Pembahasan Program Linear UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum dari $ F = 6x + 10y $ yang memenuhi
$ \begin{align} & x + y \leq 10 \\ & x + 2y \leq 10 \\ & x \geq 2 , \, y \geq 0 \end{align} $
adalah ....
A). $ 52 \, $ B). $ 60 \, $ C). $ 72 \, $ D). $ 76 \, $ E). $ 92 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan nilai optimum pada program linear, bisa menggunakan metode uji titik pojok yang langkah-langkahnya :
1). Buat daerah himpunan penyelesaiannya (DHP),
2). Tentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya, lalu pilih sesuai permintaan soal ( jika minimum maka pilih yang terkecil dan jika maksimum maka pilih yang terbesar).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ x + y \leq 10 \rightarrow (0,10) , ( 10,0) $
Garis II : $ x + 2y \leq 10 \rightarrow (0,5) , ( 10,0) $
Garis III : $ x \geq 2 \, $ (garis tegak)
Garis IV : $ y \geq 0 \, $ (mendatar)
 

*). Menentukan titik pojoknya :
-). Titik $ A(10,0) , \, C(2,0) $
-). Titik B, substitusi $ x = 2 $ ke garis II
$ x + 2y = 10 \rightarrow 2 + 2y = 10 \rightarrow y = 4 $
titik $ B (2,4) $
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ F = 6x + 10y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow F & = 6 \times 10 + 10 \times 0 = 60 \\ B \rightarrow F & = 6 \times 2 + 10 \times 4 = 52 \\ C \rightarrow F & = 6 \times 2 + 10 \times 0 = 12 \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 60 . \, \heartsuit $

Pembahasan Akar-akar UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ penyelesaian dari persamaan $ \sqrt{2x-5}=1 + \sqrt{x - 3} $, maka $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ 4 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menghilangkan bentuk kuadrat, cukup kita kuadratkan.
*). Sifat bentuk akar : $ (\sqrt{a})^2 = a $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} \sqrt{2x-5} & =1 + \sqrt{x - 3} \\ (\sqrt{2x-5})^2 & = (1 + \sqrt{x - 3})^2 \\ 2x-5 & = 1 + 2\sqrt{x - 3} + (x-3) \\ x-3 & = 2\sqrt{x - 3} \\ (x-3)^2 & = (2\sqrt{x - 3})^2 \\ x^2 - 6x + 9 & = 4(x - 3) \\ x^2 - 6x + 9 & = 4x - 12 \\ x^2 - 10x + 21 & = 0 \\ (x -3)(x-7) & = 0 \\ x_1 = 3 \vee x_2 & = 7 \end{align} $
Sehingga nilai $ x_1 + x_2 = 3 + 7 = 10 $.
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = 10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Parabola $ y = x^2 + ax + 6 $ dan garis $ y = 2mx + c $ berpotongan di titik A dan B. Titik C membagi ruas garis AB menjadi dua sama panjang. Maka ordinat titik C adalah ....
A). $ 4m^2 + 2ma + c \, $
B). $ 4m^2 - 2ma + c \, $
C). $ 2m^2 + ma + c \, $
D). $ 2m^2 - ma + c \, $
E). $ 2m^2 - 2ma + c \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Titik tengah antara $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah $ \frac{x_1 + x_2}{2} $
*). Jika telah diketahui nilai absis ($x $ nya), maka untuk mencari ordinat ($y$ nya) cukup substitusi nilai $ x $ yang diketahui.
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
$ x_1 + x_ 2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik potong kedua kurva di $ A(x_1, y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $ :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + ax + 6 & = 2mx + c \\ x^2 + ax - 2mx + 6 - c & = 0 \\ x^2 + (a - 2m)x + 6 - c & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ & = \frac{-(a-2m)}{1} \\ & = 2m - a \end{align} $
*). Karena C membagi ruas garis AB sama panjang, maka absis titik C adalah :
$\begin{align} x_c & = \frac{x_1+x_2}{2} \\ & = \frac{2m -a}{2} \end{align} $
*). Untuk menentukan ordinat ($y_c$) titik C, kita substitusi nilai $ x_c = \frac{2m -a}{2} $ ke salah satu persamaan, disini kita substitusi ke persamaan garisnya:
$\begin{align} y & = 2mx + c \\ & = 2m.\left( \frac{2m -a}{2} \right) + c \\ & = m\left( 2m -a \right) + c \\ & = 2m^2 - ma + c \end{align} $
Jadi, ordinat titik C adalah $ y_c = 2m^2 - ma + c . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x + y $ yang memenuhi persamaan $ \frac{2x+3y+4}{3x-y-10}=3 $ dan $ \frac{x-y+7}{-2x+y+5}= -3 $ adalah .....
A). $ -3 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 $ D). $ 3 $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan teknik eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan persamaan :
-). Persamaan pertama
$\begin{align} \frac{2x+3y+4}{3x-y-10} & =3 \\ 2x+3y+4 & = 3(3x-y-10) \\ 2x+3y+4 & = 9x-3y- 30 \\ 7x -6y & = 34 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan Kedua
$\begin{align} \frac{x-y+7}{-2x+y+5} & = -3 \\ x-y+7 & = -3(-2x+y+5) \\ x-y+7 & = 6x - 3y - 15 \\ 5x -2y & = 22 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{c|c|cc} 7x -6y = 34 & \times 1 & 7x -6y = 34 & \\ 5x -2y = 22 & \times 3 & 15x - 6y = 66 & - \\ \hline & & -8x = -32 & \\ & & x = 4 & \end{array} $
Pers(ii): $ 5x - 2y = 22 \rightarrow 5.4 - 2y = 22 \rightarrow 2y = -2 \rightarrow y = -1 $
Sehingga nilai $ x + y = 4 + (-1) = 3 $.
Jadi, nilai $ x + y = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Merasionalkan UM UGM 2003 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Apabila $ \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} $ dirasionalkan penyebutnya, maka bentuk tersebut menjadi .....
A). $ \sqrt{10} + \sqrt{6} \, $ B). $ \sqrt{10} + \sqrt{3} \, $
C). $ \sqrt{10} - \sqrt{6} \, $ D). $ 2\sqrt{5} - \sqrt{3} \, $
E). $ 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk merasionalkan bentuk akar, cukup kalikan dengan bentuk sekawannya. Sekawan dari $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $ adalah $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $ .
*). Sifat-sifat bentuk akar :
1). $ ( \sqrt{a} - \sqrt{b})( \sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b $
2). $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a} . \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Merasionalkan penyebutnya :
$\begin{align} \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} & = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \\ & = \frac{\sqrt{4 \times 2} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} \\ & = \frac{2\sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} \\ & = \sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{3} ) \\ & = \sqrt{2.5} + \sqrt{2.3} \\ & = \sqrt{10} + \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, bentuk $ \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \sqrt{10} + \sqrt{6} . \, \heartsuit $