Pembahasan Barisan Aritmatika dan Geometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a, \, 4, \, b \, $ adalah tiga suku berurutan dari barisan aritmatika dan $ a, \, 3, \, b \, $ merupakan tiga suku berurutan suatu barisan geometri, maka $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{8}{9} \, $ E). $ \frac{9}{8} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan geometri dan aritmatika
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan geometri, maka rasio (perbandingan) sama. Sehingga kita peroleh $ \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \rightarrow y^2 = x.z $
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan aritmatika, maka selisihnya sama. Sehingga kita peroleh $y - x = z - y \rightarrow 2y = x + z $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
barisan aritmatika : $ a, 4, b $
$ \begin{align} 2y & = x + z \\ 2.4 & = a + b \\ a + b & = 8 \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ \end{align} $
barisan geometri : $ a,3,b $
$ \begin{align} y^2 & = x.z \\ 3^2 & = a.b \\ ab & = 9 \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \\ \end{align} $
*). Menentukan hasil $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ :
$ \begin{align} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} & = \frac{a+b}{ab} \\ & = \frac{8}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{8}{9} . \, \heartsuit $



Pembahasan Barisan Geometri dan Aritmatika Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ 10, \, x_2, \, x_3, \, x_4 \, $ membentuk barisan geometri. Jika $ x_2 - 10, \, x_3 - 10 \, $ dan $ x_4-x_3-x_2-10 \, $ membentuk barisan aritmatika, maka nilai $ x_4 \, $ adalah ....
A). $ \frac{10}{27} \, $ B). $ \frac{5}{4} \, $ C). $ 80 \, $ D). $ 270 \, $ E). $ 640 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan geometri dan aritmatika
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan geometri, maka rasio (perbandingan) sama. Sehingga kita peroleh $ \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \rightarrow y^2 = x.z $
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan aritmatika, maka selisihnya sama. Sehingga kita peroleh $y - x = z - y \rightarrow 2y = x + z $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Pertama :
barisan aritmatika : $ x_2 - 10, \, x_3 - 10 \, $ dan $ x_4-x_3-x_2-10 $
$ \begin{align} 2y & = x + z \\ 2(x_3 - 10) & = (x_2 - 10) + (x_4-x_3-x_2-10) \\ 2x_3 - 20 & = x_4-x_3 - 20 \\ x_4 & = 3x_3 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
Kedua :
barisan geometri : $ 10, \, x_2, \, x_3, \, x_4 \, $
$ 10, \, x_2, \, x_3 \rightarrow x_2^2 = 10x_3 \, $ ....(ii)
$ x_2, \, x_3, \, x_4 \rightarrow x_3^2 = x_2.x_4 \, $ ....(iii)
*). Substitusi pers(i) ke (iii) :
$ \begin{align} x_3^2 & = x_2.x_4 \\ x_3^2 & = x_2.(3x_3) \\ x_3 & = 3x_2 \, \, \, \, \, \text{....(iv)} \end{align} $
*). Substitusi pers(iv) ke (ii) :
$ \begin{align} x_2^2 & = 10x_3 \\ x_2^2 & = 10.(3x_2) \\ x_2^2 & = 30x_2 \\ x_2 & = 30 \end{align} $
Sehingga untuk nilai yang lainnya :
pers(iv) : $ x_3 = 3x_2 = 3 . 30 = 90 $
pers(i) : $ x_4 = 3x_3 = 3. 90 = 270 $
Jadi, nilai $ x_4 = 270 . \, \heartsuit $



Pembahasan Persamaan Kuadrat dan Logaritma Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ merupakan akar-akar $ 4x^2-7x + p = 0 \, $ dengan $ x_1 < x_2 $. Jika $ {}^2 \log \left( \frac{1}{3}x_1 \right) = -2 - {}^2 \log x_2 $ , maka $ \, 4x_1 + x_2 = .... $
A). $ \frac{19}{4} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \frac{15}{4} \, $ D). $ \frac{13}{4} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan kuadrat (PK) dan logaritma
*). Operasi akar-akar PK $ \, ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ 4x^2 - 7x + p = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $.
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = \frac{p}{4} \, $ ....pers(i)
*). Menyelesaikan logaritmanya untuk menentukan nilai $ p $
$ \begin{align} {}^2 \log (\frac{1}{3}x_1) & = -2 - {}^2 \log x_2 \\ {}^2 \log (\frac{1}{3}x_1) + {}^2 \log x_2 & = -2 \\ {}^2 \log (\frac{1}{3}x_1.x_2) & = -2 \\ (\frac{1}{3}x_1.x_2) & = 2^{-2} \\ (\frac{1}{3}. \frac{p}{4}) & = \frac{1}{4} \\ p & = 3 \end{align} $
Sehingga PK menjadi : $ 4x^2 - 7x + p = 0 \rightarrow 4x^2 - 7x + 3 = 0 $ .
*). Menentukan akar-akarnya dengan pemfaktoran :
$ \begin{align} 4x^2 - 7x + 3 & = 0 \\ (4x-3)(x-1) & = 0 \\ x = \frac{3}{4} \vee x & = 1 \end{align} $
Karena $ x_1 < x_ 2 \, $ maka $ x_1 = \frac{3}{4} \, $ dan $ x_2 = 1 $.
*). Menentukan hasil $ 4x_1 + x_2 $ :
$ 4x_1 + x_2 = 4. \frac{3}{4} + 1 = 3 + 1 = 4 $
Jadi, nilai $ 4x_1 + x_2 = 4 . \, \heartsuit $



Pembahasan Logaritma Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ memenuhi persamaan $ (2\log x - 1) \frac{1}{{}^x \log 10} = \log 10 $ , maka $ x_1x_2 = .... $
A). $ 5\sqrt{10} \, $ B). $ 4\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{10} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma dan eksponen
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
*). Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
*). sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} \, $ dan $ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara I :
*). Misalkan $ p = {}^{10} \log x = \log x $
$ \begin{align} (2\log x - 1) \frac{1}{{}^x \log 10} & = \log 10 \\ (2\, {}^{10} \log x - 1) . {}^{10} \log x & = 1 \\ (2p - 1) .p & = 1 \\ 2p^2 - p - 1 & = 0 \\ (2p +1)(p-1) & = 0 \\ p = -\frac{1}{2} \vee p & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ p = -\frac{1}{2} \rightarrow {}^{10} \log x = -\frac{1}{2} \rightarrow x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} $
$ p = 1 \rightarrow {}^{10} \log x = 1 \rightarrow x_2 = 10^{1} = 10 $
Sehingga nilai :
$ x_1 . x_ 2 = 10^{-\frac{1}{2}} . 10 = 10^{-\frac{1}{2} + 1 } = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = \sqrt{10} . \, \heartsuit $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II :
*). Bagaimana kalau bentuk $ 2p^2 - p - 1 = 0 \, $ tidak bisa difaktorkan? Kita gunakan alternatif cara kedua ini.
Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $.
*). Misalkan akar-akar dari $ 2p^2 - p - 1 = 0 \, $ adalah $ p_1 \, $ dan $ p_2 \, $ dengan $ p_1 = {}^{10} \log x_1 \, $ dan $ p_2 = {}^{10} \log x_2 $.
*). Kita gunakan operasi penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat :
$ 2p^2 - p - 1 = 0 $
$\begin{align} p_1 + p_2 & = \frac{-b}{a} \\ {}^{10} \log x_1 + {}^{10} \log x_2 & = \frac{-(-1)}{2} \\ {}^{10} \log (x_1.x_2) & = \frac{1}{2} \\ (x_1.x_2) & = 10^\frac{1}{2} \\ (x_1.x_2) & = \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = \sqrt{10} . \, \heartsuit $



Pembahasan Polinomial Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui suku banyak $ P(x) \, $ jika dibagi dengan $(x^2 - 2x) $ sisanya $ 2 - 3x \, $ dan jika dibagi $(x^2+x-2) \, $ sisanya $ x+ 2 $. Jika $P(x) $ dibagi dengan $(x^2-3x+2)$, maka sisanya adalah ....
A). $ x - 10 \, $ B). $ -x+10 \, $
C). $ -7x - 10 \, $ D). $ 7x-10 \, $
E). $ -7x+10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Suku Banyak atau polinomial
*). Teorema sisa
$ \frac{f(x)}{x-a} \rightarrow \text{ sisa } = f(a) $
artinya sisanya diperoleh dengan mengganti $ x = a \, $ yaitu akar dari pembaginya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Pertama : $P(x) : (x^2 - 2x) \, $ bersisa $(2-3x) $.
$ \frac{P(x)}{x^2-2x} = \frac{P(x)}{x(x-2)} = \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = P(0) \\ \text{sisa} = P(2) \end{array} \right. $
artinya dengan sisa = $ 2-3x \, $ , kita peroleh :
$ \text{sisa} = P(0) \rightarrow P(0) = 2 - 3 \times 0 \rightarrow P(0) = 2 $
$ \text{sisa} = P(2) \rightarrow P(2) = 2 - 3 \times 2 \rightarrow P(2) = -4 $
Kedua : $P(x) : (x^2 + x - 2) \, $ bersisa $(x+2) $.
$ \frac{P(x)}{x^2 + x - 2} = \frac{P(x)}{(x-1)(x+2)} = \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = P(1) \\ \text{sisa} = P(-2) \end{array} \right. $
artinya dengan sisa = $ x + 2 \, $ , kita peroleh :
$ \text{sisa} = P(1) \rightarrow P(1) = 1 + 2 \rightarrow P(1) = 3 $
$ \text{sisa} = P(-2) \rightarrow P(2) = -2 + 2 \rightarrow P(-2) = 0 $

*). Menentukan sisa pembagian $ P(x) \, $ dengan $ x^2 -3x + 2 $ :
Karena pembaginya pangkat dua, maka sisanya pangkat satu. Misalkan sisanya adalah $ ax + b \, $ dan kita gunakan yang kita peroleh sebelumnya yaitu $ P(0)=2, \, P(2)=-4, \, P(1) = 3, \, P(-2) = 0 $.

$P(x) : (x^2 -3x + 2 ) \, $ bersisa $(ax+b) $.
$ \frac{P(x)}{x^2 -3x + 2 } = \frac{P(x)}{(x-1)(x-2)} = \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = P(1) \\ \text{sisa} = P(2) \end{array} \right. $
artinya dengan sisa = $ ax+b \, $ , kita peroleh :
$ \text{sisa} = P(1) \rightarrow P(1) = a.1 + b \rightarrow 3 = a + b \, $ ...(i)
$ \text{sisa} = P(2) \rightarrow P(2) = a.2 + b \rightarrow -4 = 2a + b \, $ ...(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$ \begin{array}{cc} a + b = 3 & \\ 2a + b = -4 & - \\ \hline -a = 7 & \\ a = -7 & \end{array} $
Pers(i) : $ a + b = 3 \rightarrow -7 + b = 3 \rightarrow b = 10 $
Sehingga sisanya : sisa = $ ax+b = -7x + 10 $.
Jadi, sisa pembagian $P(x) $ oleh $ x^2 -3x + 2 $ adalah $ -7x+10 . \, \heartsuit $



Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x \, $ yang memenuhi $|x+1| > x+3 \, $ dan $ \, |x+2| < 3 \, $ adalah ....
A). $ x < -2 \, $ B). $ -5 < x < -2 \, $
C). $ x > -5 \, $ D). $ -5 < x < 1 $
E). $ x > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Nilai Mutlak
*). Definisi nilai mutlak :
$|f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Sifat pertidaksamaan mutlak :
$ |f(x)| < a \rightarrow -a < f(x) < a $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan bentuk $ |x+1| > x+ 3 $
Definisi nilai mutlaknya :
$|x+1| = \left\{ \begin{array}{cc} x+1 & , x+1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 \\ -(x+1) & ,x+1< 0 \rightarrow x < -1 \end{array} \right. $
Pertama untuk $ x \geq -1, \, |x+1| = x+1 $
$ \begin{align} |x+1| & > x+ 3 \\ x + 1 & > x+ 3 \\ 1 & > 3 \, \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align} $
Artinya tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi untuk $ x \geq -1 $.
Kedua untuk $ x < -1 , \, $ maka $ |x+1| = -(x+1) $.
$ \begin{align} |x+1| & > x+ 3 \\ -(x + 1) & > x+ 3 \\ -x - 1 & > x+ 3 \\ -2x & > 4 \, \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x & < - 2 \end{align} $
Untuk $ x < -1 , \, $ yang memenuhi adalah $ x < -2 $
sehingga HP1 = $\{ x < -2 \} $.
*). Menyelesaikan bentuk $ |x+2| < 3 \, $ dengan sifat pertidaksamaan mutlak
$ \begin{align} |x+2| & < 3 \\ -3< & x + 2 < 3 \, \, \, \, \, \, \text{(kurangkan 2)} \\ -3 - 2 < & x + 2 -2 < 3 -2 \\ -5 < & x < 1 \end{align} $
sehingga HP2 = $\{ -5 < x < 1 \} $.
*). Karena nilai $ x \, $ harus memenuhi bentuk $|x+1| > x+3 \, $ dan $ \, |x+2| < 3, \, $ maka kita iriskan kedua HP.
HP = HP1 $ \cap \, $ HP2 = $ \{ -5 < x < -2 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \, \{ -5 < x < -2 \} . \, \heartsuit $