (panjang sisi 1 satuan). Pada langkah pertama diperlukan 1 buah segitiga sama-sisi satuan. Pada langkah ke-2, dia menambahkan 3 buah segitiga satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 2 satuan. Pada langkah ke-3 ditambahkan 5 segitiga sama-sisi satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 3 satuan. Sampai dengan langkah ke-9, diperoleh segitiga sama-sisi satuan sebanyak ....
A). $ 13 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 75 \, $ E). $ 81 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus suku ke-$n $ bentuk kuadrat :
$ U_n = n^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Berikut adalah gambar segitiga yang terbentuk pada langkah-langkah awal dan banyaknya jumlah segitiga satuan pada setiap langkah.
 

*). Dari gambar tersebut, banyaknya segitiga satuan membentuk barisan 1, 4, 9, 16, ..... Barisan ini membentuk pola persegi (kuadrat).
*). Menentukan banyak segitiga satuan pada langkah ke-9 $( U_9 ) $ :
$ \begin{align} U_n & = n^2 \\ U_9 & = 9^2 = 81 \end{align} $
Jadi, banyaknya segitiga satuan pada langkah ke-9 ada 81 segitiga satuan $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Pola Bilangan UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Anton membuat setigia sama-sisi dari segitiga-segitiga sama-sisi satuan (panjang sisi 1 satuan). Pada langkah pertama diperlukan 1 buah segitiga sama-sisi satuan. Pada langkah ke-2, dia menambahkan 3 buah segitiga satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 2 satuan. Pada langkah ke-3 ditambahkan 5 segitiga sama-sisi satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 3 satuan. Sampai dengan langkah ke-9, diperoleh segitiga sama-sisi satuan sebanyak ....
A). $ 13 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 75 \, $ E). $ 81 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus suku ke-$n $ barisan tingkat dua adalah :
$ U_n = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2).c}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Berikut adalah gambar segitiga yang terbentuk pada langkah-langkah awal dan banyaknya jumlah segitiga satuan pada setiap langkah.
 

*). Dari gambar tersebut, banyaknya segitiga satuan membentuk barisan 1, 4, 9, 16, ..... Barisan ini membentuk pola bertingkat yaitu tingkat dua dengan penjabaran seperti berikut ini.
 

dari penjabaran ini, kita peroleh nilai $ a = 1, b = 3, c = 2 $.
*). Menentukan banyak segitiga satuan pada langkah ke-9 (suku ke-9) :
$ \begin{align} U_n & = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2).c}{2} \\ U_9 & = 1 + (9-1).3 + \frac{(9-1)(9-2).2}{2} \\ & = 1 + 8.3 + \frac{8.7.2}{2} \\ & = 1 + 24 + 56 = 81 \end{align} $
Jadi, banyaknya segitiga satuan pada langkah ke-9 ada 81 segitiga satuan $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Dua orang pergi nonton sepak bola. Stadion itu mempunyai 4 pintu dan mereka lewat pintu yang sama, tetapi keluar lewat puntu yang berlainan. Maka banyaknya cara yang dapat terjadi adalah ....
A). $ 4 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 24 \, $ D). $ 48 \, $ E). $ 12 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kaidah pencacahan (aturan perkalian)
*). Misalkan kejadian pertama ada $ p $ cara dan kejadian kedua ada $ q $ cara, maka total cara adalah $ p \times q $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada dua orang dan 4 pintu gerbang stadion.
*). Menentukan cara masuk dan keluar :
-). Masuk lewat pintu yang sama, artinya dua orang tersebut masuk lewat pintu yang sama sehingga ada 4 kemungkinan cara masuk yaitu bisa lewat pintu pertama, atau kedua, atau ketiga , atau pintu keempat.
-). Keluar lewat pintu yang berlainan, artinya mereka berdua tidak boleh keluar lewat pintu yang sama. Orang pertama ada 4 pilihan keluar, setelah itu orang kedua tersisa 3 pilihan pintu karena satu pintu sudah dipakai oleh orang pertama. Sehingga cara keluar ada $ 4 \times 3 = 12 \, $ cara.
-). TOTal cara masuk dan keluar pintu stadion :
$ \begin{align} 4 \times 12 = 48 \, \, \, \, \text{ cara } \end{align} $
Jadi, banyaknya cara ada $ 48 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Naik UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} $ , maka fungsi $ f $ naik pada selang ....
A). $ \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , 0 \right) \, $ B). $ \left( 0, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \, $ C). $ \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \, $
D). $ \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , \infty \right) \, $ E). $ \left( \frac{\sqrt{3}}{3} , \infty \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ naik pada interval $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) > 0 $ .
*). Turunana fungsi :
1). $ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
2). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ( + atau $ - $ )
3). Arsir daerah yang diinginkan
4). Buat himpunan penyelesaiannya

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya dan syarat fungsi naik :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} = \frac{U}{V} \\ U & = \sqrt{x} \rightarrow U^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ V & = x^2 + 1 \rightarrow V^\prime = 2x \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) - \sqrt{x}.2x}{(x^2+1)^2} \\ f^\prime (x) & > 0 \\ & \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) - \sqrt{x}.2x}{(x^2+1)^2} > 0 \end{align} $
*). karena penyebutnya $ (x^2+1)^2 $ selalu positif, maka yang menentukan tersisa pembilangnya yaitu $ \frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) - \sqrt{x}.2x > 0 $ . Kita tentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} \frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) & - \sqrt{x}.2x = 0 \\ \sqrt{x}.2x & = \frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) \\ 2x \sqrt{x} \times 2\sqrt{x} & = (x^2+1) \\ 4x^2 & = x^2+1 \\ 3x^2 & = 1 \\ x^2 & = \frac{1}{3} \\ x & = \pm \sqrt{ \frac{1}{3} } \\ x & = \pm \frac{\sqrt{ 3 }}{3} \end{align} $
Garis bilangannya :
 

-). Perhatikan bentuk turunan fungsi $ f(x) $, ada bentuk $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ yang artinya $ \sqrt{x} \neq 0 $ dan syarat dalam akar harus positif, sehingga haruslah $ x > 0 $.
-). Dari garis bilangan dan syarat $ x > 0 $ , maka fungsi $ f(x) $ naik pada interval $ 0 < x < \frac{\sqrt{ 3 }}{3} $ atau dapat ditulis $ \left( 0 , \frac{\sqrt{ 3 }}{3} \right) $.
Jadi, fungsinya naik pada selang $ \left( 0 , \frac{\sqrt{ 3 }}{3} \right) . \, \heartsuit $