Pembahasan Trigonometri Simak UI 2018 Matematika IPA kode 415

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
$ \frac{2\tan x}{1 + \tan ^2 x} = .... $
(1). $ \cot 2x \, $
(2). $ 2\sin x \cos x \, $
(3). $ \tan x \sec x \, $
(4). $ \sin 2x \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
$ \sec x = \frac{1}{\cos x } $
*). Identitas trigonometri :
$ 1 + \tan ^2 x = \sec ^2 x $
*). Rumus sudut rangkap
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometrinya :
$\begin{align} \frac{2\tan x}{1 + \tan ^2 x} & = \frac{2\tan x}{\sec ^2 x} \\ & = \frac{2\tan x}{\frac{1}{\cos ^2 x} } \\ & = 2\tan x \cos ^2 x \\ & = 2. \frac{\sin x}{\cos x} \cos ^2 x \\ & = 2 \sin x \cos x \\ & = \sin 2 x \end{align} $
Artinya bentuk $ \frac{2\tan x}{1 + \tan ^2 x} = 2\sin x \cos x $ atau $ \frac{2\tan x}{1 + \tan ^2 x} = \sin 2x $
Sehingga pernyataan (2) dan (4) yang BENAR. Jawabannya C.
Jadi, yang BENAR adalah pernyataan (2) dan (4) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 415

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = \frac{1}{3}x^3 - ax + b $ , $ a > 0 $ , dan $ a,b \in R $, maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - \frac{2}{3}a^\frac{3}{2} $
(2). nilai maksimum lokal $ y = b + \frac{2}{3}a^\frac{3}{2} $
(3). $ y $ stasioner saat $ x = a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ -\infty , -a^\frac{1}{2} \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ dan turunannya $ f^\prime (x) $
-). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum atau minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan selalu naik jika setiap $ x $ berlaku $ f^\prime (x) > 0 $
-). Cek jenis stasioner untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $ :
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka jenisnya maksimum.
*). Bentuk akar : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = f(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax + b $
$ y^\prime = x^2 - a $
$ y^{\prime \prime } = 2x $
-). Syarat stasioner : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ x^2 - a & = 0 \\ x^2 & = a \\ x & = \pm \sqrt{a} \end{align} $
artinya $ y $ stasioner saat $ x = \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $ atau $ x = - \sqrt{a} = - a^\frac{1}{2} $
-). Cek Turunan kedua :
$ \begin{align} x = \sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = 2\sqrt{a} > 0 \, (\text{min}) \\ x = -\sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = -2\sqrt{a} < 0 \, (\text{max}) \end{align} $
artinya $ y $ minimum saat $ x = \sqrt{a} $ dan maksimum saat $ x = -\sqrt{a} $

Kita cek setiap pernyataan :
(1). nilai minimum lokal $ y = b - \frac{2}{3}a^\frac{3}{2} $ ?
minimum saat $ x = \sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{min} & = \frac{1}{3}(\sqrt{a})^3 - a.\sqrt{a} + b \\ & = \frac{1}{3} a^\frac{3}{2} - a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = \frac{1}{3} a^\frac{3}{2} - a^\frac{3}{2} + b \\ & = -\frac{2}{3} a^\frac{3}{2} + b \\ & = b -\frac{2}{3} a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (1) BENAR.

(2). nilai maksimum lokal $ y = b + \frac{2}{3}a^\frac{3}{2} $ ?
minimum saat $ x = -\sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{max} & = \frac{1}{3}(-\sqrt{a})^3 - a.(-\sqrt{a}) + b \\ & = -\frac{1}{3} a^\frac{3}{2} + a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = -\frac{1}{3} a^\frac{3}{2} + a^\frac{3}{2} + b \\ & = \frac{2}{3} a^\frac{3}{2} + b \\ & = b + \frac{2}{3} a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (2) BENAR.

(3). $ y $ stasioner saat $ x = a^\frac{1}{2} $ ?
Pernyataan (3) BENAR.

(4). naik pada interval $ \left[ -\infty , -a^\frac{1}{2} \right] $ ?
Syarat naik : $ y^\prime > 0 $
$ x^2 - a > 0 \rightarrow x = \pm \sqrt{a} $
 

Naik pada interval $ x < -a^\frac{1}{2} $ atau $ x > a^\frac{1}{2} $
atau dapat ditulis : $ \left( -\infty , -a^\frac{1}{2} \right) $ atau $ \left( a^\frac{1}{2} , \infty \right) $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) saja yang BENAR. Jawabannya D
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor Simak UI 2018 Matematika IPA kode 415

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{u} = (2, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (4, 10, -8) $, maka ....
(1). $ \vec{u} + k\vec{v} $ tegak lurus $ \vec{u} $ bila $ k = \frac{17}{18} $
(2). sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah tumpul
(3). $ || \text{proy}_\vec{u} \vec{v} || = 6 $
(4). jarak antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ sama dengan $ || \vec{u} + \vec{v} || $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan vektor $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3 ) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
$ \vec{u} . \vec{v} = u_1.v_1 + u_2.v_2 + u_3.v_3 $
-). Panjang vektor $ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} $
-). Vektor $ \vec{u} $ tegak lurus vektor $ \vec{v} $ syaratnya $ \vec{u} . \vec{v} = 0 $
*). Jarak vektor $ \vec{u} $ ke vektor $ \vec{v} $ adalah $ ||\vec{u} - \vec{v}|| $
*). Besar sudut $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \theta $ dengan rumus :
$ \cos \theta = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $
*). Panjang Proyeksi vektor $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || $
$ || \text{proy}_\vec{v} \vec{u} || = \left| \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{v}|} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (4, 10, -8) $
$ \vec{u}.\vec{v} = 2.4 + (-1).10 + 2.(-8) = 8 - 10 -16 = -18 $
$ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 $
$ |\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 10^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 100 + 64} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} $

Cek setiap pernyataan :
(1). $ \vec{u} + k\vec{v} $ tegak lurus $ \vec{u} $ bila $ k = \frac{17}{18} $ ?
$\begin{align} \vec{u} + k\vec{v} & = (2, -1, 2) + (4k, 10k, -8k) \\ & = (4k + 2, 10k - 1, 2- 8k) \\ \end{align} $
-). Syarat tegak lurus : perkalian dotnya = 0
$\begin{align} (\vec{u} + k\vec{v}). \vec{u} & = 0 \\ (4k + 2, 10k - 1, 2- 8k) . (2, -1, 2) & = 0 \\ 8k + 4 + (-10k) + 1 + 4 - 16k & = 0 \\ -18k & = - 9 \\ k & = \frac{1}{2} \end{align} $
artinya $ \vec{u} + k\vec{v} $ tegak lurus $ \vec{u} $ dengan $ k = \frac{1}{2} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah tumpul ?
$ \cos \theta = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{-18}{3 \times 6\sqrt{5} } < 0 $
Karena $ \cos \theta < 0 $ , maka $ \theta $ sudut tumpul
Pernyataan (2) BENAR.

(3). $ || \text{proy}_\vec{u} \vec{v} || = 6 $ ?
$\begin{align} || \text{proy}_\vec{u} \vec{v} || & = \left| \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{-18}{3} \right| = |-6| = 6 \end{align} $
Pernyataan (3) BENAR.

(4). jarak antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ sama dengan $ || \vec{u} + \vec{v} || $ ?
Sesuai konsep dasar di atas, maka pernyataan (4) SALAH.

Sehingga pernyataan yang BENAR adalah (2) dan (3). Tidak ada jawaban sesuai petunjuk C.
Jadi, pernyataan (2), dan (3) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 415

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah barisan $ 0, \frac{5}{6}, \frac{5}{36}, \frac{35}{216} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} - \frac{1}{3^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{11}} - \frac{2}{3^{11}} \, $
C). $ \frac{3}{2^{11}} - \frac{1}{3^{11}} \, $ D). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} \, $
E). $ \frac{2}{2^{11}} + \frac{3}{3^{11}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap barisan memiliki pola atau rumus tersendiri.
*). Sifat eksponen :
untuk $ n \, $ ganjil, $ (-1)^n = -1 $
untuk $ n \, $ genap, $ (-1)^n = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sebuah barisan $ 0, \frac{5}{6}, \frac{5}{36}, \frac{35}{216} , .... $ :
-). Penjabaran setiap sukunya :
$ u_1 = 0 = \frac{1}{2^0} - \frac{1}{3^0} = \frac{1}{2^{1-1}} + (-1)^1 . \frac{1}{3^{1-1}} $
$ u_2 = \frac{5}{6} = \frac{1}{2^1} + \frac{1}{3^1} = \frac{1}{2^{2-1}} + (-1)^2 . \frac{1}{3^{2-1}} $
$ u_3 = \frac{5}{36} = \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} = \frac{1}{2^{3-1}} + (-1)^3 . \frac{1}{3^{3-1}} $
$ u_4 = \frac{35}{216} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} = \frac{1}{2^{4-1}} + (-1)^4 . \frac{1}{3^{4-1}} $
......
$ u_n = \frac{1}{2^{n-1}} + (-1)^n . \frac{1}{3^{n-1}} $
-). Sehingga rumus umum suku ke-$n$ nya yaitu :
$ u_n = \frac{1}{2^{n-1}} + (-1)^n . \frac{1}{3^{n-1}} $
*). Menentukan suku ke-12 :
$\begin{align} u_n & = \frac{1}{2^{n-1}} + (-1)^n . \frac{1}{3^{n-1}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{12-1}} + (-1)^{12} . \frac{1}{3^{12-1}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{11}} + 1 . \frac{1}{3^{11}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} \end{align} $
Jadi, suku ke-12 adalah $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 415

Soal yang Akan Dibahas
Jika diberikan $ \sqrt{3}a + b - c = 2 $ , $ bc = -1,5a^2 $ , dan $ b^2+c^2=\sqrt{3}a $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ \frac{2\sqrt{3}}{15} \, $ B). $ \frac{4\sqrt{3}}{15} \, $ C). $ \frac{7\sqrt{3}}{15} \, $ D). $ \frac{8\sqrt{3}}{15} \, $ E). $ \frac{11\sqrt{3}}{15} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah dengan metode substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ \sqrt{3}a + b - c = 2 $ .... (i)
$ bc = -1,5a^2 $ ..... (ii)
$ b^2+c^2=\sqrt{3}a $ ..... (iii)
*). Kuadratkan persamaan (i) :
$\begin{align} \sqrt{3}a + b - c & = 2 \\ b - c & = 2 - \sqrt{3}a \\ (b - c)^2 & = (2 - \sqrt{3}a)^2 \\ b^2 + c^2 - 2bc & = 4 - 4\sqrt{3}a + 3a^2 \end{align} $
*). Substitusikan pers(ii) dan (iii) ke pers(i) yang sudah dikuadratkan :
$\begin{align} b^2 + c^2 - 2bc & = 4 - 4\sqrt{3} + 3a^2 \\ (\sqrt{3}a) - 2(-1,5a^2) & = 4 - 4\sqrt{3}a + 3a^2 \\ \sqrt{3}a + 3a^2 & = 4 - 4\sqrt{3}a + 3a^2 \\ \sqrt{3}a & = 4 - 4\sqrt{3}a \\ \sqrt{3}a + 4\sqrt{3}a & = 4 \\ 5\sqrt{3}a & = 4 \\ a & = \frac{4}{5\sqrt{3}} \\ a & = \frac{4}{5\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ a & = \frac{4\sqrt{3}}{15} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{4\sqrt{3}}{15} . \, \heartsuit $

Pembahasan Balok Simak UI 2018 Matematika IPA kode 415

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan balok ABCD.EFGH dengan panjang $ AB = 6 $, $ BC = 4 $, dan $ CG = 2 $. Jika titik M perpanjangan AB sehingga $ MB = 2AB $, titik N perpanjangan FG sehingga $ FG = GN $ , dan $ \theta $ adalah sudut antara MN dan MB, maka $ \sin \theta = .... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{53}} \, $ B). $ \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{53}} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{17}}{\sqrt{53}} \, $ D). $ \frac{2}{\sqrt{17}} \, $ E). $ \frac{\sqrt{17}}{2\sqrt{53}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus perbandingan dasar trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \sin \theta = \frac{depan}{miring} $
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pyhtagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Panjang BN pada segitiga BFN :
$\begin{align} BN & = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \end{align} $
-). Panjang MN pada segitiga BMN :
$\begin{align} MN & = \sqrt{(\sqrt{68})^2 + 12^2} = \sqrt{68 + 144} = \sqrt{212} = 2\sqrt{53} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin \theta $ pada segitiga BMN :
$\begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} = \frac{BN}{MN} \\ & = \frac{2\sqrt{17} }{2\sqrt{53} } = \frac{\sqrt{17} }{\sqrt{53} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{\sqrt{17} }{\sqrt{53} } . \, \heartsuit $

Pembahasan Bidang Irisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 415

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 cm. M adalah titik tengah AB. Luas irisan bidang yang melalui FDM dengan kubus ABCD.EFGH adalah ..... cm$^2$
A). $ 2 \, $ B). $ 2,5 \, $ C). $ 2\sqrt{2} \, $ D). $ 2\sqrt{6} \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan gambar bidang irisan, ada tiga cara yaitu menggunakan sumbu afinitas, perpotongan bidang diagonal, dan perluasan bidang.
*). Luas segitiga = $ \frac{1}{2} \times a \times t $
*). Untuk bidang irisan pada soal ini, kita menggunaan sumbu afinitas.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Gambar bidang irisan $ \alpha $ melalui FDM.
 

-).Untuk mengetahui cara melukis bidang irisannya, silahkan ikuti link berikut ini :
"Melukis bidang irisan simak UI 20018 kode 415"
-). Bidang $ \alpha $ berbentuk segiempat yang dibagi menjadi dua segitiga sama besar yaitu $ \Delta$FDM dan $ \Delta$FDN, sehingga luas bidang irisannya adalah dua kali luas segitiga.
-). Panjang $ DM = MF = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
-). Panjang $ DF = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ sehingga $ DX=XF = \sqrt{3} $
-). Panjang $ XM = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{2} $
*). Menentukan luas segitiga FDM :
$\begin{align} \text{Luas } FDM & = \frac{1}{2} . DF . XM \\ & = \frac{1}{2} . 2\sqrt{3} . \sqrt{2} \\ & = \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan luas irisan bidang
$\begin{align} \text{Luas bidang irisan } & = 2\times \text{Luas } \Delta\text{FDM} \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, luas irisan bidangnya adalah $ 2\sqrt{6} . \, \heartsuit $

Melukis Bidang Irisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 415

Soal Bidang Irisan
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 cm. M adalah titik tengah AB. Kita akan menggambar irisan bidang melalui F, D, dan M pada kubus ABCD.EFGH.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu cara untuk melukis bidang irisan pada bangun ruang adalah dengan sumbu afinitas.
Untuk lebih detail tentang materinya silahkan klik link berikut ini :
menggunakan sumbu afinitas
*). DUa segitiga sebangun memiliki perbandingan sisi yang sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Gambar bidang irisannya adalah seperti berikut ini.
 

*). Langkah-langkah menentukan bidang irisan di atas yaitu :
1). Perpanjang garis DM dan CB sehingga berpotongan di titik O.
2). perpanjang garis OF dan NG sehingga berpotongan di titik P.
3). hubungkan titik P dan D yang berpotongan dengan garis GH di titik N.
4). bidang irisannya adalah bidang FNDM.

*). Menentukan panjan OB, $\Delta$OBM sbangun $\Delta$OCD :
$\begin{align} \frac{OB}{OC} & = \frac{BM}{CD} \\ \frac{OB}{OB + 2} & = \frac{1}{2} \\ 2OB & = OB + 2 \\ OB & = 2 \end{align} $
*). Menentukan panjan PG, $\Delta$PGF sbangun $\Delta$PCB :
$\begin{align} \frac{PG}{PC} & = \frac{GF}{OC} \\ \frac{PG}{PG + 2} & = \frac{2}{4} \\ \frac{PG}{PG + 2} & = \frac{1}{2} \\ 2PG & = PG + 2 \\ PG & = 2 \end{align} $
*). Menentukan panjan NG, $\Delta$PGN sbangun $\Delta$PCD :
$\begin{align} \frac{PG}{PC} & = \frac{NG}{CD} \\ \frac{2}{4} & = \frac{NG}{2} \\ NG & = 1 \end{align} $

Seperti itulah langkah-langkah untuk menentukan atau menggambar bidang irisan pada bangun ruang untuk soal di atas.