Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2003 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(2x-3\sqrt{x} +1 )(\sqrt{x}-1)}{(x-1)^2} = .... $
$\clubsuit \, $ Pemfaktoran
$ p^2 - q^2 = (p-q)(p+q) $
Sehingga : $ x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x}+1) $
$\clubsuit \, $ Merasionalkan bentuk akar
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(2x-3\sqrt{x} +1 )(\sqrt{x}-1)}{(x-1)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(\sqrt{x}-1)[(2x+1) -3\sqrt{x} ]}{(x-1)(x-1)} . \frac{(2x+1) + 3\sqrt{x}}{(2x+1) + 3\sqrt{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(\sqrt{x}-1)[(2x+1)^2 -(3\sqrt{x}^2 ]}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{4x^2 + 4x + 1 - 9x}{(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{4x^2 - 5x + 1}{(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(4x-1)(x-1)}{(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(4x-1)}{(\sqrt{x}+1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \frac{(4.1-1)}{(\sqrt{1}+1)[(2.1+1) + 3\sqrt{1}]} \\ & = \frac{(4-1)}{(2)[2 + 1 + 3]} \\ & = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{1}{4} . \heartsuit $
Nomor 12
Vektor $ \vec{u} = 3\vec{i}+4\vec{j}+x\vec{k} \, $ dan $ \, \vec{v} = 2\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}. \, $ Jika panjang proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \, \vec{v} \, $ adalah 6, maka $ x = ..... $
$\spadesuit \, $ Panjang proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $
panjang = $ \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} $
$\spadesuit \, $ mementukan $ \vec{u}.\vec{v} \, $ dan $ |\vec{v}| $
$ \vec{u} = 3\vec{i}+4\vec{j}+x\vec{k} \, $ dan $ \, \vec{v} = 2\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k} $
$\begin{align} \vec{u}.\vec{v} & = 3.2+4.3+x.(-6) = 18 - 6x \\ |\vec{v}| & = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2 } = \sqrt{49} = 7 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dengan panjang proyeksi = 6
$\begin{align} \text{panjang} & = \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \\ 6 & = \frac{18 - 6x}{7} \, \, \text{(bagi 6)} \\ 1 & = \frac{3 - x}{7} \\ 7 & = 3-x \\ x = -4 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -4. \heartsuit $
Nomor 13
Akan disusun suatu tim peneliti yang terdiri dari 2 orang matematikawan dan 3 orang teknisi. Jika calon yang tersedia 3 orang matematikawan dan 5 orang teknisi, maka banyak cara menyusun tim tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Ada 3 orang matematikawan dan 5 orang teknisi, akan dipilih 2 orang matematikawan dan 3 orang teknisi.
$\spadesuit \, $ Pada kasus ini urutan orang tidak diperhatikan sehingga menggunakan kombinasi
Total cara = $ C_2^3. C_3^5 = 3 . 10 = 30 \, $ cara
Keterangan :
$ C_2^3 \, $ artinya memilih 2 orang dari 3 orang matematikawan
$ C_3^5 \, $ artinya memilih 3 orang dari 5 orang teknisi
Jadi, ada 30 cara penyusunan tim. $ \heartsuit $
Nomor 14
Jika A, B, dan C matriks 2 $\times $ 2 yang memenuhi $AB = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \, $ dan $ \, CB = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . $ Maka $ CA^{-1} \, $ adalah .....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar invers
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
Sifat - sifat pada matriks :
$A.A^{-1} = A^{-1} . A = I $
$A.I = I.A = A $
$(AB)^{-1} = B^{-1}. A^{-1} $
$\spadesuit \, $ inverskan bentuk $ AB $
$\begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ (AB)^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right)^{-1} \\ B^{-1}. A^{-1} & = \frac{1}{0.0-(-1).1} \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ B^{-1}. A^{-1} & = \frac{1}{1} \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ B^{-1}. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Mengalikan bentuk $ CB $ dan ($ B^{-1} A^{-1} $)
$\begin{align} (CB).(B^{-1}. A^{-1}) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ C.(B.B^{-1}) . A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ C.I. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ C A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, nilai $ C A^{-1} = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui $ \int f(x)dx = ax^2 + bx + c \, $ dan $ a \neq 0 \, $. Jika $ a, \, f(a), \, 2b \, $ merupakan barisan aritmetika, dan $ f(b) = 6 , $ maka $ \int \limits_0^1 f(x) dx = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar :
$ f(x) = [\int f(x) dx]^\prime \, $ (turunan dari integralnya)
$\clubsuit \, $ Menentukan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} \int f(x)dx & = ax^2 + bx + c \\ f(x) & = [\int f(x) dx]^\prime \, \, \text{(turunannya)} \\ f(x) & = 2ax + b \\ x=a \rightarrow f(a) & = 2a.a + b = 2a^2 + b \end{align}$
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ a, \, f(a), \, 2b \, $
Selisih sama :
$\begin{align} f(a) - a & = 2b - f(a) \\ 2f(a) & = a + 2b \\ 2(2a^2 + b) & = a + 2b \\ 4a^2 - a & = 0 \\ a(4a-1) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = \frac{1}{4} \end{align}$
Karena $ a \neq 0, \, $ maka $ a = \frac{1}{4} \, $ yang memenuhi.
sehingga : $ f(x) = 2ax + b = 2. \frac{1}{4}x + b \rightarrow f(x) = \frac{1}{2}x + b $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ b $ dengan $ f(b) = 6 $
$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{2}x + b \\ f(b) & = 6 \\ \frac{1}{2}b + b & = 6 \\ b & = 4 \end{align}$
Sehingga $ f(x) = \frac{1}{2}x + b \rightarrow f(x) = \frac{1}{2}x + 4 $
$\clubsuit \, $ Menentukan integralnya
$\begin{align} \int \limits_0^1 f(x) dx & = \int \limits_0^1 (\frac{1}{2}x + 4) dx \\ & = (\frac{1}{4}x^2 + 4x )_0^1 \\ & = (\frac{1}{4}. 1^2 + 4.1 ) - (0 ) & = \frac{17}{4} \end{align}$
Jadi, nilai $ \int \limits_0^1 f(x) dx = \frac{17}{4} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2003 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya $ 2 a $ . Jika P titik tengah BF dan Q titik tengah EH, maka panjang PQ = ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_mat_ipa_3_2003.png
Segitiga KEQ , $ KQ = \sqrt{KE^2+ EQ^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang PQ
$\begin{align} PQ & = \sqrt{PK^2 + KQ^2} \\ & = \sqrt{(2a)^2 + (a\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{4a^2 + 2a^2} \\ & = a\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, panjang $ PQ = a\sqrt{6} . \heartsuit $
Nomor 7
Jika $ 3^{x+2} + 9^{x+1} = 810 , \, $ maka $ 3^{x-3} = ..... $
$\clubsuit \, $ Sifat eksponen
$a^{m+n} = a^m.a^n , \, \, a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}, \, a^{-n} = \frac{1}{a^n} , \, $
dan $ \, (a^m)^n = a^{mn} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan persamaan dengan $ \, p = 3^x \, $ (positif)
$\begin{align} 3^{x+2} + 9^{x+1} & = 810 \\ 3^x.3^2 + 9^x . 9^1 - 810 & = 0 \\ 9.3^x + 9.(3^2)^x - 810 & = 0 \\ 9.3^x + 9.(3^x)^2 - 810 & = 0 \, \, \, \text{(bagi 9)} \\ 3^x + (3^x)^2 - 90 & = 0 \, \, \, \text{(substitusi } \, p = 3^x ) \\ p + p^2 - 90 & = 0 \\ (p-9)(p+10) & = 0 \\ p=9 \vee p & = -10 \\ p=9 \rightarrow 3^x & = 9 \rightarrow x = 2 \\ p=-10 \rightarrow & \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$
Sehingga nilai : $ 3^{x-3} = 3^{2-3} = 3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3} $
Jadi, nilai $ 3^{x-3} = \frac{1}{3} . \heartsuit$
Nomor 8
Jika gambar di bawah ini adalah grafik $ y = \frac{df(x)}{dx} \, $
spmb_mat_ipa_1_2003.png
Maka dapat disimpulkan bahwa fungsi $ f(x) $ .....
A. mencapai nilai maksimum di $ x = 1 $
B. mencapai nilai minimum di $ x = -1 $
C. naik pada interval $ \{x | x < 1 \} $
D. selalu memotong sumbu Y di titik (0,3)
E. merupakan fungsi kuadrat
$\spadesuit \, $ Gambar adalah grafik $ y = \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ y = f^\prime (x), \, $ artinya grafik di atas adalah grafik turunan pertamanya.
$\spadesuit \, $ Konsep dasar turunan pertama
Syarat stasioner (nilai max/min) : $ f^\prime (x) = 0 $
interval naik : $ f^\prime (x) > 0 $
interval turun : $ f^\prime (x) < 0 $
$\spadesuit \, $ Analisa grafik turunannya
*). Titik potong sumbu X nya saat $ f^\prime (x) = 0 $ adalah $ x = -1 $ dan $ x = 3 $ , artinya stasionernya (nilai maksimum atau minimum) saat $ x = -1 $ dan $ x = 3 $ .
*). Untuk $ x < -1 \, $ grafik ada di bawah sumbu X artinya $ f^\prime (x) < 0 \, $ (nilai turunannya negatif), untuk $ -1 < x < 3 \, $ nilai $ f^\prime (x) > 0 \, $ dan $ x > 3 \, $ nilai $ f^\prime (x) < 0 $
spmb_mat_ipa_4_2003.png
artinya fungsi $ f(x) $ maksimum saat $ x = 3 \, $ dan minimum saat $ x = -1 $
Jadi, fungsi $ f(x) \, $ mencapai minimum di $ x = -1. \heartsuit$
Nomor 9
Diketahui salah satu asimtot dari $ \frac{x^2}{4} - \frac{f^2}{b^2} = 1 \, $ sejajar dengan garis $ 6x - 3y + 5 = 0, \, $ maka $ b^2 = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar Hiperbola $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
Persamaan asimtotnya : $ y = \frac{b}{a}x \, $ dan $ \, y = -\frac{b}{a}x $
$\clubsuit \, $ Hiperbola $ \frac{x^2}{4} - \frac{f^2}{b^2} = 1 \, $ sama dengan $ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \, $
Memiliki asimtot :
$ y = \frac{b}{a}x \rightarrow y = \frac{b}{2}x \rightarrow m_1 = \frac{b}{2} $
$ y = -\frac{b}{a}x \rightarrow y = -\frac{b}{2}x \rightarrow m_1 = -\frac{b}{2} $
$\clubsuit \, $ Gradien garis : $ 6x - 3y + 5 = 0 $
$ m = \frac{-x}{y} = \frac{-6}{-3} = 2 $
$\clubsuit \, $ Gradien garis positif, dan asimtot sama dengan gradien garis, sehingga gradien salah satu asimtot sama dengan gradien garis. Karena gradiennya positif, maka garis naik, dan asimtot yang gradiennya positif adalah $ y = \frac{b}{2}x \rightarrow m_1 = \frac{b}{2} $
Gradien sama : $ m_1 = m \rightarrow \frac{b}{2} = 2 \rightarrow b = 4 $
Sehingga nilai $ b^2 = 4^2 = 16 $
Jadi, nilai $ b^2 = 16 . \heartsuit $
Nomor 10
Fungsi $ f(x) = (a+4)x^2 - ax\sqrt{2} + ( a-3) \, $ bernilai tak negatif jika ....
$\spadesuit \, $ Fungsi $ f(x) $ tak negatif, artinya selalu positif (definit positif)
Syarat Definit positif : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
$\spadesuit \, $ Fungsi $ f(x) = (k+4)x^2 - kx\sqrt{2} + ( k-3) \, $
$ a = k+4 , \, b = -k\sqrt{2}, \, c = k - 3 $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan syarat definit positif
*). $ a > 0 \rightarrow k+4 > 0 \rightarrow k > -4 \, $ ...(HP1)
*). Karena tak negatif, berarti nol boleh ikut ($D \leq 0 $)
$\begin{align} D & \leq 0 \\ b^2 - 4ac & \leq 0 \\ (-k\sqrt{2})^2 - 4(k+4)(k-3) & \leq 0 \\ 2k^2 - 4k^2 - 4k + 48 & \leq 0 \\ -2k^2 - 4k + 48 & \leq 0 \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ k^2 + 2k - 24 & \geq 0 \\ (k-4)(k+6) & = 0 \\ k = 4 \vee k & = -6 \end{align}$
spmb_mat_ipa_5_2003.png
HP2 = $ \{ k \leq -6 \vee k \geq 4 \} $
Sehingga solusinya : HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ k \geq 4 \} $
Jadi, solusinya $ HP = \{ k \geq 4 \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2003


Nomor 1
Hasil kali suku kedua dan suku keempat dari suatu barisan geometri yang semua sukunya positif adalah 16. Jika jumlah tiga suku pertamanya adalah 7, maka suku pertamanya adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan geometri : $ U_n = ar^{n-1} $
$\clubsuit \, $ Hasil kali suku kedua dan keempat
$\begin{align} U_2.U_4 & = 16 \\ ar . ar^3 & = 16 \\ (ar^2)^2 & = 16 \\ ar^2 & = 4 \, \, \, \text{...pers(i)} \\ a & = \frac{4}{r^2} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Jumlah tiga suku pertama dan dari pers(i)
$\begin{align} U_1 + U_2 + U_3 & = 7 \\ a + ar + ar^2 & = 7 \\ a + ar + 4 & = 7 \\ a(1+r) & = 7 - 4 \, \, \, \text{dari pers(i)} \\ \frac{4}{r^2} (1+r) & = 3 \\ 4 + 4r & = 3r^2 \\ 3r^2 - 4r - 4 & = 0 \\ (3r +2)(r-2) & = 0 \\ r = -\frac{2}{3} \vee r & = 2 \end{align}$
Karena suku-sukunya positif, maka $ r= 2 $ yang memenuhi.
Sehingga pers(i) : $ a = \frac{4}{r^2} = \frac{4}{2^2} = 1 $
Jadi, suku pertamanya adalah 1. $ \heartsuit $
Nomor 2
Hail kali nilai - nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \frac{x^{2 \, {}^{10} \log x \, - 6}}{1000} = \frac{1000}{x^2} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma : $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal dengan permisalan $ p= {}^{10} \log x $
$\begin{align} \frac{x^{2 \, {}^{10} \log x \, - 6}}{1000} & = \frac{1000}{x^2} \, \, \text{(kali silang)} \\ x^2 . x^{2 \, {}^{10} \log x \, - 6} & = 1000 \times 1000 \\ x^{2 \, + \, 2 \, {}^{10} \log x \, - 6} & = 10^6 \\ x^{2 \, {}^{10} \log x \, - 4} & = 10^6 \\ {}^{10} \log (x^{2 \, {}^{10} \log x \, - 4}) & = {}^{10} \log 10^6 \\ (2 \, {}^{10} \log x \, - 4) . {}^{10} \log x & = 6. {}^{10} \log 10 \\ \text{(substitusi } \, & p= {}^{10} \log x ) \\ (2p - 4) p & = 6 . 1 \\ 2p^2 - 4p - 6 & = 0 \, \, \text{(bagi 2)} \\ p^2 - 2p - 3 & = 0 \\ (p+1)(p-3) & = 0 \\ p=-1 \rightarrow {}^{10} \log x & = -1 \rightarrow x_1 = 10^{-1} \\ p=3 \rightarrow {}^{10} \log x & = 3 \rightarrow x_2 = 10^3 \end{align}$
Seingga nilai : $x_1.x_2 = 10^{-1}10^{3} = 10^{-1+3} = 10^{2} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = 10^{2} . \heartsuit $
Nomor 3
Akar - akar persamaan kuadrat $ x^2 + 6x + c = 0 \, $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $. Akar - akar persamaan kuadrat $ x^2 +(x_1^2 + x_2^2)x+4 = 0 \, $ adalah $ u $ dan $ v $. Jika $ u + v = -uv \, $ , maka $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = .... $
$\clubsuit \, $ PK I : $ x^2 + 6x + c = 0 \, $ akar - akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
$\begin{align} x_1+x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-6}{1} = -6 \\ x_1.x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{c}{1} = c \\ x_1^2+x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2.x_1x_2 \\ & = (-6)^2 - 2c = 36 - 2c \end{align}$
$\clubsuit \, $ PK II : $ x^2 +(x_1^2 + x_2^2)x+4 = 0 \, $ akar - akar $ u $ dan $ v $
$\begin{align} u+v & = \frac{-b}{a} = \frac{-(x_1^2+x_2^2 )}{1} = \frac{-(36 - 2c)}{1} = 2c - 36 \\ uv & = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4 \\ \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ c $
$\begin{align} u + v & = -uv \\ 2c - 36 & = - 4 \\ c & = 16 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 $
$\begin{align} x_1^3x_2 + x_1x_2^3 & = x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) \\ & = c ( 36 - 2c) \\ & = 16. (36 - 2. 16) \\ & = 16. (36 - 32) = 16. 4 = 64 \end{align}$
Jadi, nilai $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = 64 . \heartsuit$
Nomor 4
Luas daerah dalam kuadran I yang dibatasi oleh $ y = 4 - x^2, \, y = 3x \, $ dan $ y = 0, \, $ dapat dinyatakan sebagai ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_mat_ipa_2_2003.png
$\spadesuit \, $ Titik potong garis dan parabola
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x & = 4 - x^2 \\ x^2 + 3x - 4 & = 0 \\ (x-1)(x+4) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = -4 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan luas daerah arsiran
$\begin{align} L & = L_A + L_B \\ & = \int \limits_0^1 3x dx + \int \limits_1^2 (4-x^2) dx \\ & = \int \limits_0^1 3x dx + \int \limits_1^2 -(x^2-4) dx \\ & = \int \limits_0^1 3x dx - \int \limits_1^2 (x^2-4) dx \end{align}$
Jadi, luasnya adalah $ \int \limits_0^1 3x dx - \int \limits_1^2 (x^2-4) dx . \heartsuit $
Nomor 5
Jika pada interval $ 0 \leq x \leq 4, \, $ turunan fungsi $ f(x) = 2 - 2\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) \, $ bernilai nol di $ x_1 $ dan $ x_2, \, $ maka $ x_1^2 + x_2^2 = .... $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan dan nilainya = 0
$\begin{align} f(x) & = 2 - 2\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) \\ f^\prime (x) & = - 2.\frac{\pi }{2}.\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) \\ f^\prime (x) & = - 2\pi \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) \\ f^\prime (x) & = 0 \\ - 2\pi \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) & = 0 \\ \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) & = 0 \\ \text{Nilai } \, \cos \theta = 0 \text{ diperoleh untuk } \, \theta & = \frac{\pi }{2} \, \text{dan} \, \, \theta = \frac{3\pi }{2} \\ \frac{\pi x}{2} = \frac{\pi }{2} \rightarrow x_1 & = 1 \\ \frac{\pi x}{2} = \frac{3\pi }{2} \rightarrow x_2 & = 3 \end{align}$
Sehingga nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 $
Jadi, nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 10 . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2004 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika untuk $ 0 \leq \alpha , \beta \leq \pi, \, $ berlaku
$ \sqrt{3} \tan \alpha \tan \beta = \tan \alpha - \tan \beta - \sqrt{3} \, $ dan
$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{3}{4}, \, $ maka $ \cos (\alpha + \beta ) = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep trigonometri
$ \tan (x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y} $
$ \cos ( x- y ) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $
$ \cos ( x + y ) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ (\alpha - \beta ) $
$\begin{align} \sqrt{3} \tan \alpha \tan \beta & = \tan \alpha - \tan \beta - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} + \sqrt{3} \tan \alpha \tan \beta & = \tan \alpha - \tan \beta \\ \sqrt{3} ( 1 + \tan \alpha \tan \beta ) & = \tan \alpha - \tan \beta \\ \frac{\tan \alpha - \tan \beta }{ 1 + \tan \alpha \tan \beta} & = \sqrt{3} \\ \tan ( \alpha - \beta ) & = \sqrt{3} \\ \alpha - \beta & = 60^\circ \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \cos \alpha \cos \beta $ dengan $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{3}{4} $
$\begin{align} \alpha - \beta & = 60^\circ \\ \cos ( \alpha - \beta ) & = \cos ( 60^\circ ) \\ \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta & = \frac{1}{2} \\ \cos \alpha \cos \beta + \frac{3}{4} & = \frac{1}{2} \\ \cos \alpha \cos \beta & = -\frac{1}{4} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \cos (\alpha + \beta ) $
$\begin{align} \cos ( \alpha + \beta ) & = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \cos ( \alpha + \beta ) & = -\frac{1}{4} - \frac{3}{4} \\ \cos ( \alpha + \beta ) & = -\frac{4}{4} = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ \cos (\alpha + \beta ) = - 1 . \heartsuit $
Nomor 12
Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada pada parabola $ y = x^2 \, $ dan menyinggung sumbu X adalah .....
$\spadesuit \, $ Misal pusat lingkarannya ($a,b$). Substitusi ke parabola $ y = x^2 \, $ (karena pusat terletak pada parabola)
$\begin{align} (a,b) \rightarrow y & = x^2 \\ b & = a^2 \end{align}$
Sehingga titik pusatnya ($a,b$) = ($a,a^2$)
$\spadesuit \, $ Lingkaran menyinggung sumbu X, maka jari-jarinya adalah $ b $
Sehingga : $ r = b = a^2 $
$\spadesuit \, $ Persamaan lingkaran dengan pusat ($a,b$) = ($a,a^2$) dengan jari - jari $ r = a^2 $
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-a)^2 + (y - a^2)^2 & = (a^2)^2 \\ x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2a^2y + a^4 & = a^4 \\ x^2 + y^2 - 2ax - 2a^2 y + a^2 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkarannya $ x^2 + y^2 - 2ax - 2a^2 y + a^2 = 0 . \heartsuit $
Nomor 13
Jika $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x}}{x} = b $ .
Maka $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sqrt{b + x} - \sqrt{b - x}}{x} = .... $
$\spadesuit \, $ Penerapan L'Hospital pada limit
$ \displaystyle \lim_{ x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ solusinya : $ \displaystyle \lim_{ x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to k } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
diturunkan sampai bentuknya tidak $ \frac{0}{0} \, $ lagi.
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ b $ dan $ \, a $ dengan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x}}{x} & = b \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{ \frac{1}{2\sqrt{a + x}} - \frac{-1}{2\sqrt{a - x}}}{1} & = b \\ \frac{ \frac{1}{2\sqrt{a + 0}} - \frac{-1}{2\sqrt{a - 0}}}{1} & = b \\ \frac{1}{2\sqrt{a}} + \frac{1}{2\sqrt{a}} & = b \\ \frac{2}{2\sqrt{a}} & = b \\ b & = \frac{1}{\sqrt{a}} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal dengan turunan dan $ b = \frac{1}{\sqrt{a}} $
$\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sqrt{b + x} - \sqrt{b - x}}{x} & = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{ \frac{1}{2\sqrt{b + x}} - \frac{-1}{2\sqrt{b - x}}}{1} \\ & = \frac{ \frac{1}{2\sqrt{b + 0}} - \frac{-1}{2\sqrt{b - 0}}}{1} \\ & = \frac{1}{2\sqrt{b}} + \frac{1}{2\sqrt{b}} \\ & = \frac{2}{2\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{b}} \\ & = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{a}}}} = \frac{1}{ \frac{ \sqrt{1}}{\sqrt{\sqrt{a}}} } \\ & = \frac{1}{ \frac{ 1}{\sqrt{\sqrt{a}}} } \\ & = \sqrt{\sqrt{a}} \end{align}$
Jadi, hasil limitnya adalah $ \sqrt{\sqrt{a}} . \heartsuit $
Nomor 14
Bila panjang proyeksi vektor $ \vec{b} = \vec{i} - 2 \vec{j} \, $ pada vektor $ \vec{a} = x\vec{i} + y \vec{j} \, $ dengan $ x, y > 0 \, $ adalah 1, maka nilai $ 4x-3y+1 = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : Panjang proyeksi $ \vec{b} \, $ pada $ \, \vec{a} $
Panjang = $ \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}| } $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ \vec{a}.\vec{b} \, $ dan $ |\vec{a}| $
$ \vec{b} = \vec{i} - 2 \vec{j} \, $ dan $ \, \vec{a} = x\vec{i} + y \vec{j} $
$ \vec{a} . \vec{b} = (x . 1) + y. (-2) = x - 2y $
$ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 } $
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ x \, $ dan $ \, y \, $ dengan panjang proyeksi 1
$\begin{align} \text{Panjang} & = \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \\ 1 & = \frac{x - 2y}{\sqrt{x^2 + y^2 }} \\ \sqrt{x^2 + y^2 } & = x - 2y \, \, \text{(kuadratkan kedua ruas)} \\ x^2 + y^2 & = x^2 - 4xy + 4y^2 \\ 3y^2 - 4xy & = 0 \\ y(3y-4x) & = 0 \\ y = 0 \vee 3y-4x & = 0 \rightarrow y = \frac{4x}{3} \end{align}$
Karena $ y \, $ positif, maka nilai yang memenuhi adalah $ y = \frac{4x}{3} $
Sehingga nilai $ 4x-3y+1 $
$\begin{align} 4x-3y+1 & = 4x-3(\frac{4x}{3}) +1 \\ & = 4x - 4x + 1 \\ & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ 4x-3y+1 = 1 . \heartsuit $
Nomor 15
$ u(x) \, $ dan $ v(x) \, $ masing - masing merupakan fungsi dengan grafik seperti pada gambar di bawah ini.
spmb_mat_ipa_1_2004.png
Jika $ f(x) = u(x) . v(x) , \, $ maka $ f^\prime (1) = .... $
$\clubsuit \, $ Grafik fungsi sekitar $ x = 1 $
spmb_mat_ipa_7_2004.png
$\clubsuit \, $ Grafik fungsi sekitar $ x = 1 $ membentuk garis lurus, sehingga persamaannya menggunakan rumus garis lurus
Persamaan garis melalui dua titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$)
$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $
$\clubsuit \, $ Fungsi $ u(x) \, $ melalui titik (0,0) dan (2,4)
$\begin{align} \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} & = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \\ \frac{y - 0}{4-0} & = \frac{x - 0}{2-0} \\ \frac{y }{4} & = \frac{x }{2} \\ y & = 2x \end{align}$
Sehingga : $ u(x) = 2x $
$\clubsuit \, $ Fungsi $ v(x) \, $ melalui titik (2,0) dan (0,2)
$\begin{align} \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} & = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \\ \frac{y - 0}{2-0} & = \frac{x - 2}{0-2} \\ \frac{y }{2} & = \frac{x - 2}{ -2} \\ y & = -x + 2 \end{align}$
Sehingga : $ v(x) = -x + 2 $
$\clubsuit \, $ Menentukan $ f(x) \, $ dan turunannya
$\begin{align} f(x) & = u(x) v(x) \\ f(x) & = (2x) (-x+2) \\ f(x) & = -2x^2 + 4x \\ f^\prime (x) & = -4x + 4 \\ x = 1 \rightarrow f^\prime (1) & = -4.1 + 4 = 0 \end{align}$
Jadi, nilai $ f^\prime (1) = 0 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2004 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diberikan dua matriks A dan B sebagai berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} 5 & k \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 9 & m \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) $
Jika $ AB = BA, \, $ maka $ \frac{k}{m} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$\begin{align} AB & = BA \\ \left( \begin{matrix} 5 & k \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 9 & m \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 9 & m \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 & k \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 45 & 5m+5k \\ 0 & 10 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 45 & 9k+2m \\ 0 & 10 \end{matrix} \right) \\ \text{Sehingga : } \, 5m+5k & = 9k + 2m \\ 5m-2m & = 9k - 5k \\ 3m & = 4k \\ \frac{3}{4} & = \frac{k}{m} \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{k}{m} = \frac{3}{4} . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui suatu deret geometri tak hingga dengan suku awal $ a $ dan rasio $ r $. Jika jumlah suku awal dan rasionya sama dengan 6 dan jumlah semua sukunya sama dengan 5, maka $ \frac{a}{r} = .... $
$\clubsuit \, $ Jumlah suku pertama dan rasio
$ a + r = 6 \, $ ....pers(i)
$\clubsuit \, $ Jumlah semua suku tak hingga ($S_\infty$)
$\begin{align} S_\infty & = 5 \\ \frac{a}{1-r} & = 5 \\ a & = 5-5r \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$\begin{align} a + r & = 6 \\ (5-5r) + r & = 6 \\ 5-4r & = 6 \\ r & = -\frac{1}{4} \end{align}$
pers(i) : $ a+r = 6 \rightarrow a + (-\frac{1}{4}) = 6 \rightarrow a = \frac{25}{4} $
Sehingga nilai $ \frac{a}{r} = \frac{\frac{25}{4}}{-\frac{1}{4} } = -25 $
Jadi, nilai $ \frac{a}{r} = - 25. \heartsuit$
Nomor 8
Suatu sekolah membentuk suatu tim delegasi yang terdiri dari 4 anak kelas I, 5 anak kelas II, dan 6 anak kelas III. Kemudian akan ditentukan pimpinan yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Jika kelas asal ketua harus lebih tinggi dari kelas wakil ketua dan sekretaris, maka banyaknya kemungkinan susunan pimpinan adalah ....
$\spadesuit \, $ Ada 4I, 5II, 6III
$\spadesuit \, $ Ada dua kemungkinan agar ketua asal kelas lebih tinggi dari wakil dan sekretaris
spmb_mat_ipa_5_2004.png
1. Ketua dari kelas III, maka wakil dan sekretaris boleh dari kelas II atau I atau kombinasinya. Banyak cara terlihat pada (gambar i).
Cara I = 6 . 9 . 8 = 432
Keterangan : Ketua ada 6 pilihan karena hanya dari kelas III, sementara wakil dan sekretaris bebas dari kelas II dan I (ada 9 pilihan siswa) untuk ditempatkan jadi wakil dan sekretaris ( 9 . 8 )
2. Ketua dari kelas II, maka wakil dan sekretaris hanya dari kelas I. Banyak cara terlihat pada (gambar ii).
Cara II = 5.4.3 = 60
Keterangan : Ketua ada 5 pilihan karena hanya dari kelas II, sementara wakil dan sekretaris hanya dari kelas I ( ada 4 pilihan siswa) untuk menjadi wakil dan sekretaris ( 4.3)
Sehingga total = cara I + cara II = 432 + 60 = 492.
Jadi, susunan kemungkinannya ada 492 cara. $ \heartsuit$
Nomor 9
Jika $ a > 0, b > 0 \, $ dan $ \, {}^a \log b + {}^b \log a^4 + 4 = 0, \, $ maka $ a^2b - {}^a \log b = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar logaritma
Sifat logaritma : $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a }, \, $ dan $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
$\clubsuit \, $ misal : $ p = {}^a \log b $
$\begin{align} {}^a \log b + {}^b \log a^4 + 4 & = 0 \\ {}^a \log b + 4.{}^b \log a + 4 & = 0 \\ {}^a \log b + 4.\frac{1}{{}^a \log b} + 4 & = 0 \\ p + 4. \frac{1}{p} + 4 & = 0 \, \, \text{ (kali } \, p ) \\ p^2 + 4 + 4p & = 0 \\ (p+2)^2 & = 0 \rightarrow p = -2 \\ p = -2 \rightarrow {}^a \log b & = -2 \\ b & = a^{-2} \\ b & = \frac{1}{a^2} \\ a^2b & = 1 \end{align}$
Sehingga : $ a^2b - {}^a \log b = 1 - (-2) = 3 $
Jadi, nilai $ a^2b - {}^a \log b = 3 . \heartsuit $
Nomor 10
Semua nilai - nilai $ x $ yang memenuhi
$ 2^{-x^2+x+6} > \frac{{}^a \log b . {}^c \log a }{{}^c \log b } $
adalah ....
$\spadesuit \, $ Sifat - sifat logaritma : $ {}^a \log a = 1 $
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } \, $ dan $ \, \, {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} 2^{-x^2+x+6} & > \frac{{}^a \log b . {}^c \log a }{{}^c \log b } \\ 2^{-x^2+x+6} & > {}^a \log b . {}^c \log a . {}^c \log b \\ 2^{-x^2+x+6} & > {}^a \log b . {}^b \log c . {}^c \log a \\ 2^{-x^2+x+6} & > {}^a \log a \\ 2^{-x^2+x+6} & > 1 \\ 2^{-x^2+x+6} & > 2^0 \\ -x^2+x+6 & > 0 \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - x - 6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & < 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align}$
spmb_mat_ipa_6_2004.png
Jadi, solusinya $ HP = \{ -2 < x < 3 \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2004


Nomor 1
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi pertaksamaan $ y^2 - 2 < x $ dan persamaan $ 2y - x + 1 = 0 $ , maka $ x+y $ memenuhi pertaksamaan ....
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke perts(ii)
$ 2y - x + 1 = 0 \rightarrow x = 2y + 1 \, $ ....pers(i)
$ y^2 - 2 < x \rightarrow y^2 - 2 - x < 0 $
$\begin{align} \text{perts(ii) : } \, y^2 - 2 - x & < 0 \\ y^2 - 2 - (2y + 1) & < 0 \\ y^2 - 2y - 3 & < 0 \\ (y+1)(y-3) & < 0 \\ y = -1 \vee y & = 3 \end{align}$
spmb_mat_ipa_2_2004.png
sehingga nilai $ y $ : $ \, -1 < y < 3 $
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $ y $ ke pers(i)
$ y = 3 \rightarrow x = 2y + 1 = 2.3+1 = 7 $
$ y = -1 \rightarrow x = 2y + 1 = 2.(-1)+1 = -1 $
sehingga nilai $ x $ : $ \, -1 < x < 7 $
Jumlah nilai $ x $ dan $ y \, $ , diperoleh :
$ \begin{array}{cc} -1 < y < 3 & \\ -1 < x < 7 & + \\ \hline -2 < x + y < 10 & \end{array} $
Jadi, diperoleh $ -2 < x + y < 10 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika salah satu akar persamaan $ \frac{x}{6} - \frac{k}{x} = \frac{1}{2} \, $ adalah -6, maka akar yang lain adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{x}{6} - \frac{k}{x} & = \frac{1}{2} \, \, \text{ ( kali } 6x ) \\ x^2 - 6k & = 3x \\ x^2 - 3x - 6k & = 0 \\ a = 1, \, b = -3, \, c & = -6k \end{align}$
$\spadesuit \, $ Salah satu akarnya -6 , artinya $ x_1 = -6 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ k $ dengan substitusi $ x_1 = -6 $
$\begin{align} x_1 = -6 \rightarrow x^2 - 3x - 6k & = 0 \\ (-6)^2 - 3.(-6) - 6k & = 0 \\ 36 + 18 - 6k & = 0 \\ k & = 9 \end{align}$
PK : $ x^2 - 3x - 6.9 = 0 \rightarrow x^2 - 3x - 54 = 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan akar-akar dengan pemfaktoran
$\begin{align} x^2 - 3x - 54 & = 0 \\ (x + 6)(x-9) & = 0 \\ x= -6 \vee x & = 9 \end{align}$
Jadi, akar yang lainnya adalah 9. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{x}{6} - \frac{k}{x} & = \frac{1}{2} \, \, \text{ ( kali } 6x ) \\ x^2 - 6k & = 3x \\ x^2 - 3x - 6k & = 0 \\ a = 1, \, b = -3, \, c & = -6k \end{align}$
$\spadesuit \, $ Salah satu akarnya -6 , artinya $ x_1 = -6 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ x_2 $ dari operasi akar
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ -6 + x_2 & = \frac{-(-3)}{1} \\ -6 + x_2 & = 3 \\ x_2 & = 9 \end{align}$
Jadi, akar yang lainnya adalah 9. $ \heartsuit $
Catatan : Pada pembahasan ini tidak perlu menentukan nilai $ k $ dulu
Nomor 3
$ \int \limits_{-3}^{3} | x^2 - 2x - 3 | \, dx = .... $
$\clubsuit \, $ Menentukan interval positif dan negatif fungsi
$\begin{align} x^2 - 2x - 3 & = 0 \\ (x+1)(x-3) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 3 \end{align}$
spmb_mat_ipa_3_2004.png
Artinya fungsi $ f(x) = x^2 - 2x - 3 \, $ bernilai negatif saat $ -1 \leq x \leq 3 \, $ dan selain itu positif.
$\clubsuit \, $ Definisi harga mutlak
$|f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \, \text{(positif)} \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \, \text{(negatif)} \\ \end{array} \right. $
Sehingga untuk $ f(x) = x^2 - 2x - 3 \, $
$|x^2 - 2x - 3| = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - 2x - 3 & , x \leq -1 \vee x \geq 3 \\ -(x^2 - 2x - 3) & , -1 < x < 3 \\ \end{array} \right. $
Artinya :
Untuk $ x \leq -1 \vee x \geq 3 \rightarrow |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3 $
Untuk $ -1 < x < 3 $
$ \rightarrow |x^2 - 2x - 3| = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3 $
$\clubsuit \, $ Sifat integral : $ \int \limits_{a}^{c} f(x) dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx + \int \limits_{b}^{c} f(x) dx $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan integral dengan sifat dan harga mutlak
$\begin{align} & \int \limits_{-3}^{3} | x^2 - 2x - 3 | \, dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-1} | x^2 - 2x - 3 | \, dx + \int \limits_{-1}^{3} | x^2 - 2x - 3 | \, dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-1} (x^2 - 2x - 3) \, dx + \int \limits_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx \\ & = \left( \frac{1}{3} x^3 - x^2 - 3x \right)_{-3}^{-1} + \left( -\frac{1}{3} x^3 + x^2 + 3x \right)_{-1}^{3} \\ & = \frac{32}{3} + \frac{32}{3} = \frac{64}{3} \end{align}$
Jadi, hasil integralnya adalah $ \frac{64}{3} . \heartsuit$
Catatan : Soal ini sulit karena melibatkan harga mutlak dan batasnya harus dipecah.
Nomor 4
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $ . P dan Q masing - masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik perpotongan EG dan FH. Jarak titik R ke bidang EPQH adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_mat_ipa_4_2004.png
Jarak R ke bidang EPQH = panjang RO ( jarak terdekatnya)
$ NR = \frac{1}{2} NK = \frac{1}{2} a $
$ MN = \sqrt{MR^2 + RN^2 } = \sqrt{a^2 + (\frac{1}{2} a)^2 } = \frac{1}{2}a\sqrt{5} $
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang RO dengan luas segitiga MNR
$\begin{align} L_{\Delta MNR} \text{(alas MR)} & = L_{\Delta MNR} \text{(alas MN)} \\ \frac{1}{2} . MR. RN & = \frac{1}{2} . MN . RO \\ MR. RN & = MN . RO \\ a. \frac{1}{2} a & = \frac{1}{2} a \sqrt{5} . RO \\ a & = \sqrt{5} . RO \\ RO & = \frac{a}{\sqrt{5}} = \frac{a}{5} \sqrt{5} \end{align}$
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{a}{5} \sqrt{5} . \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui suatu persamaan parabola $ y = ax^2 + bx + c. \, $ Jika $ a, \, b \, $ dan $ c \, $ berturut - turut merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan aritmetika, serta garis singgung parabola tersebut di titik (1,12) sejajar dengan garis $ y = 6x $ , maka nilai $ (3a + 2b + c ) = .... $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $ a, \, b, \, c $
Selisih sama : $ b - a = c - b \rightarrow a + c = 2b \, $ ....pers(i)
$\clubsuit \, $ Substitusi titik (1,12) ke parabola
$\begin{align} (1,12) \rightarrow y & = ax^2 + bx + c \\ 12 & = a.1^2 + b.1 + c \\ a + b + c & = 12 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} a + b + c & = 12 \\ (a+c) + b & = 12 \\ 2b + b & = 12 \rightarrow b = 4 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Gradien garis : $ y = 6x \rightarrow m_1 = 6 $
Karena sejajar, maka gradien garis singgungnya sama dengan gradien garis $ y = 6x $ , sehingga $ m = 6 $
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung : $ m = f^\prime (x) $
$\begin{align} y & = ax^2 + bx + c \rightarrow y^\prime = 2ax + b \\ m & = f^\prime (1) \\ 6 & = 2a.1 + b \\ 2a + b & = 6 \\ b = 4 \rightarrow 2a + 4 & = 6 \\ 2a & = 2 \rightarrow a = 1 \end{align}$
pers(i) : $ a + c = 2b \rightarrow 1 + c = 2.4 \rightarrow c = 7 $
Sehingga nilai $ 3a + 2b + c = 3.1 + 2.4 + 7 = 3 + 8 + 7 = 18 $
Jadi, nilai $ 3a + 2b + c = 18 . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Penjelasan Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN)


Hallow sobat, bagaimana kabarnya ??? Baik – baik saja kan….

Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri merupakan seleksi Nasional yang berbentuk Ujian Tulis yang diadakan setiap Tahun. SBMPTN 2015 dapat diikuti oleh siswa lulusan pendidikan menengah (SMA/ MA/ SMK/ MAK) dan sederajat, termasuk Paket C dengan selisih tahun pelaksanaan terhadap lulusan yang mengikuti adalah selisih 2 tahun ( Misal SBMPTN 2015 hanya boleh diikuti oleh siswa lulusan tahun 2013, 2014 dan 2015). Soal ujian tertulis SBMPTN dirancang untuk mengukur kemampuan dasar yang dapat memprediksi keberhasilan calon mahasiswa di semua program studi, yakni kemampuan penalaran tingkat tinggi, yang meliputi potensi akademik, penguasaan bidang studi dasar, bidang sains dan teknologi (saintek) dan/atau bidang sosial dan humaniora (soshum). Selain mengikuti ujian tertulis, peserta yang memilih program studi Ilmu Seni dan/atau Keolahragaan diwajibkan mengikuti ujian keterampilan.


            Untuk Pendaftaran SBMPTN dilakukan secara online serta pembayarannya langsung melalui bank tertentu yang telah disetujui oleh pihak panitia pelaksana SBMPTN sehingga prosesnya akan lebih mudah karena pendaftaran bisa dilakukan dimanapun dan kapanpun beerdasarkan waktu yang disediakan.

Jenis Ujian
SBMPTN merupakan ujian tertulis, namun untuk beberapa jurusan seperti seni dan keolahragaan harus mengikuti ujian keterampilan. Berikut jenis ujian masing-masing :

Ujian Tulis Materinya :
a.       Tes Kemampuan dan Potensi Akademik (TKPA) terdiri atas Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, dan Penalaran (TPA).
b.      Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) terdiri atas mata uji Matematika, Biologi, Kimia, dan Fisika.
c.       Tes Kemampuan Dasar Sosial dan Humaniora (TKD Soshum) terdiri atas mata uji Sosiologi, Sejarah, Geografi, dan Ekonomi.

Ujian Keterampilan :
  1. Ujian keterampilan diperuntukkan bagi peminat Program Studi bidang Ilmu Seni dan Keolahragaan.
  2. Ujian Keterampilan bidang Ilmu Seni terdiri atas tes pengetahuan dan keterampilan bidang Ilmu Seni terkait.
  3. Ujian Keterampilan bidang Ilmu Keolahragaan  terdiri atas pemeriksaan kesehatan,  tes kesegaran jasmani dan keterampilan dasar olahraga. 
  4. Ujian Keterampilan dapat diikuti di PTN terdekat yang memiliki program studi yang sesuai dengan pilihan peserta.
Kelompok Ujian
Kelompok ujian SBMPTN terbagi menjadi 3 (tiga), yaitu:
  1. Kelompok Ujian Saintek  dengan materi ujian TKPA dan TKD Saintek.
  2. Kelompok Ujian Soshum  dengan materi ujian TKPA dan TKD Soshum.
  3. Kelompok Ujian Campuran  dengan materi ujian  TKPA, TKD Saintek, dan TKD Soshum.
Setiap peserta dapat mengikuti kelompok ujian Saintek, Soshum, atau Campuran.

Kelompok Program Studi dan Jumlah Pilihan
Berikut penjelasan tentang kelompok program studi dan jumlah pilihan :
  1. Program Studi yang ada di PTN dibagi menjadi dua kelompok, yaitu kelompok Saintek  dan kelompok Soshum.
  2. Peserta dapat memilih program studi sebanyak-banyaknya 3 (tiga) program studi dengan ketentuan sebagai berikut:
    1. Jika program studi yang dipilih semuanya dari kelompok saintek, maka peserta mengikuti kelompok ujian saintek.
    2. Jika program studi yang dipilih semuanya dari kelompok soshum, maka peserta mengikuti kelompok ujian soshum.
    3. Jika program studi yang dipilih terdiri dari kelompok saintek dan soshum, maka peserta mengikuti kelompok ujian campuran.
  1. Urutan dalam pemilihan program studi menyatakan prioritas pilihan.
  1. Peserta ujian yang hanya memilih 1 (satu) program studi dapat memilih program studi di PTN manapun.
  1. Peserta ujian yang memilih 2 (dua) program studi atau lebih, salah satu pilihan program studi tersebut harus di PTN yang berada dalam satu wilayah dengan tempat peserta mengikuti ujian. Pilihan program studi yang lain dapat di PTN di luar wilayah tempat peserta mengikuti ujian.
  1. Daftar wilayah pendaftaran, program studi, daya tampung per PTN  bisa dilihat di website resmi SBMPTN.


Jadwal dan Pengumuman Hasil Ujian
Pelaksanaan SBMPTN biasanya dilaksanakan di awal atau pertengahan bulan Juni setiap tahunnya dan untuk pengumumannya disampaikan secara online atau melalui surat kabar tertentu kurang lebih setelah satu bulan pelaksanaan Ujian tulisnya.


Untuk Informasi resmi dan terbaru mengenai SBMPTN setiap tahunnya, dapat diakses langsung melalui laman resmi SBMPTN yaitu  http://www.sbmptn.or.id.


Demikian sedikit penjelasan tentang SBMPTN yang merupakan salah satu Jenis-jenis Masuk Perguruan Tinggi Negeri , Semoga bermanfaat. Terima kasih.

Jika ada kritik dan saran atau apapun mengenai halaman ini, mohon beri komentar di form komentar di bawah ini, atau langsung kirim ke email kami.