Pembahasan Limit UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x\sqrt{x} - p\sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} = .... $
A). $ p\sqrt{p} \, $ B). $ 3p \, $ C). $ p \, $ D). $ 3\sqrt{p} \, $ E). $ \sqrt{p} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penggunaan limit pada turunan (Dalil L'Hopital):
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ , memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turnan fungsi :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = n . x^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ \begin{align} y & = x\sqrt{x} = x^1 . x^\frac{1}{2} = x^\frac{3}{2} \\ y^\prime & = \frac{3}{2}x^\frac{1}{2} \\ u & = \sqrt{x} \rightarrow u^\prime = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x\sqrt{x} - p\sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} & = \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \\ & = \displaystyle \, \lim_{x \to p} 3 x^{\frac{1}{2} - (\frac{1}{2})} \\ & = \displaystyle \, \lim_{x \to p} 3 x^{1} \\ & = \displaystyle \, \lim_{x \to p} 3 x \\ & = 3p \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3p . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis $ g $ melalui titik $ P(-2,1) $ dan memotong parabola $ y = x^2 - 4x + 3 $ di titik $ Q(x,y) $ dan $ R(4,3) $ , maka $ y - 5x = .... $
A). $-\frac{1}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{9} \, $ C). $\frac{1}{9} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{2}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis lurus melalui dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
$ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $
*). Untuk menentukan titik potong dua kurva, bisa disubstitusikan salah satu persamaan ke persamaan yang lainnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Garis $ g $ melalui titik $ P(-2,1) $ dan memotong parabola di titik $ Q(x,y) $ dan $ R(4,3) $, artinya garis $ g $ melalui titik P dan R
*). Menyusun persamaan garis $ g $ melalui titik $ (x_1,y_1) = (-2,1) $ dan $ (x_2,y_2)=(4,3) $ :
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-1}{3-1} & = \frac{x-(-2)}{4 - (-2)} \\ \frac{y-1}{2} & = \frac{x+2}{6} \\ \frac{y-1}{1} & = \frac{x+2}{3} \\ 3y - 3 & = x + 2 \\ 3y - x - 5 & = 0 \end{align} $
*). Substitusi persamaan parabola ke garis :
$\begin{align} 3y - x - 5 & = 0 \\ 3(x^2 - 4x + 3) - x - 5 & = 0 \\ 3x^2 - 13x + 4 & = 0 \\ (3x - 1)(x - 4) & = 0 \\ x = \frac{1}{3} \vee x & = 4 \end{align} $
Untuk $ x = 4 $ , berarti titik $ R(4,3) $
Untuk $ x = \frac{1}{3} $ , berarti titik $ Q $ :
*). Substitusi $ x = \frac{1}{3} $ ke garis untuk menentukan nilai $ y $ :
$\begin{align} 3y - x - 5 & = 0 \\ 3y - \frac{1}{3} - 5 & = 0 \\ 3y - \frac{16}{3} & = 0 \\ 3y & = \frac{16}{3} \\ y & = \frac{16}{9} \end{align} $
Sehingga titik $ Q(x,y) = \left( \frac{1}{3} , \frac{16}{9} \right) $
*). Menentukan nilai $ y - 5x $ :
$\begin{align} y - 5x & = \frac{16}{9} - 5. \frac{1}{3} = \frac{16}{9} - \frac{15}{9} = \frac{1}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ y - 5x = \frac{1}{9} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika kedua akar persamaan kuadrat $ x^2 - px + p = 0 $ bernilai positif, maka jumlah kuadrat akar-akar itu mempunyai ekstrem ....
A). minimum $ - 1 $
B). maksimum $ - 1 $
C). minimum $ 8 $
D). maksimum $ 8 $
E). minimum $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) :
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Jumlah kuadrat $ = x_1^2 + x_2^2 $
Penjabarannya : $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2.x_1x_2 $
-). Syarat akar-akar positif :
i). $ x_1+x_2 > 0 $
ii). $ x_1.x_2 > 0 $
iii). $ D \geq 0 \, $ , dengan $ D = b^2 - 4ac $
(ketiga syarat diiriskan hasilnya)
*). Syarat nilai maksimum atau minimum : turunan pertama $ = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - px + p = 0 $ dengan $ a = 1, b = -p, c = p $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p}{1} = p $
$ D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4.1.p = p^2 - 4p = p(p-4) $
*). Menentukan syarat nilai $ p $ agar akar-akarnya positif :
i). Syarat Pertama : $ x_1 + x_2 > 0 $
$\begin{align} x_1 + x_2 > 0 \rightarrow p > 0 \, \, \, \, \, \, (HP_1) \end{align} $
ii). Syarat Kedua : $ x_1 . x_2 > 0 $
$\begin{align} x_1 . x_2 > 0 \rightarrow p > 0 \, \, \, \, \, \, (HP_2) \end{align} $
iii). Syarat Ketiga : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D \geq 0 \rightarrow p(p-4) \geq 0 \rightarrow p = 0 \vee p = 4 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Solusi syarat ketiga : $ HP_3 = p \leq 0 \vee p \geq 4 $
Sehingga solusi total syarat akar-akar positif :
$ HP = HP_1 \cap HP_2 \cap HP_3 = \{ p \geq 4 \} $.
Artinya PK $ x^2 -px + p = 0 $ memiliki akar-akar positif untuk $ p \geq 4 $.
*). Bentuk jumlah kuadratnya : $ x_1^2 + x_2^2 $
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2.x_1x_2 = p^2 - 2p \end{align} $
*). Bentuk $ p^2 - 2p $ adalah fungsi kuadrat dengan $ a = 1 > 0 $ sehingga nilainya minimum pada saat :
$ f(p) = p^2 - 2p \rightarrow f^\prime (p) = 0 \rightarrow 2p - 2 = 0 \rightarrow p = 1 $.
Padahal syaratnya $ p \geq 4 $, maka agar $ p^2 - 2p $ minimum kita pilih nilai $ p $ yang mendekati 1 yaitu $ p = 4 $.
*). Mentukan nilai minimum $ x_1^2 + x_2^2 $ pada saat $ p = 4 $ :
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = p^2 - 2p = 4^2 - 2.4 = 8 \end{align} $
Jadi, nilai minimum jumlah kuadratnya adalah $ 8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai dari $ \frac{\sin 48^\circ + \sin 12^\circ}{\cos 78^\circ + \cos 42^\circ} \, $ adalah ....
A). $\frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ \cos 18^\circ \, $ E). $ \tan 18^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Rumus Trigonometri
1). $ \sin A + \sin B = 2\sin \left( \frac{A+B}{2} \right) . \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $
2). $ \cos A + \cos B = 2\cos \left( \frac{A+B}{2} \right) . \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} \frac{\sin 48^\circ + \sin 12^\circ}{\cos 78^\circ + \cos 42^\circ} & = \frac{2\sin \left( \frac{48^\circ+12^\circ}{2} \right) . \cos \left( \frac{48^\circ-12^\circ}{2} \right)}{2\cos \left( \frac{78^\circ+ 42^\circ}{2} \right) . \cos \left( \frac{78^\circ- 42^\circ}{2} \right)} \\ & = \frac{\sin \left( 30^\circ \right) . \cos \left( 18^\circ \right)}{\cos \left( 60^\circ \right) . \cos \left( 18^\circ \right)} \\ & = \frac{\sin \left( 30^\circ \right) }{\cos \left( 60^\circ \right) } = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{\sin 48^\circ + \sin 12^\circ}{\cos 78^\circ + \cos 42^\circ} = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Terapan Turunan UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ agar fungsi $ f(x) = x\sqrt{x^2+4} $ naik adalah ....
A). $ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \, $
B). $ -2 < x < 2 \, $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x > 2 $
D). $ x < -\sqrt{2} \, $ atau $ x > \sqrt{2} $
E). $ -\infty < x < \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ naik pada interval $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) > 0 $
*). Turunan fungsi :
1). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $
2). $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = x\sqrt{x^2+4} = U.V \\ U & = x \rightarrow U^\prime = 1 \\ V & = \sqrt{x^2+4} \rightarrow V^\prime = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ & = 1. \sqrt{x^2+4} + x.\frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \\ & = \frac{ \sqrt{x^2+4} \times \sqrt{x^2+4} }{ \sqrt{x^2+4}} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}} \\ & = \frac{ x^2 + 4}{ \sqrt{x^2+4}} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}} = \frac{ 2x^2 + 4}{ \sqrt{x^2+4}} \end{align} $
*). Perhatikan hasil turunannya, bentuk $ 2x^2 + 4 $ selalu positif, begitu juga untuk penyebutnya $ \sqrt{x^2+4} $, sehingga $ f^\prime (x) = \frac{ 2x^2 + 4}{ \sqrt{x^2+4}} $ selalu positif untuk semua $ x $, artinya $ f^\prime (x) > 0 $ terpenuhi untuk semua $ x $, hal ini mengakibatkan $ f(x) $ adalah fungsi naik untuk semua $ x $ atau dapat kita tulis intervalnya $ -\infty < x < \infty $ atau $ x \in R $ .
Jadi, fungsi $ f(x) $ naik pada interval $ -\infty < x < \infty . \, \heartsuit $