Pembahasan Barisan Geometri Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Suatu barisan geometri mempunyai 3 suku pertama $ a, b, b^2 $. Jika $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ 2x^2+kx+6=0 $ , maka suku keempat dari barisan dan nilai $ k $ masing-masing adalah .....
A). 27 dan $ - 8 \, $ B). 27 dan $ 8 \, $
C). 24 dan $ -8 \, $ D). 24 dan $ -4 \, $
E). 24 dan 4

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan geometri : $ u_1, u_2, u_3, .... $
-). Ciri-ciri barisan geometri : "perbandingan sama"
$ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} $
-). RUmus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui barisan geometri : $ a, b, b^2 $
-). Perbandingan sama :
$ \frac{b}{a} = \frac{b^2}{b} \rightarrow \frac{b}{a} = \frac{b}{1} \rightarrow a = 1 $
*). PK $ 2x^2+kx+6=0 $ dengan akar-akar $ x_1 = a = 1 $ dan $ x_2 = b $ :
-). Operasi perkalian akar-akar :
$\begin{align} x_1.x_2 & = \frac{6}{2} \rightarrow 1.b = 3 \rightarrow b = 3 \end{align} $
-). Operasi penjumlan akar-akar :
$\begin{align} x_1+x_2 & = \frac{-k}{2} \rightarrow 1 + 3 = \frac{-k}{2} \rightarrow k = -8 \end{align} $
Sehingga barisan geometrinya ($ a =1 , b = 3 $ ):
$ a, b, b^2 \rightarrow 1, 3, 9, .... $
$ u_4 = ar^3 = 1. 3^3 = 27 $
Jadi, nilai $ u_4 $ dan $ k $ adalah 27 dan $ -8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika sudut A dan B memenuhi sistem persamaan
$ \begin{align} 2\tan A + \tan B & = 4 \\ \tan A - 3\tan B & = -\frac{17}{2} \end{align} $
maka $ \tan (2A + B) \, $ sama dengan ...
A). $ -\frac{13}{9} \, $ B). $ -\frac{11}{9} \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -\frac{7}{9} \, $ E). $ -\frac{5}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan bisa dengan metode substitusi.
*). RUmus jumlah sudut :
$ \tan (x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x . \tan y} $
$ \tan (2x) = \frac{2\tan x }{1 - \tan ^2 x } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ 2\tan A + \tan B = 4 \rightarrow \tan B = 4 - 2\tan A \, $ .....(i)
$ \tan A - 3\tan B = -\frac{17}{2} \, $ .....(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} \tan A - 3\tan B & = -\frac{17}{2} \\ \tan A - 3(4 - 2\tan A) & = -\frac{17}{2} \\ \tan A -12 + 6\tan A & = -\frac{17}{2} \\ 7\tan A & = -\frac{17}{2} + 12 \\ 7\tan A & = \frac{7}{2} \\ \tan A & = \frac{1}{2} \end{align} $
Pers(i) : $ \tan B = 4 - 2\tan A = 4 - 2. \frac{1}{2} = 4 - 1 = 3 $
*). Menentukan nilai $ \tan 2A $ :
$\begin{align} \tan (2A) & = \frac{2\tan A}{1 - \tan ^2 A} \\ & = \frac{2. \frac{1}{2} }{1 - (\frac{1}{2} )^2} \\ & = \frac{1 }{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1 }{ \frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \tan (2A + B) $ :
$\begin{align} \tan (2A + B) & = \frac{\tan 2A + \tan B}{1 - \tan 2A . \tan B} \\ & = \frac{\frac{4}{3} + 3}{1 - \frac{4}{3} .3} = \frac{\frac{13}{3} }{1 - 4} \\ & = \frac{\frac{13}{3} }{-3} = -\frac{13}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan (2A + B) = -\frac{13}{9} . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Luas Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui titik $ A(a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2, b_3) $
-). Vektor $ \vec{AB} = ( b_1 - a_1 , b_2 - a_2 , b_3 - a_3) $
-). Panjang vektor $ \vec{AB} = | \vec{AB}| = \sqrt{ (b_1 - a_1)^2 +( b_2 - a_2)^2+( b_3 - a_3)^2} $
*). Luas segitiga ABC dengan vektor $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AC} $ :
Luas $ = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | $
dengan $ | \vec{AB} \times \vec{AC} | $ adalah panjang hasil perkalian silang $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AC} $
*). Menentukan perkalian silang dua vektor sama dengan determinan cara sarrus.
Misalkan : $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
$ \vec{u} \times \vec{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui segitiga ABC dengan titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) :
$\begin{align} \vec{AC} & = C-A = (-2, 1, 3) \\ \vec{AB} & = B - A = (1, 2, -2) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{AC} \times \vec{AB} $ dan panjangnya :
$\begin{align} \vec{AC} \times \vec{AB} & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ -2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = (-2i+3j-4k)-(6i+4j+k) \\ & = -8i - j -5k = (-8, -1, -5) \\ |\vec{AC} \times \vec{AB}| & = \sqrt{(-8)^2+(-1)^2+(-5)^2} \\ & = \sqrt{64+1+25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AB}| \\ & = \frac{1}{2} (3\sqrt{10}) = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{3}{2} \sqrt{10} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Luas Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui titik $ A(a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2, b_3) $
Panjang AB : $ |AB| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2} $
*). Aturan kosinus pada segitiga :
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC. \cos A $
atau $ \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2.AC.AB} $
*). Identitas Trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos ^2A} $
*). Luas segitiga ABC dengan menggunakan sudut A :
Luas $ = \frac{1}{2}. AC.AB. \sin A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui segitiga ABC dengan titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(3-4)^2+(1-3)^2+(2-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \\ |BC| & = \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2+(0-5)^2} = \sqrt{9+1+25} = \sqrt{35} \\ |AC| & = \sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2+(2-5)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \end{align} $
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan nilai $ \cos A $ dan $ \sin A $ :
$\begin{align} \cos A & = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2.AC.AB} \\ & = \frac{(\sqrt{14})^2 + 3^2 - (\sqrt{35})^2}{2.\sqrt{14}.3} \\ & = \frac{14 + 9 - 35}{2.\sqrt{14}.3} \\ & = \frac{-12}{6\sqrt{14} } \\ & = \frac{-2}{\sqrt{14} } \times \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} \\ & = \frac{-2\sqrt{14}}{14} = \frac{-\sqrt{14}}{7} \\ \sin A & = \sqrt{1 - \cos ^2 A } \\ & = \sqrt{1 - (\frac{-\sqrt{14}}{7})^2 } \\ & = \sqrt{1 - \frac{14}{49} } = \sqrt{ \frac{35}{49} } = \frac{1}{7} \sqrt{35} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} \times AC \times AB \times \sin A \\ & = \frac{1}{2} \times \sqrt{14} \times 3 \times \frac{1}{7} \sqrt{35} \\ & = \frac{3}{14} \times \sqrt{490} = \frac{3}{14} \times 7 . \sqrt{10} \\ & = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{3}{2} \sqrt{10} . \, \heartsuit $

Pembahasan Luas Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui titik $ A(a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2, b_3) $
Panjang AB : $ |AB| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2} $
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui segitiga ABC dengan titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(3-4)^2+(1-3)^2+(2-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \\ |BC| & = \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2+(0-5)^2} = \sqrt{9+1+25} = \sqrt{35} \\ |AC| & = \sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2+(2-5)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \end{align} $
Misalkan $ AD = x \rightarrow DB = 3 - x $ dan $ CD = t $ (gambar (i))
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan nilai $ x $ pada segitiga ADC dan BDC dengan pythagoras :
$\begin{align} t^2 \, (\text{segitiga ADC}) & = t^2 \, (\text{segitiga BDC}) \\ CA^2 - AD^2 & = CB^2 - BD^2 \\ (\sqrt{14})^2 - x^2 & = (\sqrt{35})^2 - (3-x)^2 \\ 14 - x^2 & = 35 - (9 - 6x + x^2) \\ 14 - x^2 & = 35 - 9 + 6x - x^2 \\ 6x & = -12 \\ x & = -2 \end{align} $
karena nilai $ x $ negatif, maka gambar yang benar adalah gambar (ii).
*). Menentukan tinggi segitiga ABC :
$ t = \sqrt{CA^2 - AD^2} = \sqrt{(\sqrt{14})^2 - 2^2} = \sqrt{10} $
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} \times AB \times CD \\ & = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{10} \\ & = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{3}{2} \sqrt{10} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 1} \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } $ adalah .....
A). $ \{ x | x \leq -1 \, \text{atau} \, x \geq \frac{1}{2} \} \, $
B). $ \{ x | x \geq 1 \, \text{atau} \, x \leq -1 \} \, $
C). $ \{ x | x \leq -1 \} \, $
D). $ \{ x | -1 \leq x \leq 1 \} \, $
E). $ \{ x | \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{x^2 - 1} & \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } \\ \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 1} & \leq \sqrt{3.(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2}) - 2 } \\ \sqrt{\frac{1}{4} - 1} & \leq \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - 2 } \\ \sqrt{-\frac{3}{4} } & \leq \sqrt{-\frac{3}{4} } \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $ x = \frac{1}{2} $ SALAH karena dalam akar harus positif, opsi yang benar adalah B dan C
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= 1 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 1} & \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } \\ \sqrt{1^2 - 1} & \leq \sqrt{3.(1)^2 + 1 - 2 } \\ \sqrt{0} & \leq \sqrt{ 2 } \\ 0 & \leq \sqrt{ 2 } \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $ x = 1 $ BENAR, opsi yang benar adalah B
Sehingga opsi yang benar adalah opsi B (yang tersisa).
Jadi, solusinya adalah $ \{ x \geq 1 \, \text{atau} \, x \leq -1 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 1} \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } $ adalah .....
A). $ \{ x | x \leq -1 \, \text{atau} \, x \geq \frac{1}{2} \} \, $
B). $ \{ x | x \geq 1 \, \text{atau} \, x \leq -1 \} \, $
C). $ \{ x | x \leq -1 \} \, $
D). $ \{ x | -1 \leq x \leq 1 \} \, $
E). $ \{ x | \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat pertidaksamaan bentuk akar : $ \sqrt{f(x)} \leq \sqrt{g(x)} $ yaitu
$ f(x) \geq 0 \, $ dan $ g(x) \geq 0 $
*). Iriskan semua solusi yang diperoleh.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 1} \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } $
*). Menyelesaikan syarat bentuk akarnya :
-). Syarat pertama : $ x^2 - 1 \geq 0 $
$\begin{align} x^2 - 1 & \geq 0 \\ (x + 1)(x - 1) & \geq 0 \\ x = -1 \vee x & = 1 \end{align} $
garis bilangan pertamanya :
 

$ HP_1 = \{ x \leq -1 \vee x \geq 1 \} $
-). Syarat kedua : $ 3x^2 + x - 2 \geq 0 $
$\begin{align} 3x^2 + x - 2 & \geq 0 \\ (3x -2)(x+1) & \geq 0 \\ x = \frac{2}{3} \vee x & = -1 \end{align} $
garis bilangan keduanya :
 

$ HP_2 = \{ x \leq -1 \vee x \geq \frac{2}{3} \} $
*). Kuadratkan pertidaksamaan bentuk akarnya :
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - 1} & \leq \sqrt{3x^2 + x - 2 } \\ (\sqrt{x^2 - 1})^2 & \leq (\sqrt{3x^2 + x - 2 })^2 \\ x^2 - 1 & \leq 3x^2 + x - 2 \\ 2x^2 + x - 1 & \geq 0 \\ (2x -1)(x+1) & \geq 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = -1 \end{align} $
garis bilangan ketiganya :
 

$ HP_3 = \{ x \leq -1 \vee x \geq \frac{1}{2} \} $
*). Solusi totalnya adalah irisan ketiga himpunannya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \cap HP_3 \\ & = \{ x \leq -1 \vee x \geq 1 \} \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ x \leq -1 \vee x \geq 1 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persamaan kuadrat $ x^2 + 2px -p^2 + 7p - 6 = 0 $ . Nilai $ p $ agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar berlawanan tanda adalah .....
A). $ 1\frac{1}{2} < p < 2 \, $ atau $ p > 3 \, $ atau $ p < 1 $
B). $ 1 < p < 1\frac{1}{2} \, $ C). $ 1\frac{1}{2} < p < 3 \, $
D). $ p < 1 \, $ atau $ p > 6 $
E). $ p < 1\frac{1}{2} \, $ atau $ p > 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ dan $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
*). Syarat akar-akar berlawanan tanda (berlainan tanda) yaitu $ x_1 > 0 $ dan $ x_2 < 0 $ atau $ x_1 < 0 $ dan $ x_2 > 0 $ yaitu :
(i). $ x_1 . x_2 < 0 $
(ii). $ D > 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
(kedua syarat diiriskan penyelesaiannya)
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 + 2px -p^2 + 7p - 6 = 0 $, akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $
dengan $ a = 1, b = 2p $ , dan $ c = -p^2 + 7p - 6 $
*). Menyelesaikan syarat akar-akar berlawanan tanda :
-). Syarat pertama :
$\begin{align} x_1.x_2 & < 0 \\ \frac{c}{a} & < 0 \\ \frac{-p^2 + 7p - 6}{1} & < 0 \\ -p^2 + 7p - 6 & < 0 \, \, \, \, \text{(kali } -1) \\ p^2 - 7p + 6 & > 0 \\ (p - 1 )(p - 6) & > 0 \\ p = 1 \vee p & = 6 \end{align} $
garis bilangan pertamanya :
 

$ HP_1 = \{ p < 1 \vee p > 6 \} $
-). Syarat kedua :
$\begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ (2p)^2 - 4.1.( -p^2 + 7p - 6 ) & > 0 \\ 4p^2+ 4p^2 - 28p + 24 & > 0 \\ 8p^2 - 28p + 24 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 2p^2 - 7p + 6 & > 0 \\ (2p -3)(p-2) & > 0 \\ p = \frac{3}{2} \vee p & = 2 \end{align} $
garis bilangan keduanya :
 

$ HP_2 = \{ p < \frac{3}{2} \vee p > 2 \} $
-). Solusi totalnya adalah irisan kedua himpunan :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ p < 1 \vee p > 6 \} \cap \{ p < \frac{3}{2} \vee p > 2 \} \\ & = \{ p < 1 \vee p > 6 \} \end{align} $
Jadi, syaratnya adalah $ \{ p < 1 \vee p > 6 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = -\frac{5\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha = \frac{5}{32}\sqrt{3} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} - \frac{3}{4}\sqrt{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
*). Rumus sudut rangkap :
$ \cos ^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x ) $
$ \sin ^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x ) $
$ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x $
$ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $
$ \sin (-x) = - \sin x \, $ dan $ \cos (-x) = \cos x $
*). Sifat eksponen :
$ a^4 - b^4 = (a^2 - b^2 )(a^ + b^2 ) $
$ a^6 - b^6 = (a^4 - b^4)(a^2 + b^2) + (ab)^2(a^2 - b^2) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \alpha = -\frac{5\pi}{12} $ dengan $ \pi = 180^\circ $
*). Menentukan beberapa nilai :
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = \cos 2 . (-\frac{5\pi}{12}) = \cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin 2 \alpha & = \sin 2 .(- \frac{5\pi}{12}) = -\sin 150^\circ = -\frac{1}{2} \\ (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) & = -(\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha) \\ & = -\cos 2 \alpha = - (-\frac{1}{2}\sqrt{3} ) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin \alpha \cos \alpha & = \frac{1}{2} \sin 2\alpha = \frac{1}{2} . (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} \end{align} $

*). Kita cek keempat pernyataan :
(1). $ \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha & = (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha)(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) \\ & = (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha)(1) \\ & = (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha = \frac{5}{32}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} & \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha \\ & = (\sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha )(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) +(\sin x \cos x)^2 (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) \\ & = (\frac{1}{2}\sqrt{3} )(1) +(-\frac{1}{4})^2 (\frac{1}{2}\sqrt{3} ) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{16} . \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{32} \sqrt{3} \\ & = \frac{16}{32}\sqrt{3} + \frac{1}{32} \sqrt{3} \\ & = \frac{17}{32}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (2) SALAH.

(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \cos ^4 \alpha & = \cos ^2 \alpha . \cos ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 + \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 -\frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} - \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (3) BENAR.

(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} - \frac{3}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha & = \sin ^2 \alpha . \sin ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 - \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 -(-\frac{1}{2}\sqrt{3}) )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} + \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (4) SALAH.

Sehingga pernyataan (1) dan (3) yang BENAR, jawabannya B.
Jadi, yang BENAR adalah pernyataan (1) dan (3) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Diberikan $ \vec{u} = (4, a, 3) $ dan $ \vec{v} = (-2, -1, 2) $ . Jika $ \vec{u} $ ortogonal dengan $ \vec{v} $ , maka .....
(1). Jarak $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \sqrt{6} $
(2). $ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || = 2 $
(3). sudut antara $ 2\vec{u} $ dan $ 2\vec{v} $ adalah $ \pi $
(4). $ a = -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan vektor $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3 ) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
$ \vec{u} . \vec{v} = u_1.v_1 + u_2.v_2 + u_3.v_3 $
Panjang vektor $ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} $
*). Jarak vektor $ \vec{u} $ ke vektor $ \vec{v} $ adalah $ ||\vec{u} - \vec{v}|| $
*). $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $, berlaku $ \vec{u} . \vec{v} = 0 $
*). Panjang Proyeksi vektor $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || $
$ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{v}| } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui vektor $ \vec{u} = (4, a, 3) $ dan $ \vec{v} = (-2, -1, 2) $
$ \vec{u}.\vec{v} = 4.(-2) + a.(-1) + 3.2 = -8 - a + 6 = -a - 2 $
*). $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $ , berlaku :
$ \vec{u}.\vec{v} = 0 \rightarrow -a - 2 = 0 \rightarrow a = -2 $
Sehingga :
$ \vec{u} - \vec{v} = (4, -2, 3) - (-2, -1, 2) = (6, -1, 1) $

Cek setiap pernyataan :
(1). Jarak $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \sqrt{6} $ ?
Jaraknya $ = || \vec{u} - \vec{v} || $
$ \begin{align} || \vec{u} - \vec{v} || & = \sqrt{6^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{38} \end{align} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). $ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || = 2 $ ?
$ \begin{align} || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || & = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{v}| } \\ & = \frac{0}{|\vec{v}|} = 0 \end{align} $
Pernyataan (2) SALAH.

(3). sudut antara $ 2\vec{u} $ dan $ 2\vec{v} $ adalah $ \pi $ ?
Karena $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $ , maka besar sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \frac{\pi}{2} $ dengan $ \pi = 180^\circ $. Begitu juga sudut yang dibentuk oleh $ 2\vec{u} $ dan $ 2\vec{v} $ sebesar $ \frac{\pi}{2} $.
Pernyataan (3) SALAH.

(4). $ a = -2 $ ?
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan yang BENAR adalah (4). Jawabannya D.
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{2}{3}, \frac{11}{18}, -\frac{23}{108}, \frac{89}{648} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{11}} - \frac{1}{3^{11}} \, $
C). $ \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{3^{11}} \, $ D). $ \frac{1}{2^{11}} - \frac{1}{3^{12}} \, $
E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{12}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap barisan memiliki pola atau rumus tersendiri.
*). Sifat eksponen :
untuk $ n \, $ ganjil, $ (-1)^n = -1 $
untuk $ n \, $ genap, $ (-1)^n = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sebuah barisan $ -\frac{2}{3}, \frac{11}{18}, -\frac{23}{108}, \frac{89}{648} , .... $ :
-). Penjabaran setiap sukunya :
$ u_1 = -\frac{2}{3} = -\frac{1}{2^0} + \frac{1}{3^1} = (-1)^1 . \frac{1}{2^{1-1}} + \frac{1}{3^1} $
$ u_2 = \frac{11}{18} = \frac{1}{2^1} + \frac{1}{3^2} = (-1)^2 . \frac{1}{2^{2-1}} + \frac{1}{3^2} $
$ u_3 = -\frac{23}{108} = -\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^3} = (-1)^3 . \frac{1}{2^{3-1}} + \frac{1}{3^3} $
$ u_4 = \frac{89}{648} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^4} = (-1)^4 . \frac{1}{2^{4-1}} + \frac{1}{3^4} $
......
$ u_n = (-1)^n . \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{3^n} $
-). Sehingga rumus umum suku ke-$n$ nya yaitu :
$ u_n = (-1)^n . \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{3^n} $
*). Menentukan suku ke-12 :
$\begin{align} u_n & = (-1)^n . \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{3^n} \\ u_{12} & = (-1)^{12} . \frac{1}{2^{12-1}} + \frac{1}{3^{12}} \\ u_{12} & = 1. \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{12}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{12}} \end{align} $
Jadi, suku ke-12 adalah $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{12}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sistem persamaan $ 2x^2+y^2+3xy-12=0$ , $ x^2+\frac{1}{2}y^2+2xy-7=0 $. Jika $ (x,y) $ adalah pasangan bilangan real tak bulat yang memenuhi sistem tersebut, maka nilai $ x - y + 2 $ adalah .....
A). $ -2 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui sistem persamaan :
$ 2x^2+y^2+3xy-12=0 \rightarrow 2x^2 + y^2 = -3xy + 12 $ ....(i)
$ x^2+\frac{1}{2}y^2+2xy-7=0 $ ....(ii)
*). Kali 2 pers(ii), lalu gunakan pers(i) :
$\begin{align} x^2+\frac{1}{2}y^2+2xy-7 & =0 \\ 2x^2+y^2+4xy-14 & =0 \\ (2x^2+y^2)+4xy-14 & =0 \\ (-3xy + 12)+4xy-14 & =0 \\ xy & = 2 \\ y & = \frac{2}{x} \end{align} $
*). Substitusi $ y = \frac{2}{x} $ ke pers(i) :
$\begin{align} 2x^2+y^2+3xy-12 & = 0 \\ 2x^2+(\frac{2}{x} )^2+3x.(\frac{2}{x} )-12 & = 0 \\ 2x^2+ \frac{4}{x^2} + 6-12 & = 0 \\ 2x^2+ \frac{4}{x^2} -6 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali } x^2) \\ 2x^4+ 4 -6x^2 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^4 - 3x^2 + 2 & = 0 \\ (x^2 -1)(x^2 -2) & = 0 \\ x^2 = 1 \vee x^2 & = 2 \\ x = \pm1 \vee x & = \pm \sqrt{ 2 } \\ \end{align} $
-). Karena $ x $ bukan bulat, maka $ x = \pm \sqrt{ 2 } $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ y $ dan $ x - y + 2 $ dengan $ y = \frac{2}{x} $ :
$\begin{align} x = \sqrt{2} \rightarrow y & = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \\ x - y + 2 & = \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2 = 2 \\ x = -\sqrt{2} \rightarrow y & = \frac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \\ x - y + 2 & = (-\sqrt{2}) -(- \sqrt{2} ) + 2 = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ x - y + 2 = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan permukaan berbahan karton. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP : PG = 2:5 $. Jika bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian, perbandingan luas permukaan karton adalah ....
A). $ 73:17 \, $ B). $ 73:15 \, $ C). $ 73:12 \, $ D). $ 73:11 \, $ E). $ 73:9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas permukaan kubus $ = 6s^2 $
dengan $ s = \, $ panjang rusuk kubus.
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} .a.t $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

Misalkan panjang rusuk kubus $ = 7 $
-). Karton digunakan untuk menutupi permukaan kubus.
-). Karena yang ditanya perbandingan luas karton, maka kita cukup menghitung luas yang tertutupi oleh karton saja.
-). Bagian kecil, luas kartonnya : $\Delta BCD, \Delta BCP, \Delta DCP $
-). Bagian besar, luas kartonnya : $ \Delta ABD, ABFE, ADHE, BPGF, DPGH $
*). Luas permukaan seluruh kubus :
$\begin{align} \text{L kubus } & = 6s^2 \\ & = 6 . 7^2 = 294 \end{align} $
*). Luas bagian kecil karton :
$\begin{align} \text{L kecil } & = L \, \Delta BCD + 2 \times L \, \Delta BCP \\ & = \frac{1}{2} . 7.7 + 2 \times \frac{1}{2} . 7.2 \\ & = \frac{49}{2} + \frac{28}{2} = \frac{77}{2} \end{align} $
*). Luas bagian besar karton :
$\begin{align} \text{L besar } & = \text{L kubus } - \text{ L kecil } \\ & = 294 - \frac{77}{2} \\ & = \frac{511}{2} \end{align} $
*). Perbandingan luas permukaan karton :
$\begin{align} \text{L besar } : \text{L kecil } & = \frac{511}{2} : \frac{77}{2} \\ & = 511 : 77 \\ & = 73 : 11 \end{align} $
Jadi, perbandingan luasnya adalah $ 73 : 11 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \int \limits_{-2}^0 \left( \cos \left(\pi + \frac{\pi kx}{2} \right) + \frac{9x^2 - 10x + 14}{k+12} \right) dx = (k-9)(k-11) $ untuk nilai $ k $ bilangan bulat, maka $ k^2 - 14 = .... $
A). $ 140 \, $ B). $ 135 \, $ C). $ 130 \, $ D). $ 125 \, $ E). $ 120 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus integral :
$ \int ax^n \, dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
$ \int \cos ax \, dx = \frac{1}{a} \sin ax + c $
*). Rumus trigonometri :
$ \cos ( \pi + A ) = -\cos A $
*). Sifat integral tentu :
$ \int \limits_a^b ( f(x) + g(x)) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx $
*). untuk $ k $ bilangan bulat, maka $ \sin ( 2\pi k ) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} \int \limits_{-2}^0 \left( \cos \left(\pi + \frac{\pi kx}{2} \right) + \frac{9x^2 - 10x + 14}{k+12} \right) dx& = (k-9)(k-11) \\ \int \limits_{-2}^0 \left( - \cos \left( \frac{\pi kx}{2} \right) + \frac{9x^2 - 10x + 14}{k+12} \right) dx &= (k-9)(k-11) \\ \int \limits_{-2}^0 - \cos \left( \frac{\pi kx}{2} \right) dx + \int \limits_{-2}^0 \, \frac{9x^2 - 10x + 14}{k+12} dx & = (k-9)(k-11) \\ \int \limits_{-2}^0 - \cos \left( \frac{\pi kx}{2} \right) dx + \frac{1}{k+12} \int \limits_{-2}^0 \, 9x^2 - 10x + 14 dx & = (k-9)(k-11) \\ -\frac{1}{\frac{\pi k}{2} } [\sin \left( \frac{\pi kx}{2} \right) ]_{-2}^0 + \frac{1}{k+12} [ 3x^3 - 5x^2 + 14x ]_{-2}^0 & = (k-9)(k-11) \\ -\frac{1}{\frac{\pi k}{2} } [0 - 0 ] + \frac{1}{k+12} [72] & = (k-9)(k-11) \\ 0 + \frac{72}{k+12} & = (k-9)(k-11) \\ \frac{72}{k+12} & = (k-9)(k-11) \\ (k+12)(k-9)(k-11) & = 72 \\ (k+12)(k-9)(k-11) & = 24.3.2 \\ \end{align} $
terpenuhi untuk $ k = 12 $
Sehingga nilai $ k^2 - 14 = 12^2 - 14 = 144 - 14 = 130 $
Jadi, nilai $ k^2 - 14 = 130. \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak Simak UI 2018 Matematika IPA kode 421

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ x^2 + 3 x + 2 $ bersisa $ 3bx + a -2 $ dan dibagi $ x^2 -2x -3 $ bersisa $ ax - 2b$. Jika $ f(3) + f(-2) = 6 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema sisa :
$ f(x) \, $ dibagi $ \, (x-a)(x-b) \, $ bersisa $ px + q $
Maka berlaku :
$ f(a) = pa + q $ dan $ f(b) = pb + q $
(substitusi akar-akar pembaginya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertama : Diketahui suku banyak $ f(x) $
Pembaginya : $ x^2 + 3 x + 2 = (x+1)(x+2)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = -2 $
Sisa : $ s(x) = 3bx + a -2 $
-). Menyusun persamaan :
Akar-akar pembaginya adalah $ -1 $ dan $ -2 $
$\begin{align} x = -1 \rightarrow f\left( -1 \right) & = s\left( -1 \right) \\ f\left( - 1 \right) & = 3b(-1) + a -2 \\ f\left( -1 \right) & = -3b + a - 2 \, \, \, \, \, ....\text{(i)} \\ x = -2 \rightarrow f\left( -2 \right) & = s\left( -2 \right) \\ f\left( -2 \right) & = 3b(-2) + a -2 \\ f\left( -2 \right) & = -6b + a -2 \, \, \, \, \, ....\text{(ii)} \end{align} $
*). Kedua : Diketahui suku banyak $ f(x) $
Pembaginya : $ x^2 -2x -3 = (x+1)(x-3)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = 3 $
Sisa : $ s(x) = ax - 2b $
-). Akar-akar pembaginya adalah $ -1 $ dan $ 3 $
$\begin{align} x = -1 \rightarrow f\left( -1 \right) & = s\left( -1 \right) \\ f\left( -1 \right) & = a(-1) - 2b \\ f\left( -1 \right) & = -a -2b \, \, \, \, \, ....\text{(iii)} \\ x = 3 \rightarrow f\left( 3 \right) & = s\left( 3 \right) \\ f\left( 3 \right) & = a(3) - 2b \\ f\left( 3 \right) & = 3a -2b \, \, \, \, \, ....\text{(iv)} \end{align} $
*). Ketiga : $ f(3) + f(-2) = 6 $ ......(v)
*). Dari pers(i) dan (iii) :
$ f(-1) = f(-1) \rightarrow -3b + a - 2 = -a -2b \rightarrow b = 2a - 2 $ ....(vi)
*). Substitusi (ii), (iv) dan (vi) ke (v) :
$\begin{align} f(3) + f(-2) & = 6 \\ ( 3a -2b) + (-6b + a -2 ) & = 6 \\ 4a - 8b & = 8 \, \, \, \, \, \text{(:4)} \\ a - 2b & = 2 \, \, \, \, \, \text{(vi)} \\ a - 2(2a - 2) & = 2 \\ -3a & = -2 \\ a & = \frac{2}{3} \end{align} $
Nilai $ b = 2a - 2 = 2(\frac{2}{3} ) - 2 = -\frac{2}{3} $
Sehingga nilai :
$ a + b = \frac{2}{3} + (-\frac{2}{3} ) = 0 $
Jadi, nilai $ a + b = 0. \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2018 Matematika Ipa Kode 421


Nomor 1
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ x^2 + 3 x + 2 $ bersisa $ 3bx + a -2 $ dan dibagi $ x^2 -2x -3 $ bersisa $ ax - 2b$. Jika $ f(3) + f(-2) = 6 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 2
Himpunan penyelesaian $ 16 - x^2 \leq |x+4| $ adalah ....
A). $ \{ x \in R : -4 \leq x \leq 4 \} \, $
B). $ \{ x \in R : -4 \leq x \leq 3 \} \, $
C). $ \{ x \in R : x \leq -4 \text{ atau } x \geq 4 \} \, $
D). $ \{ x \in R : 0 \leq x \leq 3 \} \, $
E). $ \{ x \in R : x \leq -4 \text{ atau } x \geq 3 \} $
Nomor 3
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 2\sin ^2 x - \cos x = 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4}{3}\pi \, $ E). $ 2\pi $
Nomor 4
$ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{ x^2 - 16} = ... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{128} \, $ C). $ \frac{1}{256} \, $ D). $ \frac{1}{512} \, $ E). $ \frac{1}{1024} \, $
Nomor 5
Jika $ \int \limits_{-2}^0 \left( \cos \left(\pi + \frac{\pi kx}{2} \right) + \frac{9x^2 - 10x + 14}{k+12} \right) dx = (k-9)(k-11) $ untuk nilai $ k $ bilangan bulat, maka $ k^2 - 14 = .... $
A). $ 140 \, $ B). $ 135 \, $ C). $ 130 \, $ D). $ 125 \, $ E). $ 120 \, $

Nomor 6
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan permukaan berbahan karton. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP : PG = 2:5 $. Jika bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian, perbandingan luas permukaan karton adalah ....
A). $ 73:17 \, $ B). $ 73:15 \, $ C). $ 73:12 \, $ D). $ 73:11 \, $ E). $ 73:9 $
Nomor 7
Diberikan balok ABCD.EFGH dengan panjang $ AB = 6 $, $ BC = 4 $, dan $ CG = 2 $. Jika titik M perpanjangan AB sehingga $ MB = 2AB $, titik N perpanjangan FG sehingga $ FG = GN $ , dan $ \theta $ adalah sudut antara MN dan MB, maka $ \sin \theta = .... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{53}} \, $ B). $ \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{53}} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{17}}{\sqrt{53}} \, $ D). $ \frac{2}{\sqrt{17}} \, $ E). $ \frac{\sqrt{17}}{2\sqrt{53}} $
Nomor 8
Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $
Nomor 9
Diketahui $ sx-y=0 $ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu X. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu X dan titik pusatnya dilalui garis $ x = -2 $ , maka nilai $ 3s $ adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

Nomor 11
Diberikan sistem persamaan $ 2x^2+y^2+3xy-12=0$ , $ x^2+\frac{1}{2}y^2+2xy-7=0 $. Jika $ (x,y) $ adalah pasangan bilangan real tak bulat yang memenuhi sistem tersebut, maka nilai $ x - y + 2 $ adalah .....
A). $ -2 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 2 $
Nomor 12
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{2}{3}, \frac{11}{18}, -\frac{23}{108}, \frac{89}{648} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{11}} - \frac{1}{3^{11}} \, $
C). $ \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{3^{11}} \, $ D). $ \frac{1}{2^{11}} - \frac{1}{3^{12}} \, $
E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{12}} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Diberikan $ \vec{a} = (4, a, 3) $ dan $ \vec{b} = (-2, -1, 2) $ . Jika $ \vec{u} $ ortogonal dengan $ \vec{v} $ , maka .....
(1). Jarak $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \sqrt{6} $
(2). $ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || = 2 $
(3). sudut antara $ 2\vec{u} $ dan $ 2\vec{v} $ adalah $ \pi $
(4). $ a = -2 $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = 2x^3 - 6ax + b $ , $ a > 0 $ , maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = -\frac{5\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha = \frac{5}{32}\sqrt{3} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} - \frac{3}{4}\sqrt{3} \, $

Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 417

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = 2x^3 - 6ax + b $ , $ a > 0 $ , maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ dan turunannya $ f^\prime (x) $
-). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum atau minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan selalu naik jika setiap $ x $ berlaku $ f^\prime (x) > 0 $
-). Cek jenis stasioner untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $ :
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka jenisnya maksimum.
*). Bentuk akar : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = 2x^3 - 6ax + b $
$ y^\prime = 6x^2 - 6a $
$ y^{\prime \prime } = 12x $
-). Syarat stasioner : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 6x^2 - 6a & = 0 \\ x^2 & = a \\ x & = \pm \sqrt{a} \end{align} $
artinya $ y $ stasioner saat $ x = \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $ atau $ x = - \sqrt{a} = - a^\frac{1}{2} $
-). Cek Turunan kedua :
$ \begin{align} x = \sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = 12\sqrt{a} > 0 \, (\text{min}) \\ x = -\sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = -12\sqrt{a} < 0 \, (\text{max}) \end{align} $
artinya $ y $ minimum saat $ x = \sqrt{a} $ dan maksimum saat $ x = -\sqrt{a} $

Kita cek setiap pernyataan :
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $ ?
minimum saat $ x = \sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{min} & = 2(\sqrt{a})^3 - 6a.\sqrt{a} + b \\ & = 2a^\frac{3}{2} - 6a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = 2a^\frac{3}{2} - 6a^\frac{3}{2} + b \\ & = -4 a^\frac{3}{2} + b \\ & = b -4 a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $ ?
Pernyataan (2) SALAH.

(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $ ?
minimum saat $ x = -\sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{max} & = 2(-\sqrt{a})^3 - 6a.(-\sqrt{a}) + b \\ & = -2 a^\frac{3}{2} + 6a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = -2 a^\frac{3}{2} + 6a^\frac{3}{2} + b \\ & = 4 a^\frac{3}{2} + b \\ & = b + 4 a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (3) SALAH.

(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $ ?
Syarat naik : $ y^\prime > 0 $
$ 6x^2 - 6a > 0 \rightarrow x = \pm \sqrt{a} $
 

Naik pada interval $ x < -\sqrt{a} $ atau $ x > \sqrt{a} $
atau dapat ditulis : $ \left( -\infty , -\sqrt{a} \right) $ atau $ \left( \sqrt{a} , \infty \right) $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) saja yang BENAR. Jawabannya D
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 417

Soal yang Akan Dibahas
Jika diberikan $ a+\sqrt{3}b-2c=1 $ , $ 3b^2+c^2=2a^2 $ , dan $ a^2+4ac=5c^2 $ , maka nilai $ b $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{5} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{3}}{5} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{6} \, $ E). $ \frac{5\sqrt{3}}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui sistem persamaan :
$ a+\sqrt{3}b-2c=1 \rightarrow a- 2c = 1 - \sqrt{3}b $ ...(i)
$ 3b^2+c^2=2a^2 \rightarrow 2a^2 - c^2 = 3b^2 $ .....(ii)
$ a^2+4ac=5c^2 \rightarrow 4ac = 5c^2 - a^2 $ ......(iii)
*). kuadratkan pers(i) :
$\begin{align} (a- 2c)^2 & = (1 - \sqrt{3}b)^2 \\ a^2 + 4c^2 - 4ac & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \, \, \, \, \, \text{.....(iv)} \end{align} $
*). Substitusi pers(iii) ke pers(iv) :
$\begin{align} a^2 + 4c^2 - 4ac & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ a^2 + 4c^2 - (5c^2 - a^2) & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ a^2 + 4c^2 - 5c^2 + a^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ 2a^2 - c^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \, \, \, \, \, \text{.....(v)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(v) :
$\begin{align} 2a^2 - c^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ 3b^2 & = 1 - 2\sqrt{3}b + 3b^2 \\ 2\sqrt{3}b & = 1 \\ b & = \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ b & = \frac{1}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{\sqrt{3}}{6} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2018 Matematika Ipa Kode 417


Nomor 1
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ 2x^2 - x - 1 $ bersisa $ 4ax-b $ dan dibagi $ 2x^2 + 3x + 1 $ bersisa $ -2bx+a-11$. Jika $ f(x-2) $ habis dibagi oleh $ x-3 $, maka $ a + 2b + 6 = .... $
A). $ 18 \, $ B). $ 17 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 12 $
Nomor 2
Himpunan penyelesaian $ 16 - x^2 \leq |x+4| $ adalah ....
A). $ \{ x \in R : -4 \leq x \leq 4 \} \, $
B). $ \{ x \in R : -4 \leq x \leq 3 \} \, $
C). $ \{ x \in R : x \leq -4 \text{ atau } x \geq 4 \} \, $
D). $ \{ x \in R : 0 \leq x \leq 3 \} \, $
E). $ \{ x \in R : x \leq -4 \text{ atau } x \geq 3 \} $
Nomor 3
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 2\sin ^2 x - \cos x = 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4}{3}\pi \, $ E). $ 2\pi $
Nomor 4
$ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^3 - 64}{ \sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}} = ... $
A). $ 18 \, $ B). $ 48 \, $ C). $ 128 \, $ D). $ 248 \, $ E). $ 768 \, $
Nomor 5
Jika $ f(x) $ fungsi kontinu di interval $ [1,30] $ dan $ \int \limits_6^{30} f(x) dx = 30 $ , maka $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 27 \, $

Nomor 6
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 cm. M adalah titik tengah AB. Luas irisan bidang yang melalui FDM dengan kubus ABCD.EFGH adalah ..... cm$^2$
A). $ 2 \, $ B). $ 2,5 \, $ C). $ 2\sqrt{2} \, $ D). $ 2\sqrt{6} \, $ E). $ 5 $
Nomor 7
DIberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP:PG=5:2$ . Jika $ \alpha $ adalah sudut terbesar yang terbentuk antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ -\frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ B). $ -\frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ C). $ \frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ D). $ \frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ E). $ \frac{7\sqrt{11}}{55} $
Nomor 8
Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $
Nomor 9
Diketahui $ sx-y=0 $ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu X. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu X dan titik pusatnya dilalui garis $ x = -2 $ , maka nilai $ 3s $ adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

Nomor 11
Jika diberikan $ a+\sqrt{3}b-2c=1 $ , $ 3b^2+c^2=2a^2 $ , dan $ a^2+4ac=5c^2 $ , maka nilai $ b $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{5} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{3}}{5} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{6} \, $ E). $ \frac{5\sqrt{3}}{6} $
Nomor 12
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{12}} \, $ C). $ \frac{3}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{3}{2^{12}} \, $ E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{u} = (2, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (4, 10, -8) $, maka ....
(1). $ \vec{u} + k\vec{v} $ tegak lurus $ \vec{u} $ bila $ k = \frac{17}{18} $
(2). sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah tumpul
(3). $ || \text{proy}_\vec{u} \vec{v} || = 6 $
(4). jarak antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ sama dengan $ || \vec{u} + \vec{v} || $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = 2x^3 - 6ax + b $ , $ a > 0 $ , maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
$ \frac{2\tan x}{1 + \tan ^2 x} = .... $
(1). $ \cot 2x \, $
(2). $ 2\sin x \cos x \, $
(3). $ \tan x \sec x \, $
(4). $ \sin 2x \, $

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 416

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ S_n \, $ adalah jumlah sampai suku ke-$n$ dari barisan geometri, $ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $ , maka $ \frac{S_{11}}{S_8} = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 254 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus $ U_n $ dan $ S_n $ barisan geometri :
$ U_n = ar^{n-1} $
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio
$ S_1 = U_1 = a $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ S_1 + S_6 = 1024 $ , dan $ S_3 \times S_4 = 1023 $
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama : $ S_1 + S_6 = 1024 $
$\begin{align} S_1 + S_6 & = 1024 \\ a + \frac{a(r^6-1)}{r-1} & = 1024 \\ a \left( 1 + \frac{(r^6-1)}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r-1}{r-1} + \frac{r^6-1}{r-1} \right) & = 1024 \\ a \left( \frac{r^6 + r-2}{r-1} \right) & = 1024 \\ \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} & = a \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). persamaan kedua : $ S_3 \times S_4 = 1023 $
dan substitusikan $ a = \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} $ ke pers(ii)
$\begin{align} S_3 \times S_4 & = 1023 \\ \frac{a(r^3-1)}{r-1} \times \frac{a(r^4-1)}{r-1} & = 1023 \\ a^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \left( \frac{1024(r-1)}{r^6 + r - 2} \right)^2 . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r-1)^2}{(r^6 + r - 2)^2} . \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r-1)^2} & = 1023 \\ \frac{1024^2(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = 1023 \\ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} & = \frac{1023}{1024^2} \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk persamaan terakhir yaitu :
$ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} = \frac{1023}{1024^2} $
Nah dari persamaan terakhir ini kita akan menentukan nilai $ r $, hanya saja sulit untuk dikerjakan.
*). Pertanyaan akhirnya :
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \end{align} $

Catatan :
-). Karena kita belum bisa menemukan nilai $ r $, maka soal ini belum bisa terjawab.
-). Jika dari pembaca telah menemukan cara menentukan $ r $ atau ide lainnya, mohon untuk share di kolom komentar ya untuk bisa menyelesaikan soal ini.
-). Mudah-mudahan soalnya tidak salah ya karena soal di tahun 2018 ini ada juga soal yang salah pertanyaannya, coba ikuti link berikut ini :
"Pembahasan barisan simak ui 2018 matipa kode 414"

Lanjutan pembahasan soal ini:
*). Persamaan ini $ \frac{(r^3-1)(r^4-1)}{(r^6 + r - 2)^2} = \frac{1023}{1024^2} $ tidak memiliki penyelesaian bilangan bulat. Sehingga secara normal pada saat test sulit bagi kita untuk mengerjakan soal ini. Untuk menyelesaikannya kita bisa menggunakan metode coba-coba atau menggunakan software atau pendekatan lainnya. Dengan metode coba-coba, kita mulai dari $ r =2 $, $ r = 3 $, dan $ r = 4 $. Ternyataan persamaan tersebut memiliki penyelesaian antara $ 3 < r < 4 $. Sehingga kita coba pilih nilai $ r $ pembulatan keatas yaitu $ r = 4 $ dan pembulatan ke bawahnya yaitu $ r = 3 $.

*). Menentukan hasil akhir untuk $ r = 4 $:
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \\ & = \frac{4^{11} - 1}{4^8 -1} \\ & = 64, 0009613 \end{align} $
Kita bulatkan menjadi 64.

*). Menentukan hasil akhir untuk $ r = 3 $:
$ \begin{align} \frac{S_{11}}{S_8} & = \frac{\frac{a(r^{11} - 1)}{r-1} }{\frac{a(r^{8} - 1)}{r-1} } = \frac{r^{11} - 1}{r^8 -1} \\ & = \frac{3^{11} - 1}{3^8 -1} \\ & = 27,0039634 \end{align} $
Kita bulatkan menjadi 27.

dioption yang ada yaitu 64.
Jadi, nilai dari $ \frac{S_{11}}{S_8} = 64 $ (hasil pembulatan).

Saran:
-). Jika menemukan bentuk soal seperti ini ketika test, sebaiknya dilewatkan saja karena membutuhkan waktu yang cukup banyak untuk menyelesaikannya. Terlebih lagi melibatkan bentuk pangkat yang angkanya cukup besar.

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2018 Matematika IPA kode 416

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = -\frac{\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha = \frac{6}{8} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = \frac{12}{16} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{1}{2} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
*). Rumus sudut rangkap :
$ \cos ^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x ) $
$ \sin ^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x ) $
$ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $
*). Sudut negatif :
$ \sin (-x) = -\sin x $ dan $ \cos (-x) = \cos x $
*). Sifat eksponen :
$ a^4 + b^4 = (a^2 + b^2 )^2 - 2 (a.b)^2 $
$ a^6 + b^6 = (a^4 + b^4)(a^2 + b^2) - (ab)^2(a^2 + b^2) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \alpha = -\frac{\pi}{12} $ dengan $ \pi = 180^\circ $
*). Menentukan beberapa nilai :
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = \cos 2 . (-\frac{\pi}{12}) = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin 2 \alpha & = \sin 2 . (-\frac{\pi}{12}) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} \\ \sin \alpha . \cos \alpha & = \frac{1}{2} \sin 2 \alpha = \frac{1}{2} . (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} \end{align} $

*). Kita cek keempat pernyataan :
(1). $ \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha = \frac{6}{8} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha & = (\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha)^2 - 2(\sin \alpha . \cos \alpha )^2 \\ & = (1)^2 - 2(- \frac{1}{4} )^2 \\ & = 1 - 2( \frac{1}{16} ) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \end{align} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). $ \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = \frac{12}{16} \, $ ?
$ \begin{align} & \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \\ & = (\sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha )(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) - (\sin x \cos x)^2 (\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) \\ & = ( \frac{7}{8} )(1) - ( -\frac{1}{4} )^2 (1) \\ & = \frac{7}{8} - \frac{1}{16} = \frac{13}{16} \end{align} $
Pernyataan (2) SALAH.

(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{1}{2} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \cos ^4 \alpha & = \cos ^2 \alpha . \cos ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 + \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} + \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (3) SALAH.

(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha & = \sin ^2 \alpha . \sin ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 - \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 - \frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} - \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) yang BENAR, jawabannya D.
Jadi, yang BENAR adalah pernyataan (4) $ . \, \heartsuit $