Cara 2 Pembahasan Bentuk Akar UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a = 2 + \sqrt{7} $ dan $ b = 2 - \sqrt{7} $ , maka $ a^2 + b^2 - 4ab = .... $
A). $ 36 \, $ B). $ 34 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 30 \, $ E). $ 28 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat bentuk akar :
$ (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b $
*). Bentuk pemfaktoran :
$ a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} & a^2 + b^2 - 4ab \\ & = (a^2 + b^2 - 2ab) - 2ab \\ & = (a-b)^2 - 2ab \\ & = [(2 + \sqrt{7})-(2-\sqrt{7})]^2 -2(2 + \sqrt{7})(2 - \sqrt{7}) \\ & = [2\sqrt{7}]^2 -2(4 - 7) \\ & = 4.7 -2(-3) = 28 + 6 = 34 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 - 4ab = 34 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bentuk Akar UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a = 2 + \sqrt{7} $ dan $ b = 2 - \sqrt{7} $ , maka $ a^2 + b^2 - 4ab = .... $
A). $ 36 \, $ B). $ 34 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 30 \, $ E). $ 28 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat bentuk akar :
1). $ (\sqrt{a})^2 = a $
2). $ (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b $
3). $ (a + \sqrt{b})^2 = a^2 + b + 2a\sqrt{b} $
4). $ (a - \sqrt{b})^2 = a^2 + b - 2a\sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} & a^2 + b^2 - 4ab \\ & = (2 + \sqrt{7})^2 + (2 - \sqrt{7})^2 - 4(2 + \sqrt{7})(2 - \sqrt{7}) \\ & = (4 + 7 + 4\sqrt{7}) + (4 + 7 - 4\sqrt{7}) - 4(4 - 7) \\ & = (11 + 4\sqrt{7}) + (11 - 4\sqrt{7}) - 4(-3) \\ & = 22 + 12 = 34 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 - 4ab = 34 . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \left(\frac{1}{25}\right)^{x - 2,5} = \sqrt{\frac{625}{5^{2-x}} } $ adalah $ x = .... $
A). $ \frac{3}{5} \, $ B). $ \frac{8}{5} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
1). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
2). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
3). $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
4). $ \sqrt{a^m} = a^\frac{m}{2} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ :
$\begin{align} \left(\frac{1}{25}\right)^{x - 2,5} & = \sqrt{\frac{625}{5^{2-x}} } \\ \left( 5^{-2} \right)^{x - 2,5} & = \sqrt{\frac{5^4}{5^{2-x}} } \\ 5^{-2x + 5} & = \sqrt{ 5^{4 - (2-x)} } \\ 5^{-2x + 5} & = \sqrt{ 5^{4 - 2 + x} } \\ 5^{-2x + 5} & = \sqrt{ 5^{x + 2} } \\ 5^{-2x + 5} & = 5^{\frac{x + 2}{2} } \\ -2x + 5 & = \frac{x + 2}{2} \\ -4x + 10 & = x + 2 \\ -5x & = -8 \\ x & = \frac{8}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ x = \frac{8}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^4 \log 6 = m + 1 $ , maka $ {}^9 \log 8 = .... $
A). $ \frac{3}{4m-2} \, $ B). $ \frac{3}{4m+2} \, $ C). $ \frac{3}{2m+4} \, $
D). $ \frac{3}{2m-4} \, $ E). $ \frac{3}{2m+2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
1). $ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
2). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
3). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan bentuk $ {}^4 \log 6 $ :
$\begin{align} {}^4 \log 6 & = m + 1 \\ {}^{2^2} \log 6 & = m + 1 \\ \frac{1}{2} . {}^{2} \log 6 & = m + 1 \\ {}^{2} \log 6 & = 2(m + 1) \\ {}^{2} \log 2 . 3 & = 2m + 2 \\ {}^{2} \log 2 + {}^{2} \log 3 & = 2m + 2 \\ 1 + {}^{2} \log 3 & = 2m + 2 \\ {}^{2} \log 3 & = 2m + 1 \\ {}^3 \log 2 & = \frac{1}{2m + 1} \end{align} $
*). Menentukan hasil $ {}^9 \log 8 $ :
$\begin{align} {}^9 \log 8 & = {}^{3^2} \log 2^3 \\ & = \frac{3}{2} . {}^3 \log 2 \\ & = \frac{3}{2} . \frac{1}{2m + 1} \\ & = \frac{3}{4m + 2} \end{align} $
Jadi, bentuk $ {}^9 \log 8 = \frac{3}{4m + 2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Fungsi UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $ maka $ -2f^\prime (x) $ sama dengan ....
A). $ \frac{1}{x\sqrt{x}} \, $ B). $ x\sqrt{x} \, $ C). $ -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \, $
D). $ -\frac{1}{2\sqrt{x}} \, $ E). $ -2x\sqrt{x} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus turunan fungsi aljabar :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = nx^{n-1}$
*). Sifat eksponen dan bentuk akar :
i). $ \sqrt{x} = x^\frac{1}{2} $
ii). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
iii). $ a^m . a^n = a^{m+n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} \\ f^\prime (x) & = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} - 1} \\ & = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \\ & = -\frac{1}{2}. \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \\ & = -\frac{1}{2}. \frac{1}{x.x^{\frac{1}{2}}} \\ & = -\frac{1}{2}. \frac{1}{x\sqrt{x}} \end{align} $
Sehingga bentuk :
$ -2 f^\prime (x) = -2.-\frac{1}{2}. \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x\sqrt{x}} $
Jadi, bentuk $ -2 f^\prime (x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} . \, \heartsuit $