Pembahasan SPL SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ a , b, $ dan $ c $ adalah bilangan real positif dengan $ ab > 1 $. Jika $ x + ay = c $ , $ bx+y=2c $ , dan $ x < y $ , maka ...
A). $ 2a > b- 1 \, $ B). $ 2a > b - 2 \, $ C). $ 2a < b - 3 \, $
D). $ 2a< b - 2 \, $ E). $ 2a < b - 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL) :
Untuk menyelesaikan SPL, bisa menggunakan eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
-). Menentukan nilai $ x $
$ \begin{array}{c|c|cc} x + ay = c & \times 1 & x + ay = c & \\ bx+y=2c & \times a & abx+ay=2ac & - \\ \hline & & (ab-1)x = 2ac - c & \\ & & x = \frac{2ac - c}{ab-1} & \\ \end{array} $
-). Menentukan nilai $ y $
$ \begin{array}{c|c|cc} x + ay = c & \times b & bx + aby = bc & \\ bx+y=2c & \times 1 & bx+y=2c & - \\ \hline & & (ab-1)y = bc-2c & \\ & & y = \frac{bc-2c}{ab-1} & \\ \end{array} $
Kita peroleh : $ x = \frac{2ac - c}{ab-1} $ dan $ y = \frac{bc-2c}{ab-1} $
-). Karena $ ab > 1 $ , maka $ ab - 1 > 0 $ sehingga ketaksamaan dapat dikalikan dengan $ ab-1 $ dan tanda ketaksamaan tetap.
*). Menyelsaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align} x & < y \\ \frac{2ac - c}{ab-1} & < \frac{bc-2c}{ab-1} \, \, \, \, \, \, \text{(kali } ab-1) \\ 2ac - c & < bc-2c \\ c + 2ac - bc & < 0 \\ c(1+2a-b) & < 0 \end{align} $
-). Karena $ c $ bilangan positif, maka agar $ c(1+2a-b) $ hasilnya negatif, maka haruslah $ 1 + 2a - b $ bernilai negatif atau bisa kita tulis $ 1 + 2a - b < 0 $.
*). Menentukan hubungan $ a $ dan $ b $ :
$\begin{align} 1 + 2a - b & < 0 \\ 2a & < b - 1 \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ 2a < b - 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Ketaksamaan SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian $ x - \sqrt{6-x} \geq 0 $ adalah ...
A). $ \{ x | x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2 \} \, $
B). $ \{ x | x \leq -3 \text{ atau } 2 \leq x \leq 6 \} \, $
C). $ \{ x | 0 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x | 2 \leq x \leq 6 \} \, $
E). $ \{ x | x \leq 6 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah dengan metode substitusi angka (Metode SUKA).

$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow x - \sqrt{6-x} & \geq 0 \\ 0 - \sqrt{6-0} & \geq 0 \\ - \sqrt{6} & \geq 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=0$ SALAH, opsi yang salah adalah C dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-3 \Rightarrow x - \sqrt{6-x} & \geq 0 \\ -3 - \sqrt{6-(-3)} & \geq 0 \\ -3 - \sqrt{9} & \geq 0 \\ - 6 & \geq 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= -3 $ SALAH, opsi yang salah adalah A dan B.
Sehingga opsi yang benar adalah D (yang tersisa).
Jadi, solusinya $ \{ x | 2 \leq x \leq 6 \} . \heartsuit$

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian $ x - \sqrt{6-x} \geq 0 $ adalah ...
A). $ \{ x | x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2 \} \, $
B). $ \{ x | x \leq -3 \text{ atau } 2 \leq x \leq 6 \} \, $
C). $ \{ x | 0 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x | 2 \leq x \leq 6 \} \, $
E). $ \{ x | x \leq 6 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk Bentuk Akar :
Bentuk $ f(x) \geq \sqrt{g(x)} $ memiliki syarat :
$ g(x) \geq 0 $ dan $ f(x) \geq 0 $
*). Solusi total adalah irisan dari solusi syarat dan bentuk umum

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Solusi syarat bentuk $ x - \sqrt{6-x} \geq 0 $ :
Soalnya bisa diubah menjadi : $ x \geq \sqrt{6-x} $
yang sama dengan bentuk : $ f(x) \geq \sqrt{g(x)} $
Sehingga solusi syaratnya :
-). Pertama : $ g(x) \geq 0 \rightarrow 6-x \geq 0 \rightarrow -x \geq -6 \rightarrow x \leq 6 $
-). Kedua : $ f(x) \geq 0 \rightarrow x \geq 0 $
-). Yang memenuhi kedua syarat ini yaitu :
$ HP_1 = \{ 0 \leq x \leq 6 \} $
*). Solusi umum dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} x - \sqrt{6-x} & \geq 0 \\ x & \geq \sqrt{6-x} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ x^2 & \geq 6-x \\ x^2 + x - 6 & \geq 0 \\ (x+3)(x-2) & \geq 0 \\ x = -3 \vee x & = 2 \end{align} $
-). garis bilangannya :
 

-). Karena pada soal $ \geq 0 $ , solusinya daerah positif
$ HP_2 = \{ x \leq -3 \vee x \geq 2 \} $
*). Solusi Total :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ 0 \leq x \leq 6 \} \cap \{ x \leq -3 \vee x \geq 2 \} \\ & = \{ 2 \leq x \leq 6 \} \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya $ \{ 2 \leq x \leq 6 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui 10 bilangan genap berurutan. Jika kuartil pertama bilangan-bilangan tersebut adalah 32, maka mediannya adalah ...
A). $ 34 \, $ B). $ 35 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 37 \, $ E). $ 38 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Letak Kuartil $ (Q_i) $ dan nilainya :
Jika $ n $ ganjil $ \rightarrow Q_i = X_{\frac{i}{4} (n+1)} $
Jika $ n $ genap $ \rightarrow Q_i = X_{\frac{i.n+2}{4} } $
*). Letak Median dan nilainya:
Jika $ n $ ganjil $ \rightarrow Me = X_{\frac{1}{2} (n+1)} $
Jika $ n $ genap $ \rightarrow Me = \frac{X_{\frac{n}{2}} + X_{\left( \frac{n}{2} + 1 \right)} }{2} $
Keterangan :
$ n = \, $ banyak data (total frekuensi)
$ X_k = \, $ data ke-$k$
$ Q_i = \, $ kuatil ke-$i$ yaitu $ Q_1, Q_2, Q_3 $
$ i = 1, 2, 3 $
Me = median

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan 10 bilangannya yaitu :
$ X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, ..., X_{10} $
dengan banyak data $ n = 10 $ (genap).
*). Karena diketahui bilangannya adalah genap berurutan, kita bisa memisalkan 10 bilangan tersebut :
$ X_1 = a, X_2 = a +2, X_3 = a + 4, X_4=a+6, X_5 = a+8 , X_6 = a+10 $
$ X_7 = a+12, X_8 = a +14, X_9 = a + 16, X_{10}=a+18 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
Kuartil pertama : $ i = 1 $ dan diketahui $ n = 10 $
$\begin{align} \text{Kuartil pertama } & = 32 \\ Q_1 & = 32 \\ X_\frac{i.n+2}{4} & = 32 \\ X_\frac{1.10+2}{4} & = 32 \\ X_\frac{12}{4} & = 32 \\ X_3 & = 32 \\ a+4 & = 32 \\ a & = 28 \end{align} $
*). Menentukan Median dengan $ n = 10 $ (genap) dan $ a = 28 $ :
$\begin{align} Me & = \frac{X_{\frac{n}{2}} + X_{\left( \frac{n}{2} + 1 \right)} }{2} \\ & = \frac{X_{\frac{10}{2}} + X_{\left( \frac{10}{2} + 1 \right)} }{2} \\ & = \frac{X_5 + X_6}{2} \\ & = \frac{(a+8) + (a+10)}{2} \\ & = \frac{2a+18}{2} \\ & = a + 9 \\ & = 28 + 9 \\ & = 37 \end{align} $
Jadi, nilai Mediannya adalah $ 37 . \, \heartsuit $

Catatan :
Sebenarnya soal ini akan lebih mudah dan lebih cepat dikerjakan secara manual dan secara lisan langsung.

Cara 2 Pembahasan Bidang Datar SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persegi panjang ABCD dengan $ AB = \sqrt{15} $ cm dan $ AD = \sqrt{5} $ cm. Jika E merupakan titik potong diagonal persegi panjang tersebut, maka besar $ \angle BEC $ adalah ...
A). $ 30^\circ \, $ B). $ 45^\circ \, $ C). $ 60^\circ \, $ D). $ 75^\circ \, $ E). $ 90^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah sudut pada segitiga $ = 180^\circ $
*). Rumus perbandingan trigonometri :
$ \tan x = \frac{depan}{samping} $
*). Sifat bentuk akar : $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan besar sudut $ x $ pada segitiga ABC :
$\begin{align} \tan \angle ACB & = \frac{AB}{BC} \\ \tan x & = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} \\ \tan x & = \sqrt{\frac{15}{5}} \\ \tan x & = \sqrt{3} \\ x & = 60^ \circ \end{align} $
*). Menentukan besar sudut BEC pada segitga BEC :
$\begin{align} x + x + y & = 180^\circ \\ 60^ \circ + 60^ \circ + y & = 180^\circ \\ y & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, besar $ \angle BEC = y = 60^\circ . \, \heartsuit $

Pembahasan Bidang Datar SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persegi panjang ABCD dengan $ AB = \sqrt{15} $ cm dan $ AD = \sqrt{5} $ cm. Jika E merupakan titik potong diagonal persegi panjang tersebut, maka besar $ \angle BEC $ adalah ...
A). $ 30^\circ \, $ B). $ 45^\circ \, $ C). $ 60^\circ \, $ D). $ 75^\circ \, $ E). $ 90^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Segitiga sama sisi memiliki sudut masing-masing $ 60^\circ $
*). Panjang diagonal persegi panjang dapat dihitung dengan teorema pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan panjang diagonal AC pada segitiga ABC :
$\begin{align} AC & = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{15})^2 + (\sqrt{5})^2} \\ & = \sqrt{15 + 5} \\ & = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{align} $
panjang $ CE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\times 2\sqrt{5} = \sqrt{5} $
Panjang $ BE = CE = \sqrt{5} $
*). Menentukan besar sudut BEC :
Perhatikan gambar segitiga BEC, memiliki panjang ketiga sisinya sama sehingga membentuk segitiga sama sisi, yang artinya besar sudut masing-masingnya adalah $ 60^\circ $.
Jadi, besar $ \angle BEC = 60^\circ . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ b & 2 \end{matrix} \right) $ , $ B = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $ , dan $ AB = \left( \begin{matrix} 10 & a \\ 14 & b \end{matrix} \right) $ , maka nilai $ ab $ adalah ...
A). $ 9 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kesamaan dua matriks :
Dua matriks memiliki kesamaan jika unsur-unsur yang seletak nilainya sama.
Jika $ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) $ , maka $ a = e, b = f, c = g, d = h $
*). Perkalian matriks :
Caranya : Baris kalikan kolom.
Contoh :
$ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a.e + b.g & a.f + b.h \\ c.e + d.g & c.f+d.h \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaannya :
$\begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} 10 & a \\ 14 & b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & 1 \\ b & 2 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 10 & a \\ 14 & b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a.a+1.1 & a.1+1.0 \\ b.a+2.1 & b.1+2.0 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 10 & a \\ 14 & b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^2+1 & a \\ ab+2 & b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 10 & a \\ 14 & b \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Dari kesamaan matriks kita peroleh :
$ ab + 2 = 14 \rightarrow ab = 12 $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $