Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} = ..... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{48} \, $ C). $ \frac{1}{24} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ \infty $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{48} \, $ C). $ \frac{1}{24} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ \infty $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan turunan pada limit (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.
*). Turunan fungsi :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = nx^{n-1} $
$ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1}. g^\prime (x) $
*). Penerapan turunan pada limit (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.
*). Turunan fungsi :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = nx^{n-1} $
$ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1}. g^\prime (x) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Turunan fungsi :
$ y = x^\frac{1}{3} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} $
$ y = (2 + x^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} $
*). Menyelesaikan limitnya dengan turunan :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \, \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} }{1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + 8^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.8^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + (2^3)^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2^3)^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + 2)^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.(2^2)^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.(2)^{-1} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} . \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{48} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{48} . \, \heartsuit $
*). Turunan fungsi :
$ y = x^\frac{1}{3} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} $
$ y = (2 + x^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} $
*). Menyelesaikan limitnya dengan turunan :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \, \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} }{1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + 8^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.8^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + (2^3)^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2^3)^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + 2)^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.(2^2)^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.(2)^{-1} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} . \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{48} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{48} . \, \heartsuit $