Pembahasan Integral UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas bagian bidang yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva $ y = \cos 3x $ dan $ y = \sin 3x $ adalah ....
A). $ \frac{1}{2}(\sqrt{3} + 1) \, $ B). $ \frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1) \, $
C). $ \frac{1}{3}(\sqrt{2} - 1) \, $ D). $ \frac{1}{3}(\sqrt{3} + 1) \, $
E). $ \frac{1}{6}(\sqrt{3}- \sqrt{2}) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interal $ a \leq x \leq b $ adalah
Luas $ = \int \limits_a^b [f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas $ - $ kurva bawah).
*). RUmus integral trigonometri :
$ \int \cos ax dx = \frac{1}{a} \sin ax $
$ \int \sin ax dx = -\frac{1}{a} \cos ax $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar daerahnya
 
gambar 1.
*). Menentukan titik potong kurva $ y = \cos 3x $ dan $ y = \sin 3x $ :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ \sin 3x & = \cos 3x \\ x & = 15^\circ \end{align} $
*). Menentukan Luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_0^{15^\circ} [\cos 3x - \sin 3x ] dx \\ & = [\frac{1}{3}\sin 3x - (- \frac{1}{3})\cos 3x ]_0^{15^\circ} \\ & = \frac{1}{3}[ \sin 3x + \cos 3x ]_0^{15^\circ} \\ & = \frac{1}{3}[ (\sin 45^\circ + \cos 45^\circ ) - (\sin 0 + \cos 0) ] \\ & = \frac{1}{3}[ (\frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sqrt{2} ) - ( 0 + 1) ] \\ & = \frac{1}{3}[ \sqrt{2}- 1 ] \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{1}{3}[ \sqrt{2}- 1 ] . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui deret aritmetika $ a_1 + a_2 + a_3 + ....$. Jika jumlah 5 suku pertama sama dengan 5 dan $ {}^6 \log (3a_1+a_5) = 2 $ , maka jumlah 13 suku pertamanya sama dengan ....
A). $ -806 \, $ B). $ -611 \, $ C). $ -403 \, $ D). $ -79 \, $ E). $ 637 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan dan deret aritmetika :
-). RUmus suku ke-$n$ : $ u_n = a + (n-1) b $
-). Jumlah $ n $ suku pertama ($S_n$) :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ a_1, a_2, a_3, a_4, .... $ sama saja dengan $ u_1, u_2, u_3, u_4, .... $
*). Menyusun persamaan :
-). jumlah 5 suku pertama = 5
$ \begin{align} S_5 & = 5 \\ \frac{5}{2}(2a + (5-1)b) & = 5 \\ \frac{5}{2}(2a + 4b) & = 5 \\ 5(a + 2b) & = 5 \\ a + 2b & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
-). persamaan kedua :
$ \begin{align} {}^6 \log (3a_1+a_5) & = 2 \\ 3a_1+a_5 & = 6^2 \\ 3a+(a + 4b) & = 36 \\ 4a + 4b & = 36 \\ a + b & = 9 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} a + 2b = 1 & \\ a + b = 9 & - \\ \hline b = -8 & \end{array} $
pers(ii): $ a + b = 9 \rightarrow a + (-8) = 9 \rightarrow a = 17 $.
*). Menentukanjumlah 13 suku pertamanya :
$ \begin{align} S_{13} & = \frac{13}{2}(2a + 12b) \\ & = 13(a + 6b) \\ & = 13(17 + 6.(-8)) \\ & = 13(17 - 48) \\ & = 13(-31) = -403 \end{align} $
Jadi, jumlah 13 suku pertamanya adalah $ -403 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Persamaan Logaritma UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan $ {}^{(x^2-6x+14)} \log (x-3) = {}^{(4x^2-4x+1)}\log (x^2-6x+9) $
dipenuhi oleh $ x = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 3 \, $ atau 5
C). $ 3 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 8 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). SIfat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
dimana logaritmanya memiliki syarat :
$ f(x) > 0, f(x) \neq 1, g(x) > 0, g(x) \neq 1 , h(x) > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} {}^{(x^2-6x+14)} \log (x-3) & = {}^{(4x^2-4x+1)}\log (x^2-6x+9) \\ {}^{(x^2-6x+14)} \log (x-3) & = {}^{(2x-1)^2}\log (x - 3)^2 \\ {}^{(x^2-6x+14)} \log (x-3) & = \frac{2}{2}. {}^{(2x-1)^2}\log (x - 3)^2 \\ {}^{(x^2-6x+14)} \log (x-3) & = {}^{(2x-1)}\log (x - 3) \\ x^2-6x+14 & = 2x-1 \\ x^2-8x+15 & = 0 \\ (x - 3)(x - 5) & = 0 \\ x = 3 \vee x = 5 \end{align} $
*). Karena syarat numerus harus positif yaitu $ x - 3 > 0 \rightarrow x > 3 $ , maka $ x = 5 $ saja yang memenuhi.
Jadi, penyelesaiannya adalah $ x = 5 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Logaritma UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Dua bilangan real $ a $ dan $ b $ memenuhi persamaan
$\left[\log (x^2+2)\right]^4 - \log (x^2+2)\log(x^2+2)^3 = 4 $ .
Maka $ a.b = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 1,99 \, $ E). $ -98 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). SIfat dan definisi logaritma :
$ {}^a \log b^n = n.{}^a \log b $
$ \log b = c \rightarrow b = 10^c $
*). Bentuk $ A^2 \, $ nilainya selalu positif untuk $ A $ bilangan real.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = \log (x^2+2) $ :
*). Menentukan akar-akar dengan mengubah persamaan :
$ \begin{align} \left[\log (x^2+2)\right]^4 - \log (x^2+2)\log(x^2+2)^3 & = 4 \\ \left[\log (x^2+2)\right]^4 - \log (x^2+2). 3\log(x^2+2) & = 4 \\ \left[\log (x^2+2)\right]^4 - 3[\log (x^2+2)]^2 & = 4 \\ p^4 - 3p^2 & = 4 \\ p^4 - 3p^2 - 4 & = 0 \\ (p^2 + 1)(p^2-4) & = 0 \end{align} $
$ p^2 + 1 = 0 \rightarrow p^2 = -1 \, $ (Tidak memenuhi)
$ p^2 = 4 \rightarrow p = \pm 2 \rightarrow p = 2 \vee p = -2 $
-). Menentukan nilai $ a.b $ untuk $ p = 2 $ dan $ p = -2 $
$ \begin{align} p = 2 \rightarrow \log (x^2+2) & = 2 \\ x^2 + 2 & = 10^2 \\ x^2 & = 98 \\ x & = \pm \sqrt{98} \\ x & = \sqrt{98} \vee x = -\sqrt{98} \\ x_1.x_2 & = \sqrt{98} . (-\sqrt{98}) = -98 \\ p = -2 \rightarrow \log (x^2+2) & = -2 \\ x^2 + 2 & = 10^{-2} \\ x^2 + 2 & = \frac{1}{100} \\ x^2 + 2 & = 0,01 \\ x^2 & = -1,99 \, \, \, \text{(Tidak memenuhi)} \end{align} $
Jadi, nilai $ a.b = x_1.x_2 = -98 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)