Pembahasan Peluang SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 perempuan duduk berdampingan adalah ...
A). $ \frac{1}{60} \, $ B). $ \frac{1}{30} \, $ C). $ \frac{1}{15} \, $ D). $ \frac{1}{10} \, $ E). $ \frac{1}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus peluang kejadian A : $ P(A) $
$ \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kumungkinan yang terjadi.
*). Jika ada $ n $ orang duduk berjajar, maka banyak susunan duduk ada $ n!$.
*). Faktorial :
$ n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1 $
Contoh :
$ 3! = 3.2.1 = 6 $
$ 4! = 4.3.2.1 = 24 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ n (S) $ :
Ada 6 orang duduk berjajar, total susunan duduk :
$ n(S) = 6! = 6.5.4.3.2.1 $
*). Misalkan A = kejadian 3 perempuan duduk berdampingan
*). Menentukan kejadian yang diharapkan $ n(A) $ :
-). Agar 3 perempuan berdampingan, kita blok 3 tempat untuk 3 perempuan tersebut (kita anggap menjadi satu), sehingga sekarang ada 3 laki-laki dan 1 blok perempuan (terhitung 4 orang saja) dengan banyak susunan $ 4! $.
-). 3 perempuan yang diblok tadi juga bisa kita acak lagi susunannya yaitu ada $ 3! $ cara.
-). total kejadian A : $ n(A) = 4!. 3! $
-). Berikut contoh susunannya :
$ \begin{array}{|c|ccc|c|c|} \hline L_1&P_1&P_2&P_3&L_2&L_3 \\ \hline \end{array} $
$ \begin{array}{|c|ccc|c|c|} \hline L_2&P_1&P_2&P_3&L_1&L_3 \\ \hline \end{array} $
dan lainnya sebanyak $ 4!.3! $
*). Menentukan peluangnya :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} \\ & = \frac{4!.3!}{6!} \\ & = \frac{4.3.2.1.3.2.1}{6.5.4.3.2.1} \\ & = \frac{1}{5} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{1}{5} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3x}{x^3 + 2x^2-15x} = ... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{6} \, $ C). $ \frac{1}{7} \, $ D). $ \frac{1}{8} \, $ E). $ \frac{1}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Terapan turunan pada limit bentuk $ \frac{0}{0} $
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n a x^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya dengan turunan :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3x}{x^3 + 2x^2-15x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{2x - 3}{3x^2 + 4x - 15} \\ & = \frac{2.3 - 3}{3.3^2 + 4.3 - 15} \\ & = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{1}{8} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3x}{x^3 + 2x^2-15x} = ... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{6} \, $ C). $ \frac{1}{7} \, $ D). $ \frac{1}{8} \, $ E). $ \frac{1}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu cara menyelesaikan limit yaitu dengan metode pemfaktoran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3x}{x^3 + 2x^2-15x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x(x-3)}{x(x^2 + 2x -15)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x(x-3)}{x(x+5)(x-3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{(x+5)} \\ & = \frac{1}{3 + 5} = \frac{1}{8} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{1}{8} . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi kuadrat : $ f(x) = 2x^2 - 7x - 4 $ . Titik potong grafik fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu X dan sumbu Y berturut-turut adalah ...
A). $(-\frac{1}{2}, 0 ) , \, (4,0), \, $ dan $ (0, -4) $
B). $(-1, 0 ) , \, (2,0), \, $ dan $ (0, -4) $
C). $(-1, 0 ) , \, (2,0), \, $ dan $ (0, 4) $
D). $(-\frac{1}{2}, 0 ) , \, (4,0), \, $ dan $ (0, 4) $
E). $(-\frac{1}{2}, 0 ) , \, (-4,0), \, $ dan $ (0, -4) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada fungsi $ y = f(x) $ ,
-). Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $
-). Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ y = f(x) = 2x^2 - 7x - 4 $
*). Menentukan titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$\begin{align} y & = 2x^2 - 7x - 4 \\ 0 & = 2x^2 - 7x - 4 \\ 0 & = (2x + 1)(x - 4) \\ \, \, \, & 2x + 1 = 0 \vee x - 4= 0 \\ \, \, \, & x = -\frac{1}{2} \vee x = 4 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu X yaitu $ (-\frac{1}{2} , 0) $ dan $ (4,0) $
*). Menentukan titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} y & = 2x^2 - 7x - 4 \\ y & = 2.0^2 - 7.0 - 4 \\ y & = - 4 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y yaitu $ (0,-4) $.
Jadi, titik potongnya adalah $ (-\frac{1}{2} , 0) , (4,0) $ dan $ (0,-4) . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linier Dua SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah parkir 1.760 m$^2$ . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m$^2$ dan mobil besar 20 m$^2$. Daya tampung maksimum area parkir 200 mobil. Biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00 per jam dan mobil besar Rp. 2.000,00 per jam. Jika dalam satu jam tersisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang. Penghasilan maksimum tempat parkir adalah ....
A). Rp. 260.000,00
B). Rp. 176.000,00
C). Rp. 240.000,00
D). Rp. 300.000,00
E). Rp. 380.000,00

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan program linear :
1). Buat model matematikanya
2). Buat daerah himpunan penyelesaiannya (DHP)
3). Tentukan titik pojok DHP nya
4). Substitusikan semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :
-). Nilai maksimum berarti nilai terbesar fungsi tujuannya
-). Nilai minimum berarti nilai terkecil fungsi tujuannya

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Misalkan :
$ x = \, $ banyak mobil kecil
$ y = \, $ banyak mobil besar
*).Menyusun model matematikanya :
-). Fungsi kendala/batasan :
I). $ 4x + 20y \leq 1760 \rightarrow x + 5y \leq 440 \rightarrow (0, 88) $ dan $ (440, 0) $
II). $ x + y \leq 200 \rightarrow (0, 200) $ dan $ (200, 0) $
III). $ x \geq 0 $ dan $ y \geq 0 $ .
-). Fungsi tujuan : $ f(x,y) = 1000x + 2000 y $
-). Gambar DHP nya :
 

*). Menentukan titik pojok pada DHP :
A(200 , 0) , C(0,88)
Titik B : eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} x + 5y = 440 & \\ x + y = 200 & - \\ \hline 4y = 240 & \\ y = 60 & \end{array} $
Pers(ii) : $ x + y = 200 \rightarrow x + 60 = 200 \rightarrow x = 140 $
Sehingga titik $ B(140, 60) $
*).Substitusikan semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya : $ f(x,y) = 1000x + 2000 y $
$\begin{align} A(200,0) \rightarrow f & = 1000 \times 200 + 2000 \times 0 = 200.000 \\ B(140,60) \rightarrow f & = 1000 \times 140 + 2000 \times 60 = 260.000 \\ C\left( 0,88 \right) \rightarrow f & = 1000 \times 0 + 2000 \times 88 = 176.000 \end{align} $
Jadi, pendapatan maksimumnya adalah Rp260.000 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linier SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, sedangkan kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1440 kg. Harga tiket kelas utama USD 150,00 dan kelas ekonomi USD 100,00. Tempat duduk kelas utama yang harus terisi supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat jumlah penumpang pesawat mencapai maksimum adalah ...
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 15 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan program linear :
1). Buat model matematikanya
2). Buat daerah himpunan penyelesaiannya (DHP)
3). Tentukan titik pojok DHP nya
4). Substitusikan semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :
-). Nilai maksimum berarti nilai terbesar fungsi tujuannya
-). Nilai minimum berarti nilai terkecil fungsi tujuannya

$\clubsuit $ Pembahasan
$\spadesuit \, $ Model matematika
Misal : Utama = $ x $ dan ekonomi = $ y $
Kapasitas : $ x + y \leq 48 \rightarrow (0,48), \, (48,0) $
Bagasi : $ 60x+20y \leq 1440 \rightarrow 3x + y \leq 72 \rightarrow (0,72), \, (24,0) $
Fungsi tujuan : $ z = 150x+100y $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua garis
$\begin{array}{cc} 3x + y = 72 & \\ x + y = 48 & - \\ \hline 2x = 24 & \\ x = 12 & \end{array} $
pers(i) : $ x+y =48 \rightarrow 12 + y = 48 \rightarrow y = 36 $
 

$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan
$A(24,0) \rightarrow z = 150 \times 24 + 100 \times 0 = 3.600 $
$B(12,36) \rightarrow z = 150 \times 12 + 100 \times 36 = 5.400 $
$C(0,48) \rightarrow z = 150 \times 0 + 100 \times 48 = 4.800 $
Sehingga pendapatan maksimumnya adalah USD 5.400 saat penjualan kelas utama sebanyak 12 tiket dan kelas ekonomi sebanyak 36 tiket.
Jadi, jumlah penumpang kelas utama sebanyak 12 orang. $ \heartsuit $

Pembahasan Logika SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui premis-premis berikut :
I. Jika ada kerusakan mesin maka mobil tidak dapat bergerak
II. Mobil dapat bergerak
Kesimpulan yang sah dari dua premis di atas adalah ...
A). TIdak ada kerusakan pada mobil
B). Ada kerusakan mobil
C). Masih banyak bahan bakar
D). Tidak ada kerusakan roda
E). Ada kerusakan pada mobil

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Modus Tollens untuk menarik kesimpulan :
Bentuk pertama :
$ \begin{align} p \Rightarrow q & \\ \sim q & \\ \hline \therefore \, \, \, \, \sim p \end{align} $
Bentuk kedua :
$ \begin{align} p \Rightarrow \sim q & \\ q & \\ \hline \therefore \, \, \, \, \sim p \end{align} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui premis-premis :
I. Jika $\underbrace{\text{ada kerusakan mesin}}_{p} \, $ maka $ \underbrace{\text{mobil tidak dapat bergerak}}_{\sim q}$
II. $\underbrace{\text{Mobil dapat bergerak}}_{q} $
-). Dapat kita susun menjadi :
I). $ p \Rightarrow \sim q $
II). $ q $
-). Kesimpulannya : $ \sim p $ berdasarkan modus tollens.
$ \sim p \, $ dibaca "tidak ada kerusakan mesin mobil"
Jawaban yang cocok adalah option A.
Jadi, kesimpulannya "tidak ada kerusakan mesin"$. \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ y + x $ jika $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{2x+1} = \left( \frac{6}{5} \right) ^y $ adalah ...
A). $ 16 \, $ B). $ 26 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 17 \, $ E). $ 18 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memodifikasi persamaanya :
$\begin{align} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{2x+1} & = \left( \frac{6}{5} \right)^y \\ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{2x+1} & = \left( 1 + \frac{1}{5} \right)^y \end{align} $
*). Dari kesamaan kita peroleh :
$ x = 5 \, $ dan $ y = 2x + 5 = 2 \times 5 + 1 = 11 $
*). Menentukan nilai $ y + x $ :
$\begin{align} y + x & = 11 + 5 = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ y + x = 16 . \, \heartsuit $