Pembahasan Barisan Aritmetika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Bilangan $ \log (a^3b), \log (a^2b^6), $ dan $ \log (a^5b^7) $ merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika. Jika suku ke-9 barisan tersebut adalah $ \log (b^p) $, maka $ p = .... $
A). $ 36 \, $ B). $ 37 \, $ C). $ 38 \, $ D). $ 39 \, $ E). $ 40 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda.
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih dua suku berdekatan sama.
*). Sifat logaritma :
1). $ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
2). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
3). $ n . {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Persamaan logaritma : $ \log A = \log B \rightarrow A = B $
*). Sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} , \, (a^m)^n = a^{m.n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ \log (a^3b), \log (a^2b^6), $ dan $ \log (a^5b^7) $ merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika, sehigga selisih dua suku berdekatan sama :
$ \begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ \log (a^2b^6) - \log (a^3b) & = \log (a^5b^7) - \log (a^2b^6) \\ \log \frac{a^2b^6}{a^3b} & = \log \frac{a^5b^7}{a^2b^6} \\ \log \frac{ b^5}{a } & = \log a^3b \\ \frac{ b^5}{a } & = a^3b \\ b^4 & = a^4 \\ b & = a \end{align} $
kita peroleh : $ a = b $.
*). Menentukan suku pertama dan beda :
$ \begin{align} u_1 & = \log (a^3b) = \log (b^3b) = \log b^4 \\ \text{beda } & = u_2 - u_1 \\ & = \log (a^2b^6) - \log (a^3b) = \log \frac{a^2b^6}{a^3b} \\ & = \log \frac{b^2b^6}{b^3b} = \log b^4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ dari $ u_9 = \log (b^p) $ :
$ \begin{align} u_9 & = \log (b^p) \\ u_1 + 8 \times \text{beda} & = \log (b^p) \\ \log b^4 + 8 \times \log b^4 & = \log (b^p) \\ \log b^4 + \log (b^4)^8 & = \log (b^p) \\ \log b^4 + \log b ^{32} & = \log (b^p) \\ \log (b^4. b ^{32} ) & = \log (b^p) \\ \log ( b ^{32 + 4} ) & = \log (b^p) \\ \log ( b ^{36} ) & = \log (b^p) \\ b ^{36} & = b^p \\ p & = 36 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = 36 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Matriks SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) , B = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ p & 2 \end{matrix} \right) $ , dan $ C = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & q \end{matrix} \right) $. Jika $ det(AB) = det(2C) $ , maka $ p + q = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ :
$ det(A) = |A| = ad - bc $
*). Sifat determinan matriks :
1). $ det(AB) = det(A).det(B) $
2). $ det(kC_{m \times m}) = k^m . det(C) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan bentuk $ p $ dan $ q $ :
$ \begin{align} det(AB) & = det(2C) \\ det(A).det(B) & = 2^2. det(C) \\ det\left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right).det\left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ p & 2 \end{matrix} \right) & = 4. \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & q \end{matrix} \right) \\ (6 - 4).(6 - 2p) & = 4(q - 2) \\ 2(6 - 2p) & = 4(q - 2) \\ 12 - 4p & = 4q - 8 \\ 12 + 8 & = 4q + 4p \\ 20 & = 4(p+q) \\ 5 & = p + q \end{align} $
Jadi, nilai $ p + q = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) , B = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ p & 2 \end{matrix} \right) $ , dan $ C = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & q \end{matrix} \right) $. Jika $ det(AB) = det(2C) $ , maka $ p + q = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perkalian Dua buah Matriks
Caranya BARIS KALI KOLOM.
$ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{matrix} \right) $
*). Perkalian skalar dengan matriks yaitu semua elemen/unsur pada matriks dikalikan dengan skalar tersebut.
*). Determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ :
$ det(A) = |A| = ad - bc $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasil perkalian matriksnya :
$ \begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ p & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 9 + 4p & 14 \\ 3 + 2p & 6 \end{matrix} \right) \\ 2C & = 2\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & q \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 2q \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bentuk $ p $ dan $ q $ :
$ \begin{align} det(AB) & = det(2C) \\ det\left( \begin{matrix} 9 + 4p & 14 \\ 3 + 2p & 6 \end{matrix} \right) & = det\left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 2q \end{matrix} \right) \\ (9+4p).6 - (3+2p).14 & = 2.2q - 4.2 \\ (54 + 24p) - (42 + 28p) & = 4q - 8 \\ 12 - 4p & = 4q - 8 \\ 12 + 8 & = 4q + 4p \\ 20 & = 4(p+q) \\ 5 & = p + q \end{align} $
Jadi, nilai $ p + q = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Fungsi SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers dan memenuhi $ f(x) = g(4 - 2x) $, maka $ f^{-1}(x) = .... $
A). $ g^{-1}(4-2x) \, $ B). $ g^{-1}\left( 2 - \frac{x}{2} \right) \, $
C). $ 4 - 2g^{-1}(x) \, $ D). $ 2 - \frac{ g^{-1}(x) }{2} \, $
E). $ 4 - \frac{ g^{-1}(x) }{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi Fungsi Invers
$ f(A) = B \leftrightarrow A = f^{-1}(B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Pada soal diketahui : $ f(x) = g(4 - 2x) $
Kita Misalkan $ B = g(4 - 2x) \, $
Sehingga :
$ \begin{align} f(x) & = g(4-2x) \\ f(x) & = B \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi invers)} \\ x & = f^{-1}(B) \, \, \, \, \, \, \, \text{(ganti bentuk B)} \\ x & = f^{-1}(g(4 - 2x)) \, \, \, \, \, \, \, \text{atau} \\ f^{-1}(g(4 - 2x)) & = x \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Misalkan : $ p = g(4 - 2x) $
Dengan definisi invers :
$ g(4 - 2x) = p \rightarrow 4 - 2x = g^{-1}(p) $
$ \rightarrow 2x = 4 - g^{-1}(p) \rightarrow x = 2 - \frac{g^{-1}(p)}{2} $
*). Sehingga pers(i) menjadi :
$ \begin{align} f^{-1}(g(4 - 2x)) & = x \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ f^{-1}(p) & = 2 - \frac{g^{-1}(p)}{2} \end{align} $
Bentuk $ f^{-1}(p) = 2 - \frac{g^{-1}(p)}{2} \, $ sama saja dengan $ f^{-1}(x) = 2 - \frac{g^{-1}(x)}{2} $.
Jadi, kita peroleh $ f^{-1}(x) = 2 - \frac{g^{-1}(x)}{2} . \, \heartsuit $


Pembahasan Komposisi Fungsi SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \, $ dan $ g(x) = 10 - x^2 $, maka himpunan bilangan real yang memenuhi $ (f \circ g)(x) > -2 $ adalah ....
A). $ \{ x | x < - 3 \} \cup \{ x | x > 3 \} \, $
B). $ \{ x | x \leq - 3 \} \cup \{ x | x \geq 3 \} \, $
C). $ \{ x | -3 \leq x \leq 3 \} \, $
D). $ \{ x | -3 < x \leq 3 \} \, $
E). $ \{ x | -3 \leq x < 3 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Komposisi fungsi :
$ (f \circ g )(x) = f(g(x)) $
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)
*). Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan yaitu :
i). Nolkan ruas kanan,
ii). Samakan penyebut dan operasikan kedua pecahan,
iii). Carilah akar-akar pembilang dan penyebutnya,
iv). Buat garis bilangan, dan tentukan tanda setiap daerah (+ atau -),
v). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat bentuk pecahan adalah akar penyebutnya tidak boleh menjadi solusi (tidak ikut) karena penyebut pecahan tidak boleh bernilai nol.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan komposisi fungsi $ (f \circ g )(x) $
$ \begin{align} (f \circ g )(x) & = f( g(x)) \\ & = f(10 - x^2) \\ & = \frac{1}{\sqrt{1-(10 - x^2)}} \\ & = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} \end{align} $
*). Menentukan akar-akar pertidaksamaannya
$ \begin{align} (f \circ g )(x) & > -2 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} & > -2 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} + 2 & > 0 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} + \frac{2\sqrt{x^2 - 9}}{\sqrt{x^2 - 9}} & > 0 \\ \frac{2\sqrt{x^2 - 9} + 1}{\sqrt{x^2 - 9}} & > 0 \end{align} $
*). Perhatikan bentuk $ \frac{2\sqrt{x^2 - 9} + 1}{\sqrt{x^2 - 9}} $, nilainya selalu positif sehingga selalu memenuhi pertidaksamaan. Tinggal kita cari syarat bentuk akar dan syarat penyebutnya saja.
*). Syarat-syarat bentuk akar dan penyebutnya :
$ \sqrt{x^2 - 9} \geq 0 \rightarrow x^2 - 9\geq 0 \rightarrow (x-3)(x+3) \geq 0 \rightarrow x = 3 \vee x = -3 $
penyebutnya : $ \sqrt{x^2 - 9} \neq 0 \rightarrow x^2 - 9 \neq 0 \rightarrow x \neq -3 \vee x \neq 3 $.
garis bilangannya :

Himpunan penyelesaiannya adalah $ \{ x < -3 \vee x > 3 \} $.
Jadi, himpunannya adalah $ \{ x | x < - 3 \} \cup \{ x | x > 3 \} . \, \heartsuit $