Pembahasan Hiperbola UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Garis $ y = 2x + 1 $ tidak memotong ataupun tidak menyinggung hiperbola $ \frac{(x-2)^2}{2}-\frac{(y-a)^2}{4}=1 $, interval nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 3 < a < 7 \, $ B). $ -3 < a < 7 \, $ C). $ a < 3 \, $ atau $ a > 7 $
D). $ a < -3 \, $ atau $ a > 7 \, $ E). $ -7 < a < -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat garis tidak memotong atau tidak menyinggung hiperbola adalah $ D < 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Substitusikan garis ke hiperbola sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
(1). Menentukan akar-akarnya dengan difaktorkan.
(2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($\pm$) setiap daerahnya
(3). Arsir daerah yang diminta :
jika $ > 0 $ , maka pilih daerah positif
jika $ < 0 $ , maka pilih daerah negatif
(4). BUat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusikan garis $ y = 2x + 1 $ ke hiperbola : :
$\begin{align} \frac{(x-2)^2}{2}-\frac{(y-a)^2}{4} & = 1 \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 2(x-2)^2 - (y-a)^2 & = 4 \\ 2(x-2)^2 - (2x + 1-a)^2 & = 4 \\ 2(x^2 - 4x + 4) - [ 4x^2 + 4x(1-a) + 1 - 2a + a^2] & = 4 \\ 2x^2 - 8x + 8 - 4x^2 - 4x + 4ax - 1 + 2a - a^2 & = 4 \\ -2x^2 - 12x + 4ax + 3 + 2a - a^2 & = 0 \\ -2x^2 +( 4a - 12)x + 3 + 2a - a^2 & = 0 \\ \text{(Syarat : ) } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (4a - 12)^2 - 4.(-2). (3 + 2a - a^2) & < 0 \\ 16a^2 - 96a + 144 + 24 + 16a - 8a^2 & < 0 \\ 8a^2 - 80a + 168 & < 0 \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ a^2 - 10a + 21 & < 0 \\ (a -3)(a-7) & < 0 \\ a = 3 \vee a & = 7 \end{align} $
Garis bilangannya :
 

Himpunan penyelesaiannya : $ 3 < a < 7 $
Jadi, penyelesaiaan adalah $ 3 < a < 7 . \, \heartsuit $

Diposting oleh 3 komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Aritmetika UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui barisan aritmetika dengan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$. Jika $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $ , maka nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = .... $
A). $ \frac{2}{k} \, $ B). $ \frac{3}{k} \, $ C). $ \frac{4}{k} \, $ D). $ \frac{6}{k} \, $ E). $ \frac{8}{k} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, U_n = a + (n-1) b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda
$ U_n = \, $ suku ke-$n$

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $
*). Menyederhakan yang diketahui :
$\begin{align} U_{k+2} & = U_2 + kU_{16} - 2 \\ a + (k+2-1)b & = (a+b) + k(a + (16-1)b) - 2 \\ a + (k+1)b & = (a+b) + k(a + 15b) - 2 \\ a + kb + b & = a+b + ka + 15kb - 2 \\ ka + 14kb & = 2 \\ k(a + 14b) & = 2 \\ a + 14b & = \frac{2}{k} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} $ :
$\begin{align} & U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} \\ & = (a+5b) + (a+11b) + (a + 17b) + (a + 23b) \\ & = 4a + 56b = 4( a + 14b) \\ & = 4. \frac{2}{k} = \frac{8}{k} \end{align} $
Jadi, nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = \frac{8}{k} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Ketaksamaan Mutlak UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Penyelesaian dari pertidaksamaan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ adalah berbentuk interval $ (a,b) $. Nilai $ a + b + 2 = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \\ \end{array} \right. $
Untuk pertidaksamaan mutlak, solusinya adalah gabungan dari kedua batas di atas.
*). Bentuk interval :
$ (a,b) \, $ sama dengan $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ sama dengan $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ sama dengan $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ sama dengan $ a \leq x \leq b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ dengan solusi $ (a,b) \rightarrow a < x < b $.
*). Mengubah bentuk mutlak sesuai definisi mutlak :
$ |2x+1| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x+1 & , \text{untuk } x \geq -\frac{1}{2} \\ -(2x+1) & , \text{untuk } x < -\frac{1}{2} \end{array} \right. $
$ |x+1| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x+1 & , \text{untuk } x \geq -1 \\ -(x+1) & , \text{untuk } x < -1 \end{array} \right. $
-). Dari batas kedua bentuk mutlak yaitu $ -1 $ dan $ -\frac{1}{2} $ , maka kita bagi menjadi tiga bagian yaitu :
$ x < - 1 \, $ , $ \, -1 \leq x < -\frac{1}{2} \, $ , dan $ \, x \geq -\frac{1}{2} $
*). Kita selesaikan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ berdasarkan ketiga bagian di atas :
-). Pertama : $ x < -1 $ berlaku $ | 2x + 1| = -(2x+1) $ dan $ |x+1| = -(x+1) $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ -(2x+1) & < 2 + [-(x+1)] \\ -2x - 1 & < 2 - x - 1 \\ -x & < 2 \\ x & > -2 \end{align} $
Sehingga $ HP_1 = \{ x < -1 \} \cap \{ x > -2 \} = \{ -2 < x < -1 \} $
-). Kedua : $ -1 \leq x < -\frac{1}{2} $ berlaku $ | 2x + 1| = -(2x+1) $ dan $ |x+1| = x+1 $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ -(2x+1) & < 2 + (x+1) \\ -2x - 1 & < 2 + x + 1 \\ -3x & < 4 \\ x & > -\frac{4}{3} \end{align} $
Sehingga $ HP_2 = \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} \cap \{ x > -\frac{4}{3} \} = \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} $
-). Ketiga : $ x \geq -\frac{1}{2} $ berlaku $ | 2x + 1| = 2x+1 $ dan $ |x+1| = x+1 $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ (2x+1) & < 2 + (x+1) \\ x & < 2 \end{align} $
Sehingga $ HP_3 = \{ x \geq -\frac{1}{2} \} \cap \{ x < 2 \} = \{ -\frac{1}{2} \leq x < 2 \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari ketiga himpunan di atas :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cup HP_2 \cup HP_3 \\ & = \{ -2 < x < -1 \} \cup \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} \cup \{ -\frac{1}{2} \leq x < 2 \} \\ & = \{ -2 < x < 2 \} \end{align} $
Bentuk $ -2 < x < 2 $ sama dengan $ a < x < b $ sehingga $ a = -2 $ dan $ b = 2 $.
Nilai $ a + b + 2 = -2 + 2 + 2 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b + 2 = 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Peluang UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Dalam sebuah kantong terdapat $ m $ bola putih dan $ n $ bola merah dengan $ m.n = 120 $ dan $ m < n $. Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $ \frac{5}{7}$, maka nilai $ m + n = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 26 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 21 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kejadian pengambilan bola tidak memperhatikan urutan sehingga penghitungannya menggunakan kombinasi.
*). Rumus kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
*). Peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (Ruang sampel)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ m $ bola putih dan $ n $ bola merah dengan $ m.n = 120 $ dan peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $ \frac{5}{7}$.
-). Total bola $ = m + n $
-). Diambil dua bola sekaligus :
$\begin{align} n(S) & = C_2^{m+n} = \frac{(m+n)!}{(m+n-2)!.2!} \\ & = \frac{(m+n).(m+n-1).(m+n-2)!}{(m+n-2)!.2} \\ & = \frac{(m+n).(m+n-1)}{2} \end{align} $
-). Peluang terambil paling sedikit satu putih , kejadiannya yaitu :
(1). satu putih dan satu merah $ = C_1^m.C_1^n $
(2). Keduanya putih $ = C_2^m $
Sehingga total kejadiana yang diharapkan :
$\begin{align} n(A) & = C_1^m.C_1^n + C_2^m \\ & = \frac{m!}{(m-1)!.1!}. \frac{n!}{(n-1)!.1!} + \frac{m!}{(m-2)!.2!} \\ & = m.n + \frac{m.(m-1)}{2} \\ & = 120 + \frac{m.(m-1)}{2} \\ \end{align} $
*). Peluang kejadian A $ = \frac{5}{7} $
$\begin{align} P(A) & = \frac{5}{7} \\ \frac{n(A)}{n(S)} & = \frac{5}{7} \\ \frac{120 + \frac{m.(m-1)}{2}}{\frac{(m+n).(m+n-1)}{2}} & = \frac{5}{7} \\ \frac{120 + \frac{m.(m-1)}{2}}{\frac{(m+n).(m+n-1)}{2}} . \times \frac{2}{2} & = \frac{5}{7} \\ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} & = \frac{5}{7} \end{align} $
-). Dari bentuk $ m.n = 120 $ dan $ m < n $ , ada beberapa nilai $ m $ yang mungkin yaitu :
$ m.n = 120 = 10.12 \rightarrow m = 10 , n = 12 $
$ m.n = 120 = 5.24 \rightarrow m = 5 , n = 24 $
$ m.n = 120 = 2.60 \rightarrow m = 2 , n = 60 $
$ m.n = 120 = 1.120 \rightarrow m = 1 , n = 120 $
-). Dari pilihan nilai $ m $ di atas, kita cek satu persatu ke $ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} = \frac{5}{7} $ , dan yang memenuhi adalah $ m = 10 $ dan $ n = 12 $.
Sehingga nilai $ m + n = 10 + 12 = 22 $.

Catatan :
-). Sebenarnya kita bisa juga langsung menyelesaikan persamaan $ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} = \frac{5}{7} $ dengan cara dikalikan silang dan subsitusi $ mn=120 \rightarrow n = \frac{120}{m} $, namun akan terbentuk persamaan dengan variabel $ m $ pangkat 4 serta koefisien yang besar sehingga juga sulit untuk menyelesaikannya.
-). Boleh juga dengan memperhatikan bentuk $ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} = \frac{5}{7} $ yaitu penyebutnya $ (m+n).(m+n-1) $ adalah kelipatan 7 sehingga nilai $ m + n $ yang mungkin adalah $ 22 $ atau $ 21 $.

Jadi, nilai $ m + n = 22 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Sistem Parabola UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -mx + c \\ y = (x+4)^2 \end{array} \right. $
Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai $ m $ adalah ....
A). $ -32 \, $ B). $ -20 \, $ C). $ -16 \, $ D). $ -8 \, $ E). $ -4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sistem persamaan dalam bentuk garis dan fungsi kuadrat memiliki tetap satu penyelesaian memiliki arti garis dan parabola saling bersinggungan, sehingga syaratnya yaitu $ D = 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $ (Nilai Diskriminan).
*). Untuk menentukan nilai $ D $, substitusi dulu garis ke parabola, lalu ubah kebentuk persamaan kuadrat.
*). Operasi akar-akar pada persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -mx + c \\ y = (x+4)^2 \end{array} \right. $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} y & = (x+4)^2 \\ -mx + c & = (x+4)^2 \\ -mx + c & = x^2 + 8x + 16 \\ x^2 + 16x + mx + 8 - c & = 0 \\ x^2 + (m + 8)x + (16 - c) & = 0 \\ \text{ Syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (m+8)^2 - 4.1.(16-c) & = 0 \\ m^2 + 16m + 64 + 4c - 64 & = 0 \\ m^2 + 16m + 4c & = 0 \end{align} $
*). Menentukan jumlah semua nilai $ m $ yaitu $ m_1 + m_2 $ :
$\begin{align} m_1 + m_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-16}{1} = -16 \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai $ m $ adalah $ -16 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Integral UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) $ memenuhi $ f(x) = f(-x) $. Jika nilai $ \int \limits_{-3}^3 f(x) dx = 6 $ dan $ \int \limits_{2}^3 f(x) dx = 1 $ , maka nilai $ \int \limits_{0}^2 f(x) dx = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi genap
-). Jika fungsi $ f(x) $ memenuhi $ f(-x) = f(x) $ , maka fungsi $ f(x) $ disebut fungsi genap.
-). Jika $ f(x) $ fungsi genap, maka berlaku sifat integral :
$ \int \limits_{-a}^a f(x) dx = 2 \int \limits_0^a f(x) dx $.
*). Sifat integral mengubah batasnya :
$ \int \limits_a^c f(x) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx $
dengan $ a \leq b \leq c $.
Contoh :
FUngsi genap : $ \int \limits_{-5}^5 f(x) dx = 2\int \limits_0^5 f(x) dx $
Ubah batas : $ \int \limits_0^7 f(x) dx = \int \limits_0^4 f(x) dx + \int \limits_4^7 f(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ f(x) $ memenuhi $ f(x) = f(-x) $ , artinya fungsi $ f(x) $ adalah fungsi genap. Mengubah bentuk integral yang diketahui sesuai sifat integral pada fungsi genap :
$\begin{align} \int \limits_{-3}^3 f(x) dx & = 6 \\ 2\int \limits_{0}^3 f(x) dx & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \int \limits_{0}^3 f(x) dx & = 3 \end{align} $
*). Mengubah bentuk batas $ \int \limits_{0}^3 f(x) dx = 3 $ sesuai sifat batas integral dan gunakan yang diketahui pada soalnya di atas :
$\begin{align} \int \limits_{0}^3 f(x) dx & = 3 \\ \int \limits_{0}^2 f(x) dx + \int \limits_{2}^3 f(x) dx & = 3 \\ \int \limits_{0}^2 f(x) dx + 1 & = 3 \\ \int \limits_{0}^2 f(x) dx & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_{0}^2 f(x) dx = 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)