Soal yang Akan Dibahas
Diketahui suatu barisan aritmetika yang terdiri atas empat suku. Jika hasil kali tiga suku
pertamanya adalah 10, hasil kali tiga suku terakhirnya adalah $ -8 $, dan hasil penjumlahan
dua suku tengahnya adalah $ -1 $, maka hasil kali dua suku tengahnya adalah ...
A). $ -5 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 10 $
A). $ -5 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 10 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, \, u_n = a + (n-1) b $
Keterangan :
$ u_n = \, $ suku ke-$n$
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, \, u_n = a + (n-1) b $
Keterangan :
$ u_n = \, $ suku ke-$n$
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui empat suku, dua suku tenganhnya adalah $ u_2 $ dan $ u_3 $ :
$ u_1 = a, u_2 = a+b, u_3 = a+2b , $ dan $ u_4 = a+3b $
*). Menyusun persamaan :
-). hasil kali tiga suku pertamanya = 10
$\begin{align} u_1.u_2.u_3 & = 10 \\ a. (a+b). (a+2b) & = 10 \\ (a+b). (a+2b) & = \frac{10}{a} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
-). hasil kali tiga suku terakhirnya $ = -8 $
$\begin{align} u_2.u_3.u_4 & = -8 \\ (a+b). (a+2b).(a+3b) & = -8 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
-). hasil penjumlahan dua suku tengahnya $ = -1 $
$\begin{align} u_2 + u_3 & = -1 \\ (a+b) + (a+2b) & = -1 \\ 2a + 3b & = -1 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Substitusi (i) ke (ii) :
$\begin{align} (a+b). (a+2b).(a+3b) & = -8 \\ \frac{10}{a}. (a+3b) & = -8 \\ 10(a+3b) & = -8a \\ 18a + 30b & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ 3a + 5b & = 0 \\ a & = -\frac{5b}{3} \end{align} $
-). Substitusi $ a = -\frac{5b}{3} $ ke pers(iii) :
$\begin{align} 2a + 3b & = -1 \\ 2 \left( -\frac{5b}{3} \right) + 3b & = -1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ -10b + 9b & = -3 \\ -b & = -3 \\ b & = 3 \end{align} $
sehingga $ a = -\frac{5b}{3} = -\frac{5\times 3}{3} = -5 $
*). Menentukan hasil kali dua suku tengahnya adalah :
$\begin{align} u_2 \times u_3 & = (a+b).(a+2b) \\ & = (-5 + 3).(-5 + 2.3) \\ & = (-2) . 1 \\ & = -2 \end{align} $
Jadi, nilai $ u_2 \times u_3 = -2 . \, \heartsuit $
*). Diketahui empat suku, dua suku tenganhnya adalah $ u_2 $ dan $ u_3 $ :
$ u_1 = a, u_2 = a+b, u_3 = a+2b , $ dan $ u_4 = a+3b $
*). Menyusun persamaan :
-). hasil kali tiga suku pertamanya = 10
$\begin{align} u_1.u_2.u_3 & = 10 \\ a. (a+b). (a+2b) & = 10 \\ (a+b). (a+2b) & = \frac{10}{a} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
-). hasil kali tiga suku terakhirnya $ = -8 $
$\begin{align} u_2.u_3.u_4 & = -8 \\ (a+b). (a+2b).(a+3b) & = -8 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
-). hasil penjumlahan dua suku tengahnya $ = -1 $
$\begin{align} u_2 + u_3 & = -1 \\ (a+b) + (a+2b) & = -1 \\ 2a + 3b & = -1 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Substitusi (i) ke (ii) :
$\begin{align} (a+b). (a+2b).(a+3b) & = -8 \\ \frac{10}{a}. (a+3b) & = -8 \\ 10(a+3b) & = -8a \\ 18a + 30b & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ 3a + 5b & = 0 \\ a & = -\frac{5b}{3} \end{align} $
-). Substitusi $ a = -\frac{5b}{3} $ ke pers(iii) :
$\begin{align} 2a + 3b & = -1 \\ 2 \left( -\frac{5b}{3} \right) + 3b & = -1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ -10b + 9b & = -3 \\ -b & = -3 \\ b & = 3 \end{align} $
sehingga $ a = -\frac{5b}{3} = -\frac{5\times 3}{3} = -5 $
*). Menentukan hasil kali dua suku tengahnya adalah :
$\begin{align} u_2 \times u_3 & = (a+b).(a+2b) \\ & = (-5 + 3).(-5 + 2.3) \\ & = (-2) . 1 \\ & = -2 \end{align} $
Jadi, nilai $ u_2 \times u_3 = -2 . \, \heartsuit $
