Pembahasan Fungsi Invers SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 550

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(g(x)) = x^2 - 6x $ untuk $ x \leq 0 $ dan $ g(x+3) = x $ untuk semua bilangan real $ x $. Jika $ f^{-1} $ ada, maka $ ( g \circ f^{-1})(0) $ adalah ...
A). $ -5 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
-). Pada bentuk fungsi awal $ y = f(x) $ , $ x $ sebagai domain dan $ y $ sebagai hasil
-). Pada bentuk fungsi awal $ x = f^{-1}(y) $ , $ y $ sebagai domain dan $ x $ sebagai hasil
*). Komposisi fungsi : $ (g \circ h)(x) = g(h(x)) $
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)
*). Untuk mengubah fungsi menjadi $ f(x) $ atau $ g(x) $, bisa menggunakan permisalan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ g(x+3) = x $ :
-). Mengubah menjadi $ g(x) $
Misalkan $ x + 3 = p \rightarrow x = p - 3 $
$\begin{align} g(x+3) & = x \\ g(p) & = p - 3 \\ g(x) & = x - 3 \end{align} $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
Misalkan $ x - 3 = q \rightarrow x = q + 3 $
$\begin{align} f(g(x)) & = x^2 - 6x \\ f(x-3) & = x^2 - 6x \\ f(q) & = (q+3)^2 - 6(q+3) \\ f(q) & = q^2 + 6q + 9 - 6q - 18 \\ f(q) & = q^2 - 9 \\ f(x) & = x^2 - 9 \end{align} $
-). Menentukan invers dari $ f(x) = x^2 - 9 $ :
$\begin{align} f(x) & = x^2 - 9 \\ y & = x^2 - 9 \\ x^2 & = y + 9 \\ x & = \pm \sqrt{y + 9 } \end{align} $
Karena $ x \leq 0 $ , maka $ x = -\sqrt{y + 9} $
artinya $ f^{-1}(x) = -\sqrt{x + 9} $
*). Menentukan nilai $ ( g \circ f^{-1})(0) $ :
$\begin{align} ( g \circ f^{-1})(0) & = g( f^{-1}(0)) \\ & = g \left( -\sqrt{0 + 9} \right) \\ & = g \left( -3 \right) \\ & = -3 - 3 = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ ( g \circ f^{-1})(0) = -6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 550

Soal yang Akan Dibahas
Jika semua akar dari persamaan $ x^2 - ax + b(b+1) = 0 $ merupakan bilangan prima untuk suatu bilangan positif $ a $ dan $ b $, maka $ a + b $ adalah ...
A). $ 4 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) $ \, \, \, ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
*). Operasi akar-akar PK :
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - ax + b(b+1) = 0 $
dengan akar-akar $ x_ 1 $ dan $ x_2 $ dimana keduanya bilangan prima.
*). Operasi akar-akar :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = a \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ x_1 . x_2 & = b(b+1) \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Perhatikan pers(ii) :
$ x_1 . x_2 = b(b+1) $
Bentuk $ b(b+1) $ adalah perkalian $ b $ dan $ b+1 $ yang merupakan dua bilangan berurutan, sehingga $ x_1.x_2 $ juga perkalian dua bilangan prima berurutan yaitu 2 dan 3, artinya $ x_1 = 2 $ dan $ x_2 = 3 $.
$\begin{align} x_1 . x_2 & = b(b+1) \\ 2.3 & = b(b+1) \\ b & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dari pers(i) :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = a \\ 2 + 3 & = a \\ 5 & = a \end{align} $
Nilai $ a + b = 5 + 2 = 7 $
Jadi, nilai $ a+b = 7 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan FK SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 550

Soal yang Akan Dibahas
Jika grafik parabola $ f(x) = ax^2 + bx + c $ memotong sumbu Y pada titik $ (0,4) $, serta memotong garis $ y = x - 2 $ di titik $ x = 1 $ dan $ x = 6 $, maka koordinat titik puncak parabola tersebut adalah ...
A). $ (3,5) \, $ B). $ (-3,5) \, $ C). $ (3,-5) \, $ D). $ (2,-5) \, $ E). $ (-2,5) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat (FK) : $ f(x) = ax^2 + bx + c $
titik puncaknya $ (x_p, y_p) $
dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p= f(x_p) $
atau $ y_p= \frac{D}{-4a} $ dimana $ D = b^2 - 4ac $
*). Persamaan kuadrat $ \, ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Jika suatu titik dilalui oleh grafik/kurva (atau titik berada pada kurva) , maka titik tersebut bisa langsung disubstitusikan ke fungsinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (x,y) = (0,4) $ ke FK :
$\begin{align} (x,y) = (0,4) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + c \\ 4 & = a.0^2 + b.0 + c \\ 4 & = c \end{align} $
sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = ax^2 + bx + 4 $
*). Parabola dan garis berpotongan di $ x = 1 $ dan $ x = 6 $, artinya $ x_1 = 1 $ dan $ x_2 = 6 $ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat perpotongan kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ ax^2 + bx + 4 & = x - 2 \\ ax^2 + (b-1)x + 6 & = 0 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ dengan operasi akar-akar :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ 1 . 6 & = \frac{6}{a} \rightarrow a = 1 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ 1 + 6 & = \frac{-(b-1)}{1} \\ 7 & = 1 - b \rightarrow b = -6 \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = x^2 - 6x + 4 $
*). Menentukan titik puncak :
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2.1} = 3 \\ y_p & = f(x_p) = f(3) \\ & = 3^2 - 6.3 + 4 = -5 \end{align} $
Jadi, titik puncaknya adalah $ (3, -5) . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 550

Soal yang Akan Dibahas
Jika grafik parabola $ f(x) = ax^2 + bx + c $ memotong sumbu Y pada titik $ (0,4) $, serta memotong garis $ y = x - 2 $ di titik $ x = 1 $ dan $ x = 6 $, maka koordinat titik puncak parabola tersebut adalah ...
A). $ (3,5) \, $ B). $ (-3,5) \, $ C). $ (3,-5) \, $ D). $ (2,-5) \, $ E). $ (-2,5) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat (FK) : $ f(x) = ax^2 + bx + c $
titik puncaknya $ (x_p, y_p) $
dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p= f(x_p) $
atau $ y_p= \frac{D}{-4a} $ dimana $ D = b^2 - 4ac $
*). Jika suatu titik dilalui oleh grafik/kurva (atau titik berada pada kurva) , maka titik tersebut bisa langsung disubstitusikan ke fungsinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (x,y) = (0,4) $ ke FK :
$\begin{align} (x,y) = (0,4) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + c \\ 4 & = a.0^2 + b.0 + c \\ 4 & = c \end{align} $
sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = ax^2 + bx + 4 $
*). Parabola dan garis berpotongan di $ x = 1 $ dan $ x = 6 $, kita tentukan titik potongnya secara lengkap dengan substitusi ke garisnya : $ y = x - 2 $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow y & = 1 - 2 = -1 \\ x = 6 \rightarrow y & = 6 - 2 = 4 \end{align} $
Sehingga titik potongnya adalah $ (1,-1) $ dan $ (6,4) $.
*). Substitusi kedua titik potong ke parabola : $ f(x) = ax^2 + bx + 4 $
$\begin{align} (x,y) = (1,-1) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + 4 \\ -1 & = a.1^2 + b.1 + 4 \\ a + b & = -5 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y) = (6,4) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + 4 \\ 4 & = a.6^2 + b.6 + 4 \\ 0 & = 36a + 6b \\ 0 & = 6a + b \\ b & = -6a \end{align} $
*). Substitusi $ b = -6a $ ke pers(i) :
$\begin{align} a + b & = -5 \\ a + (-6a) & = -5 \\ -5a & = -5 \\ a & = 1 \end{align} $
Nilai $ b = -6a = -6. 1 = -6 $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = x^2 - 6x + 4 $
*). Menentukan titik puncak :
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2.1} = 3 \\ y_p & = f(x_p) = f(3) \\ & = 3^2 - 6.3 + 4 = -5 \end{align} $
Jadi, titik puncaknya adalah $ (3, -5) . \, \heartsuit $