Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan kubus ABCD.EFGH dan P adalah titik tengah BC. Perbandingan luas segitiga APG dan luas segitiga DPG adalah .....
A). $ 1 : 1 \, $ B). $ \sqrt{3} : \sqrt{2} \, $ C). $ \sqrt{2} : 1 \, $ D). $ 3 : 2 \, $ E). $ \sqrt{3} : 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2}.a.t $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar, misalkan panjang rusuk kubus = 2
 

-). Panjang $ AG = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ (diagonal ruang)
$ AM = MG = \frac{1}{2}.AG = \sqrt{3} $
-). Panjang $ DG = s\sqrt{2} = 2\sqrt{2} $ (diagonal bidang)
$ DN = NG = \frac{1}{2}.DG = \sqrt{2} $
-). Segitiga ABP :
$ AP = \sqrt{AB^2 + BP^2} = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5} $
Panjang $ AP = DP = GP $.
-). Segitiga APG :
$ MP = \sqrt{PG^2 - MG^2} = \sqrt{\sqrt{5}^2 - \sqrt{3}^2} = \sqrt{2} $
-). Segitiga DPG :
$ NP = \sqrt{PG^2 - NG^2} = \sqrt{\sqrt{5}^2 - \sqrt{2}^2} = \sqrt{3} $
*). Menentukan luas segitiga APG :
$\begin{align} \text{Luas APG } & = \frac{1}{2}.AG.MP \\ & = \frac{1}{2}.2\sqrt{3} . \sqrt{2} \\ & = \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga DPG :
$\begin{align} \text{Luas DPG } & = \frac{1}{2}.DG.NP \\ & = \frac{1}{2}.2\sqrt{2} . \sqrt{3} \\ & = \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan perbandinan luasnya :
$\begin{align} \text{Luas APG } : \text{ Luas DPG } & = \sqrt{6} : \sqrt{6} \\ & = 1 : 1 \end{align} $
Jadi, perbandingan luasnya $ 1 : 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x^2+2xy+4x=-3 $ dan $ 9y^2+4xy+12y=-1 $. Nilai dari $ x + 3y $ adalah .....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan metode eliminasi atau substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ x^2+2xy+4x=-3 \, \, $ ......(i)
$ 9y^2+4xy+12y=-1 \, $ ......(ii)
*). Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} x^2+2xy+4x=-3 & \\ 9y^2+4xy+12y=-1 & + \\ \hline \end{array} $
$ x^2 + 6xy + 9y^2 + 4x + 12y = -4 $
*). Kita ubah bentuk persamaan terakhir :
Misalkan $ x + 3y = p $
$ \begin{align} x^2 + 6xy + 9y^2 + 4x + 12y & = -4 \\ x^2 + 6xy + 9y^2 + 4(x + 3y) & = -4 \\ (x + 3y)^2 + 4(x + 3y) & = -4 \\ p^2 + 4p & = -4 \\ p^2 + 4p + 4 & = 0 \\ (p + 2)^2 & = 0 \\ p + 2 & = 0 \\ p & = -2 \end{align} $
Artinya : $ p = -2 \rightarrow x + 3y = -2 $.
Jadi, nilai $ x + 3y = -2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 $ untuk $ \frac{\pi}{2}< x < \pi $ , maka $ \tan 2x = ... $
A). $ -\sqrt{3} \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah trigonometri :
$ \sin A + \sin B = 2\sin \left( \frac{A+B}{2} \right)\cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $
*). Nilai trigonometri :
Untuk $ 90^\circ < x < 180^\circ $ berlaku :
$ \cos x = -\frac{1}{2} \rightarrow x = 120^\circ $.
Nilai $ \tan 240^\circ = \tan (180^\circ + 60^\circ ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} \sin x + \sin 2x + \sin 3x & = 0 \\ ( \sin 3x + \sin x ) + \sin 2x & = 0 \\ 2\sin \left( \frac{3x+x}{2} \right)\cos \left( \frac{3x-x}{2} \right) + \sin 2x & = 0 \\ 2\sin 2x \cos x + \sin 2x & = 0 \\ \sin 2x ( 2 \cos x + 1) & = 0 \\ \sin 2x = 0 \vee 2 \cos x + 1 & = 0 \\ \sin 2x = 0 \vee \cos x & = -\frac{1}{2} \end{align} $
Karena $ \frac{\pi}{2}< x < \pi $, maka yang memenuhi $ \cos x = -\frac{1}{2} $
Untuk $ \cos x = -\frac{1}{2} \, $ maka $ x = 120^\circ $
*). Menentukan nilai $ \tan 2x $ :
$ \begin{align} \tan 2x & = \tan 2\times 120^\circ \\ & = \tan 240^\circ = \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan 2x = \sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p>0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p}=12 $ , maka nilai $ p - q $ adalah .....
A). $ 14 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan Turunan pada limit (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki penyelesaian $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Cek nilai limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p} & = 12 \\ \frac{p^3+p.p^2+q.p}{p-p} & = 12 \\ \frac{p^3+p^3+pq}{0} & = 12 \\ \frac{2p^3+pq}{0} & = 12 \end{align} $
-). Bentuk $ \frac{2p^3+pq}{0} $ jika kita hitung maka hasilnya $ \infty $, sementara hasil pada soal adalah 12, ini artinya bentuk limitnya harus tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ agar limitnya bisa kita proses lagi sehingga hasilnya menjadi 12.
$ \frac{2p^3+pq}{0} = \frac{0}{0} \rightarrow 2p^3+pq = 0 $
Bagi dengan $ p $, kita peroleh $ 2p^2 + q = 0 \rightarrow q = -2p^2 \, $ ......(i)
*). Turunan pada limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p} & = 12 \\ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{3x^2+ 2px +q}{1} & = 12 \\ 3p^2+ 2p.p +q & = 12 \\ 5p^2 +q & = 12 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi $ q = -2p^2 $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} 5p^2 +q & = 12 \\ 5p^2 + (-2p^2 ) & = 12 \\ 3p^2 & = 12 \\ p^2 & = 4 \\ p & = \pm 2 \end{align} $
Karena $ p > 0 $ , maka $ p = 2 $ yang memenuhi.
sehingga $ q = -2p^2 = -2(2)^2 = - 8 $
*). Menentukan nilai $ p - q $ :
$ \begin{align} p - q & = 2 - (-8) = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ p - q = 10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x)=(2x+1)^5 $ dan $ h=f\circ g $. Jika $ g(5)=-1 $ dan $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2$, maka $ h^\prime (5) = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 50 \, $ D). $ 60 \, $ E). $ 120 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar turunan :
$ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1}. g^\prime (x) $
$ y = f(g(x)) \rightarrow y^\prime = f^\prime (g(x)) . g^\prime (x) $
*). Komposisi fungsi :
$ ( f\circ g)(x) = f(g(x)) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunannya $ f(x) $ :
$ \begin{align} f(x) & =(2x+1)^5 \\ f^\prime (x) & = 5(2x+1)^4. 2 \\ f^\prime (x) & = 10(2x+1)^4 \\ f^\prime (-1) & = 10(2.(-1)+1)^4 \\ & = 10(-11)^4 = 10 \end{align} $
*). Diketahui $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 $, menentukan $ g^\prime (5) $ :
-). Menentukan nilai $ x $ agar menjadi $ g^\prime (5) $ :
$ \begin{align} \frac{x+1}{x-1} & = 5 \\ x + 1 & = 5x - 5 \\ 4x & = 6 \\ x & = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{align} $
-). Substitusi $ x = \frac{3}{2} $ ke $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 $
Untuk $ x = \frac{3}{2} $, maka $ \frac{x+1}{x-1} = 5 $ :
$ \begin{align} x = \frac{3}{2} \rightarrow g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right) & =2x+2 \\ g^\prime (5) & =2 (\frac{3}{2}) +2 \\ & =3 +2 \\ & =5 \end{align} $
*). Bentuk $ h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) $ :
$ \begin{align} h(x) & = f(g(x)) \\ h^\prime(x) & = f^\prime (g(x)) . g^\prime (x) \\ h^\prime(5) & = f^\prime (g(5)) . g^\prime (5) \\ & = f^\prime (-1) . 5 \\ & = 10 . 5 \\ & = 50 \end{align} $
Jadi, nilai $ h^\prime(5) = 50 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika. Diketahui $U_1\times U_2 = 10 $ dan $ U_1\times U_3 = 16 $. Jika suku-suku dari barisan aritmetika tersebut merupakn bilangan positif, maka $ U_{10} = .... $
A). $ 21 \, $ B). $ 23 \, $ C). $ 25 \, $ D). $ 27 \, $ E). $ 29 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, U_n = a+(n-1)b $
Sehingga penjabarannya :
$ U_1 = a , U_2 = a + b , U_3 = a + 2b, ...... $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaannya :
$ \begin{align} U_1.U_2 = 10 \rightarrow a (a+b) & = 10 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ U_1.U_3 = 10 \rightarrow a (a+2b) & = 16 \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Bagi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{align} \frac{a(a+b)}{a(a+2b)} & = \frac{10}{16} \\ \frac{a+b}{ a+2b} & = \frac{5}{8} \\ 8(a+b) & = 5(a + 2b) \\ 8a + 8b & = 5a + 10 b \\ 3a & = 2b \\ b & = \frac{3}{2} a \end{align} $
*). Substitusi $ 2b = 3a $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} a (a+2b) & = 16 \\ a (a+3a) & = 16 \\ a (4a) & = 16 \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm 2 \end{align} $
Karena suku-suku positif, maka $ a = 2 $ yang memenuhi.
sehingga $ b = \frac{3}{2}a = \frac{3}{2}.2 = 3 $
*). Menentukan $ U_{10} $ :
$ \begin{align} U_{10} & = a + 9b \\ & = 2 + 9. 3 = 29 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_{10} = 29 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $\left( {}^2 \log x \right)^2 - \left( {}^2 \log y \right)^2={}^2 \log 256 $ dan $ {}^2 \log x^2 - {}^2 \log y^2 = {}^2 \log 16 $ , maka nilai dari $ {}^2 \log x^6y^{-2} $ adalah .....
A). $ 24 \, $ B). $ 20 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n \, {}^a \log b $
$ {}^a \log a = 1 $
$ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
*). Pemfaktoran :
$ P^2 - Q^2 = (P+Q)(P-Q) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ {}^2 \log x = a $ dan $ {}^2 \log y = b $
*). Mengubah persamaannya :
-). Persamaan pertama :
$ \begin{align} {}^2 \log x^2 - {}^2 \log y^2 & = {}^2 \log 16 \\ 2{}^2 \log x - 2 {}^2 \log y & = {}^2 \log 2^4 \\ 2a - 2b & = 4 {}^2 \log 2 \\ 2(a - b) & = 4 \\ a - b & = 2 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ a & = b + 2 \end{align} $
-). Persamaan kedua dan gunakan pers(i) :
$ \begin{align} \left( {}^2 \log x \right)^2 - \left( {}^2 \log y \right)^2 & ={}^2 \log 256 \\ \left( a \right)^2 - \left( b \right)^2 & ={}^2 \log 2^8 \\ (a+b)(a-b) & = 8 {}^2 \log 2 \\ (a+b)(2) & = 8 \\ a + b & = 4 \\ (b + 2) + b & = 4 \\ 2b & = 2 \\ b & = 1 \end{align} $
pers(i): $ a = b + 2 = 1 + 2 = 3 $
*). Menentukan nilai $ {}^2 \log x^6y^{-2} $ :
$ \begin{align} {}^2 \log x^6y^{-2} & = {}^2 \log x^6 + {}^2 \log y^{-2} \\ & = 6 \, {}^2 \log x + (-2) \, {}^2 \log y \\ & = 6 a - 2b \\ & = 6 (3) - 2(1) \\ & = 18 - 2 = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^2 \log x^6y^{-2} = 16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku banyak $ x^4+3x^3+Ax^2+x+B $ dibagi $ x^2+2x+2 $ bersisa $ 7x+14$, maka jika dibagi $ x^2+4x+2 $ akan bersisa .....
A). $ x + 1 \, $ B). $ x + 2 \, $ C). $ x + 3 $
D). $ 2x+1 \, $ E). $ 2x + 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"

$\clubsuit $ Pembahasan
*). suku banyak $ x^4+3x^3+Ax^2+x+B $ dibagi $ x^2+2x+2 $ bersisa $ 7x+14$ :
*). Menentukan nilai $ A $ dan $ B $ dengan Metode Horner Umum :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & 3 & A & 1 & B & \\ -2 & * & -2 & -2 & -2A+8 & * & \\ -2 & * & * & -2 & -2 & -2A+8 & + \\ \hline & 1 & 1 & A-4 & -2A+11 & B-2A+8 & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = (-2A+11)x + (B-2A+8) $
sisanya sama dengan $ 7x + 14 $, sehingga :
$ -2A+11 = 7 \rightarrow A = 2 $
$ B-2A+8 = 14 \rightarrow B = 10 $
Sehingga suku banyaknya menjadi :
$ x^4+3x^3+Ax^2+x+B = x^4+3x^3+2x^2+x+10 $
*). Menentukan sisa pembagian $ x^4+3x^3+2x^2+x+10 $ dengan $ x^2+4x+2 $
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & 3 & 2 & 1 & 10 & \\ -4 & * & -4 & 4 & -8 & * & \\ -2 & * & * & -4 & 4 & -8 & + \\ \hline & 1 & -1 & 2 & 1 & 2 & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = 1x+ 2 = x + 2 $
Jadi, sisanya $ x + 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ dan $ x $ memenuhi $ 5\cos ^2 x + 3\sin x \cos x \geq 1 $ , maka himpunan semua $ y = \tan x $ adalah ....
A). $ \{y \in R : \, -1 \leq y \leq 4 \} \, $
B). $ \{y \in R : \, -4 \leq y \leq 1 \} \, $
C). $ \{y \in R : \, -4 \leq y \leq -1 \} \, $
D). $ \{y \in R : \, 1 \leq y \leq 4 \} \, $
E). $ R $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
$ \frac{\sin x}{\cos x } = \tan x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah ketaksamaannya :
$\begin{align} 5\cos ^2 x + 3\sin x \cos x & \geq 1 \\ 5\cos ^2 x + 3\sin x \cos x & \geq \sin ^2 x + \cos ^2 x \\ \sin ^2 x - 4\cos ^2 x - 3\sin x \cos x & \leq 0 \\ \text{ (bagi dengan } \, \cos ^2 x ) & \\ \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^2 - 4.1 - 3.\frac{\sin x}{\cos x} & \leq 0 \\ \left(\tan x \right)^2 - 4 - 3\tan x & \leq 0 \\ \left(\tan x \right)^2 - 3\tan x - 4 & \leq 0 \\ \text{ (substitusi } \,\tan x = y ) & \\ y^2 - 3y - 4 & \leq 0 \\ (y +1)(y-4) & \leq 0 \\ y = -1 \vee y & = 4 \\ \end{align} $
-). garis bilangannya :
 

Solusinya :
$ -1 \leq y \leq 4 $
Jadi, nilai $ y $ adalah $ \{ -1 \leq y \leq 4 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan empat matriks A, B, C, D berukuran $ 2\times 2 $ dengan $A+CB^T=CD $. Jika A mempunyai invers, $ det(D^T-B)= m $ dan $ det(C) = n $ , maka $ det(2A^{-1}) = .... $
A). $ \frac{4}{mn} \, $ B). $ \frac{mn}{4} \, $ C). $ \frac{4m}{n} \, $ D). $ 4mn \, $ E). $ \frac{m+n}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat transpose matriks :
1). $ A = (A^T)^T $
2). $ (A-B)^T = A^T -B^T $
*). Sifat-sifat determinan :
1). $ |A^T| = |A| $
2). $ |A.B| = |A|. |B| $
3). $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
4). $ |k.A_{m\times m}| = k^m. |A| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ det(D^T-B)= m $ dan $ det(C) = n $ :
*). Sifat transpose :
$ D - B^T = [(D-B^T)^T]^T = [D^T-(B^T)^T]^T = (D^T - B)^T $
*). Menentukan determinan matriks $ D - B^T $ :
$ |D - B^T| = | (D^T - B)^T | = |D^T - B | = m $
*). Menentukan determinan matriks A :
$\begin{align} A+CB^T& =CD \\ A & = CD - CB^T \\ A & = C(D - B^T) \\ |A| & = |C(D - B^T)| \\ |A| & = |C|.|(D - B^T)| \\ |A| & = n.m = mn \end{align} $
*). Menentukan $ det(2A^{-1}) $ :
$\begin{align} |2A^{-1}| & = 2^2 |A^{-1}| = 4 . \frac{1}{|A|} = 4. \frac{1}{mn} = \frac{4}{mn} \end{align} $
Jadi, nilai $ det(2A^{-1}) = \frac{4}{mn} . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Polinomial UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ (x-2)^2 $ membagi $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ , maka $ ab= .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan polinomial $ f(x) $ habis dibagi $ p(x) $ artinya $ f(x) $ adalah hasil perkalian dengan $ p(x) $ yaitu : $ f(x) = p(x). h(x) $ dengan $ h(x) $ adalah faktor lainnya.
*). Proses berikutnya tinggal menyamakan nilai koefisien suku-suku yang sejenis.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $ :
*). Bentuk faktor dari $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ :
$\begin{align} x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = (x^2-4x+4)(x^2 + px - 1) \\ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = x^4 +px^3 -x^2 - 4x^3 -4px^2 \\ & \, \, \, +4x +4x^2 + 4px - 4 \\ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = x^4 + (p-4)x^3 + (3-4p)x^2 + (4p+4)x - 4 \end{align} $
Dari kesamaan bentuk terakhir di atas, kita peroleh kesamaan berdasarkan koefisien suku-suku sejenis yaitu :
$ 4p+4 = 4 \rightarrow p = 0 $
$ -a = p-4 \rightarrow -a = 0-4 \rightarrow a = 4 $
$ b = 3-4p \rightarrow b = 3. 4.0 \rightarrow b = 3 $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Polinomial UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ (x-2)^2 $ membagi $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ , maka $ ab= .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"
*). Suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , artinya sisanya nol.
*). Suku banyak $ f(x) $ di bagi $ p(x) = ax^2+bx+c $ memiliki sisa $ s(x)= mx + n $. Jika habis dibagi, maka haruslah $ m = 0 $ dan $ n = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 $ :
Akar-akar pembaginya :
$ (x-2)^2 = 0 \rightarrow (x-2)(x-2) = 0 \rightarrow x_1 = 2 \vee x_2 = 2 $.
*). Metode Horner Khusus :
-). Bagan/skemanya yaitu :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ x_1 & * & ... & ... & ... & ... & + \\ \hline & ... & ... & ... & ... & s_1 & \\ x_2 & * & ... & ... & ... & & + \\ \hline & ... & ... & ... & s_2 & & \end{array} $
-). Kita lengkapkan bagian yang kosong(titik-titik):
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ 2 & * & 2 & -2a + 4 & 2b-4a+8 & 4b-8a+24 & + \\ \hline & 1 & -a+2 & b-2a+4 & 2b - 4a + 12 & 4b-8a +20 & \\ 2 & * & 2 & -2a+8 & 2b -8a+24 & & + \\ \hline & 1 & -a+4 & b-4a+12 & 4b-12a+36 & & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = s_2(x-x_1) + s_1 $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol, artinya :
$ s_1=0 \rightarrow 4b-8a +20 = 0 \, $ ..........(i)
$ s_2 = 0 \rightarrow 4b-12a+36 = 0 \, $ ..........(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4b-8a +20 = 0 & \\ 4b-12a+36 = 0 & - \\ \hline 4a - 16 = 0 & \\ a = 4 & \end{array} $
-). Substitusi $ a = 4 $ ke pers(i), kita peroleh $ b = 3 $.
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $

Pembahasan Polinomial UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ (x-2)^2 $ membagi $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ , maka $ ab= .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"
*). Suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , artinya sisanya nol.
*). Suku banyak $ f(x) $ di bagi $ p(x) = ax^2+bx+c $ memiliki sisa $ s(x)= mx + n $. Jika habis dibagi, maka haruslah $ m = 0 $ dan $ n = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $ :
*). Metode Horner Umum :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ 4 & * & 4 & -4a + 16 & 4b-16a+48 & * & \\ -4 & * & * & -4 & 4a - 16 & -4b+16a-48 & + \\ \hline & 1 & -a+4 & b-4a+12 & 4b - 12a + 36 & -4b+16a - 52 & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = (4b - 12a + 36)x + (-4b+16a - 52) $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol, artinya :
$ 4b - 12a + 36 = 0 \, $ ..........(i)
$ -4b+16a - 52 = 0 \, $ ..........(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4b - 12a + 36 = 0 & \\ -4b+16a - 52 = 0 & + \\ \hline 4a - 16 = 0 & \\ a = 4 & \end{array} $
-). Substitusi $ a = 4 $ ke pers(i), kita peroleh $ b = 3 $.
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Lingkaran UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $ (a,b)$ dan memotong sumbu-X di titik $ (3,0) $ dan $ (9,0) $. Jika garis yang melalui titik $ (0,3) $ menyinggung lingkaran di titik $ (3,0) $, maka nilai dari $ a^2-b^2 $ adalah ....
A). $ 9 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 27 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 45 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis melalui dua titik $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } $
*). Dua garis tegak lurus :
$ m_1. m_2 = - 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Sketsa gambar lingkaran dan garisnya :
 

*). Perhatikan sketsa gambar lingkaran di atas, pusat lingkarannya $ (a,b) $ dimana $ a $ adalah absis yang nilainya ditengah-tengah $ x = 3 $ dan $ x = 9 $, sehingga $ a = \frac{3+9}{2} = 6 $.
*). Menentukan gradien :
-). garis melalui titik $(0,3) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{3-0}{0-3} = -1 $
-). garis melalui titik $(a,b) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{b-0}{a-3} = \frac{b}{a-3} $
-). Kedua garis saling tegak lurus :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ -1.\frac{b}{a-3} & = -1 \\ b & = a - 3 \, \, \, \, \, \, .....\text{(i)} \end{align} $
-). Substitusi nilai $ a = 6 $ ke pers(i) :
$ b = a- 3 = 6 - 3 = 3 $
*). Menentukan nilai $ a^2-b^2 $ :
$\begin{align} a^2-b^2 & = 6^2 - 3^2 = 27 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2-b^2 = 27 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $ (a,b)$ dan memotong sumbu-X di titik $ (3,0) $ dan $ (9,0) $. Jika garis yang melalui titik $ (0,3) $ menyinggung lingkaran di titik $ (3,0) $, maka nilai dari $ a^2-b^2 $ adalah ....
A). $ 9 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 27 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 45 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran berpusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $ (a,b) $ dan $ (m,n) $ :
Jarak $ = \sqrt{(a-m)^2 + (b - n)^2} $
*). Gradien garis melalui dua titik $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } $
*). Dua garis tegak lurus :
$ m_1. m_2 = - 1 $
(perkalian kedua gradiennya = $ - 1 $)
*). Titik yang dilalui oleh lingkaran maka titik tersebut bisa disubstitusikan ke persamaan lingkarannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Sketsa gambar lingkaran dan garisnya :
 

*). Menentukan gradien :
-). garis melalui titik $(0,3) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{3-0}{0-3} = -1 $
-). garis melalui titik $(a,b) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{b-0}{a-3} = \frac{b}{a-3} $
-). Kedua garis saling tegak lurus :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ -1.\frac{b}{a-3} & = -1 \\ b & = a - 3 \, \, \, \, \, \, .....\text{(i)} \end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran :
Jari-jari lingkaran = jarak titik $ (a,b) $ ke titik $(3,0) $
$\begin{align} r & = \sqrt{(a-3)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(a-3)^2 + b^2} \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (\sqrt{(a-3)^2 + b^2})^2 \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \end{align} $
*). Substitusi titik $ (9,0) $ ke persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 + (0-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 + b^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 & = (a-3)^2 \\ 81 - 18a + a^2 & = a^2 - 6a + 9 \\ 12a & = 72 \\ a & = 6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a- 3 = 6 - 3 = 3 $
*). Menentukan nilai $ a^2-b^2 $ :
$\begin{align} a^2-b^2 & = 6^2 - 3^2 = 27 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2-b^2 = 27 . \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a < x < b $ adalah solusi pertidaksamaan $ 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... > 2 $ , dengan $ x \neq 1 $, maka $ a + b = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Akar-akar dari penyebut sebuah pecahan selalu tidak ikut jadi penyelesaian agar penyebutnya tidak bernilai nol.
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Deret Geometri tak hingga :
$ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + ...... = s_\infty $
dengan $ s_\infty = \frac{u_1}{1-r} $ dimana $ r = \frac{u_2}{u_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x = p $
Bentuk $ 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... = s_\infty $
dengan $ u_1 = 1 $ dan $ r = \frac{2^x}{1} = 2^x $
*). Menentukan akar-akarnya :
$\begin{align} 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... & > 2 \\ s_\infty & > 2 \\ \frac{u_1}{1-r} & > 2 \\ \frac{1}{1-2^x} & > 2 \\ \frac{1}{1-2^x} - 2 & > 0 \\ \frac{1}{1-2^x} - \frac{2(1-2^x)}{1-2^x} & > 0 \\ \frac{1 - 2 + 2. 2^x}{1-2^x} & > 0 \\ \frac{2. 2^x - 1 }{1-2^x} & > 0 \\ \frac{2p - 1 }{1-p} & > 0 \end{align} $

-). Akar-akarnya :
$ 2p-1 = 0 \rightarrow p = \frac{1}{2} $
$ 1 - p = 0 \rightarrow p = 1 $
-). Menentukan nilai $ x $ dari nilai $ p $ :
$ p = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x = 2^{-1} \rightarrow x = -1 $
$ p = 1 \rightarrow 2^x = 1 \rightarrow x = 0 $
-). Garis bilangannya :
 

-). Himpunan penyelesaiannya :
HP $ = \{ -1 < x < 0 \} $
Penyelesaian ini sama dengan :
$ a < x < b $
Sehingga $ a = -1 $ dan $ b = 0 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = -1 + 0 = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = -1 . \, \heartsuit $