Cara 2 Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} = ..... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{48} \, $ C). $ \frac{1}{24} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan turunan pada limit (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.
*). Turunan fungsi :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = nx^{n-1} $
$ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1}. g^\prime (x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Turunan fungsi :
$ y = x^\frac{1}{3} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} $
$ y = (2 + x^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} $
*). Menyelesaikan limitnya dengan turunan :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \, \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} }{1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + 8^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.8^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + (2^3)^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2^3)^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + 2)^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.(2^2)^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.(2)^{-1} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} . \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{48} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{48} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} = ..... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{48} \, $ C). $ \frac{1}{24} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $( \frac{0}{0}) $ , salah satunya dengan kalika bentuk sekawannya.
*). Bentuk perkalian akar :
$ (\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) = a - b^2 $
$ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = (x^3 - y^3) $ sehingga :
misalkan $ x = \sqrt[3]{a} $ dan $ y = b $ , maka
$ (\sqrt[3]{a} - b)((\sqrt[3]{a})^2 + b\sqrt[3]{a} + b^2) = a - b^3 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \times \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2}{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{2 + \sqrt[3]{x} - 4}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \times \frac{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{x - 2^3}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{x - 8}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{1}{(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4)} \\ & = \frac{1}{(\sqrt{2 + \sqrt[3]{8}} + 2)((\sqrt[3]{8})^2 + 2\sqrt[3]{8} + 4)} \\ & = \frac{1}{(\sqrt{2 + 2} + 2)((2)^2 + 2.2 + 4)} \\ & = \frac{1}{( 2 + 2)(4 + 4 + 4)} \\ & = \frac{1}{(4)(12)} = \frac{1}{48} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{48} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 1 + (1-\sqrt{2})\sin t - \sqrt{2}\sin ^2 t \leq 0 $ dengan $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $ adalah .....
A). $ \{ t \in R | \frac{\pi}{2} < t < \pi \} \, $
B). $ \{ t \in R | \frac{3\pi}{4} < t < \pi \} \, $
C). $ \{ t \in R | \frac{\pi}{2} < t \leq \frac{3\pi}{4} \} \, $
D). $ \{ t \in R | \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{4} \} \, $
E). $ \{ t \in R | \frac{3\pi}{4} \leq t < \pi \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar pertidaksamaannya :
$ \begin{align} 1 + (1-\sqrt{2})\sin t - \sqrt{2}\sin ^2 t & \leq 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ \sqrt{2}\sin ^2 t + (\sqrt{2}-1)\sin t - 1 & \geq 0 \\ (\sqrt{2}\sin t - 1)(\sin t + 1) & \geq 0 \\ \sin t = \frac{1}{\sqrt{2}} \vee \sin t & = -1 \\ \sin t = \frac{1}{2}\sqrt{2} \vee \sin t & = -1 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ \sin t = \frac{1}{2}\sqrt{2} \rightarrow t = \{ ..., \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} , ... \} $
$ \sin t = -1 \rightarrow t = \{ ..., \frac{3\pi}{2} , ... \} $
Garis bilangannya :
 

Karena syaratnya $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $ dan $ \geq 0 $ (positif),
maka solusinya : $ \{ \frac{\pi}{2} < t \leq \frac{3\pi}{4} \} $
Jadi, HP $ = \{ \frac{\pi}{2} < t \leq \frac{3\pi}{4} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) $ , $ C = \left( \begin{matrix} 4 & -5 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) $ dan $ (B^{-1}AC)^{-1} = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) $, maka matriks $ B $ sama dengan .....
A). $ \left( \begin{matrix} 3 & -4 \\ -4 & 5 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} -5 & -4 \\ -4 & -3 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} -3 & -4 \\ -4 & -5 \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} 5 & -4 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat invers pada matriks :
(i). $ (A^{-1})^{-1} = A $
(ii). $ (A.B)^{-1} = B^{-1}.A^{-1} $
(iii). $ AB = C \rightarrow A = C. B^{-1} $
(iv). $ Y^{-1}.B = C \rightarrow B = Y.C $
(v). $ (A.B.C)^{-1} = C^{-1}. B^{-1}. A^{-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks B :
$ \begin{align} (B^{-1}AC)^{-1} & = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ C^{-1}.A^{-1}.(B^{-1})^{-1} & = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ C^{-1}.A^{-1}.B & = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ A^{-1}.B & = C.\left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ B & = A.C.\left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 4 & -5 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & -4 \\ 5 & -7 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matriks $ A = \left( \begin{matrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah dari tiga bilangan yang membentuk deret aritmatika adalah 27. Jika bilangan terbesar ditambah 12 maka ketiga bilangan tersebut membentuk deret geometri. Bilangan terkecil dari ketiga bilangan tersebut adalah .....
A). $ -9 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 15 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmatika :
"mempunyai selisih yang sama"
*). Ciri-ciri barisan geometri :
"mempunyai perbandingan yang sama"

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan barisan aritmatikanya : $ a - b, a, a + b $
dengan $ a-b $ terkcil dan $ a + b $ terbesar , sehingga haruslah nilai $ b > 0 $ .
*). Jumlah ketiga bilangan = 27
$ \begin{align} (a - b) + a + (a + b) & = 27 \\ 3a & = 27 \\ a & = 9 \end{align} $
Sehingga barisan artimatikanya : $ 9-b, 9, 9 + b $
*). Bilangan terbesar ditambah 12, sehingga terbentuk barisan geometri, barisannya yaitu :
$ 9- b , 9 , 9 + b + 12 $
*). Ciri-ciri barisan geometri :
$ \begin{align} \frac{u_2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ u_1. u_3 & = (u_2)^2 \\ (9-b).(21 + b) & = 9^2 \\ 189 - 12 b + b^2 & = 81 \\ b^2 + 12b - 108 & = 0 \\ (b + 18)(b - 6) & = 0 \\ b = -18 \vee b & = 6 \end{align} $
karena $ b > 0 $ , yang memenuhi $ b = 6 $.
*). Menentukan tiga bilangan awal dengan nial $ b $ :
ketiga bilangan : $ 9-b, 9 , 9 + b $
$ \begin{align} b = 6 \rightarrow 3 , 9 , 15 \end{align} $
Sehingga bilangan terkecilnya adalah 3.
Jadi, bilangan terkecilnya adalah 3 $ . \, \heartsuit $