Kode 250 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH, Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga $ AM : MD = 1 : 2 $. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga $ CN : ND = 1 : 2 $ . Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga $ DP : PH = 2 : 1 $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang MNP dan bidang ACGE, maka nilai $ \sin \alpha = .... $
A). $ \frac{1}{3} \sqrt{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \sqrt{5} \, $ C). $ \frac{1}{3} \sqrt{4} \, $ D). $ \frac{1}{3} \sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{3} \sqrt{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
Misalkan panjang rusuk kubusnya adalah 6.
 

Untuk memudahkan dalam perhitungan, bidang ACGE kita geser sehingga berimpit dengan bidang MNXY. Kita peroleh :
$ \angle (MNP, ACGE) = \angle (MNP, MNXY) = \alpha $
*). Diagonal sisi DB dibagi menjadi 6 bagian sama panjang sehingga $ DO = PR = 2\sqrt{2} $.
Panjang $ DP = RO = 4 $.
Panjang PO pada $ \Delta PDO $ :
$ PO = \sqrt{PD^2 + DO^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2 } = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha $ :
$\begin{align} \sin \alpha & = \frac{depan}{miring} = \frac{PR}{PO} \\ & = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha = \frac{1}{3}\sqrt{3} . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 250 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah di antar kurva $ y = 2a + 1 $ dan kurva $ y = x^2+2a $ selalu bernilai konstan, yaitu $ k$. Nilai $ k $ adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{4}{3} \, $ D). $ \frac{5}{3} \, $ E). $ \frac{7}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral Tanpa Menggambar
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva yaitu parabola dan parabola atau parabola dan garis adalah :
Luas $ = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Rumus Langsung
*). Samakan kedua fungsi
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 2a & = 2a + 1 \\ x^2 & = 1 \\ x^2 - 1 & = 0 \\ a = 1, \, b = 0 , \, c & = -1 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = 0^2 - 4. 1 . (-1) \\ & = 4 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ k $ :
$\begin{align} \text{Luas } & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \\ k & =\frac{4\sqrt{4}}{6. 1^2} \\ & = \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ k = \frac{4}{3} . \, \heartsuit $

Catatan :
Luas selalu bernilai konstan, artinya berapapun kita gantikan nilai $ a $, luas akan selalu sama yaitu sebesar $ k = \frac{4}{3} $.



Kode 250 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah di antar kurva $ y = 2a + 1 $ dan kurva $ y = x^2+2a $ selalu bernilai konstan, yaitu $ k$. Nilai $ k $ adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{4}{3} \, $ D). $ \frac{5}{3} \, $ E). $ \frac{7}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Konsep Luas Menggunakan Integral
*). Ilustrasi Gambar :
 

*). Titik Potong Kedua Kurva
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 2a & = 2a + 1 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ k $ :
$\begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_{-1}^1 [ (2a+1) - (x^2 +2a) ] dx \\ k & = \int \limits_{-1}^1 ( 1 - x^2) \\ & = [x - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^1 \\ & = ( 1 - \frac{1}{3}.1^3) - ( (-1) - \frac{1}{3}.(-1)^3) \\ & = ( 1 - \frac{1}{3}) - ( -1 + \frac{1}{3}) \\ & = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ k = \frac{4}{3} . \, \heartsuit $

Catatan :
Luas selalu bernilai konstan, artinya berapapun kita gantikan nilai $ a $, luas akan selalu sama yaitu sebesar $ k = \frac{4}{3} $.

Kode 250 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d $ pada interval $[-4,2]$ memotong sumbu X di $ -2 $ dan memotong sumbu Y di 26. Jika diketahui $ f^{\prime \prime }(-3) = 0 $, maka nilai minimum $ f(x) $ adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun fungsinya :
Diketahui $ f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d $ pada interval $[-4,2]$.
-). Titik potong sumbu X di $ -2 $, artinya titiknya $(-2,0)$, substitusi ke fungsinya :
$\begin{align} f(-2) & = 0 \\ (-2)^3 + b.(-2)^2 + c.(-2) + d & = 0 \\ -8 + 4b -2c + d & = 0 \\ 4b -2c + d & = 8 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
-). Titik potong sumbu Y di 26, artinya titiknya (0,26), substitusi ke fungsinya :
$\begin{align} f(0) & = 26 \\ 0^3 + b.0^2 + c.0 + d & = 26 \\ d & = 26 \end{align} $
-). Menentukan turunan kedua dan $ f^{\prime \prime } (-3) = 0 $ :
$\begin{align} f(x) & = x^3 + bx^2 + cx + d \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 2bx + c \\ f^{\prime \prime }(x) & = 6x + 2b \\ f^{\prime \prime }(-3) & = 0 \\ 6.(-3) + 2b & = 0 \\ 2b & = 18 \\ b & = 9 \end{align} $
-). Dari pers(i) serta nilai $ b = 9 $ dan $ d= 26 $ :
$\begin{align} 4b -2c + d & = 8 \\ 4.9 -2c + 26 & = 8 \\ 36 -2c + 26 & = 8 \\ -2c & = -54 \\ c & = 27 \end{align} $
Sehingga fungsi $ f(x) $ adalah :
$\begin{align} f(x) & = x^3 + bx^2 + cx + d \\ f(x) & = x^3 + 9x^2 + 27x + 26 \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 18x + 27 \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum/minimum :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 + 18x + 27 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 + 6x + 9 & = 0 \\ (x+3)^2 & = 0 \\ x & = -3 \end{align} $
*). Substitusi $ x = -3 $ dan batas interval $[-4,2]$ yaitu $ x = -4 $ dan $ x = 2 $ ke fungsi $ f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x + 26 $ :
$\begin{align} x = -4 \rightarrow f(x) & = (-4)^3 + 9.(-4)^2 + 27.(-4) + 26 = -2 \\ x = -3 \rightarrow f(x) & = (-3)^3 + 9.(-3)^2 + 27.(-3) + 26 = -1 \\ x = 2 \rightarrow f(x) & = (2)^3 + 9.(2)^2 + 27.(2) + 26 = 124 \end{align} $
Artinya fungsi $ f(x) $ mempunyai nilai minimum $ - 2 $ pada interval $ [-4,2] $.
Jadi, nilai minimum $ f(x) $ pada interval $ [-4,2] $ adalah $ -2 . \, \heartsuit $

Cara 2 : Kode 250 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+4} - 2)}{1 - \cos x} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 1\frac{1}{2} \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Rumus Cepat Limit Trigonometri
$ 1 - \cos px = \frac{1}{2} (px)^2 \, $ sehingga :
$ 1 - cos x = \frac{1}{2} x^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+4} - 2)}{1 - \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+4} - 2)}{1 - \cos x} . \frac{(\sqrt{x+4} + 2)}{(\sqrt{x+4} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+4} - 2).(\sqrt{x+4} + 2)}{\frac{1}{2}(x)^2.(\sqrt{x+4} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x((x + 4) - 4)}{\frac{1}{2}x^2.(\sqrt{x+4} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x.x}{\frac{1}{2}x^2.(\sqrt{x+4} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{x+4} + 2} \\ & = \frac{2}{\sqrt{0+4} + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $