Cara 2 Pembahasan Polinomial UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ (x-2)^2 $ membagi $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ , maka $ ab= .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"
*). Suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , artinya sisanya nol.
*). Suku banyak $ f(x) $ di bagi $ p(x) = ax^2+bx+c $ memiliki sisa $ s(x)= mx + n $. Jika habis dibagi, maka haruslah $ m = 0 $ dan $ n = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 $ :
Akar-akar pembaginya :
$ (x-2)^2 = 0 \rightarrow (x-2)(x-2) = 0 \rightarrow x_1 = 2 \vee x_2 = 2 $.
*). Metode Horner Khusus :
-). Bagan/skemanya yaitu :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ x_1 & * & ... & ... & ... & ... & + \\ \hline & ... & ... & ... & ... & s_1 & \\ x_2 & * & ... & ... & ... & & + \\ \hline & ... & ... & ... & s_2 & & \end{array} $
-). Kita lengkapkan bagian yang kosong(titik-titik):
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ 2 & * & 2 & -2a + 4 & 2b-4a+8 & 4b-8a+24 & + \\ \hline & 1 & -a+2 & b-2a+4 & 2b - 4a + 12 & 4b-8a +20 & \\ 2 & * & 2 & -2a+8 & 2b -8a+24 & & + \\ \hline & 1 & -a+4 & b-4a+12 & 4b-12a+36 & & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = s_2(x-x_1) + s_1 $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol, artinya :
$ s_1=0 \rightarrow 4b-8a +20 = 0 \, $ ..........(i)
$ s_2 = 0 \rightarrow 4b-12a+36 = 0 \, $ ..........(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4b-8a +20 = 0 & \\ 4b-12a+36 = 0 & - \\ \hline 4a - 16 = 0 & \\ a = 4 & \end{array} $
-). Substitusi $ a = 4 $ ke pers(i), kita peroleh $ b = 3 $.
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $

Pembahasan Polinomial UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ (x-2)^2 $ membagi $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ , maka $ ab= .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"
*). Suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , artinya sisanya nol.
*). Suku banyak $ f(x) $ di bagi $ p(x) = ax^2+bx+c $ memiliki sisa $ s(x)= mx + n $. Jika habis dibagi, maka haruslah $ m = 0 $ dan $ n = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $ :
*). Metode Horner Umum :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ 4 & * & 4 & -4a + 16 & 4b-16a+48 & * & \\ -4 & * & * & -4 & 4a - 16 & -4b+16a-48 & + \\ \hline & 1 & -a+4 & b-4a+12 & 4b - 12a + 36 & -4b+16a - 52 & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = (4b - 12a + 36)x + (-4b+16a - 52) $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol, artinya :
$ 4b - 12a + 36 = 0 \, $ ..........(i)
$ -4b+16a - 52 = 0 \, $ ..........(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4b - 12a + 36 = 0 & \\ -4b+16a - 52 = 0 & + \\ \hline 4a - 16 = 0 & \\ a = 4 & \end{array} $
-). Substitusi $ a = 4 $ ke pers(i), kita peroleh $ b = 3 $.
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Lingkaran UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $ (a,b)$ dan memotong sumbu-X di titik $ (3,0) $ dan $ (9,0) $. Jika garis yang melalui titik $ (0,3) $ menyinggung lingkaran di titik $ (3,0) $, maka nilai dari $ a^2-b^2 $ adalah ....
A). $ 9 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 27 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 45 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis melalui dua titik $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } $
*). Dua garis tegak lurus :
$ m_1. m_2 = - 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Sketsa gambar lingkaran dan garisnya :
 

*). Perhatikan sketsa gambar lingkaran di atas, pusat lingkarannya $ (a,b) $ dimana $ a $ adalah absis yang nilainya ditengah-tengah $ x = 3 $ dan $ x = 9 $, sehingga $ a = \frac{3+9}{2} = 6 $.
*). Menentukan gradien :
-). garis melalui titik $(0,3) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{3-0}{0-3} = -1 $
-). garis melalui titik $(a,b) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{b-0}{a-3} = \frac{b}{a-3} $
-). Kedua garis saling tegak lurus :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ -1.\frac{b}{a-3} & = -1 \\ b & = a - 3 \, \, \, \, \, \, .....\text{(i)} \end{align} $
-). Substitusi nilai $ a = 6 $ ke pers(i) :
$ b = a- 3 = 6 - 3 = 3 $
*). Menentukan nilai $ a^2-b^2 $ :
$\begin{align} a^2-b^2 & = 6^2 - 3^2 = 27 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2-b^2 = 27 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $ (a,b)$ dan memotong sumbu-X di titik $ (3,0) $ dan $ (9,0) $. Jika garis yang melalui titik $ (0,3) $ menyinggung lingkaran di titik $ (3,0) $, maka nilai dari $ a^2-b^2 $ adalah ....
A). $ 9 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 27 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 45 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran berpusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $ (a,b) $ dan $ (m,n) $ :
Jarak $ = \sqrt{(a-m)^2 + (b - n)^2} $
*). Gradien garis melalui dua titik $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } $
*). Dua garis tegak lurus :
$ m_1. m_2 = - 1 $
(perkalian kedua gradiennya = $ - 1 $)
*). Titik yang dilalui oleh lingkaran maka titik tersebut bisa disubstitusikan ke persamaan lingkarannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Sketsa gambar lingkaran dan garisnya :
 

*). Menentukan gradien :
-). garis melalui titik $(0,3) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{3-0}{0-3} = -1 $
-). garis melalui titik $(a,b) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{b-0}{a-3} = \frac{b}{a-3} $
-). Kedua garis saling tegak lurus :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ -1.\frac{b}{a-3} & = -1 \\ b & = a - 3 \, \, \, \, \, \, .....\text{(i)} \end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran :
Jari-jari lingkaran = jarak titik $ (a,b) $ ke titik $(3,0) $
$\begin{align} r & = \sqrt{(a-3)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(a-3)^2 + b^2} \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (\sqrt{(a-3)^2 + b^2})^2 \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \end{align} $
*). Substitusi titik $ (9,0) $ ke persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 + (0-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 + b^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 & = (a-3)^2 \\ 81 - 18a + a^2 & = a^2 - 6a + 9 \\ 12a & = 72 \\ a & = 6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a- 3 = 6 - 3 = 3 $
*). Menentukan nilai $ a^2-b^2 $ :
$\begin{align} a^2-b^2 & = 6^2 - 3^2 = 27 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2-b^2 = 27 . \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a < x < b $ adalah solusi pertidaksamaan $ 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... > 2 $ , dengan $ x \neq 1 $, maka $ a + b = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Akar-akar dari penyebut sebuah pecahan selalu tidak ikut jadi penyelesaian agar penyebutnya tidak bernilai nol.
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Deret Geometri tak hingga :
$ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + ...... = s_\infty $
dengan $ s_\infty = \frac{u_1}{1-r} $ dimana $ r = \frac{u_2}{u_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x = p $
Bentuk $ 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... = s_\infty $
dengan $ u_1 = 1 $ dan $ r = \frac{2^x}{1} = 2^x $
*). Menentukan akar-akarnya :
$\begin{align} 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... & > 2 \\ s_\infty & > 2 \\ \frac{u_1}{1-r} & > 2 \\ \frac{1}{1-2^x} & > 2 \\ \frac{1}{1-2^x} - 2 & > 0 \\ \frac{1}{1-2^x} - \frac{2(1-2^x)}{1-2^x} & > 0 \\ \frac{1 - 2 + 2. 2^x}{1-2^x} & > 0 \\ \frac{2. 2^x - 1 }{1-2^x} & > 0 \\ \frac{2p - 1 }{1-p} & > 0 \end{align} $

-). Akar-akarnya :
$ 2p-1 = 0 \rightarrow p = \frac{1}{2} $
$ 1 - p = 0 \rightarrow p = 1 $
-). Menentukan nilai $ x $ dari nilai $ p $ :
$ p = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x = 2^{-1} \rightarrow x = -1 $
$ p = 1 \rightarrow 2^x = 1 \rightarrow x = 0 $
-). Garis bilangannya :
 

-). Himpunan penyelesaiannya :
HP $ = \{ -1 < x < 0 \} $
Penyelesaian ini sama dengan :
$ a < x < b $
Sehingga $ a = -1 $ dan $ b = 0 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = -1 + 0 = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = -1 . \, \heartsuit $