Nomor 6
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \cos (x-2)}{x^2 - 4} \, $ adalah ...
$ \spadesuit \, $ Pada soal ini, setelah dihitung dsesuai soal aslinya menggunakan $ \cos (x-2) \, $ , ternyata tidak ada jawabannya.
menurut kami, ada kesalahan pengetikan, seharusnya menggunakan bentuk $ \sin (x-2) $.
Soal menjadi : $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} $.
$ \spadesuit \, $ konsep limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan syarat $ f(k) = 0 $.
$ \spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x+2)(x-3) \sin (x-2)}{(x-2)(x+2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-3) \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x-3) \frac{ \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = (2-3) \frac{ 1}{1} \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ -1. \, \heartsuit $
Soal menjadi : $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} $.
$ \spadesuit \, $ konsep limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan syarat $ f(k) = 0 $.
$ \spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x+2)(x-3) \sin (x-2)}{(x-2)(x+2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-3) \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x-3) \frac{ \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = (2-3) \frac{ 1}{1} \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ -1. \, \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui $ g(2x-1) = x - 2 \, $ dan $ (f\circ g)(2x-1) = x^2 + x - 6. \, $ Nilai $ f(-1) \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Substitusi $ g(2x-1) = x - 2 \, $ ke bentuk komposisinya
$ \begin{align} (f\circ g)(2x-1) & = x^2 + x - 6 \\ f ( g(2x-1) ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \end{align} $
*). Yang ditanyakan nilai $ f(-1) \, $ , sementara kita peroleh bentuk $ f( x- 2 ) \, $ artinya $ x - 2 = -1 \rightarrow x = 1 $. Sehingga cukup kita substitusi $ x = 1 \, $ ke fungsi $ f(x-2) \, $ nya.
$\clubsuit \, $ Substitusi $ x = 1 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( 1 - 2 ) & = 1^2 + 1 - 6 \\ f ( -1 ) & = 1 + 1 - 6 \\ & = -4 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(-1) = -4. \, \heartsuit $
$ \begin{align} (f\circ g)(2x-1) & = x^2 + x - 6 \\ f ( g(2x-1) ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \end{align} $
*). Yang ditanyakan nilai $ f(-1) \, $ , sementara kita peroleh bentuk $ f( x- 2 ) \, $ artinya $ x - 2 = -1 \rightarrow x = 1 $. Sehingga cukup kita substitusi $ x = 1 \, $ ke fungsi $ f(x-2) \, $ nya.
$\clubsuit \, $ Substitusi $ x = 1 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( 1 - 2 ) & = 1^2 + 1 - 6 \\ f ( -1 ) & = 1 + 1 - 6 \\ & = -4 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(-1) = -4. \, \heartsuit $
Nomor 8
Bilangan terdiri dari tiga angka akan disusun dari angka 1, 2, 3, 5, 7, dan 9. Banyaknya bilangan yang dapat disusun dengan susunan
angka-angka yang berlainan dan nilainya lebih kecil dari 700 adalan ....
$\clubsuit \, $ Pilihan angka ada 6 yaitu : 1, 2, 3, 5, 7, 9
$\clubsuit \, $ Dibentuk tiga angka dengan susunan angka yang berlainan dan lebih kecil dari 700
Total banyaknya angka yang terbentuk adalah :
Ratusan ada 4 pilihan, puluhan ada 5 pilihan, dan satuan ada 4 pilihan.
total $ = 4.5.4 = 80 \, $ angka.
Keterangan :
*). Ratusan : agar kurang dari 700, maka ratusan yang mungkin dipilih dari angka 1, 2, 3, 5 (ada 4 pilihan).
*). Puluhan : puluhannya bebas, tetapi satu angka sudah dipakai untuk ratusan, sehingga tersisa 5 pilihan angka untuk puluhan.
*). Satuan : satuan tersisa 4 pilihan karena dua anagka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Jadi, ada 80 angka yang terbentuk yang terdiri dari tiga angka. $ \, \heartsuit $
$\clubsuit \, $ Dibentuk tiga angka dengan susunan angka yang berlainan dan lebih kecil dari 700
Total banyaknya angka yang terbentuk adalah :
Ratusan ada 4 pilihan, puluhan ada 5 pilihan, dan satuan ada 4 pilihan.
total $ = 4.5.4 = 80 \, $ angka.
Keterangan :
*). Ratusan : agar kurang dari 700, maka ratusan yang mungkin dipilih dari angka 1, 2, 3, 5 (ada 4 pilihan).
*). Puluhan : puluhannya bebas, tetapi satu angka sudah dipakai untuk ratusan, sehingga tersisa 5 pilihan angka untuk puluhan.
*). Satuan : satuan tersisa 4 pilihan karena dua anagka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Jadi, ada 80 angka yang terbentuk yang terdiri dari tiga angka. $ \, \heartsuit $
Nomor 9
Jika tersedia bahan aluminium 1200 cm$^2 \, $ untuk membuat suatu kotak dengan alas berbentuk bujursangkar (persegi) dengan bagian
atas terbuka, volume kotak terbesar yang mungkin terbentuk adalah ....
Cara I :
$\spadesuit \, $ Misalkan alas balok persegi dengan rusuk $ x \, $ dan tingginya $ t $
$\spadesuit \, $ Diketahui luas bahan 1200, artinya luas bahan sama dengan luas permukaan balok tanpa tutup.
$\begin{align} \text{luas permukaan tanpa tutup } & = 1200 \\ x^2 + 4xt & = 1200 \\ t & = \frac{1200 - x^2}{4x} \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi volume balok dengan substitusi pers(i)
$\begin{align} \text{vlume balok } & = \text{luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = x^2 . t \, \, \, \, \, \text{[subst. pers(i)]} \\ & = x^2 . \frac{1200 - x^2}{4x} \\ V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Volume maksimum saat turunan pertama = 0 :
$\begin{align} V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V^\prime (x) & = \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) \\ V^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) & = 0 \\ 3x^2 & = 1200 \\ x^2 & = 400 \\ x & = \sqrt{400} = 20 \end{align}$
Artinya volume akan maksimum saat $ x = 20 \, $ cm.
$\spadesuit \, $ Menentukan volume maksimumnnya untuk $ x = 20 $
$\begin{align} x = 20 \rightarrow V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V(20) & = \frac{1}{4}(1200 \times 20 - 20^3) \\ & = \frac{1}{4}(24000 - 8000) \\ & = \frac{1}{4}(16000) \\ & = 4000 \end{align}$
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm$^3 . \, \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Misalkan alas balok persegi dengan rusuk $ x \, $ dan tingginya $ t $
$\spadesuit \, $ Diketahui luas bahan 1200, artinya luas bahan sama dengan luas permukaan balok tanpa tutup.
$\begin{align} \text{luas permukaan tanpa tutup } & = 1200 \\ x^2 + 4xt & = 1200 \\ t & = \frac{1200 - x^2}{4x} \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi volume balok dengan substitusi pers(i)
$\begin{align} \text{vlume balok } & = \text{luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = x^2 . t \, \, \, \, \, \text{[subst. pers(i)]} \\ & = x^2 . \frac{1200 - x^2}{4x} \\ V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Volume maksimum saat turunan pertama = 0 :
$\begin{align} V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V^\prime (x) & = \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) \\ V^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) & = 0 \\ 3x^2 & = 1200 \\ x^2 & = 400 \\ x & = \sqrt{400} = 20 \end{align}$
Artinya volume akan maksimum saat $ x = 20 \, $ cm.
$\spadesuit \, $ Menentukan volume maksimumnnya untuk $ x = 20 $
$\begin{align} x = 20 \rightarrow V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V(20) & = \frac{1}{4}(1200 \times 20 - 20^3) \\ & = \frac{1}{4}(24000 - 8000) \\ & = \frac{1}{4}(16000) \\ & = 4000 \end{align}$
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm$^3 . \, \heartsuit $
Cara II :
$\spadesuit \, $ Volume maksimum jika diketahui luas permukaan $(L_p) $ dan alas kotak berupa persegi :
*). Kotak dengan tutup
$ V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{6}} $
*). Kotak tanpa tutup
$ V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}} $
Rumus pasti di atas diperoleh dari konsep dasar turunan dan pasti benar.
$\spadesuit \, $ Volume maksimum kotak tanpa tutup dengan $ L_p = 1200 $
$\begin{align} V_{maks} & = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}} \\ & = \frac{1200}{6} \sqrt{\frac{1200}{3}} \\ & = 200 \sqrt{400} \\ & = 200 . 20 \\ & = 4000 \end{align}$
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm$^3 . \, \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Volume maksimum jika diketahui luas permukaan $(L_p) $ dan alas kotak berupa persegi :
*). Kotak dengan tutup
$ V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{6}} $
*). Kotak tanpa tutup
$ V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}} $
Rumus pasti di atas diperoleh dari konsep dasar turunan dan pasti benar.
$\spadesuit \, $ Volume maksimum kotak tanpa tutup dengan $ L_p = 1200 $
$\begin{align} V_{maks} & = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}} \\ & = \frac{1200}{6} \sqrt{\frac{1200}{3}} \\ & = 200 \sqrt{400} \\ & = 200 . 20 \\ & = 4000 \end{align}$
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm$^3 . \, \heartsuit $
Nomor 10
Fungsi kuadrat $ f(x) = -2x^2 - 4x + 2p \, $ selalu bernilai negatif jika ....
$ \clubsuit \, $ Konsep Definit Negatif
*). Definit negatif artinya fungsi kuadrat selalu bernilai negatif untuk semua nilai $ x \, $.
*). Syarat definit negatif : $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
$ \clubsuit \, $ Fungsi kuadrat $ f(x) = -2x^2 - 4x + 2p \, $
Nilai $ a = -2, \, b = -4, \, $ dan $ c = 2p $
$ \clubsuit \, $ Syarat definit negatif :
*). Nilai $ a = -2 < 0 \, $ (benar) artinya sudah terpenuhi.
*). Nilai $ D < 0 $
$\begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (-4)^2 - 4.(-2). (2p) & < 0 \\ 16 + 16p & < 0 \\ 16p & < -16 \\ p & < -1 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ p < -1 \, $ agar fungsi kuadratnya bernilai negatif. $ \, \heartsuit $
*). Definit negatif artinya fungsi kuadrat selalu bernilai negatif untuk semua nilai $ x \, $.
*). Syarat definit negatif : $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
$ \clubsuit \, $ Fungsi kuadrat $ f(x) = -2x^2 - 4x + 2p \, $
Nilai $ a = -2, \, b = -4, \, $ dan $ c = 2p $
$ \clubsuit \, $ Syarat definit negatif :
*). Nilai $ a = -2 < 0 \, $ (benar) artinya sudah terpenuhi.
*). Nilai $ D < 0 $
$\begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (-4)^2 - 4.(-2). (2p) & < 0 \\ 16 + 16p & < 0 \\ 16p & < -16 \\ p & < -1 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ p < -1 \, $ agar fungsi kuadratnya bernilai negatif. $ \, \heartsuit $
