Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 135

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = \frac{(x^2+2bx+b^2)(x-a)}{(x^2-a^2)(x^2+2)} $ , dengan $ a \neq 0 $, tidak mempunyai asimtot tegak, maka kurva $ y=\frac{(a+2b)x^2-7a}{(a-2b)x^2+7b} $ mempunyai asimtot datar ......
A). $ y = 6 \, $ B). $ y = 3 \, $ C). $ y = 2 \, $
D). $ y = -3 \, $ E). $ y = -5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^3 + ...}{dx^3 + ... } = \frac{c}{a} $.
*). Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ tidak memiliki asimtot tegak tiga penyebutnya tidak memiliki faktor linear atau tidak ada nilai $ x $ yang menyebabkan penyebutnya bernilai nol.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Penyederhanaan fungsi kurva awal :
$\begin{align} y & = \frac{(x^2+2bx+b^2)(x-a)}{(x^2-a^2)(x^2+2)} \\ y & = \frac{(x+b)^2(x-a)}{(x-a)(x+a)(x^2+2)} \\ y & = \frac{(x+b)^2 }{ (x+a)(x^2+2)} \\ y & = \frac{(x+b)(x+b) }{ (x+a)(x^2+2)} \end{align} $
Agar $ y = \frac{(x+b)(x+b) }{ (x+a)(x^2+2)} \, $ tidak mempunyai faktor linear pada penyebutnya, maka $ (x + a) $ harus bisa kita coret dengan faktor pembilanganya. Bentuk $ (x + a) $ bisa kita coret jiga nilanya sama dengan faktor pembilangnya yaitu $ (x+b) $ , sehingga $ a = b $.
*). Persamaan asimtot mendatar kurva kedua dengan $ a = b $ :
$\begin{align} y & = \lim_{x \to \infty } \frac{(a+2b)x^2-7a}{(a-2b)x^2+7b} \\ y & = \lim_{x \to \infty } \frac{(a+2a)x^2-7a}{(a-2a)x^2+7a} \\ & = \lim_{x \to \infty } \frac{3ax^2-7a}{-ax^2+7a} \\ & = \frac{3a}{-a } \\ y & = -3 \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 135

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \cot \left( \frac{1}{x} \right) \sin \left( \frac{1}{x^2} \right) = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin a f(y)}{\sin bf(y)} = \frac{a}{b} $.
*). Rumus dasar trigonometri : $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \cot \left( \frac{1}{x} \right) \sin \left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x . \frac{ \cos \left( \frac{1}{x} \right) }{\sin \left( \frac{1}{x} \right)} . \sin \left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ \cos \left( \frac{1}{x} \right) . \sin \left( \frac{1}{x^2} \right) }{\frac{1}{x} . \sin \left( \frac{1}{x} \right)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \cos y . \sin y^2 }{y . \sin y} \times \frac{y}{y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ y\cos y . \sin y^2 }{y^2 . \sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ y}{\sin y} . \frac{\sin y^2 }{y^2} . \cos y \\ & = 1.1 . \cos 0 = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 135

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ vektor-vektor pada bidang datar sehingga $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{a} + \vec{b} $. Jika $ |\vec{a}|:|\vec{b}| = 1 : 2 $ , maka besar sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah .....
A). $ 30^\circ \, $ B). $ 45^\circ \, $ C). $ 60^\circ \, $ D). $ 120^\circ \, $ E). $ 150^\circ \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha $
$ \vec{a}.\vec{a} = |\vec{a}|^2 $
*). Syarat vektor $ \vec{p} $ tegak lurus $ \vec{q} $ :
Syaratnya : $ \vec{p} . \vec{q} = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hubungan $ |\vec{a}| $ dan $ |\vec{b}| $
$\begin{align} |\vec{a}|:|\vec{b}| & = 1 : 2 \\ \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}| } & = \frac{1}{2} \\ |\vec{b}| & = 2|\vec{a}| \end{align} $
*). Vektor $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{a} + \vec{b} $ :
$\begin{align} \vec{a} . (\vec{a} + \vec{b}) & = 0 \\ \vec{a} . \vec{a} + \vec{a}. \vec{b} & = 0 \\ |\vec{a}|^2 + |\vec{a}| | \vec{b} | \cos \theta & = 0 \\ |\vec{a}|^2 + |\vec{a}| .2| \vec{a} | \cos \theta & = 0 \\ |\vec{a}|^2 + |\vec{a}|^2 .2 \cos \theta & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ 1 + 2 \cos \theta & = 0 \\ 2 \cos \theta & = -1 \\ \cos \theta & = - \frac{1}{2} \\ \theta & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, sudutnya adalah $ 120^\circ . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 135

Soal yang Akan Dibahas
Hasil penjumlahan semua bilangan bulat $ a $ yang lebih besar dari $ -10 $ dan memenuhi $ \frac{a - |a - 2|}{a} > 2 $ adalah .....
A). $ -21 \, $ B). $ -28 \, $ C). $ -36 \, $ D). $ -45 \, $ E). $ -55 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |a-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} a -2 & , \text{untuk } a - 2 \geq 0 & \rightarrow a \geq 2 \\ -(a-2) & , \text{untuk } -a + 2 < 0 & \rightarrow a < 2 \end{array} \right. $
Artinya bentuk mutlak kita bagi menjadi dua berdasarkan batas $ a $ yaitu untuk $ a \geq 2 $ dan untuk $ a < 2 $.
*). Untuk $ a \geq 2 $ , maka $ |a-2| = a-2 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{a - |a - 2|}{a} & > 2 \\ \frac{a - (a-2)}{a} - 2 & > 0 \\ \frac{2}{a} - \frac{2a}{a} & > 0 \\ \frac{2 - 2a}{a} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ 2 - 2a = 0 \rightarrow a = 1 \, $ dan $ a = 0 $
Garis bilangannya :
 

Karena syaratnya $ a \geq 2 $ , maka
HP1 $ = \{ a \geq 2 \} \cap \{ 0 < a < 1 \} = \{ \} \, $ (kosong)
*). Untuk $ a < 2 $ , maka $ |a - 2| = -(a - 2) = -a + 2 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{a - |a - 2|}{a} & > 2 \\ \frac{a - (-a+2)}{a} - 2 & > 0 \\ \frac{2a - 2}{a} - \frac{2a}{a} & > 0 \\ \frac{-2}{a} & > 0 \\ a & < 0 \end{align} $
Karena syaratnya $ a < 2 $ , maka
HP2 $ = \{ a < 2 \} \cap \{ a < 0 \} = \{ a < 0 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 \\ & = \{ \, \} \cup \{ a < 0 \} = \{ a < 0 \} \end{align} $
Bilangan bulat negatif lebih besar dari $ -10 $ dan $ a < 0 $
adalah $ \{ -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1 \} $.
Sehingga jumlahnya :
Jumlah $ = -9+ -8+ -7+ -6+ -5+ -4+ -3+ -2+ -1 = -45 $
Jadi, jumlahnya adalah $ -45 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 135

Soal yang Akan Dibahas
Jika
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{x + y} - \frac{1}{x - y} = \frac{3}{4} \\ \frac{1}{x + y} + \frac{2}{x - y} = 1 \\ \end{array} \right. $
maka $ x + y = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan dapat dilakukan dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Misalkan : $ p = \frac{1}{x+y} $ dan $ q = \frac{1}{x - y} $
Sistem persamaan pada soal menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} 2p - q = \frac{3}{4} \\ p + 2q = 1 \\ \end{array} \right. $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 2p - q = \frac{3}{4} & \times 2 & 4p - 2q = \frac{3}{2} & \\ p + 2q = 1 & \times 1 & p + 2q = 1 & + \\ \hline & & 5p = \frac{5}{2} & \\ & & p = \frac{1}{2} & \end{array} $
Kita peroleh :
$ p = \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{x + y} = \frac{1}{2} \rightarrow x + y = 2 $.
Artinya sudah kita peroleh nilai $ x + y = 2 $.
Jadi, nilai $ x + y = 2 . \, \heartsuit $