Nomor 6
Nilai lim adalah ...
\spadesuit \, Pada soal ini, setelah dihitung dsesuai soal aslinya menggunakan \cos (x-2) \, , ternyata tidak ada jawabannya.
menurut kami, ada kesalahan pengetikan, seharusnya menggunakan bentuk \sin (x-2) .
Soal menjadi : \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} .
\spadesuit \, konsep limit trigonometri :
\displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, dengan syarat f(k) = 0 .
\spadesuit \, Menyelesaikan soalnya
\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x+2)(x-3) \sin (x-2)}{(x-2)(x+2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-3) \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x-3) \frac{ \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = (2-3) \frac{ 1}{1} \\ & = -1 \end{align}
Jadi, nilai limitnya adalah -1. \, \heartsuit
Soal menjadi : \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} .
\spadesuit \, konsep limit trigonometri :
\displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, dengan syarat f(k) = 0 .
\spadesuit \, Menyelesaikan soalnya
\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x+2)(x-3) \sin (x-2)}{(x-2)(x+2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-3) \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x-3) \frac{ \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = (2-3) \frac{ 1}{1} \\ & = -1 \end{align}
Jadi, nilai limitnya adalah -1. \, \heartsuit
Nomor 7
Diketahui g(2x-1) = x - 2 \, dan (f\circ g)(2x-1) = x^2 + x - 6. \, Nilai f(-1) \, adalah ....
\clubsuit \, Substitusi g(2x-1) = x - 2 \, ke bentuk komposisinya
\begin{align} (f\circ g)(2x-1) & = x^2 + x - 6 \\ f ( g(2x-1) ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \end{align}
*). Yang ditanyakan nilai f(-1) \, , sementara kita peroleh bentuk f( x- 2 ) \, artinya x - 2 = -1 \rightarrow x = 1 . Sehingga cukup kita substitusi x = 1 \, ke fungsi f(x-2) \, nya.
\clubsuit \, Substitusi x = 1
\begin{align} x = 1 \rightarrow f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( 1 - 2 ) & = 1^2 + 1 - 6 \\ f ( -1 ) & = 1 + 1 - 6 \\ & = -4 \end{align}
Jadi, nilai f(-1) = -4. \, \heartsuit
\begin{align} (f\circ g)(2x-1) & = x^2 + x - 6 \\ f ( g(2x-1) ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \end{align}
*). Yang ditanyakan nilai f(-1) \, , sementara kita peroleh bentuk f( x- 2 ) \, artinya x - 2 = -1 \rightarrow x = 1 . Sehingga cukup kita substitusi x = 1 \, ke fungsi f(x-2) \, nya.
\clubsuit \, Substitusi x = 1
\begin{align} x = 1 \rightarrow f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( 1 - 2 ) & = 1^2 + 1 - 6 \\ f ( -1 ) & = 1 + 1 - 6 \\ & = -4 \end{align}
Jadi, nilai f(-1) = -4. \, \heartsuit
Nomor 8
Bilangan terdiri dari tiga angka akan disusun dari angka 1, 2, 3, 5, 7, dan 9. Banyaknya bilangan yang dapat disusun dengan susunan
angka-angka yang berlainan dan nilainya lebih kecil dari 700 adalan ....
\clubsuit \, Pilihan angka ada 6 yaitu : 1, 2, 3, 5, 7, 9
\clubsuit \, Dibentuk tiga angka dengan susunan angka yang berlainan dan lebih kecil dari 700
Total banyaknya angka yang terbentuk adalah :
Ratusan ada 4 pilihan, puluhan ada 5 pilihan, dan satuan ada 4 pilihan.
total = 4.5.4 = 80 \, angka.
Keterangan :
*). Ratusan : agar kurang dari 700, maka ratusan yang mungkin dipilih dari angka 1, 2, 3, 5 (ada 4 pilihan).
*). Puluhan : puluhannya bebas, tetapi satu angka sudah dipakai untuk ratusan, sehingga tersisa 5 pilihan angka untuk puluhan.
*). Satuan : satuan tersisa 4 pilihan karena dua anagka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Jadi, ada 80 angka yang terbentuk yang terdiri dari tiga angka. \, \heartsuit
\clubsuit \, Dibentuk tiga angka dengan susunan angka yang berlainan dan lebih kecil dari 700
Total banyaknya angka yang terbentuk adalah :
Ratusan ada 4 pilihan, puluhan ada 5 pilihan, dan satuan ada 4 pilihan.
total = 4.5.4 = 80 \, angka.
Keterangan :
*). Ratusan : agar kurang dari 700, maka ratusan yang mungkin dipilih dari angka 1, 2, 3, 5 (ada 4 pilihan).
*). Puluhan : puluhannya bebas, tetapi satu angka sudah dipakai untuk ratusan, sehingga tersisa 5 pilihan angka untuk puluhan.
*). Satuan : satuan tersisa 4 pilihan karena dua anagka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Jadi, ada 80 angka yang terbentuk yang terdiri dari tiga angka. \, \heartsuit
Nomor 9
Jika tersedia bahan aluminium 1200 cm^2 \, untuk membuat suatu kotak dengan alas berbentuk bujursangkar (persegi) dengan bagian
atas terbuka, volume kotak terbesar yang mungkin terbentuk adalah ....
Cara I :
\spadesuit \, Misalkan alas balok persegi dengan rusuk x \, dan tingginya t
\spadesuit \, Diketahui luas bahan 1200, artinya luas bahan sama dengan luas permukaan balok tanpa tutup.
\begin{align} \text{luas permukaan tanpa tutup } & = 1200 \\ x^2 + 4xt & = 1200 \\ t & = \frac{1200 - x^2}{4x} \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}
\spadesuit \, Menentukan fungsi volume balok dengan substitusi pers(i)
\begin{align} \text{vlume balok } & = \text{luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = x^2 . t \, \, \, \, \, \text{[subst. pers(i)]} \\ & = x^2 . \frac{1200 - x^2}{4x} \\ V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \end{align}
\spadesuit \, Volume maksimum saat turunan pertama = 0 :
\begin{align} V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V^\prime (x) & = \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) \\ V^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) & = 0 \\ 3x^2 & = 1200 \\ x^2 & = 400 \\ x & = \sqrt{400} = 20 \end{align}
Artinya volume akan maksimum saat x = 20 \, cm.
\spadesuit \, Menentukan volume maksimumnnya untuk x = 20
\begin{align} x = 20 \rightarrow V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V(20) & = \frac{1}{4}(1200 \times 20 - 20^3) \\ & = \frac{1}{4}(24000 - 8000) \\ & = \frac{1}{4}(16000) \\ & = 4000 \end{align}
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm^3 . \, \heartsuit
\spadesuit \, Misalkan alas balok persegi dengan rusuk x \, dan tingginya t
\spadesuit \, Diketahui luas bahan 1200, artinya luas bahan sama dengan luas permukaan balok tanpa tutup.
\begin{align} \text{luas permukaan tanpa tutup } & = 1200 \\ x^2 + 4xt & = 1200 \\ t & = \frac{1200 - x^2}{4x} \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}
\spadesuit \, Menentukan fungsi volume balok dengan substitusi pers(i)
\begin{align} \text{vlume balok } & = \text{luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = x^2 . t \, \, \, \, \, \text{[subst. pers(i)]} \\ & = x^2 . \frac{1200 - x^2}{4x} \\ V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \end{align}
\spadesuit \, Volume maksimum saat turunan pertama = 0 :
\begin{align} V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V^\prime (x) & = \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) \\ V^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) & = 0 \\ 3x^2 & = 1200 \\ x^2 & = 400 \\ x & = \sqrt{400} = 20 \end{align}
Artinya volume akan maksimum saat x = 20 \, cm.
\spadesuit \, Menentukan volume maksimumnnya untuk x = 20
\begin{align} x = 20 \rightarrow V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V(20) & = \frac{1}{4}(1200 \times 20 - 20^3) \\ & = \frac{1}{4}(24000 - 8000) \\ & = \frac{1}{4}(16000) \\ & = 4000 \end{align}
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm^3 . \, \heartsuit
Cara II :
\spadesuit \, Volume maksimum jika diketahui luas permukaan (L_p) dan alas kotak berupa persegi :
*). Kotak dengan tutup
V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{6}}
*). Kotak tanpa tutup
V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}}
Rumus pasti di atas diperoleh dari konsep dasar turunan dan pasti benar.
\spadesuit \, Volume maksimum kotak tanpa tutup dengan L_p = 1200
\begin{align} V_{maks} & = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}} \\ & = \frac{1200}{6} \sqrt{\frac{1200}{3}} \\ & = 200 \sqrt{400} \\ & = 200 . 20 \\ & = 4000 \end{align}
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm^3 . \, \heartsuit
\spadesuit \, Volume maksimum jika diketahui luas permukaan (L_p) dan alas kotak berupa persegi :
*). Kotak dengan tutup
V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{6}}
*). Kotak tanpa tutup
V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}}
Rumus pasti di atas diperoleh dari konsep dasar turunan dan pasti benar.
\spadesuit \, Volume maksimum kotak tanpa tutup dengan L_p = 1200
\begin{align} V_{maks} & = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}} \\ & = \frac{1200}{6} \sqrt{\frac{1200}{3}} \\ & = 200 \sqrt{400} \\ & = 200 . 20 \\ & = 4000 \end{align}
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm^3 . \, \heartsuit
Nomor 10
Fungsi kuadrat f(x) = -2x^2 - 4x + 2p \, selalu bernilai negatif jika ....
\clubsuit \, Konsep Definit Negatif
*). Definit negatif artinya fungsi kuadrat selalu bernilai negatif untuk semua nilai x \, .
*). Syarat definit negatif : a < 0 \, dan D < 0 \, dengan D = b^2 - 4ac .
\clubsuit \, Fungsi kuadrat f(x) = -2x^2 - 4x + 2p \,
Nilai a = -2, \, b = -4, \, dan c = 2p
\clubsuit \, Syarat definit negatif :
*). Nilai a = -2 < 0 \, (benar) artinya sudah terpenuhi.
*). Nilai D < 0
\begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (-4)^2 - 4.(-2). (2p) & < 0 \\ 16 + 16p & < 0 \\ 16p & < -16 \\ p & < -1 \end{align}
Jadi, diperoleh p < -1 \, agar fungsi kuadratnya bernilai negatif. \, \heartsuit
*). Definit negatif artinya fungsi kuadrat selalu bernilai negatif untuk semua nilai x \, .
*). Syarat definit negatif : a < 0 \, dan D < 0 \, dengan D = b^2 - 4ac .
\clubsuit \, Fungsi kuadrat f(x) = -2x^2 - 4x + 2p \,
Nilai a = -2, \, b = -4, \, dan c = 2p
\clubsuit \, Syarat definit negatif :
*). Nilai a = -2 < 0 \, (benar) artinya sudah terpenuhi.
*). Nilai D < 0
\begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (-4)^2 - 4.(-2). (2p) & < 0 \\ 16 + 16p & < 0 \\ 16p & < -16 \\ p & < -1 \end{align}
Jadi, diperoleh p < -1 \, agar fungsi kuadratnya bernilai negatif. \, \heartsuit
