Kode 248 Pembahasan Campuran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = Ax^2 + Bx $ sehingga $ f^\prime (0), \, \int_0^2 f(x) dx $ dan $ f(2) $ berturut-turut membentuk barisan aritmatika, maka nilai $ \frac{A}{B} = ..... $
A). $ -\frac{4}{5} \, $ B). $ -\frac{5}{3} \, $ C). $ -\frac{3}{5} \, $ D). $ -\frac{4}{3} \, $ E). $ -\frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Turunan Fungsi :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
dengan $ a $ adalah konstanta.
*). Rumus Integral :
$ \int ax^n \, dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + c $
$ \int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $
*). Ciri-ciri barisan aritmatika : Selisih dua suku berdekatan sama
Misalkan ada tiga suku barisan aritmatika : $ u_1, \, u_2, \, $ dan $ u_3 $,
maka berlaku : $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menyusun barisan aritmatikanya :
$\begin{align} f(x) & = Ax^2 + Bx \rightarrow f(2) = 4A + 2B \\ f^\prime (x) & = 2Ax + B \rightarrow f^\prime (0) = B \\ \int_0^2 f(x) dx & = \int_0^2 (Ax^2 + Bx) dx \\ & = [\frac{A}{3}x^3 + \frac{B}{2}x^2 ]_0^2 \\ & = \frac{8}{3}A + 2B \end{align} $
Sehingga barisan aritmatikanya :
$ f^\prime (0), \, \int_0^2 f(x) dx $ dan $ f(2) $ yaitu
$ u_1 = B, \, u_2 = \frac{8}{3}A + 2B , \, u_3 = 4A + 2B $
*). Menentukan nilai $ \frac{A}{B} $ dengan ciri-ciri barisan aritmatika :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ (\frac{8}{3}A + 2B) - B & = ( 4A + 2B ) - (\frac{8}{3}A + 2B) \\ \frac{8}{3}A + B & = \frac{4}{3}A \\ \frac{8}{3}A + - \frac{4}{3}A & = -B \\ \frac{4}{3}A & = -B \\ \frac{A}{B} & = \frac{-1}{\frac{4}{3}} \\ \frac{A}{B} & = - \frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{A}{B} = - \frac{3}{4} . \, \heartsuit $



Kode 248 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = x^3 - ax + \frac{2}{3}a $ dan $ f(x) $ memotong sumbu x di titik $ x = 1 $ . Nilai maksimum $ f(x) $ untuk $ 0 \leq x \leq 1 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Fungsi $ f(x) $ mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ (turunan pertaman = 0) dan nilai $ x $ pada batas intervalnya.
*). Fungsi $ f(x) $ memotong sumbu X di $ x = b $, artinya $ f(b) = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ f(x) = x^3 - ax + \frac{2}{3}a $ memotong sumbu X di $ x = 1 $, artinya :
$ f(1) = 0 \rightarrow 1^3 - a.1 + \frac{2}{3}a = 0 \rightarrow a = 3 $.
Sehingga fungsi $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $.
dan $ f^\prime (x) = 3x^2 - 3 $.
*). Menentukan nilai $ x $ dengan $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 - 3 & = 0 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \\ x = -1 \vee x & = 1 \end{align} $
Karena interval yang diminta $ 0 \leq x \leq 1 $ , nilai $ x $ yang dipakai adalah $ x = 0 $ dan $ x = 1 $.
*). Menentukan nilai fungsi $ f(x) $ untuk $ x = 0 $ dan $ x = 1 $ :
$\begin{align} x = 0 \rightarrow f(x) & = x^3 - 3x + 2 \\ f(0) & = 0^3 - 3.0 + 2 = 2 \\ x = 1 \rightarrow f(x) & = x^3 - 3x + 2 \\ f(1) & = 1^3 - 3.1 + 2 = 0 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum $ f(x) $ pada interval $ 0 \leq x \leq 1 $ adalah $ 2 . \, \heartsuit $


Kode 248 Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika dalam suatu barisan geometri $ u_1 = \frac{1}{5} $ dan $ u_1 + u_2 + ... + u_8 = 51 $ , maka $ u_{251} : u_{250} = .... $
A). $ 2 : 1 \, $ B). $ 4 : 1 \, $ C). $ 3 : 2 \, $ D). $ 4 : 3 \, $ E). $ 5 : 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $ dan $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1 } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai rasio ($r$) dengan $ u_1 = a = \frac{1}{5} $
$\begin{align} u_1 + u_2 + .... + u_8 & = 51 \\ s_8 & = 51 \\ \frac{a(r^8 - 1)}{r-1} & = 51 \\ \frac{\frac{1}{5}(r^8 - 1)}{r-1} & = 51 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kalikan 5)} \\ \frac{r^8 - 1}{r-1} & = 255 \end{align} $
Yang terpenuhi untuk $ r = 2 $.
*). Menentukan Hasilnya :
$\begin{align} \frac{u_{251}}{u_{250}} & = \frac{ar^{250}}{ar^{249}} = \frac{r}{1} = \frac{2}{1} \end{align} $
Jadi, nilai $ u_{251} : u_{250} = 2 : 1 . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 248 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Rumus Cepat Limit Trigonometri
$ 1 - \cos px = \frac{1}{2} (px)^2 \, $ sehingga :
$ 1 - cos x = \frac{1}{2} x^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} . \frac{(\sqrt{x+1} + 1)}{(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1).(\sqrt{x+1} + 1)}{(1 - cos x).(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x((x + 1) - 1)}{\frac{1}{2}x^2.(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x.x}{\frac{1}{2}x^2.(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{x+1} + 1} \\ & = \frac{2}{\sqrt{0+1} + 1} = \frac{2}{2} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $



Kode 248 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos p x = 1 - 2 \sin^2 \frac{1}{2} (px) \, $ sehingga :
$ 1 - \cos x = 1 - ( 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} x ) = 2 . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} . \frac{(\sqrt{x+1} + 1)}{(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1).(\sqrt{x+1} + 1)}{(1 - \cos x).(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x((x + 1) - 1)}{(2 . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x).(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x.x}{(2 . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x).(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin \frac{1}{2} x } . \frac{x}{\sin \frac{1}{2} x } . \frac{1}{2 (\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} } . \frac{1}{ \frac{1}{2} } . \frac{1}{2 (\sqrt{0+1} + 1)} \\ & = 2. 2 . \frac{1}{2 (1 + 1)} \\ & = 2. 2 . \frac{1}{4} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $



Kode 248 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ adalah fungsi dengan sifat $ f(-x) = f(x) $ dan $ g(-x) = g(x) $. Jika sisa pembagian $(x-1)f(x) $ oleh $ x^2 - 2x - 3 $ adalah $ x + 3 $ dan sisa pembagian $ (x+2)g(x) $ oleh $ x^2 + 2x - 3 $ adalah $ x + 5 $ , maka sisa pembagian $ xf(x)g(x) $ oleh $ x^2+4x+3$ adalah .....
A). $ -10x - 8 \, $ B). $ -8x - 6 \, $
C). $ -6x - 4 \, $ D). $ -5x - 3 \, $
E). $ -4x - 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). $ (x-1)f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 - 2x - 3 $ bersisa $ s(x) = x + 3 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ (x-1)f(x) = (x^2 - 2x - 3).h_1(x) + (x + 3) $
$ (x-1)f(x) = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x-3)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = 3 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow (x-1)f(x) & = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) \\ (-1-1)f(-1) & = (-1+1)(-1-3)).h_1(-1) + (-1 + 3) \\ -2. f(-1) & = 2 \\ f(-1) & = -1 \\ x = 3 \rightarrow (x-1)f(x) & = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) \\ (3-1)f(3) & = (3+1)(3-3)).h_1(3) + (3 + 3) \\ 2. f(3) & = 6 \\ f(3) & = 3 \end{align} $
Karena $ f(x) = f(-x) $ , maka $ f(-3) = f(3) \rightarrow f(-3) = 3 $.

*). $ (x+2)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 +2x -3 $ dengan sisa $ s(x) = x + 5 $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ (x+2)g(x) = (x^2 +2x -3).h_2(x) + (x + 5) $
$ (x+2)g(x) = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x-1)(x+3)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = -3 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow (x+2)g(x) & = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) \\ (1+2)g(1) & = (1-1)(1+3).h_2(1) + (1 + 5) \\ 3.g(1) & = 6 \\ g(1) & = 2 \\ x = -3 \rightarrow (x+2)g(x) & = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) \\ (-3+2)g(1) & = (-3-1)(-3+3).h_2(-3) + (-3 + 5) \\ -1.g(-3) & = 2 \\ g(-3) & = -2 \end{align} $
Karena $ g(x) = g(-x) $ , maka $ g(-1) = g(1) \rightarrow g(-1) = 2 $.

*). $ xf(x)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + 4x + 3 $ misalkan sisanya $ s(x) = ax + b $ dan hasil bagi $ h_3(x) $ :
$ xf(x)g(x) = (x^2 + 4x + 3).h_3(x) + (ax+b) $
$ xf(x)g(x) = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x+3)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = -3 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow xf(x)g(x) & = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) \\ -1.f(-1)g(-1) & = (-1+1)(-1+3).h_3(-1) + (a.(-1)+b) \\ -1.(-1). 2 & = -a + b \\ 2 & = -a + b \\ b & = a + 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ x = -3 \rightarrow xf(x)g(x) & = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) \\ -3.f(-3)g(-3) & = (-3+1)(-3+3).h_3(-3) + (a.(-3)+b) \\ -3.(3). (-2) & = -3a + b \\ -3a + b & = 18 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $

*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} b = a + 2 \rightarrow -3a + b & = 18 \\ -3a + (a + 2) & = 18 \\ -2a & = 16 \\ a & = -8 \\ \end{align} $
pers(i) : $ b = a + 2 = -8 + 2 = -6 $.
Sehingga sisa pembagian $ xf(x)g(x) $ oleh $ x^2 + 4x + 3 $ adalah $ ax + b = -8x - 6 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ -8x - 6 . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk mngerjakan soal ini bisa juga menggunakan teorema sisa.



Kode 248 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH, Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga $ AM : MD = 1 : 2 $. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga $ CN : ND = 1 : 2 $ . Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga $ DP : PH = 2 : 1 $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang MNP dan garis PB, maka nilai $ \cos \alpha = .... $
A). $ \frac{5}{44} \sqrt{44} \, $ B). $ \frac{5}{33} \sqrt{33} \, $ C). $ \frac{5}{22} \sqrt{22} \, $ D). $ \frac{1}{13} \sqrt{13} \, $ E). $ \frac{1}{11} \sqrt{11} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus :
Dari gambar segitiga di atas berlaku aturan Cosinus yaitu :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \, $ atau
$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
Misalkan panjang rusuk kubusnya adalah 6.
 

$ \angle (MNP, PB) = \angle (OP, PB) = \alpha $
*). Diagonal sisi DB dibagi menjadi 6 bagian sama panjang sehingga $ BO = 4\sqrt{2} $.
Panjang PO pada $ \Delta PDO $ :
$ PO = \sqrt{PD^2 + DO^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2 } = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} $
Panjang PB pada $ \Delta PDB $ :
$ PB = \sqrt{PD^2 + DB^2} = \sqrt{4^2 + (6\sqrt{2})^2 } = \sqrt{16 + 72} = \sqrt{88} $
*). Menentukan nilai $ \cos \alpha $ :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{PO^2 + PB^2 - OB^2}{2.PO.PB} \\ & = \frac{(\sqrt{24})^2 + (\sqrt{88})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2.\sqrt{24}.\sqrt{88}} \\ & = \frac{24 + 88 - 32}{2.(2 . \sqrt{2} . \sqrt{3}).(2.\sqrt{2}.\sqrt{11})} \\ & = \frac{80}{16\sqrt{33}} = \frac{5}{\sqrt{33}} = \frac{5}{33} \sqrt{33} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{5}{33} \sqrt{33} . \, \heartsuit $