Kode 250 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika vektor $ v = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ dirotasikan sejauh $ 90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat, kemudian dicerminkan pada garis $ x = -y $ menjadi vektor $ u $, maka $ u + v = .... $
A). $\left( \begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ b \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Vektor dan Transformasi
*). Penjumlahan dua vektor
Misalkan dua vektor $ a = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) \, $ dan $ b = \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right) $.
Penjumlahannya : $ a + b = \left( \begin{matrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{matrix} \right) $
*). Misalkan transformasi pertama oleh matriks T1 dan dilanjutkan transformasi kedua oleh matriks T2, maka matriks gabungannya adalah : $ MT= T_2 \circ T_1 $.
*). Cara menentukan bayangan pada transformasi :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks gabungan
-). pertama, rotasi dengan sudut $ \theta = 90^\circ$
$ T_1 = \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & - \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
-). kedua, dicerminkan terhadap $ x = - y $ atau $ y = -x $ :
$ T_2 = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
-). sehingga matriks gabungannya :
$ MT = T_2.T_1 = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan (vektor $u$) dengan awalnya vektor $v = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ u & = (MT).v \\ u & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ u + v $ :
$ u + v = \left( \begin{matrix} -a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2b \end{matrix} \right) $
Jadi, kita peroleh $ u + v = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2b \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $



Kode 250 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui persegi panjang dan stengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis DE menyinggung lingkaran, panjang $ CD = 6 $ dan $ CE = 8 $. Panjang $ AD = ... $
A). $ 6\sqrt{2} \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 6\sqrt{3} \, $ E). $ 9\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
garis AB dan CB menyinggung lingkaran dimana panjangnya sama yaitu AB = BC.

$\clubsuit $ Pembahasan
 

Misalkan panjang $ BE = x $ , dari gambar di atas dan sesuai dengan konsep di atas, kita peroleh :
garis FE dan BE menyinggung lingkaran, artinya $ FE = BE = x $ .
Panjang $ AD = BC = 8 + x $.
garis AD dan DF menyinggung lingkaran, artinya $ AD = DF = 8+x $.
Panjang $ DE = DF + FE = 8 + 2x $.
*). Menentukan nilai $ x $ dari $\Delta$CDE dengan pythagoras :
$\begin{align} DE & = \sqrt{DC^2 + CE^2} \\ 8 + 2x & = \sqrt{6^2 + 8^2} \\ 8 + 2x & = \sqrt{100} \\ 8 + 2x & = 10 \\ x & = 1 \end{align} $
sehingga panjang $ AD = 8 + x = 8 + 1 = 9 $.
Jadi, panjang $ AD \, $ cm $ . \, \heartsuit $



Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 250 Matematika IPA tahun 2016


Nomor 1
Diketahui persegi panjang dan stengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis DE menyinggung lingkaran, panjang $ CD = 6 $ dan $ CE = 8 $. Panjang $ AD = ... $
A). $ 6\sqrt{2} \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 6\sqrt{3} \, $ E). $ 9\sqrt{2} $
Nomor 2
Diketahi $\Delta ABC$, titik D pada AC, dengan AB = 8, BC = 10, AC = 12 dan $ \angle ACB = \angle CBD$. Panjang BD = .....
A). $\frac{16}{3} \, $ B). $\frac{17}{3} \, $ C). $\frac{18}{3} \, $ D). $ \frac{19}{3} \, $ E). $ \frac{20}{3} $
Nomor 3
Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $(\cos 3x + \tan 3x)(\cos 3x - \tan 3x) = 1 $ untuk $0 \leq x \leq 2\pi, \, x \neq \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \, $ dan $ k $ bilangan asli, adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Jika vektor $ v = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ dirotasikan sejauh $ 90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat, kemudian dicerminkan pada garis $ x = -y $ menjadi vektor $ u $, maka $ u + v = .... $
A). $\left( \begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ b \end{matrix} \right) \, $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH, Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga $ AM : MD = 1 : 2 $. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga $ CN : ND = 1 : 2 $ . Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga $ DP : PH = 2 : 1 $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang MNP dan bidang ACGE, maka nilai $ \sin \alpha = .... $
A). $ \frac{1}{3} \sqrt{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \sqrt{5} \, $ C). $ \frac{1}{3} \sqrt{4} \, $ D). $ \frac{1}{3} \sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{3} \sqrt{2} \, $
Nomor 6
Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ adalah fungsi dengan sifat $ f(-x) = -f(x) $ dan $ g(-x) = -g(x) $. Jika sisa pembagian $f(x) $ oleh $ x^2 - 3x - 4 $ adalah $ 2x - 1 $ dan sisa pembagian $ xg(x) $ oleh $ x^2 + 3x - 4 $ adalah $ x + 8 $ , maka sisa pembagian $ (x+2)f(x)g(x) $ oleh $ x^2+5x+4$ adalah .....
A). $ \frac{41}{3}x + \frac{122}{3} \, $ B). $ -\frac{13}{3}x - \frac{94}{3} \, $
C). $ \frac{41}{5}x + \frac{94}{5} \, $ D). $ -\frac{13}{5}x + \frac{122}{5} \, $
E). $ \frac{13}{5}x - \frac{122}{5} $
Nomor 7
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $
Nomor 8
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+4} - 2)}{1 - \cos x} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 1\frac{1}{2} \, $ E). $ 2 $

Nomor 9
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika $ \frac{u_1 + u_2}{u_3+u_4} = \frac{1}{9} $ maka $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_1+u_4} = ..... $
A). $ \frac{10}{9} \, $ B). $ \frac{10}{7} \, $ C). $ \frac{10}{3} \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 $
Nomor 10
Diketahui fungsi $ f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d $ pada interval $[-4,2]$ memotong sumbu X di $ -2 $ dan memotong sumbu Y di 26. Jika diketahui $ f^{\prime \prime }(-3) = 0 $, maka nilai minimum $ f(x) $ adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 11
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
Nomor 12
Luas daerah di antar kurva $ y = 2a + 1 $ dan kurva $ y = x^2+2a $ selalu bernilai konstan, yaitu $ k$. Nilai $ k $ adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{4}{3} \, $ D). $ \frac{5}{3} \, $ E). $ \frac{7}{3} $
Nomor 13
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $
E). $ 72 $
Nomor 14
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $
Nomor 15
Misalkan vektor $ p = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) $ dan $ q = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) $ dengan $ 0 < x < \infty $. Nilai $ c $ yang memenuhi syarat agar $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul berada pada interval .....
A). $ \left(0, \, \frac{4}{3} \right) \, $ B). $ \left(-\frac{4}{3}, \, 0 \right) \, $
C). $ \left(-\frac{4}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $ D). $ \left(-\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $
E). $ \left(\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) $