Soal yang Akan Dibahas
Bilangan $ \log (a^3b), \log (a^2b^6), $ dan $ \log (a^5b^7) $ merupakan tiga suku pertama
barisan aritmetika. Jika suku ke-9 barisan tersebut adalah $ \log (b^p) $, maka
$ p = .... $
A). $ 36 \, $ B). $ 37 \, $ C). $ 38 \, $ D). $ 39 \, $ E). $ 40 $
A). $ 36 \, $ B). $ 37 \, $ C). $ 38 \, $ D). $ 39 \, $ E). $ 40 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda.
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih dua suku berdekatan sama.
*). Sifat logaritma :
1). $ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
2). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
3). $ n . {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Persamaan logaritma : $ \log A = \log B \rightarrow A = B $
*). Sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} , \, (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda.
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih dua suku berdekatan sama.
*). Sifat logaritma :
1). $ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
2). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
3). $ n . {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Persamaan logaritma : $ \log A = \log B \rightarrow A = B $
*). Sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} , \, (a^m)^n = a^{m.n} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ \log (a^3b), \log (a^2b^6), $ dan $ \log (a^5b^7) $ merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika, sehigga selisih dua suku berdekatan sama :
$ \begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ \log (a^2b^6) - \log (a^3b) & = \log (a^5b^7) - \log (a^2b^6) \\ \log \frac{a^2b^6}{a^3b} & = \log \frac{a^5b^7}{a^2b^6} \\ \log \frac{ b^5}{a } & = \log a^3b \\ \frac{ b^5}{a } & = a^3b \\ b^4 & = a^4 \\ b & = a \end{align} $
kita peroleh : $ a = b $.
*). Menentukan suku pertama dan beda :
$ \begin{align} u_1 & = \log (a^3b) = \log (b^3b) = \log b^4 \\ \text{beda } & = u_2 - u_1 \\ & = \log (a^2b^6) - \log (a^3b) = \log \frac{a^2b^6}{a^3b} \\ & = \log \frac{b^2b^6}{b^3b} = \log b^4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ dari $ u_9 = \log (b^p) $ :
$ \begin{align} u_9 & = \log (b^p) \\ u_1 + 8 \times \text{beda} & = \log (b^p) \\ \log b^4 + 8 \times \log b^4 & = \log (b^p) \\ \log b^4 + \log (b^4)^8 & = \log (b^p) \\ \log b^4 + \log b ^{32} & = \log (b^p) \\ \log (b^4. b ^{32} ) & = \log (b^p) \\ \log ( b ^{32 + 4} ) & = \log (b^p) \\ \log ( b ^{36} ) & = \log (b^p) \\ b ^{36} & = b^p \\ p & = 36 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = 36 . \, \heartsuit $
*). $ \log (a^3b), \log (a^2b^6), $ dan $ \log (a^5b^7) $ merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika, sehigga selisih dua suku berdekatan sama :
$ \begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ \log (a^2b^6) - \log (a^3b) & = \log (a^5b^7) - \log (a^2b^6) \\ \log \frac{a^2b^6}{a^3b} & = \log \frac{a^5b^7}{a^2b^6} \\ \log \frac{ b^5}{a } & = \log a^3b \\ \frac{ b^5}{a } & = a^3b \\ b^4 & = a^4 \\ b & = a \end{align} $
kita peroleh : $ a = b $.
*). Menentukan suku pertama dan beda :
$ \begin{align} u_1 & = \log (a^3b) = \log (b^3b) = \log b^4 \\ \text{beda } & = u_2 - u_1 \\ & = \log (a^2b^6) - \log (a^3b) = \log \frac{a^2b^6}{a^3b} \\ & = \log \frac{b^2b^6}{b^3b} = \log b^4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ dari $ u_9 = \log (b^p) $ :
$ \begin{align} u_9 & = \log (b^p) \\ u_1 + 8 \times \text{beda} & = \log (b^p) \\ \log b^4 + 8 \times \log b^4 & = \log (b^p) \\ \log b^4 + \log (b^4)^8 & = \log (b^p) \\ \log b^4 + \log b ^{32} & = \log (b^p) \\ \log (b^4. b ^{32} ) & = \log (b^p) \\ \log ( b ^{32 + 4} ) & = \log (b^p) \\ \log ( b ^{36} ) & = \log (b^p) \\ b ^{36} & = b^p \\ p & = 36 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = 36 . \, \heartsuit $
