Pembahasan Barisan Geometri Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Suatu barisan geometri mempunyai 3 suku pertama $ a, b, b^2 $. Jika $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ 2x^2+kx+6=0 $ , maka suku keempat dari barisan dan nilai $ k $ masing-masing adalah .....
A). 27 dan $ - 8 \, $ B). 27 dan $ 8 \, $
C). 24 dan $ -8 \, $ D). 24 dan $ -4 \, $
E). 24 dan 4

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan geometri : $ u_1, u_2, u_3, .... $
-). Ciri-ciri barisan geometri : "perbandingan sama"
$ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} $
-). RUmus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui barisan geometri : $ a, b, b^2 $
-). Perbandingan sama :
$ \frac{b}{a} = \frac{b^2}{b} \rightarrow \frac{b}{a} = \frac{b}{1} \rightarrow a = 1 $
*). PK $ 2x^2+kx+6=0 $ dengan akar-akar $ x_1 = a = 1 $ dan $ x_2 = b $ :
-). Operasi perkalian akar-akar :
$\begin{align} x_1.x_2 & = \frac{6}{2} \rightarrow 1.b = 3 \rightarrow b = 3 \end{align} $
-). Operasi penjumlan akar-akar :
$\begin{align} x_1+x_2 & = \frac{-k}{2} \rightarrow 1 + 3 = \frac{-k}{2} \rightarrow k = -8 \end{align} $
Sehingga barisan geometrinya ($ a =1 , b = 3 $ ):
$ a, b, b^2 \rightarrow 1, 3, 9, .... $
$ u_4 = ar^3 = 1. 3^3 = 27 $
Jadi, nilai $ u_4 $ dan $ k $ adalah 27 dan $ -8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika sudut A dan B memenuhi sistem persamaan
$ \begin{align} 2\tan A + \tan B & = 4 \\ \tan A - 3\tan B & = -\frac{17}{2} \end{align} $
maka $ \tan (2A + B) \, $ sama dengan ...
A). $ -\frac{13}{9} \, $ B). $ -\frac{11}{9} \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -\frac{7}{9} \, $ E). $ -\frac{5}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan bisa dengan metode substitusi.
*). RUmus jumlah sudut :
$ \tan (x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x . \tan y} $
$ \tan (2x) = \frac{2\tan x }{1 - \tan ^2 x } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ 2\tan A + \tan B = 4 \rightarrow \tan B = 4 - 2\tan A \, $ .....(i)
$ \tan A - 3\tan B = -\frac{17}{2} \, $ .....(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} \tan A - 3\tan B & = -\frac{17}{2} \\ \tan A - 3(4 - 2\tan A) & = -\frac{17}{2} \\ \tan A -12 + 6\tan A & = -\frac{17}{2} \\ 7\tan A & = -\frac{17}{2} + 12 \\ 7\tan A & = \frac{7}{2} \\ \tan A & = \frac{1}{2} \end{align} $
Pers(i) : $ \tan B = 4 - 2\tan A = 4 - 2. \frac{1}{2} = 4 - 1 = 3 $
*). Menentukan nilai $ \tan 2A $ :
$\begin{align} \tan (2A) & = \frac{2\tan A}{1 - \tan ^2 A} \\ & = \frac{2. \frac{1}{2} }{1 - (\frac{1}{2} )^2} \\ & = \frac{1 }{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1 }{ \frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \tan (2A + B) $ :
$\begin{align} \tan (2A + B) & = \frac{\tan 2A + \tan B}{1 - \tan 2A . \tan B} \\ & = \frac{\frac{4}{3} + 3}{1 - \frac{4}{3} .3} = \frac{\frac{13}{3} }{1 - 4} \\ & = \frac{\frac{13}{3} }{-3} = -\frac{13}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan (2A + B) = -\frac{13}{9} . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Luas Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui titik $ A(a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2, b_3) $
-). Vektor $ \vec{AB} = ( b_1 - a_1 , b_2 - a_2 , b_3 - a_3) $
-). Panjang vektor $ \vec{AB} = | \vec{AB}| = \sqrt{ (b_1 - a_1)^2 +( b_2 - a_2)^2+( b_3 - a_3)^2} $
*). Luas segitiga ABC dengan vektor $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AC} $ :
Luas $ = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | $
dengan $ | \vec{AB} \times \vec{AC} | $ adalah panjang hasil perkalian silang $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AC} $
*). Menentukan perkalian silang dua vektor sama dengan determinan cara sarrus.
Misalkan : $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
$ \vec{u} \times \vec{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui segitiga ABC dengan titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) :
$\begin{align} \vec{AC} & = C-A = (-2, 1, 3) \\ \vec{AB} & = B - A = (1, 2, -2) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{AC} \times \vec{AB} $ dan panjangnya :
$\begin{align} \vec{AC} \times \vec{AB} & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ -2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = (-2i+3j-4k)-(6i+4j+k) \\ & = -8i - j -5k = (-8, -1, -5) \\ |\vec{AC} \times \vec{AB}| & = \sqrt{(-8)^2+(-1)^2+(-5)^2} \\ & = \sqrt{64+1+25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AB}| \\ & = \frac{1}{2} (3\sqrt{10}) = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{3}{2} \sqrt{10} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Luas Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui titik $ A(a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2, b_3) $
Panjang AB : $ |AB| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2} $
*). Aturan kosinus pada segitiga :
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC. \cos A $
atau $ \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2.AC.AB} $
*). Identitas Trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos ^2A} $
*). Luas segitiga ABC dengan menggunakan sudut A :
Luas $ = \frac{1}{2}. AC.AB. \sin A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui segitiga ABC dengan titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(3-4)^2+(1-3)^2+(2-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \\ |BC| & = \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2+(0-5)^2} = \sqrt{9+1+25} = \sqrt{35} \\ |AC| & = \sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2+(2-5)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \end{align} $
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan nilai $ \cos A $ dan $ \sin A $ :
$\begin{align} \cos A & = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2.AC.AB} \\ & = \frac{(\sqrt{14})^2 + 3^2 - (\sqrt{35})^2}{2.\sqrt{14}.3} \\ & = \frac{14 + 9 - 35}{2.\sqrt{14}.3} \\ & = \frac{-12}{6\sqrt{14} } \\ & = \frac{-2}{\sqrt{14} } \times \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} \\ & = \frac{-2\sqrt{14}}{14} = \frac{-\sqrt{14}}{7} \\ \sin A & = \sqrt{1 - \cos ^2 A } \\ & = \sqrt{1 - (\frac{-\sqrt{14}}{7})^2 } \\ & = \sqrt{1 - \frac{14}{49} } = \sqrt{ \frac{35}{49} } = \frac{1}{7} \sqrt{35} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} \times AC \times AB \times \sin A \\ & = \frac{1}{2} \times \sqrt{14} \times 3 \times \frac{1}{7} \sqrt{35} \\ & = \frac{3}{14} \times \sqrt{490} = \frac{3}{14} \times 7 . \sqrt{10} \\ & = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{3}{2} \sqrt{10} . \, \heartsuit $

Pembahasan Luas Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui titik $ A(a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2, b_3) $
Panjang AB : $ |AB| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2} $
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui segitiga ABC dengan titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(3-4)^2+(1-3)^2+(2-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \\ |BC| & = \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2+(0-5)^2} = \sqrt{9+1+25} = \sqrt{35} \\ |AC| & = \sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2+(2-5)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \end{align} $
Misalkan $ AD = x \rightarrow DB = 3 - x $ dan $ CD = t $ (gambar (i))
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan nilai $ x $ pada segitiga ADC dan BDC dengan pythagoras :
$\begin{align} t^2 \, (\text{segitiga ADC}) & = t^2 \, (\text{segitiga BDC}) \\ CA^2 - AD^2 & = CB^2 - BD^2 \\ (\sqrt{14})^2 - x^2 & = (\sqrt{35})^2 - (3-x)^2 \\ 14 - x^2 & = 35 - (9 - 6x + x^2) \\ 14 - x^2 & = 35 - 9 + 6x - x^2 \\ 6x & = -12 \\ x & = -2 \end{align} $
karena nilai $ x $ negatif, maka gambar yang benar adalah gambar (ii).
*). Menentukan tinggi segitiga ABC :
$ t = \sqrt{CA^2 - AD^2} = \sqrt{(\sqrt{14})^2 - 2^2} = \sqrt{10} $
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} \times AB \times CD \\ & = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{10} \\ & = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{3}{2} \sqrt{10} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 1} \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } $ adalah .....
A). $ \{ x | x \leq -1 \, \text{atau} \, x \geq \frac{1}{2} \} \, $
B). $ \{ x | x \geq 1 \, \text{atau} \, x \leq -1 \} \, $
C). $ \{ x | x \leq -1 \} \, $
D). $ \{ x | -1 \leq x \leq 1 \} \, $
E). $ \{ x | \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{x^2 - 1} & \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } \\ \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 1} & \leq \sqrt{3.(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2}) - 2 } \\ \sqrt{\frac{1}{4} - 1} & \leq \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - 2 } \\ \sqrt{-\frac{3}{4} } & \leq \sqrt{-\frac{3}{4} } \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $ x = \frac{1}{2} $ SALAH karena dalam akar harus positif, opsi yang benar adalah B dan C
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= 1 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 1} & \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } \\ \sqrt{1^2 - 1} & \leq \sqrt{3.(1)^2 + 1 - 2 } \\ \sqrt{0} & \leq \sqrt{ 2 } \\ 0 & \leq \sqrt{ 2 } \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $ x = 1 $ BENAR, opsi yang benar adalah B
Sehingga opsi yang benar adalah opsi B (yang tersisa).
Jadi, solusinya adalah $ \{ x \geq 1 \, \text{atau} \, x \leq -1 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 1} \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } $ adalah .....
A). $ \{ x | x \leq -1 \, \text{atau} \, x \geq \frac{1}{2} \} \, $
B). $ \{ x | x \geq 1 \, \text{atau} \, x \leq -1 \} \, $
C). $ \{ x | x \leq -1 \} \, $
D). $ \{ x | -1 \leq x \leq 1 \} \, $
E). $ \{ x | \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat pertidaksamaan bentuk akar : $ \sqrt{f(x)} \leq \sqrt{g(x)} $ yaitu
$ f(x) \geq 0 \, $ dan $ g(x) \geq 0 $
*). Iriskan semua solusi yang diperoleh.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 1} \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } $
*). Menyelesaikan syarat bentuk akarnya :
-). Syarat pertama : $ x^2 - 1 \geq 0 $
$\begin{align} x^2 - 1 & \geq 0 \\ (x + 1)(x - 1) & \geq 0 \\ x = -1 \vee x & = 1 \end{align} $
garis bilangan pertamanya :
 

$ HP_1 = \{ x \leq -1 \vee x \geq 1 \} $
-). Syarat kedua : $ 3x^2 + x - 2 \geq 0 $
$\begin{align} 3x^2 + x - 2 & \geq 0 \\ (3x -2)(x+1) & \geq 0 \\ x = \frac{2}{3} \vee x & = -1 \end{align} $
garis bilangan keduanya :
 

$ HP_2 = \{ x \leq -1 \vee x \geq \frac{2}{3} \} $
*). Kuadratkan pertidaksamaan bentuk akarnya :
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - 1} & \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } \\ (\sqrt{x^2 - 1})^2 & \leq (\sqrt{3x^2 + x - 2 })^2 \\ x^2 - 1 & \leq 3x^2 + x - 2 \\ 2x^2 + x - 1 & \geq 0 \\ (2x -1)(x+1) & \geq 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = -1 \end{align} $
garis bilangan ketiganya :
 

$ HP_3 = \{ x \leq -1 \vee x \geq \frac{1}{2} \} $
*). Solusi totalnya adalah irisan ketiga himpunannya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \cap HP_3 \\ & = \{ x \leq -1 \vee x \geq 1 \} \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ x \leq -1 \vee x \geq 1 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persamaan kuadrat $ x^2 + 2px -p^2 + 7p - 6 = 0 $ . Nilai $ p $ agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar berlawanan tanda adalah .....
A). $ 1\frac{1}{2} < p < 2 \, $ atau $ p > 3 \, $ atau $ p < 1 $
B). $ 1 < p < 1\frac{1}{2} \, $ C). $ 1\frac{1}{2} < p < 3 \, $
D). $ p < 1 \, $ atau $ p > 6 $
E). $ p < 1\frac{1}{2} \, $ atau $ p > 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ dan $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
*). Syarat akar-akar berlawanan tanda (berlainan tanda) yaitu $ x_1 > 0 $ dan $ x_2 < 0 $ atau $ x_1 < 0 $ dan $ x_2 > 0 $ yaitu :
(i). $ x_1 . x_2 < 0 $
(ii). $ D > 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
(kedua syarat diiriskan penyelesaiannya)
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 + 2px -p^2 + 7p - 6 = 0 $, akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $
dengan $ a = 1, b = 2p $ , dan $ c = -p^2 + 7p - 6 $
*). Menyelesaikan syarat akar-akar berlawanan tanda :
-). Syarat pertama :
$\begin{align} x_1.x_2 & < 0 \\ \frac{c}{a} & < 0 \\ \frac{-p^2 + 7p - 6}{1} & < 0 \\ -p^2 + 7p - 6 & < 0 \, \, \, \, \text{(kali } -1) \\ p^2 - 7p + 6 & > 0 \\ (p - 1 )(p - 6) & > 0 \\ p = 1 \vee p & = 6 \end{align} $
garis bilangan pertamanya :
 

$ HP_1 = \{ p < 1 \vee p > 6 \} $
-). Syarat kedua :
$\begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ (2p)^2 - 4.1.( -p^2 + 7p - 6 ) & > 0 \\ 4p^2+ 4p^2 - 28p + 24 & > 0 \\ 8p^2 - 28p + 24 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 2p^2 - 7p + 6 & > 0 \\ (2p -3)(p-2) & > 0 \\ p = \frac{3}{2} \vee p & = 2 \end{align} $
garis bilangan keduanya :
 

$ HP_2 = \{ p < \frac{3}{2} \vee p > 2 \} $
-). Solusi totalnya adalah irisan kedua himpunan :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ p < 1 \vee p > 6 \} \cap \{ p < \frac{3}{2} \vee p > 2 \} \\ & = \{ p < 1 \vee p > 6 \} \end{align} $
Jadi, syaratnya adalah $ \{ p < 1 \vee p > 6 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = -\frac{5\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha = \frac{5}{32}\sqrt{3} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} - \frac{3}{4}\sqrt{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
*). Rumus sudut rangkap :
$ \cos ^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x ) $
$ \sin ^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x ) $
$ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x $
$ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $
$ \sin (-x) = - \sin x \, $ dan $ \cos (-x) = \cos x $
*). Sifat eksponen :
$ a^4 - b^4 = (a^2 - b^2 )(a^ + b^2 ) $
$ a^6 - b^6 = (a^4 - b^4)(a^2 + b^2) + (ab)^2(a^2 - b^2) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \alpha = -\frac{5\pi}{12} $ dengan $ \pi = 180^\circ $
*). Menentukan beberapa nilai :
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = \cos 2 . (-\frac{5\pi}{12}) = \cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin 2 \alpha & = \sin 2 .(- \frac{5\pi}{12}) = -\sin 150^\circ = -\frac{1}{2} \\ (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) & = -(\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha) \\ & = -\cos 2 \alpha = - (-\frac{1}{2}\sqrt{3} ) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin \alpha \cos \alpha & = \frac{1}{2} \sin 2\alpha = \frac{1}{2} . (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} \end{align} $

*). Kita cek keempat pernyataan :
(1). $ \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha & = (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha)(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) \\ & = (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha)(1) \\ & = (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha = \frac{5}{32}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} & \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha \\ & = (\sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha )(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) +(\sin x \cos x)^2 (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) \\ & = (\frac{1}{2}\sqrt{3} )(1) +(-\frac{1}{4})^2 (\frac{1}{2}\sqrt{3} ) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{16} . \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{32} \sqrt{3} \\ & = \frac{16}{32}\sqrt{3} + \frac{1}{32} \sqrt{3} \\ & = \frac{17}{32}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (2) SALAH.

(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \cos ^4 \alpha & = \cos ^2 \alpha . \cos ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 + \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 -\frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} - \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (3) BENAR.

(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} - \frac{3}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha & = \sin ^2 \alpha . \sin ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 - \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 -(-\frac{1}{2}\sqrt{3}) )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} + \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (4) SALAH.

Sehingga pernyataan (1) dan (3) yang BENAR, jawabannya B.
Jadi, yang BENAR adalah pernyataan (1) dan (3) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Diberikan $ \vec{u} = (4, a, 3) $ dan $ \vec{v} = (-2, -1, 2) $ . Jika $ \vec{u} $ ortogonal dengan $ \vec{v} $ , maka .....
(1). Jarak $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \sqrt{6} $
(2). $ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || = 2 $
(3). sudut antara $ 2\vec{u} $ dan $ 2\vec{v} $ adalah $ \pi $
(4). $ a = -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan vektor $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3 ) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
$ \vec{u} . \vec{v} = u_1.v_1 + u_2.v_2 + u_3.v_3 $
Panjang vektor $ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} $
*). Jarak vektor $ \vec{u} $ ke vektor $ \vec{v} $ adalah $ ||\vec{u} - \vec{v}|| $
*). $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $, berlaku $ \vec{u} . \vec{v} = 0 $
*). Panjang Proyeksi vektor $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || $
$ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{v}| } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui vektor $ \vec{u} = (4, a, 3) $ dan $ \vec{v} = (-2, -1, 2) $
$ \vec{u}.\vec{v} = 4.(-2) + a.(-1) + 3.2 = -8 - a + 6 = -a - 2 $
*). $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $ , berlaku :
$ \vec{u}.\vec{v} = 0 \rightarrow -a - 2 = 0 \rightarrow a = -2 $
Sehingga :
$ \vec{u} - \vec{v} = (4, -2, 3) - (-2, -1, 2) = (6, -1, 1) $

Cek setiap pernyataan :
(1). Jarak $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \sqrt{6} $ ?
Jaraknya $ = || \vec{u} - \vec{v} || $
$ \begin{align} || \vec{u} - \vec{v} || & = \sqrt{6^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{38} \end{align} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). $ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || = 2 $ ?
$ \begin{align} || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || & = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{v}| } \\ & = \frac{0}{|\vec{v}|} = 0 \end{align} $
Pernyataan (2) SALAH.

(3). sudut antara $ 2\vec{u} $ dan $ 2\vec{v} $ adalah $ \pi $ ?
Karena $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $ , maka besar sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \frac{\pi}{2} $ dengan $ \pi = 180^\circ $. Begitu juga sudut yang dibentuk oleh $ 2\vec{u} $ dan $ 2\vec{v} $ sebesar $ \frac{\pi}{2} $.
Pernyataan (3) SALAH.

(4). $ a = -2 $ ?
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan yang BENAR adalah (4). Jawabannya D.
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{2}{3}, \frac{11}{18}, -\frac{23}{108}, \frac{89}{648} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{11}} - \frac{1}{3^{11}} \, $
C). $ \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{3^{11}} \, $ D). $ \frac{1}{2^{11}} - \frac{1}{3^{12}} \, $
E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{12}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap barisan memiliki pola atau rumus tersendiri.
*). Sifat eksponen :
untuk $ n \, $ ganjil, $ (-1)^n = -1 $
untuk $ n \, $ genap, $ (-1)^n = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sebuah barisan $ -\frac{2}{3}, \frac{11}{18}, -\frac{23}{108}, \frac{89}{648} , .... $ :
-). Penjabaran setiap sukunya :
$ u_1 = -\frac{2}{3} = -\frac{1}{2^0} + \frac{1}{3^1} = (-1)^1 . \frac{1}{2^{1-1}} + \frac{1}{3^1} $
$ u_2 = \frac{11}{18} = \frac{1}{2^1} + \frac{1}{3^2} = (-1)^2 . \frac{1}{2^{2-1}} + \frac{1}{3^2} $
$ u_3 = -\frac{23}{108} = -\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^3} = (-1)^3 . \frac{1}{2^{3-1}} + \frac{1}{3^3} $
$ u_4 = \frac{89}{648} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^4} = (-1)^4 . \frac{1}{2^{4-1}} + \frac{1}{3^4} $
......
$ u_n = (-1)^n . \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{3^n} $
-). Sehingga rumus umum suku ke-$n$ nya yaitu :
$ u_n = (-1)^n . \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{3^n} $
*). Menentukan suku ke-12 :
$\begin{align} u_n & = (-1)^n . \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{3^n} \\ u_{12} & = (-1)^{12} . \frac{1}{2^{12-1}} + \frac{1}{3^{12}} \\ u_{12} & = 1. \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{12}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{12}} \end{align} $
Jadi, suku ke-12 adalah $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{12}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sistem persamaan $ 2x^2+y^2+3xy-12=0$ , $ x^2+\frac{1}{2}y^2+2xy-7=0 $. Jika $ (x,y) $ adalah pasangan bilangan real tak bulat yang memenuhi sistem tersebut, maka nilai $ x - y + 2 $ adalah .....
A). $ -2 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui sistem persamaan :
$ 2x^2+y^2+3xy-12=0 \rightarrow 2x^2 + y^2 = -3xy + 12 $ ....(i)
$ x^2+\frac{1}{2}y^2+2xy-7=0 $ ....(ii)
*). Kali 2 pers(ii), lalu gunakan pers(i) :
$\begin{align} x^2+\frac{1}{2}y^2+2xy-7 & =0 \\ 2x^2+y^2+4xy-14 & =0 \\ (2x^2+y^2)+4xy-14 & =0 \\ (-3xy + 12)+4xy-14 & =0 \\ xy & = 2 \\ y & = \frac{2}{x} \end{align} $
*). Substitusi $ y = \frac{2}{x} $ ke pers(i) :
$\begin{align} 2x^2+y^2+3xy-12 & = 0 \\ 2x^2+(\frac{2}{x} )^2+3x.(\frac{2}{x} )-12 & = 0 \\ 2x^2+ \frac{4}{x^2} + 6-12 & = 0 \\ 2x^2+ \frac{4}{x^2} -6 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali } x^2) \\ 2x^4+ 4 -6x^2 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^4 - 3x^2 + 2 & = 0 \\ (x^2 -1)(x^2 -2) & = 0 \\ x^2 = 1 \vee x^2 & = 2 \\ x = \pm1 \vee x & = \pm \sqrt{ 2 } \\ \end{align} $
-). Karena $ x $ bukan bulat, maka $ x = \pm \sqrt{ 2 } $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ y $ dan $ x - y + 2 $ dengan $ y = \frac{2}{x} $ :
$\begin{align} x = \sqrt{2} \rightarrow y & = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \\ x - y + 2 & = \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2 = 2 \\ x = -\sqrt{2} \rightarrow y & = \frac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \\ x - y + 2 & = (-\sqrt{2}) -(- \sqrt{2} ) + 2 = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ x - y + 2 = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan permukaan berbahan karton. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP : PG = 2:5 $. Jika bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian, perbandingan luas permukaan karton adalah ....
A). $ 73:17 \, $ B). $ 73:15 \, $ C). $ 73:12 \, $ D). $ 73:11 \, $ E). $ 73:9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas permukaan kubus $ = 6s^2 $
dengan $ s = \, $ panjang rusuk kubus.
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} .a.t $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

Misalkan panjang rusuk kubus $ = 7 $
-). Karton digunakan untuk menutupi permukaan kubus.
-). Karena yang ditanya perbandingan luas karton, maka kita cukup menghitung luas yang tertutupi oleh karton saja.
-). Bagian kecil, luas kartonnya : $\Delta BCD, \Delta BCP, \Delta DCP $
-). Bagian besar, luas kartonnya : $ \Delta ABD, ABFE, ADHE, BPGF, DPGH $
*). Luas permukaan seluruh kubus :
$\begin{align} \text{L kubus } & = 6s^2 \\ & = 6 . 7^2 = 294 \end{align} $
*). Luas bagian kecil karton :
$\begin{align} \text{L kecil } & = L \, \Delta BCD + 2 \times L \, \Delta BCP \\ & = \frac{1}{2} . 7.7 + 2 \times \frac{1}{2} . 7.2 \\ & = \frac{49}{2} + \frac{28}{2} = \frac{77}{2} \end{align} $
*). Luas bagian besar karton :
$\begin{align} \text{L besar } & = \text{L kubus } - \text{ L kecil } \\ & = 294 - \frac{77}{2} \\ & = \frac{511}{2} \end{align} $
*). Perbandingan luas permukaan karton :
$\begin{align} \text{L besar } : \text{L kecil } & = \frac{511}{2} : \frac{77}{2} \\ & = 511 : 77 \\ & = 73 : 11 \end{align} $
Jadi, perbandingan luasnya adalah $ 73 : 11 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \int \limits_{-2}^0 \left( \cos \left(\pi + \frac{\pi kx}{2} \right) + \frac{9x^2 - 10x + 14}{k+12} \right) dx = (k-9)(k-11) $ untuk nilai $ k $ bilangan bulat, maka $ k^2 - 14 = .... $
A). $ 140 \, $ B). $ 135 \, $ C). $ 130 \, $ D). $ 125 \, $ E). $ 120 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus integral :
$ \int ax^n \, dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
$ \int \cos ax \, dx = \frac{1}{a} \sin ax + c $
*). Rumus trigonometri :
$ \cos ( \pi + A ) = -\cos A $
*). Sifat integral tentu :
$ \int \limits_a^b ( f(x) + g(x)) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx $
*). untuk $ k $ bilangan bulat, maka $ \sin ( 2\pi k ) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} \int \limits_{-2}^0 \left( \cos \left(\pi + \frac{\pi kx}{2} \right) + \frac{9x^2 - 10x + 14}{k+12} \right) dx& = (k-9)(k-11) \\ \int \limits_{-2}^0 \left( - \cos \left( \frac{\pi kx}{2} \right) + \frac{9x^2 - 10x + 14}{k+12} \right) dx &= (k-9)(k-11) \\ \int \limits_{-2}^0 - \cos \left( \frac{\pi kx}{2} \right) dx + \int \limits_{-2}^0 \, \frac{9x^2 - 10x + 14}{k+12} dx & = (k-9)(k-11) \\ \int \limits_{-2}^0 - \cos \left( \frac{\pi kx}{2} \right) dx + \frac{1}{k+12} \int \limits_{-2}^0 \, 9x^2 - 10x + 14 dx & = (k-9)(k-11) \\ -\frac{1}{\frac{\pi k}{2} } [\sin \left( \frac{\pi kx}{2} \right) ]_{-2}^0 + \frac{1}{k+12} [ 3x^3 - 5x^2 + 14x ]_{-2}^0 & = (k-9)(k-11) \\ -\frac{1}{\frac{\pi k}{2} } [0 - 0 ] + \frac{1}{k+12} [72] & = (k-9)(k-11) \\ 0 + \frac{72}{k+12} & = (k-9)(k-11) \\ \frac{72}{k+12} & = (k-9)(k-11) \\ (k+12)(k-9)(k-11) & = 72 \\ (k+12)(k-9)(k-11) & = 24.3.2 \\ \end{align} $
terpenuhi untuk $ k = 12 $
Sehingga nilai $ k^2 - 14 = 12^2 - 14 = 144 - 14 = 130 $
Jadi, nilai $ k^2 - 14 = 130. \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ x^2 + 3 x + 2 $ bersisa $ 3bx + a -2 $ dan dibagi $ x^2 -2x -3 $ bersisa $ ax - 2b$. Jika $ f(3) + f(-2) = 6 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema sisa :
$ f(x) \, $ dibagi $ \, (x-a)(x-b) \, $ bersisa $ px + q $
Maka berlaku :
$ f(a) = pa + q $ dan $ f(b) = pb + q $
(substitusi akar-akar pembaginya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertama : Diketahui suku banyak $ f(x) $
Pembaginya : $ x^2 + 3 x + 2 = (x+1)(x+2)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = -2 $
Sisa : $ s(x) = 3bx + a -2 $
-). Menyusun persamaan :
Akar-akar pembaginya adalah $ -1 $ dan $ -2 $
$\begin{align} x = -1 \rightarrow f\left( -1 \right) & = s\left( -1 \right) \\ f\left( - 1 \right) & = 3b(-1) + a -2 \\ f\left( -1 \right) & = -3b + a - 2 \, \, \, \, \, ....\text{(i)} \\ x = -2 \rightarrow f\left( -2 \right) & = s\left( -2 \right) \\ f\left( -2 \right) & = 3b(-2) + a -2 \\ f\left( -2 \right) & = -6b + a -2 \, \, \, \, \, ....\text{(ii)} \end{align} $
*). Kedua : Diketahui suku banyak $ f(x) $
Pembaginya : $ x^2 -2x -3 = (x+1)(x-3)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = 3 $
Sisa : $ s(x) = ax - 2b $
-). Akar-akar pembaginya adalah $ -1 $ dan $ 3 $
$\begin{align} x = -1 \rightarrow f\left( -1 \right) & = s\left( -1 \right) \\ f\left( -1 \right) & = a(-1) - 2b \\ f\left( -1 \right) & = -a -2b \, \, \, \, \, ....\text{(iii)} \\ x = 3 \rightarrow f\left( 3 \right) & = s\left( 3 \right) \\ f\left( 3 \right) & = a(3) - 2b \\ f\left( 3 \right) & = 3a -2b \, \, \, \, \, ....\text{(iv)} \end{align} $
*). Ketiga : $ f(3) + f(-2) = 6 $ ......(v)
*). Dari pers(i) dan (iii) :
$ f(-1) = f(-1) \rightarrow -3b + a - 2 = -a -2b \rightarrow b = 2a - 2 $ ....(vi)
*). Substitusi (ii), (iv) dan (vi) ke (v) :
$\begin{align} f(3) + f(-2) & = 6 \\ ( 3a -2b) + (-6b + a -2 ) & = 6 \\ 4a - 8b & = 8 \, \, \, \, \, \text{(:4)} \\ a - 2b & = 2 \, \, \, \, \, \text{(vi)} \\ a - 2(2a - 2) & = 2 \\ -3a & = -2 \\ a & = \frac{2}{3} \end{align} $
Nilai $ b = 2a - 2 = 2(\frac{2}{3} ) - 2 = -\frac{2}{3} $
Sehingga nilai :
$ a + b = \frac{2}{3} + (-\frac{2}{3} ) = 0 $
Jadi, nilai $ a + b = 0. \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2018 Matematika Ipa Kode 421


Nomor 1
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ x^2 + 3 x + 2 $ bersisa $ 3bx + a -2 $ dan dibagi $ x^2 -2x -3 $ bersisa $ ax - 2b$. Jika $ f(3) + f(-2) = 6 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 2
Himpunan penyelesaian $ 16 - x^2 \leq |x+4| $ adalah ....
A). $ \{ x \in R : -4 \leq x \leq 4 \} \, $
B). $ \{ x \in R : -4 \leq x \leq 3 \} \, $
C). $ \{ x \in R : x \leq -4 \text{ atau } x \geq 4 \} \, $
D). $ \{ x \in R : 0 \leq x \leq 3 \} \, $
E). $ \{ x \in R : x \leq -4 \text{ atau } x \geq 3 \} $
Nomor 3
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 2\sin ^2 x - \cos x = 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4}{3}\pi \, $ E). $ 2\pi $
Nomor 4
$ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{ x^2 - 16} = ... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{128} \, $ C). $ \frac{1}{256} \, $ D). $ \frac{1}{512} \, $ E). $ \frac{1}{1024} \, $
Nomor 5
Jika $ \int \limits_{-2}^0 \left( \cos \left(\pi + \frac{\pi kx}{2} \right) + \frac{9x^2 - 10x + 14}{k+12} \right) dx = (k-9)(k-11) $ untuk nilai $ k $ bilangan bulat, maka $ k^2 - 14 = .... $
A). $ 140 \, $ B). $ 135 \, $ C). $ 130 \, $ D). $ 125 \, $ E). $ 120 \, $

Nomor 6
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan permukaan berbahan karton. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP : PG = 2:5 $. Jika bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian, perbandingan luas permukaan karton adalah ....
A). $ 73:17 \, $ B). $ 73:15 \, $ C). $ 73:12 \, $ D). $ 73:11 \, $ E). $ 73:9 $
Nomor 7
Diberikan balok ABCD.EFGH dengan panjang $ AB = 6 $, $ BC = 4 $, dan $ CG = 2 $. Jika titik M perpanjangan AB sehingga $ MB = 2AB $, titik N perpanjangan FG sehingga $ FG = GN $ , dan $ \theta $ adalah sudut antara MN dan MB, maka $ \sin \theta = .... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{53}} \, $ B). $ \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{53}} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{17}}{\sqrt{53}} \, $ D). $ \frac{2}{\sqrt{17}} \, $ E). $ \frac{\sqrt{17}}{2\sqrt{53}} $
Nomor 8
Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $
Nomor 9
Diketahui $ sx-y=0 $ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu X. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu X dan titik pusatnya dilalui garis $ x = -2 $ , maka nilai $ 3s $ adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

Nomor 11
Diberikan sistem persamaan $ 2x^2+y^2+3xy-12=0$ , $ x^2+\frac{1}{2}y^2+2xy-7=0 $. Jika $ (x,y) $ adalah pasangan bilangan real tak bulat yang memenuhi sistem tersebut, maka nilai $ x - y + 2 $ adalah .....
A). $ -2 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 2 $
Nomor 12
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{2}{3}, \frac{11}{18}, -\frac{23}{108}, \frac{89}{648} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{11}} - \frac{1}{3^{11}} \, $
C). $ \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{3^{11}} \, $ D). $ \frac{1}{2^{11}} - \frac{1}{3^{12}} \, $
E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{12}} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Diberikan $ \vec{a} = (4, a, 3) $ dan $ \vec{b} = (-2, -1, 2) $ . Jika $ \vec{u} $ ortogonal dengan $ \vec{v} $ , maka .....
(1). Jarak $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \sqrt{6} $
(2). $ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || = 2 $
(3). sudut antara $ 2\vec{u} $ dan $ 2\vec{v} $ adalah $ \pi $
(4). $ a = -2 $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = 2x^3 - 6ax + b $ , $ a > 0 $ , maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = -\frac{5\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha = \frac{5}{32}\sqrt{3} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} - \frac{3}{4}\sqrt{3} \, $

Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 417

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = 2x^3 - 6ax + b $ , $ a > 0 $ , maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ dan turunannya $ f^\prime (x) $
-). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum atau minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan selalu naik jika setiap $ x $ berlaku $ f^\prime (x) > 0 $
-). Cek jenis stasioner untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $ :
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka jenisnya maksimum.
*). Bentuk akar : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = 2x^3 - 6ax + b $
$ y^\prime = 6x^2 - 6a $
$ y^{\prime \prime } = 12x $
-). Syarat stasioner : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 6x^2 - 6a & = 0 \\ x^2 & = a \\ x & = \pm \sqrt{a} \end{align} $
artinya $ y $ stasioner saat $ x = \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $ atau $ x = - \sqrt{a} = - a^\frac{1}{2} $
-). Cek Turunan kedua :
$ \begin{align} x = \sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = 12\sqrt{a} > 0 \, (\text{min}) \\ x = -\sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = -12\sqrt{a} < 0 \, (\text{max}) \end{align} $
artinya $ y $ minimum saat $ x = \sqrt{a} $ dan maksimum saat $ x = -\sqrt{a} $

Kita cek setiap pernyataan :
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $ ?
minimum saat $ x = \sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{min} & = 2(\sqrt{a})^3 - 6a.\sqrt{a} + b \\ & = 2a^\frac{3}{2} - 6a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = 2a^\frac{3}{2} - 6a^\frac{3}{2} + b \\ & = -4 a^\frac{3}{2} + b \\ & = b -4 a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $ ?
Pernyataan (2) SALAH.

(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $ ?
minimum saat $ x = -\sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{max} & = 2(-\sqrt{a})^3 - 6a.(-\sqrt{a}) + b \\ & = -2 a^\frac{3}{2} + 6a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = -2 a^\frac{3}{2} + 6a^\frac{3}{2} + b \\ & = 4 a^\frac{3}{2} + b \\ & = b + 4 a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (3) SALAH.

(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $ ?
Syarat naik : $ y^\prime > 0 $
$ 6x^2 - 6a > 0 \rightarrow x = \pm \sqrt{a} $
 

Naik pada interval $ x < -\sqrt{a} $ atau $ x > \sqrt{a} $
atau dapat ditulis : $ \left( -\infty , -\sqrt{a} \right) $ atau $ \left( \sqrt{a} , \infty \right) $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) saja yang BENAR. Jawabannya D
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 417

Soal yang Akan Dibahas
Jika diberikan $ a+\sqrt{3}b-2c=1 $ , $ 3b^2+c^2=2a^2 $ , dan $ a^2+4ac=5c^2 $ , maka nilai $ b $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{5} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{3}}{5} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{6} \, $ E). $ \frac{5\sqrt{3}}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui sistem persamaan :
$ a+\sqrt{3}b-2c=1 \rightarrow a- 2c = 1 - \sqrt{3}b $ ...(i)
$ 3b^2+c^2=2a^2 \rightarrow 2a^2 - c^2 = 3b^2 $ .....(ii)
$ a^2+4ac=5c^2 \rightarrow 4ac = 5c^2 - a^2 $ ......(iii)
*). kuadratkan pers(i) :
$\begin{align} (a- 2c)^2 & = (1 - \sqrt{3}b)^2 \\ a^2 + 4c^2 - 4ac & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \, \, \, \, \, \text{.....(iv)} \end{align} $
*). Substitusi pers(iii) ke pers(iv) :
$\begin{align} a^2 + 4c^2 - 4ac & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ a^2 + 4c^2 - (5c^2 - a^2) & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ a^2 + 4c^2 - 5c^2 + a^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ 2a^2 - c^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \, \, \, \, \, \text{.....(v)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(v) :
$\begin{align} 2a^2 - c^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ 3b^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ 2\sqrt{3}b & = 1 \\ b & = \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ b & = \frac{1}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{\sqrt{3}}{6} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2018 Matematika Ipa Kode 417


Nomor 1
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ 2x^2 - x - 1 $ bersisa $ 4ax-b $ dan dibagi $ 2x^2 + 3x + 1 $ bersisa $ -2bx+a-11$. Jika $ f(x-2) $ habis dibagi oleh $ x-3 $, maka $ a + 2b + 6 = .... $
A). $ 18 \, $ B). $ 17 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 12 $
Nomor 2
Himpunan penyelesaian $ 16 - x^2 \leq |x+4| $ adalah ....
A). $ \{ x \in R : -4 \leq x \leq 4 \} \, $
B). $ \{ x \in R : -4 \leq x \leq 3 \} \, $
C). $ \{ x \in R : x \leq -4 \text{ atau } x \geq 4 \} \, $
D). $ \{ x \in R : 0 \leq x \leq 3 \} \, $
E). $ \{ x \in R : x \leq -4 \text{ atau } x \geq 3 \} $
Nomor 3
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 2\sin ^2 x - \cos x = 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4}{3}\pi \, $ E). $ 2\pi $
Nomor 4
$ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^3 - 64}{ \sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}} = ... $
A). $ 18 \, $ B). $ 48 \, $ C). $ 128 \, $ D). $ 248 \, $ E). $ 768 \, $
Nomor 5
Jika $ f(x) $ fungsi kontinu di interval $ [1,30] $ dan $ \int \limits_6^{30} f(x) dx = 30 $ , maka $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 27 \, $

Nomor 6
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 cm. M adalah titik tengah AB. Luas irisan bidang yang melalui FDM dengan kubus ABCD.EFGH adalah ..... cm$^2$
A). $ 2 \, $ B). $ 2,5 \, $ C). $ 2\sqrt{2} \, $ D). $ 2\sqrt{6} \, $ E). $ 5 $
Nomor 7
DIberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP:PG=5:2$ . Jika $ \alpha $ adalah sudut terbesar yang terbentuk antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ -\frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ B). $ -\frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ C). $ \frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ D). $ \frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ E). $ \frac{7\sqrt{11}}{55} $
Nomor 8
Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $
Nomor 9
Diketahui $ sx-y=0 $ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu X. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu X dan titik pusatnya dilalui garis $ x = -2 $ , maka nilai $ 3s $ adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

Nomor 11
Jika diberikan $ a+\sqrt{3}b-2c=1 $ , $ 3b^2+c^2=2a^2 $ , dan $ a^2+4ac=5c^2 $ , maka nilai $ b $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{5} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{3}}{5} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{6} \, $ E). $ \frac{5\sqrt{3}}{6} $
Nomor 12
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{12}} \, $ C). $ \frac{3}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{3}{2^{12}} \, $ E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{u} = (2, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (4, 10, -8) $, maka ....
(1). $ \vec{u} + k\vec{v} $ tegak lurus $ \vec{u} $ bila $ k = \frac{17}{18} $
(2). sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah tumpul
(3). $ || \text{proy}_\vec{u} \vec{v} || = 6 $
(4). jarak antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ sama dengan $ || \vec{u} + \vec{v} || $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = 2x^3 - 6ax + b $ , $ a > 0 $ , maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
$ \frac{2\tan x}{1 + \tan ^2 x} = .... $
(1). $ \cot 2x \, $
(2). $ 2\sin x \cos x \, $
(3). $ \tan x \sec x \, $
(4). $ \sin 2x \, $

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 416

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ S_n \, $ adalah jumlah sampai suku ke-$n$ dari barisan geometri, $ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $ , maka $ \frac{S_{11}}{S_8} = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 254 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus $ U_n $ dan $ S_n $ barisan geometri :
$ U_n = ar^{n-1} $
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio
$ S_1 = U_1 = a $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama : $ S_1 + S_6 = 1024 $
$\begin{align} S_1 + S_6 & = 1024 \\ a + \frac{a(r^6-1)}{r-1} & = 1024 \\ a \left( 1 + \frac{(r^6-1)}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r-1}{r-1} + \frac{r^6-1}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r^6 + r-2}{r-1} \right) & = 1024 \\ \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} & = a \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). persamaan kedua : $ S_3 \times S_4 = 1023 $
dan substitusikan $ a = \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} $ ke pers(ii)
$\begin{align} S_3 \times S_4 & = 1023 \\ \frac{a(r^3-1)}{r-1} \times \frac{a(r^4-1)}{r-1} & = 1023 \\ a^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \left( \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} \right)^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r-1)^2}{(r^6 + r - 2)^2} . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = 1023 \\ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = \frac{1023}{1024^2} \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk persamaan terakhir yaitu :
$ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} = \frac{1023}{1024^2} $
Nah dari persamaan terakhir ini kita akan menentukan nilai $ r $, hanya saja sulit untuk dikerjakan.
*). Pertanyaan akhirnya :
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \end{align} $

Catatan :
-). Karena kita belum bisa menemukan nilai $ r $, maka soal ini belum bisa terjawab.
-). Jika dari pembaca telah menemukan cara menentukan $ r $ atau ide lainnya, mohon untuk share di kolom komentar ya untuk bisa menyelesaikan soal ini.
-). Mudah-mudahan soalnya tidak salah ya karena soal di tahun 2018 ini ada juga soal yang salah pertanyaannya, coba ikuti link berikut ini :
"Pembahasan barisan simak ui 2018 matipa kode 414"

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2018 Matematika IPA kode 416

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = -\frac{\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha = \frac{6}{8} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = \frac{12}{16} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{1}{2} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
*). Rumus sudut rangkap :
$ \cos ^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x ) $
$ \sin ^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x ) $
$ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $
*). Sudut negatif :
$ \sin (-x) = -\sin x $ dan $ \cos (-x) = \cos x $
*). Sifat eksponen :
$ a^4 + b^4 = (a^2 + b^2 )^2 - 2 (a.b)^2 $
$ a^6 + b^6 = (a^4 + b^4)(a^2 + b^2) - (ab)^2(a^2 + b^2) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \alpha = -\frac{\pi}{12} $ dengan $ \pi = 180^\circ $
*). Menentukan beberapa nilai :
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = \cos 2 . (-\frac{\pi}{12}) = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin 2 \alpha & = \sin 2 . (-\frac{\pi}{12}) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} \\ \sin \alpha . \cos \alpha & = \frac{1}{2} \sin 2 \alpha = \frac{1}{2} . (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} \end{align} $

*). Kita cek keempat pernyataan :
(1). $ \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha = \frac{6}{8} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha & = (\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha)^2 - 2(\sin \alpha . \cos \alpha )^2 \\ & = (1)^2 - 2(- \frac{1}{4} )^2 \\ & = 1 - 2( \frac{1}{16} ) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \end{align} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). $ \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = \frac{12}{16} \, $ ?
$ \begin{align} & \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \\ & = (\sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha )(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) - (\sin x \cos x)^2 (\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) \\ & = ( \frac{7}{8} )(1) - ( -\frac{1}{4} )^2 (1) \\ & = \frac{7}{8} - \frac{1}{16} = \frac{13}{16} \end{align} $
Pernyataan (2) SALAH.

(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{1}{2} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \cos ^4 \alpha & = \cos ^2 \alpha . \cos ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 + \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} + \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (3) SALAH.

(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha & = \sin ^2 \alpha . \sin ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 - \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 - \frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} - \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) yang BENAR, jawabannya D.
Jadi, yang BENAR adalah pernyataan (4) $ . \, \heartsuit $