Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 336 tahun 2010 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika fungsi $f(x,y)=5000-x-y$ dengan syarat $x\geq 0 , y\geq 0, x-2y+2\geq 0, \, $ dan $\, 2x+y-6 \geq 0, $ maka ...
$\spadesuit \, $ Gambar kendala-kendalanya , Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP)
snmptn_matdas_k336_8_2010.png
$\spadesuit \, $ Analisa nilai maksimum/minimum .
Fungsi tujuannya : $f(x,y)=5000-x-y \rightarrow f(x,y)=5000-(x+y)$
$\spadesuit \, $ Semakin kecil nilai $x+y$ , maka nilai fungsi tujuannya semakin besar. nilai terkecilnya terletak pada titik (3,0) .
$f_{maksimum} = 5000-(x+y) = 5000- (3+0) = 4997. $
$\spadesuit \, $ Semakin besar nilai $x+y$ , maka nilai fungsi tujuannya semakin kecil. nilai terbesarnya terletak pada titik ($\infty$ ,$\infty$) .
$f_{minimum} = 5000-(\infty + \infty ) = 5000- \infty = - \infty. $
karena hasil nilai minimumnya negatif tak hingga ($- \infty $) , artinya nilainya tak terdefinisi, dengan kata lain nilai minimumnya tidak ada.
Jadi, $f$ mempunyai nilai maksimum dan tidak punya nilai minimum. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika $p < -3 $ dan $ q > 5 $ , maka nilai $q-p$ ...
$\clubsuit \, $ Ketaksamaan dijumlahkan, dengan catatan tanda ketaksamaannya harus sama.
$\begin{array}{c|c|cc} q > 0 & \text{kali} \, 1 & q > 5 & \\ p < -3 & \text{kali} \, -1 & -p > 3 & + \\ \hline & & q-p > 8 & \end{array}$
Karena $q-p > 8 $ , maka pasti nilai $q-p > 9 $ juga terpenuhi
(interval $q-p > 9 $ juga ada pada $q-p > 8 $ ).
Jadi, nilai $q-p $ lebih besar daripada 9. $ \heartsuit $
Nomor 13
Distribusi frekuensi usia pekerja pada perusahaan A dan B diberikan pada tabel berikut.
snmptn_matdas_k336_2_2010.png
Berdasarkan data pada tabel tersebut, kesimpulan yang tidak benar adalah ...
$\spadesuit \, $ Perusahaan A
Modus (frekuensi terbesar) terletak pada kelas 30 - 39 .
$\spadesuit \, $ Perusahaan B
Modus terletak pada kelas 50 - 59 .
$\spadesuit \, $ Artinya modus kedua perusahaan tidak terletak pada kelas interval yang sama.
Sehingga opsi yang salah adalah E.
Jadi, jawabannya opsi E. $ \heartsuit $
Nomor 14
Jika $0 \leq x \leq 2\pi $ dan $0 \leq y \leq 2\pi$ memenuhi persamaan $\sin (x+y)=\sin y \cos x , $ maka $\cos y \sin x = ...$
$\clubsuit \,$ Rumus dasar : $\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \sin (x+y) & = \sin y \cos x \\ \sin x \cos y + \cos x \sin y & = \sin y \cos x \\ \sin x \cos y & = \sin y \cos x - \cos x \sin y \\ \sin x \cos y & = 0 \end{align}$
Jadi, nilai $\sin x \cos y =0 . \heartsuit $
Nomor 15
Andri pergi ke tempat kerja pukul 7.00 setiap pagi. Jika menggunakan mobil dengan kecepatan 40 km/jam, maka dia tiba di tempat kerja terlambat 10 menit. Jika menggunakan mobil dengan kecepatan 60 km/jam, maka dia tiba di tempat kerja 20 menit sebelum jam kerja dimulai. Jadi, jarak antara rumah Andri dan tempat kerja adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $s = v . t$
keterangan : s = jarak, v = kecepatan, t = waktu
misalkan waktu normal yang ditempuh t jam.
$\spadesuit \, $ kecepatan 40 km/jam
terlambat 10 menit = $\frac{1}{6} $ jam.
waktu tempuh = ($t + \frac{1}{6} $ ) jam.
$s = 40 (t+\frac{1}{6} ) = 40t + \frac{20}{3} \, $ ...pers(i)
$\spadesuit \, $ kecepatan 60 km/jam
lebih cepat 20 menit = $\frac{2}{6} $ jam.
waktu tempuh = ($t - \frac{2}{6} $ ) jam.
$s = 60 (t-\frac{2}{6} ) = 60t - 20 \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan (ii)
$\begin{array}{c|c|cc} s = 40t + \frac{20}{3} & kali \, 3 & 3s = 120t + 20 & \\ s = 60t - 20 & kali \, 2 & 2s = 120t -40 & - \\ \hline & & s = 60 & \end{array}$
Jadi, jaraknya adalah 60 km. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 336 tahun 2010 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika -6, $a, b, c, d, e, f, g, \, $ 18 merupakan barisan aritmetika, maka $a+d+g = ...$
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika :
$U_n = a+(n-1)b \, $ dan $\, b = \frac{U_x-U_y}{x-y}$ .
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : -6, $a, b, c, d, e, f, g, \, $ 18
$U_1 = -6 \, $ dan $\, U_9 = 18$
$b = \frac{U_x-U_y}{x-y} \rightarrow b = \frac{U_9-U_1}{9-1}= \frac{18-(-6)}{8}=3$
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetikanya :
-6, $a, b, c, d, e, f, g, \, $ 18
-6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18
sehingga : $a+d+g = -3+6+15 = 18 $ .
Jadi, nilai $a+d+g = 18 . \heartsuit $
Nomor 7
Jika penyelesaian sistem persamaan $\left\{ \begin{array}{c} (a-2)x + y =0 \\ x+(a-2)y=0 \end{array} \right. $
tidak hanya ($x,y$) = (0,0) saja, maka nilai $a^2-4a+3=...$
$\clubsuit \, $ Eliminasi kedua persamaan
$\begin{array}{c|c|cc} (a-2)x + y =0 & \text{kali} \, (a-2) & (a-2)^2x + (a-2)y =0 & \\ x+(a-2)y=0 & \text{kali} \, 1 & x+(a-2)y=0 & - \\ \hline & & [(a-2)^2-1]x=0 & \end{array} $
artinya : $[(a-2)^2-1] = 0 \, $ atau $\, x = 0$
Karena solusinya tidak hanya (x,y)=(0,0), maka haruslah
$[(a-2)^2-1] = 0 \rightarrow a^2-4a+3 = 0$
Jadi, nilai $a^2-4a+3 = 0. \heartsuit$

Cara II
$\clubsuit \, $ karena solusinya tidak hanya (0,0), maka solusinya banyak (tak hingga)
$\clubsuit \, $ Konsep dasar :
$\left\{ \begin{array}{c} a_1x + b_1y =c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{array} \right. $
Solusinya tak hingga jika dan hanya jika : $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal :
$\frac{a-2}{1}=\frac{1}{a-2} \rightarrow (a-2)^2 = 1 \rightarrow a^2-4a+3 = 0 $
Jadi, nilai $a^2-4a+3 = 0. \heartsuit$
Nomor 8
Jika $g(x-2)=2x-3 \, $ dan $\, (fog)(x-2)=4x^2-8x+3 , $ maka $f(-3) = ...$
$\spadesuit \, $ Menentukan komposisinya :
$\begin{align*} (fog)(x-2) & = 4x^2-8x+3 \\ f(g(x-2)) & = 4x^2-8x+3 \\ f(2x-3) & = 4x^2-8x+3 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Agar diperoleh $f(-3)$ , substitusi $x=0$ :
$\begin{align*} f(2x-3) & = 4x^2-8x+3 \\ x=0 \rightarrow f(2.0-3) & = 4.0^2-8.0+3 \\ f(-3) & = 3 \end{align*}$
Jadi, nilai $f(-3) = 3 . \heartsuit$
Nomor 9
Jika $M$ adalah matriks sehingga $M \times \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a & b \\ -a+c & -b+d \end{matrix} \right) $ , maka determinan matriks $M$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Sifat determinan : $|A.B| = |A| . |B| $
$\clubsuit \, $ Kedua ruas diberi determinan :
$\begin{align*} M \times \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ -a+c & -b+d \end{matrix} \right) \\ \left| M \times \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \right| & = \left| \begin{matrix} a & b \\ -a+c & -b+d \end{matrix} \right| \\ \left| M \right| . \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| & = a(-b+d) - b(-a+c) \\ \left| M \right| . (ad-bc) & = -ab + ad + ab -bc \\ \left| M \right| . (ad-bc) & = (ad -bc) \\ \left| M \right| & = \frac{(ad -bc)}{(ad -bc)} = 1 \end{align*}$
Jadi, nilai $\left| M \right| = 1. \heartsuit $
Nomor 10
Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk AB = 4 cm, BC = 3 cm, dan AE = 3 cm. Bidang AFH memotong balok menjadi 2 bagian dengan perbandingan volumenya adalah ...
$\spadesuit \, $ Gambarnya :
snmptn_matdas_k336_7_2010.png
$\spadesuit \, $ Bagian satu, limas F.AEH
$ V_1 = \frac{1}{3} L_{alas} . t = \frac{1}{3}.(\frac{1}{2}.3.3) . 4 = 6 $
$\spadesuit \, $ Bagian dua , bangun ABCD.HFG
$ V_2 = V_{balok} - V_1 = 4.3.3 - 6 = 30 $
sehingga prbandingannya : $V_1 : V_2 = 6 : 30 = 1 : 5$
Jadi, nilai perbandingan volumenya adalah 1 : 5. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 336 tahun 2010


Nomor 1
Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama dengan pernyataan : "Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1 + 2 bilangan ganjil" adalah ...
$\clubsuit \, $ Untuk implikasi, $B \Rightarrow S \,$ nilainya $S$ , selain itu $B$ .
Ket : B = Benar dan S = Salah.
$\clubsuit \, $ Cek nilai kebenaran soal :
bilangan ganjil sama dengan bilangan genap : nilainya S (salah)
1 + 2 bilangan ganjil : nilainya B (benar)
"Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1 + 2 bilangan ganjil"
sehingga : $S \Rightarrow B \,$ nilainya B (benar) . Artinya nilai kebenaran soal adalah B (benar).
Kita harus mencari di opsi yang nilai kebenarannya B juga, yaitu opsi D .
"Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1 + 2 bilangan genap"
$S \Rightarrow S \,$ nilai kebenarannya B (benar) juga.
Jadi, nilai kebenaran yang sama adalah opsi D.$\heartsuit $
Nomor 2
Jika $n$ memenuhi $\underbrace{25^{0,25}\times 25^{0,25}\times ...\times 25^{0,25}}_{n \text{ faktor}}=125,$
maka $(n-3)(n+2)= ...$
$\spadesuit \, $ Rumus Dasar :
$(a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $\, a^m.a^n = a^{m+n}$
$a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $n$
$\begin{align} \underbrace{25^{0,25}\times 25^{0,25}\times ...\times 25^{0,25}}_{n \text{ faktor}} & =125 \\ \underbrace{(5^2)^{\frac{1}{4}}\times (5^2)^{\frac{1}{4}}\times ...\times (5^2)^{\frac{1}{4}}}_{n \text{ faktor}} & =125 \\ \underbrace{5^{\frac{1}{2}}\times 5^{\frac{1}{2}}\times ...\times 5^{\frac{1}{2}}}_{n \text{ faktor}} & =125 \\ 5^ {\underbrace{{\frac{1}{2}} + {\frac{1}{2}} + ...+ {\frac{1}{2}}}_{n \text{ faktor}} } & = 5^3 \\ 5^{\frac{1}{2}n} & = 5^3 \\ \frac{1}{2}n & = 3 \\ n & = 6 \end{align}$
Sehingga : $(n-3)(n+2) = (6-3)(6+2) = 3 . 8 = 24$
Jadi, nilai $(n-3)(n+2) = 24 . \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan $x^2-ax-(a+1)=0 \, $ mempunyai akar-akar $x_1 > 1 $ dan $x_2 < 1 $ untuk ...
$\clubsuit \, $ Jumlah akar dan kali akar
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-a)}{1} = a$
$x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-(a+1)}{1} = -(a+1)$
$\clubsuit \, $ Memodifikasi dan dikalikan
$x_1 > 1 \Rightarrow x_1 - 1 > 0 \, \, \text{(positif)}$
$x_2 < 1 \Rightarrow x_2 - 1 < 0 \, \, \text{(negatif)}$
$\begin{align*} (x_1-1)(x_2-1) & < 0 \, \, \text{(positif kali negatif = negatif)}\\ x_1.x_2 - (x_1+x_2) + 1 & < 0 \\ -(a+1)-(a) + 1 & < 0 \\ -2a & < 0 \, \, \text{(bagi -2 dan tanda dibalik)} \\ a & > 0 \, \, ... \text{(HP}_1) \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Karena $x_1 > 1 $ dan $x_2 < 1 $ , maka akarnya berbeda, syarat : $D > 0 $
$\begin{align*} D > 0 \rightarrow b^2-4ac & > 0 \\ (-a)^2 - 4 . 1 . [-(a+1)] & > 0 \\ a^2 + 4a + a & > 0 \\ (a+2)^2 & > 0 \, \, ... \text{(Terpenuhi untuk semua } \, a \in R) \\ \text{HP}_2 & = \{ a \in R , a \neq -2 \} \end{align*}$
Sehingga, HP = $\text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 = \{ a > 0 \}$
Jadi, solusinya HP = $ \{ a > 0 \}. \heartsuit $
Nomor 4
Fungsi $f(x)=x^2+ax$ mempunyai grafik berikut
snmptn_matdas_k336_1_2010.png
Grafik fungsi $g(x)=x^2-ax+5 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Agar tidak rancu, alfabet $a$ diganti dengan $k$
$\spadesuit \, $ Analisa grafik $f(x) = x^2 + kx$
snmptn_matdas_k336_3_2010.png
Kurva hadap atas, sehingga nilai $a > 0 $
Puncak di kanan sumbu Y, berlaku BeKa (Beda Kanan), artinya nilai $a$ dan $b$ harus beda. Karena $a > 0 $ , maka nilai $ b < 0 $ (beda) . Sehingga, $b < 0 \rightarrow k < 0 $ (nilai $k$ negatif) .
Catatan : Jika puncak di kiri sumbu Y, berlaku SaRi (Sama Kiri) .
$\spadesuit \, $ Analisa grafik $g(x) = x^2 - kx + 5$
Nilai $a = 1 > 0 \, $ artinya kurva hadap atas.
Nilai $b = -k > 0 \, $ ( $k$ negatif, sehingga nilai $-k \, $ positif).
Karena nilai $a$ dan $b$ sama (sama-sama positif), berlaku SaRi ( Sama Kiri), artinya puncak ada di sebelah kiri sumbu Y.
$c = 5$ , artinya kurva memotong sumbu Y di $y=5$ .
Sketsa grafik fungsi $ y = g(x) $
snmptn_matdas_k336_4_2010.png
Nomor 5
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x+1}{x+1} > \frac{x}{x-1} $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Mengelompokkan ke ruas kiri
$\begin{align*} \frac{x+1}{x+1} & > \frac{x}{x-1} \\ \frac{x+1}{x+1} - \frac{x}{x-1} & > 0 \\ \frac{(x+1)(x-1) - x(x+1)}{(x+1)(x-1)} & > 0 \\ \frac{-(x+1)}{(x+1)(x-1)} & > 0 \\ x= -1 \, & \vee \, x = 1 \end{align*}$
snmptn_matdas_k336_5_2010.png
Jadi, HP = $ \{ x < -1 \vee -1 < x < 1 \}. \heartsuit$

Cara II
$\clubsuit \, \frac{x+1}{x+1} = 1 \, $ , dengan syarat : $x \neq -1 $
Sehingga , HP$_1 = \{ x \neq -1 \} $ .
$\clubsuit \, $ Mengelompokkan ke ruas kiri
$\begin{align*} \frac{x+1}{x+1} & > \frac{x}{x-1} \\ 1 - \frac{x}{x-1} & > 0 \\ \frac{(x-1) - x}{(x-1)} & > 0 \\ \frac{-1}{(x-1)} & > 0 \\ x & = 1 \end{align*}$
snmptn_matdas_k336_6_2010.png
HP$_2 = \{ x < 1 \} $ .
Sehingga, HP = $\text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 = \{ x < -1 \vee -1 < x < 1 \}$
Jadi, HP = $ \{ x < -1 \vee -1 < x < 1 \}. \heartsuit$

Cara III : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
yang ada $x=1$ dan $x=-1$ salah karena penyebutnya akan nol, opsi yang salah adalah A, B, dan C.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \frac{x+1}{x+1} & > \frac{x}{x-1} \\ \frac{0+1}{0+1} & > \frac{0}{0-1} \\ 1 & > 0 \, \, \text{(benar)} \end{align*}$
yang ada $x=0$ benar, opsi yang salah adalah D.
Jadi, opsi yang benar adalah E yaitu HP = $ \{ x < -1 \vee -1 < x < 1 \}. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15