Pembahasan Sudut Lingkaran UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Perhatikan lingkaran dengan pusat O!
Besar $ \angle $ BOC = $ 40^\circ $, besar $ \angle $ ADB = ....
A). $ 80^\circ \, $ B). $ 70^\circ \, $ C). $ 40^\circ \, $ D). $ 20^\circ \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Hubungan sudut keliling dan sudut pusat lingkaran yaitu :
Sudut keliling $ = \frac{1}{2} \times \, $ sudut pusat.
*). Jumlah dua sudut berpelurus $ = 180^\circ $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan gambar pada soal :
$ \angle AOB $ dan $ \angle BOC $ berpelurus,
$ \angle AOB $ adalah sudut pusat dengan sudut kelilingnya adalah $ \angle ADB $.
*). Menentukan $ \angle AOB $ :
$ \begin{align} \angle AOB + \angle BCO & = 180^\circ \\ \angle AOB + 40^\circ & = 180^\circ \\ \angle AOB & = 180^\circ - 40^\circ \\ \angle AOB & = 140^\circ \end{align} $
*). Menentukan sudut ADB :
Sudut pusat : $ \angle AOB $ dan sudut keliling : $ \angle ADB $,
$ \begin{align} \angle ADB & = \frac{1}{2} \times \angle AOB \\ & = \frac{1}{2} \times 140^\circ \\ & = 70^\circ \end{align} $
Jadi, besar $ \angle ADB = 70^\circ . \, \heartsuit $

Pembahasan Unsur Lingkaran UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Perhatikan gambar lingkaran yang berpusat di O berikut!

Daerah yang diarsir merupakan ....
A). Juring
B). busur
C). tali busur
D). tembereng

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pada lingkaran terdapat beberapa unsur yaitu : pusat lingkaran, jari-jari, diameter, busur, tali busur, apotema, juring, dan tembereng.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan gambar berikut ini,
 

Unsur-unsur yang ada pada lingakaran di atas yaitu :
Titik pusat lingkaran adalah titik O,
Diameter : garis AD,
Jari-jari : garis OA, OD, OB, OC,
Nomor 1 : Juring,
Nomor 2 : tembereng,
Nomor 3 : apotema,
Nomor 4 : busur,
Nomor 5 : tali busur.
*). Dari penjelasan di atas, maka dari soal pada gambar, daerah yang di arsir adalah Juring.
Jadi, daerah arsiran adalah juring $. \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Keliling lingkaran adalah 44 cm. Luas lingkaran tersebut adalah ....
A). 77 cm$^2$
B). 154 cm$^2$
C). 616 cm$^2$
D). 1.232 cm$^2$

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus keliling dan luas lingkaran dengan jari-jari $ r $ yaitu :
Keliling $ = 2\pi r $
Luas $ = \pi r^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan jari-jari dari kelilingnya :
$ \begin{align} \text{Keliling } & = 44 \\ 2 \pi r & = 44 \\ 2 . \frac{22}{7} r & = 44 \\ \frac{44}{7} r & = 44 \\ r & = 44 \times \frac{7}{44} = 7 \end{align} $
*). Menentukan luas lingkarannya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \pi r^2 \\ & = \frac{22}{7} . 7 . 7 \\ & = 22. 7 \\ & = 154 \end{align} $
Jadi, luas lingkarannya adalah 154 cm$^2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pythagoras UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Perhatikan gambar dan pernyataan-pernyataan di bawah ini!
i. $ x^2 + y^2 = z^2 $
ii. $ x^2 - y^2 = z^2 $
iii. $ z^2 - y^2 = x^2 $
iv. $ z^2 + y^2 = x^2 $
Pernyataan yang benar adalah ....
A). i dan ii
B). i dan iii
C). ii dan iii
D). ii dan iv

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan gambar pada soal di atas, sisi miring segitiga siku-sikunya adalah $ z $ , sehingga berlaku :
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = z^2 \end{align} $
-). Dari bentuk $ x^2 + y^2 = z^2 $ juga bisa kita ubah menjadi :
$ z^2 - x^2 = y^2 \, $ atau $ z^2 - y^2 = x^2 $.
-). Berdasarkan ketiga bentuk ini, maka pernyataan yang benar pada soal adalah (i) dan (iii).
Jadi,yang benar adalah (i) dan (iii) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Pengubinan UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Lantai suatu gedung pertemuan yang sedang dibangun mempunyai panjang 22 m dan lebar 16 m. Jika pemborongnya menggunakan ubin dengan ukuran 50 cm $ \times $ 50 cm untuk menutupi lantai, banyak ubin yang diperlukan adalah ....
A). 1.280 buah
B). 1.408 buah
C). 1.600 buah
D). 2.200 buah

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan banyaknya ubin yang diperlukan, cukup kita bagi luas lantai dengan luas ubin.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan luas lantai dan luas ubin
Luas lantai $ = 22 \, m \times 16 \, m = 2200 \, cm \times 1600 \, cm = 3.520.000\, cm^2 $
Luas 1 ubin $ = 50 \, cm \times 50 \, cm = 2.500 \, cm^2 $
*). Menentukan banyak jumlah ubin :
$ \begin{align} \text{banyak ubin } & = \frac{\text{Luas lantai}}{\text{Luas ubin}} \\ & = \frac{3.520.000}{2.500} = 1.408 \end{align} $
Jadi, banyak ubin yang dibutuhkan adalah $ 1.408 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Mutlak SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} < 1 \, $ adalah ....
A). $ x < 0 \, $
B). $ -2 < x < 2 $
C). $ 0 < x < 4 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ x > 4 $
E). $ x > 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, salah satu cara yaitu menggunakan metode substitusi angka (metode SUKA).

$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=5 \Rightarrow \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} & < 1 \\ \frac{|5-2|+5}{2 - |5-2|} & < 1 \\ \frac{3+5}{2 - 3} & < 1 \\ \frac{8}{-1} & < 1 \\ -8 & < 1 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= 5 $ BENAR, opsi yang salah adalah A, B dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= -1 \Rightarrow \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} & < 1 \\ \frac{|-1-2|+(-1)}{2 - |-1-2|} & < 1 \\ \frac{3-1}{2 - 3} & < 1 \\ \frac{2}{-1} & < 1 \\ -2 & < 1 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= -1 $ BENAR, opsi yang salah adalah E.
Sehingga yang benar adalah opsion D (yang tersisa).
Jadi, solusinya adalah $ x < 0 \, $ atau $ x > 4 . \, \heartsuit$

Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} < 1 \, $ adalah ....
A). $ x < 0 \, $
B). $ -2 < x < 2 $
C). $ 0 < x < 4 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ x > 4 $
E). $ x > 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Mutlak
*). Definisi Nilai Mutlak
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x), & f(x) \geq 0 \\ & \, \text{ atau } \\ -f(x), & f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah nilai mutlak $ |x-2| $ berdasarkan definisi mutlak :
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2, & x-2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2 \\ & \, \text{ atau } \\ -(x-2), & x - 2 < 0 \rightarrow x < 2 \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |x - 2 | $ dibagi menjadi dua berdasarkan batas nilai $ x $ yaitu $ x \geq 2 $ atau $ x < 2 $.
*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan batas $ x $ :
-). Untuk $ x \geq 2 $ , maka $ |x-2| = x - 2 $
$ \begin{align} \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} & < 1 \\ \frac{x-2+x}{2 - (x-2)} - 1 & < 0 \\ \frac{2x-2 }{2 - x + 2} - 1 & < 0 \\ \frac{2x-2 }{ - x + 4} - 1 & < 0 \\ \frac{2x-2 }{ - x + 4} - \frac{ - x + 4 }{ - x + 4} & < 0 \\ \frac{3x-6 }{ - x + 4} & < 0 \end{align} $
-). Akar-akarnya :
Pembilang : $ 3x-6 = 0 \rightarrow x = 2 $
Penyebut : $ - x + 4 = 0 \rightarrow x = 4 $
garis bilangan pertama :
 

Karena $ x \geq 2 $ , solusi pertama : HP1 = $ \{ x > 4 \} $
-). Untuk $ x < 2 $ , maka $ |x-2| = -(x - 2) = 2 - x $
$ \begin{align} \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} & < 1 \\ \frac{2-x+x}{2 - (2-x)} - 1 & < 0 \\ \frac{2}{2 + x -2} - 1 & < 0 \\ \frac{2 }{ x } - 1 & < 0 \\ \frac{2}{x} - \frac{ x}{ x} & < 0 \\ \frac{2-x}{ x} & < 0 \end{align} $
-). Akar-akarnya :
Pembilang : $ 2 - x = 0 \rightarrow x = 2 $
Penyebut : $ x = 0 $
garis bilangan kedua :
 

Karena $ x < 2 $ , maka solusi kedua : HP2 = $ \{ x < 0 \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 (atau sesuai definisi mutlak).
HP $ = \{ x < 0 \vee x > 4 \} \, $ .
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < 0 \vee x > 4 \} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Sistem SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Sistem persamaan $ x + 2y = a $ , $ 2x + 3y = b $ , dan $ 5x + 8y = c $ memiliki solusi untuk $ c = .... $
A). $ -a + 2b \, $
B). $ a - 2b \, $
C). $ a + 2b \, $
D). $ 2a - b \, $
E). $ 2a + b \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan kita gunakan metode eliminasi atau substitusi atau metode gabungan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk cara kedua ini, kita tidak perlu mencari nilai $ x $ dan $ y $ terlebih dahulu, namun langsng kita modifikasi sistem persamaannya sehingga kita peroleh bentuk yang diminta.
*). Diketahui tiga persamaan :
$ x + 2y = a \, $ ...pers(i)
$ 2x + 3y = b \, $ ...pers(ii)
$ 5x + 8y = c \, $ ...pers(iii)
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + 2y = a & \times 1 & x + 2y = a & \\ 2x + 3y = b & \times 2 & 4x + 6y = 2b & + \\ \hline & & 5x + 8y = a + 2b & \end{array} $
*). Perhatikan bentuk $ 5x + 8y = a + 2b $ , dimana $ 5x + 8y = c $ , shingga $ c = a + 2b $.
Jadi, nilai $ c = a + 2b. \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Sistem persamaan $ x + 2y = a $ , $ 2x + 3y = b $ , dan $ 5x + 8y = c $ memiliki solusi untuk $ c = .... $
A). $ -a + 2b \, $
B). $ a - 2b \, $
C). $ a + 2b \, $
D). $ 2a - b \, $
E). $ 2a + b \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan kita gunakan metode eliminasi atau substitusi atau metode gabungan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui tiga persamaan :
$ x + 2y = a \, $ ...pers(i)
$ 2x + 3y = b \, $ ...pers(ii)
$ 5x + 8y = c \, $ ...pers(iii)
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + 2y = a & \times 2 & 2x + 4y = 2a & \\ 2x + 3y = b & \times 1 & 2x + 3y = b & - \\ \hline & & y = 2a - b & \end{array} $
Pers(i):
$ x + 2y = a \rightarrow x + 2(2a-b) = a \rightarrow x = -3a + 2b $
*). Menentukan hasil $ c $ :
$ \begin{align} c & = 5x + 8y \\ & = 5(-3a + 2b) + 8(2a - b) \\ & = -15a + 10b + 16a -8b \\ & = a + 2b \end{align} $
Jadi, nilai $ c = a + 2b. \, \heartsuit $

Pembahasan Limit SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{bx^2 + 15x + 15 + b }{x^2 + x - 2} \, $ ada, maka nilai $ b $ dan nilai lmit tersebut berturut-turut adalah ....
A). 1 dan 0
B). 1 dan 1
C). 3 dan $ -1 $
D). 3 dan 1
E). 5 dan 0

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*).Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(k)}{0} $ ada jika $ f(k) = 0 $ yang kita sebut sebagai limit bentuk tak tentu yang hasilnya $ \frac{0}{0} $.
*). Penerapan turunan (Dalil L'Hopital) :
Limit bentuk tak tentu dapat diselesaikan dengan turunan sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $ yaitu : $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.
*). Selain menggunakan turunan, bisa juga menggunakan pemfaktoran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ b $ :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{bx^2 + 15x + 15 + b }{x^2 + x - 2} \\ & = \frac{b.(-2)^2 + 15.(-2) + 15 + b }{(-2)^2 + (-2) - 2} \\ & = \frac{4b -30 + 15 + b }{4 - 2 - 2} \\ & = \frac{5b -15}{0} \end{align} $
Agar limitnya ada, maka hasilnya harus bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ , sehingga :
$ \frac{5b -15}{0} = \frac{0}{0} \rightarrow 5b - 15 = 0 \rightarrow b = 3 $.
*). Menentukan hasil limitnya dengan $ b = 0 $ dan dalil L'Hopital :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{bx^2 + 15x + 15 + b }{x^2 + x - 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 15x + 15 + 3 }{x^2 + x - 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 15x + 18 }{x^2 + x - 2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{6x + 15}{2x + 1} \\ & = \frac{6.(-2) + 15}{2.(-2) + 1} \\ & = \frac{3}{-3} = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ b $ dan limitnya adalah 3 dan $ -1 . \, \heartsuit $