Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah tiga suku pertama barisan aritmetika adalah 27 dan jumlah lima buah suku pertama barisan tersebut adalah 85, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ....
A). $ 33 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 17 \, $ D). $ 41 \, $ E). $ 49 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika : $ U_n = a + (n-1)b $
*). Rumus $ S_n $ :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
dengan $ S_n = \, $ jumlah $ n $ suku pertama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Jumlah tiga suku pertama barisan aritmetika = 27
$ \begin{align} S_3 & = 27 \\ \frac{3}{2}(2a + (3-1)b) & = 27 \\ \frac{3}{2}(2a + 2b) & = 27 \\ 3(a + b) & = 27 \\ a + b & = 9 \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
-). jumlah lima buah suku pertama barisan = 85
$ \begin{align} S_5 & = 85 \\ \frac{5}{2}(2a + (5-1)b) & = 85 \\ \frac{5}{2}(2a + 4b) & = 85 \\ 5(a + 2b) & = 85 \\ a + 2b & = 17 \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} a + 2b = 17 & \\ a + b = 9 & - \\ \hline b = 8 & \end{array} $
Pers(i) : $ a + b = 9 \rightarrow a + 8 = 9 \rightarrow a = 1 $
*). Menentukan suku ke-4 :
$ \begin{align} U_4 & = a + 3b \\ & = 1 + 3 \times 8 \\ & = 1 + 24 = 25 \end{align} $
Jadi, suku ke-4 adalah $ 25 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ U_n $ adalah suku ke-$n$ suatu barisan geometri, maka jumlah 4 suku pertama barisan tersebut sama dengan .....
A). $ \frac{u_1(u_1-u_4)}{u_1 - u_2 } \, $
B). $ \frac{u_1-u_4}{u_1 - u_2 } \, $
C). $ \frac{u_1(u_1+u_5)}{u_1 - u_2 } \, $
D). $ \frac{u_1(u_1-u_5)}{u_1 - u_2 } \, $
E). $ \frac{u_1-u_5}{u_1 - u_2 } \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Rumus $ S_n $ :
$ S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan beberapa suku :
$ \begin{align} u_1 & = a \\ u_2 & = ar^{2-1} = ar \\ u_5 & = ar^{5-1} = ar^4 \end{align} $
*). Menentukan bentuk $ S_4 $ (jumlah 4 suku pertama) :
$ \begin{align} S_n & = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \\ S_4 & = \frac{a(1-r^4)}{1-r} \\ & = \frac{(a-ar^4)}{1-r} \times \frac{a}{a} \\ & = \frac{a(a-ar^4)}{a-ar} \\ & = \frac{u_1(u_1-u_5)}{u_1-u_2} \end{align} $
Jadi, jumlah 4 suku pertamnya adalah $ = \frac{u_1(u_1-u_5)}{u_1-u_2} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Penyelesaian pertaksamaan $ 4^{x-1} - 6. 2^{x-2} - 10 < 0 $ adalah ....
A). $ x < -1 + {}^2 \log 5 \, $
B). $ x < 2 + {}^2 \log 5 \, $
C). $ x < 1 + {}^2 \log 5 \, $
D). $ x < 1 - 2 \, {}^2 \log 5 \, $
E). $ x < 1 + 2 \, {}^2 \log 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). SIfat Eksponen :
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). SIfat logaritma : $ {}^a \log b.c = {}^a log b + {}^a \log c $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $ atau $ a^c = b \rightarrow c = {}^a \log b $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar,
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $-$),
3). Arsir daerah yang diinginkan,
Jika $ > 0 $ , maka arsir positif,
Jika $ < 0 $ , maka arsir negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 2^x > 0 \, $ (positif)
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} 4^{x-1} - 6. 2^{x-2} - 10 & < 0 \\ \frac{4^x}{4^1} - 6. \frac{2^x}{2^2} - 10 & < 0 \\ \frac{(2^x)^2}{4} - 6. \frac{2^x}{4} - 10 & < 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (2^x)^2 - 6. 2^x - 40 & < 0 \\ p^2 - 6p - 40 & < 0 \\ (p+4)(p-10) & < 0 \\ p = -4 \vee p & = 10 \\ p = -4 \rightarrow 2^x & = -4 \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \\ p = 10 \rightarrow 2^x & = 10 \\ x & = {}^2 \log 10 \\ & = {}^2 \log 2 \times 5 \\ & = {}^2 \log 2 + {}^2 \log 5 \\ & = 1 + {}^2 \log 5 \end{align} $
Garis bilangannya .
 
Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya daerah yang negatif.
Sehingga solusinya : $ x < 1 + {}^2 \log 5 $ .
Jadi, penyelesaiannya adalah $ x < 1 + {}^2 \log 5 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Logaritma UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan
$ \left( {}^5 \log (x+3) \right)^2 + 3 \, {}^5 \log ( x + 3) = {}^5 \log \frac{1}{25} $ ,
maka $ |x_1 - x_2 | = .... $
A). $ 0,12 \, $ B). $ 0,14 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,18 \, $ E). $ 0,20 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). SIfat logaritma : $ {}^a \log b^n = n . {}^a log b $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = {}^5 \log (x + 3) $
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} \left( {}^5 \log (x+3) \right)^2 + 3 \, {}^5 \log ( x + 3) & = {}^5 \log \frac{1}{25} \\ \left(p \right)^2 + 3 p & = {}^5 \log 5^{-2} \\ p^2 + 3 p & = -2 . {}^5 \log 5 \\ p^2 + 3 p & = -2 \\ p^2 + 3 p + 2 & = 0 \\ (p+1)(p+2) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = -2 \\ p= -1 \rightarrow {}^5 \log (x+3) & = -1 \\ (x+3) & = 5^{-1} \\ x_1 & = \frac{1}{5} + 3 = 3,2 \\ p= -2 \rightarrow {}^5 \log (x+3) & = -2 \\ (x+3) & = 5^{-2} \\ x_2 & = \frac{1}{25} + 3 = 3,04 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ |x_1 - x_2| $ :
$ \begin{align} |x_1 - x_2| & = |3,2 - 3,04 | = 0, 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ |x_1 - x_2| = 0,16 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)